Date post: | 31-Dec-2015 |
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Axiomas:Elección Racional
• Completitud
– Si A y B son dos situaciones cualquiera, un
individuo puede siempre especificar
exactamente una de las siguinetes
posibilidades:
• A is preferible a B
• B is preferible a A
• A y B son igualmente preferibles
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Axiomas: Elección Racional
• Transitividad
– Si A es preferible a B, y B es preferible a C,
entonces A es preferible a C.
– Asuma que las elecciones de un individuo
son internamente consistentes.
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Axiomas: Elección Racional
• Continuidad
– Si A es preferible a B, entonces aquellas
situaciones de “vecindario” o bien “close to”
A deben ser estrictamente preferibles a B.
– Utiuzada para analizar las respuestas de
los individuos a cambios relativamente
pequenos en ingresos y precios.
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Utilidad • Dados estos supuestos , es posible
mostrar que las personas son capaces de
clasificar ordenadamente todas las
posibles situaciones desde la menos
hasta la más preferible.
• Los economistas lo denominan como
“ranking de utilidad”
– Si A es preferible a B, entonces la utilidad
asignada a A excede a la utilidad asignada a
B: U(A) > U(B)
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Utilidad • Los rankings de utilidad son de
naturaleza ordinal.
– Registran la preferencia relativa de grupos
de commodities.
• Dado que las medidas de utilidad no son
únicas, no tiene importancia considerar
cuanta utilidad adicional se ha obtenido
con A en relación a B.
• Es también, imposible comparar las
utilidades entre personas.
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Utilidad • La Utilidad es definida por el consumo de
bienes físicos, actitudes psicológicas,
presiones de grupos relacionados,
experiencias personales, y en general,
por el ambiente cultural.
• Los Economistas generalmente prestan
atención a las opciones cuantificables,
mientras mantienen constantes las otras
variables que definen la utilidad.
– Supuesto: ceteris paribus
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Utilidad
• Suponga que un individuo debe elegir
entre el consumo de los siguientes
bienes: x1, x2,…, xn
• Los rankings de los individuos pueden
expresarse a partir de una función de
utilidad de la forma:
utilidad = U(x1, x2,…, xn; otras variables)
– Esta función es única de acuerdo a un
ordenamiento determinado.
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Bienes Económicos • En la funcón de utilidad, suponemos que
las x’s representan a los bienes. – Más es preferible a Menos.
Cantidad de x
Cantidad de y
x*
y*
Preferido a x*, y*
?
?
Peor que
x*, y*
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Curvas de Indiferencia • Una curva de indiferencia muestra un conjunto
de canastas de consumo, entre las cuales un
individuo se encuentra indiferente.
Cantidad de x
Cantidad de y
x1
y1
y2
x2
U1
Combinaciones (x1, y1) & (x2, y2)
Proveen el mismo nivel de Utilidad
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Tasa Marginal de Sustitución • La pendiente negativa de una curva de
indiferencia, en cualquier punto, se denomina
como Tasa Marginal de sustitución (TMS)
Cantidad de x
Cantidad de y
x1
y1
y2
x2
U1
1
UUdx
dyTMS
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Tasa Marginal de Sustitución • TMS cambia en función a cambios en X e Y
– Refleja la disposición de un individuo para intercambiar Y por
X
Cantidad de x
Cantidad de y
x1
y1
y2
x2
U1
En el punto (x1, y1), la curva de indiferencia es más empinada.
La persona estará dispuesta a sacrificar más del bien y para
obtener unidades adicionales del bien x
En el punto (x2, y2), la curva de
indiferencia es más plana. La persona
estará dispuesta a sacrificar menos del
bien y para obtener unidades adicionales
de x
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Curvas de Indiferencia: Mapa • Cada punto debe tener una curva de
indiferencia que pasa sobre él.
Cantidad de x
Cantidad de y
U1 < U2 < U3
U1
U2
U3
Utilidad Creciente
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Transitividad • Pueden intersectarse dos curvas de
indiferencia de un mismo individuo?
Cantidad de x
Cantidad de y
U1
U2
A
B C
El individuo es indiferente entre A y C.
