Date post: | 19-Feb-2016 |
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πΌπππΈπΊπ π΄πππΈπ
INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENAD POLARES
Cabanillas Tacanga, GuianellaColchado VΓ‘squez, RonaldoInfantes Montero, MiltonMorillo Culquichicom, BrayanPeche Paredes, Diana MaribySalinas Marcos, AnyeloSalinas Marcos, Anyelo
Si deseamos integrar f funciΓ³n definida dentro de una regiΓ³n R, generalmente lo harΓamos evaluando la integral doble sobre la regiΓ³n de integraciΓ³n que definirΓamos utilizando los mΓ©todos de coordenadas rectangulares. Que pasarΓa si las regiones son figuras circulares, paraboloides, elipsoides, etc. la definiciΓ³n de su regiΓ³n de integraciΓ³n se vuelve algo complicada.
INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENADAS POLARES
β¬π·
π·
π (π₯ , π¦ )ππ΄
Una forma en la que nos facilitamos el trabajo cambiar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares son:
Entonces, haciendo esta transformaciΓ³n, tendrΓamos que ahora la regiΓ³n R esta definida como.
El diferencial de Γ‘rea dA se definirΓa como:
π2=π₯2+ π¦2
π₯=ππππ ΞΈπ¦=ππ ππΞΈ
π ={ (π , ΞΈ )βπ 2πβ€π β€π , Ξ± β€ΞΈβ€Ξ² }
β π΄=π β π β π
Recordando : la relaciΓ³n entre el radio y la longitud de arco en un sector circular estΓ‘ dada por: tenemos entonces que el diferencial de Γ‘rea en coordenadas polares estΓ‘ dado por dA = (dr)(rdΞΈ ) como se muestra en la figura. Se acostumbra escribir como
s = rΞΈ
DIFERENCIAL DE AREA
ΞΈ
r
S
π=π π½
ππ
πππr
ππ΄=(ππ )(πππ)ππ΄=ππππ π
β¬π·
π·
π (π ,π ) ππ΄=β¬π·
π·
π (π ,π ) πππππ
β¬π·
π·
π (π₯ , π¦ )β π₯β π¦=β¬π·
π·
π (π πππ π ,π« senπ ) π πππ π
FΓRMULA
INTEGRALES ITERADAS EN COORDENADAS POLARESβ’ 1er caso Consideremos la regiΓ³n polar D dada por D={(r,ΞΈ)/ Ξ±β€ΞΈ β€Ξ² ᴧ Π€(ΞΈ) β€r β€ Ρ°(ΞΈ)} y sea f: Duna funciΓ³n continua sobre D.
β¬π·
π·
π (π ,π ) ππ΄=β«πΌ
π½
β«ΒΏΒΏ
ΒΏ ΒΏΒΏ
2do caso Consideremos la regiΓ³n polar D dada por D={(r,ΞΈ)/ aβ€ r β€b ᴧ Π€(r) β€ΞΈ β€ Ρ°(r)} y sea f: Duna funciΓ³n continua sobre D.
β¬π·
π·
π (π ,π ) ππ΄=β«π
π
β«ΒΏΒΏ
ΒΏ ΒΏΒΏ
EJEMPLITOS
1: calcular la integral doble , donde D es la cuarta parte del circulo que se halla en el primer cuadrante.
π₯2+ π¦2=1
soluciΓ³nπππ π₯=ππππ π , π¦=ππ ππππ₯2+ π¦2=1βπ2=1βπ=1
β¬π·
π·
β1β π₯2β π¦2β π₯β π¦=β¬π·
π·
β1β π2π πππ π
β¬π·
π·
β1β π₯2β π¦2β π₯β π¦=β«0
π /2
β«0
1
β1βπ 2π ππππ
β¬π·
π·
β1β π₯2β π¦2β π₯β π¦=β«0
π /2
β 13
(1βπ )32 ΒΏ10ΒΏ
β¬π·
π·
β1β π₯2β π¦2β π₯β π¦=β 13 β«
0
π /2
(0β1)ππ
β¬π·
π·
β1β π₯2β π¦2β π₯β π¦=13 β«0
π /2
ππ=π6
β¬π
π
π₯π¦ππ΄=β«0
π2
β«2
5
(ππππ π ) (ππ πππ ) πππππ=β«0
π2
β«2
5
π 3πππ ππ πππ πππ π
β¬π
π
π₯π¦ππ΄=β«0
π2
πππ ππ πππ [ π 44 ]52ππ=β«0
π2
πππ ππ πππ [ 544 β 24
4 ]52ππβ¬π
π
π₯π¦ππ΄=6094 β«
0
π2
πππ ππ πππ ππ=6094 [ π ππ2π2 ] π2
0
β¬π
π
π₯π¦ππ΄=6094 [ π ππ2 π22 β π ππ
202 ]
β¬π
π
π₯π¦ππ΄=6094 [ 12 β 02 ]=6098 π’
2
2
5
5
0
R
Limites de integraciΓ³n
2: Evaluar la integral donde R es la regiΓ³n del primer cuadrante comprendida entre los cΓrculos =4 y =25
soluciΓ³n
r
3: calcular la integral doble donde D es la regiΓ³n encerrada por la cardiode sobre el eje X.
π=1+cosπ
rD
πx
y
soluciΓ³nπππ :π₯=ππππ π , π¦=ππ πππ
π· { 0β€ πβ€π0β€π β€1+πππ π
β¬π·
π·
π¦ β π₯β π¦=β¬π·
π·
ππ ππππ πππ π=β¬π·
π·
π ππππ2πππ π
β¬π·
π·
π¦ β π₯β π¦=β«0
π
β«0
1+cosπ
π2π πππ πππ π
β¬π·
π·
π¦ β π₯β π¦=β«0
π π33π πππ ΒΏ1+cosπ
0ππ ΒΏ
β¬π·
π·
π¦ β π₯β π¦=13β«0
π
(1+cosπ)3 π πππππ=β (1+cosπ)4
12ΒΏπ0
ΒΏ
β¬π·
π·
π¦ β π₯β π¦=β 112
[0β16 ]=1612
=43π’
4: Hallar el Γ‘rea de la regiΓ³n plana D ubicada en el interior del cΓrculo y en el exterior de la cardioide
π=1+cosπ
x
y
π=3πππ π
π=β π3
π=π3
{π=3πππ ππ=1+cosπβ
3πππ π=1+cosππππ π=1
2βπ=π
3,β π3
soluciΓ³n
π΄π·=β¬π·
π·
ππ₯ππ¦= β«βπ /3
π3
β«1+cosπ
3πππ π
πππππ
π΄π·= β«βπ /3
π3 π22
ΒΏ 3πππ π1+cosπ
ππ=12 β«βπ /3
π /3
ΒΏΒΏ
π΄π·=12 β«βπ /3
π/3
[8πππ 2β2πππ πβ1 ]ππ=12 β«βπ/3
π /3
ΒΏΒΏ
π΄π·=12 β«βπ /3
π/3
(4πππ 2πβ2πππ π+3 ) ππ=12(2π ππ2πβ2π πππ+3 π)ΒΏ π /3
βπ /3ΒΏ
π΄π·=π π’2
Calculamos las intersecciones para calcular los limites para