El individuo es indiferente entre B y C.
La transitividad sugiere que el individuo debe
encontrarse indiferente entre A y B.
Pero B es preferible a A,
Porque contiene más de
x e y que A
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Convexidad • Un conjunto de puntos es convexo si cualquiera de
dos puntos pueden unirse por una línea recta que está
contenida completamente en dicho conjunto.
Cantidad de x
Cantidad de y
U1
El supuesto de una TMS decreciente es
equivalente al supuesto por el cual todas las
Combinaciones de x e y, que son preferidos
a x* e y* forman un conjunto convexo.
x*
y*
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Convexidad • Si la curva de indiferencia es convexa, entonces la
combinación:
(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2
será preferida a cualquiera: (x1,y1) or (x2,y2)
Cantidad de x
Cantidad de y
U1
x2
y1
y2
x1
Implica que los conjuntos quedan “bien equilibrados”
cuando alguno de ellos tiene un peso proporcional
fuertemente mayor en uno de los bienes.
(x1 + x2)/2
(y1 + y2)/2
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Utilidad y TMS • Suponga que las preferencias de un individuo
por las Hamburguesas (y) y por refrescos (x)
pueden ser representadas por
yx 10 utilidad
• Resolviendo para y, obtenemos
y = 100/x
• Resolviendo para la TMS = -dy/dx:
TMS = -dy/dx = 100/x2
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Utilidad y la TMS
TMS= -dy/dx = 100/x2
• Nótese que mientras x se incrementa,
la TMS disminuye.
– cuando x = 5, TMS = 4
– cuando x = 20, TMS = 0.25
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Utilidad Marginal • Suponga que un individuo tiene una
función de utilidad de la forma:
utilidad = U(x,y)
• La diferencial total de U es
dy
y
Udx
x
UdU
• A lo largo de cualquier curva de
indiferencia, la utilidad es constante
dU = 0
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Derivando la TMS • Entonces, obtenemos:
y
Ux
U
dx
dyTMS
constanteU
• LaTMS es el ratio de la utilidad marginal
de x, con la utilidad marginal de y.
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Utilidad Marginal Decreciente y la TMS
• Intuitivamente, parece que el supuesto de la utilidad marginal decreciente está relacionado con el concepto de la TMS decreciente. – La TMS decreciente requiere que la función de
utilidad sea cuasi-cóncava • Esto es independiente de cómo la utilidad sea medida.
– La utilidad marginal decreciente, depende de cómo se mida la utilidad
• Por lo tanto estos dos conceptos son diferentes.
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Curvas de Indiferencia: Convexidad
• Asuma una función de utilidad:
yx utilidad
• Podemos simplificar el álgebra, con el
logaritmo de ésta función
U*(x,y) = ln[U(x,y)] = 0.5 ln x + 0.5 ln y
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Curvas de Indiferencia: Convexidad
• Ahora bien, si la función de utilidad es:
U(x,y) = x + xy + y
• No existen ventajas al transformarla en logaritmos, por lo tanto:
x
y
y
Ux
U
MRS
1
1
25
Curvas de Indiferencia: Convexidad
• Nuevamente, suponga que la función de utilidad es
22 utilidad yx
• En este ejemplo, es más fácil trabajar
con la transformación logarítmica:
U*(x,y) = [U(x,y)]2 = x2 + y2
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Funciones de Utilidad: Ejemplos
• Cobb-Douglas
utilidad = U(x,y) = xy
donde: & son constantes positivas
– Los tamaños relativos de & indican la
importancia de los bienes.
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Funciones de Utilidad: Ejemplos
• Sustitutos Perfectos
utilidad = U(x,y) = x + y
Cantidad de x
Cantidad de y
U1 U2
U3
Las curvas de indiferencia serán lineales.
La TMS será una constante a lo largo de la
curva de indiferencia.
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Funciones de Utilidad: Ejemplos
• Complementarios Perfectos
Utilidad = U(x,y) = min (x, y)
Cantidad de x
Cantidad de y Las curvas de indiferencia tendrán la
forma de “L”. Solamente escogiendo
más de ambos bienes (al mismo tiempo)
se podrá incrementar la utilidad.
U1
U2
U3
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Funciones de Utilidad: Ejemplos
• Función CES (Elasticidad de Sustitución Constante) :
utilidad = U(x,y) = x/ + y/
Cuando 0 ; y
Utilidad = U(x,y) = ln x + ln y
Cuando = 0 – Sustitutos Perfectos = 1
– Cobb-Douglas = 0
– Complementarios Perfectos = -
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Funciones de Utilidad: Ejemplos:
• Función CES (Elasticidad de Sustitución Constante):
– La elasticidad de sustitución () es igual a
1/(1 - )
• Sustitutos Perfectos =
• Proporciones Fijas = 0
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Preferencias Homotéticas
• Si la TMS depende solamente de la relación
(ratio) de costos de dos bienes, y no así en
las cantidades, entonces, la función de
utilidad es homotética
– Sustitutos Perfectos TMS es la misma en
cualquier punto
– Complementarios Perfectos
TMS = si y/x > /,
TMS = no definida si y/x = /,
TMS = 0 si y/x < /
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Preferencias Homotéticas
• Para el caso general: Función Cobb-
Douglas, la TMS puede ser calculada
de la manera siguiente:
x
y
yx
yx
y
Ux
U
TMS
1
1
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Preferencias No-Homotéticas
• Algunas funciones de utilidad no
muestran preferencias homotéticas.
• Sea:
utilidad = U(x,y) = x + ln y
y
yy
Ux
U
TMS
1
1
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Caso n-bienes
• Suponga una función de utilidad de n
bienes, dada por:
utilidad = U(x1, x2,…, xn)
• La diferencial total de U es:
n
n
dxx
Udx
x
Udx
x
UdU
...2
2
1
1
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Caso n-bienes
• Podemos encontrar la TMS entre
cualquier par de bienes, fijando dU = 0
j
i
i
j
ji
x
U
x
U
dx
dxxxTMS
)for (
j
j
i
i
dxx
Udx
x
UdU
0
• Reordenando, obtenemos:
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Superficies de Indiferencia para el Caso n-bienes
• Definimos una superficie de
indiferencia, como el conjunto de
puntos en “n”dimensiones que
satisfacen la ecuación:
U(x1,x2,…xn) = k
donde k es cualquier constante pre-
definida.
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Superficies de Indiferencia para el Caso n-bienes
• Si la función de utilidad es cuasi-
cóncava, el conjunto de puntos para los
cuales U k será convexa
– De todas las observaciones sobre una
línea que une dos puntos en la función
U = k la superficie de indiferencia
también tendrá U k
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Características Importantes
• Si los individuos obedecen a ciertos
postulados de conducta, entonces podrán dar
un ranking de todas las canastas de bienes.
– Este ranking podrá ser expresado por una función
de utilidad.
– Al realizar las elecciones, los individuos actuarán
de la misma manera que en una maximización de
la función de utilidad.
• Las funciones de utilidad para dos bienes
pueden ser ilustradas con un mapa de curvas
de indiferencia
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Características Importantes
• La pendiente negativa de una curva de
indiferencia, representa la Tasa Marginal
de Sustitución (TMS)
– La tasa a la cual un individuo puede
intercambiar una cantidad del bien Y por
una unidad adicional del bien X
• TMS decrece a media que X es
sustituída por Y
– Los individuos prefieren cierto equilibrio en
sus elecciones de consumo.
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Características Importantes
• Pocas formas funcionales (simples) pueden
capturar las diferencias importantes entre
las preferencias de los individuos, para dos
ó más bienes.
– Función Cobb-Douglas
– Función Lineal (Sustitutos Perfectos)
– Función de Proporciones Fijas
(Complementarios Perfectos)
– Función CES
• Que incluye a los otros tres casos especiales
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Características Importantes
• Es sencillo generalizar los eemplos de dos
bienes a n-bienes.
– Estudiar las elecciones de las personas entre
varios bienes puede dar muchas ideas sobre
microeconomía.
– Las matemáticas aplicadas al caso de n-
bienes, no es precisamente intuitiva, por lo
tanto, nos mantendremos en caso de dos
bienes para construir la intuición
microeconómica.