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Integrales Dobles en Coordenadas Polares

Date post: 19-Feb-2016
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12
INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENAD POLARES Cabanillas Tacanga, Guianell Colchado VΓ‘squez, Ronaldo Infantes Montero, Milton Morillo Culquichicom, Brayan Peche Paredes, Diana Mariby Salinas Marcos, Anyelo Salinas Marcos, Anyelo
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Page 1: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

𝐼𝑁𝑇𝐸𝐺𝑅𝐴𝑁𝑇𝐸𝑆

INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENAD POLARES

Cabanillas Tacanga, GuianellaColchado VΓ‘squez, RonaldoInfantes Montero, MiltonMorillo Culquichicom, BrayanPeche Paredes, Diana MaribySalinas Marcos, AnyeloSalinas Marcos, Anyelo

Page 2: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

Si deseamos integrar f funciΓ³n definida dentro de una regiΓ³n R, generalmente lo harΓ­amos evaluando la integral doble sobre la regiΓ³n de integraciΓ³n que definirΓ­amos utilizando los mΓ©todos de coordenadas rectangulares. Que pasarΓ­a si las regiones son figuras circulares, paraboloides, elipsoides, etc. la definiciΓ³n de su regiΓ³n de integraciΓ³n se vuelve algo complicada.

INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENADAS POLARES

∬𝐷

𝐷

𝑓 (π‘₯ , 𝑦 )𝑑𝐴

Page 3: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

Una forma en la que nos facilitamos el trabajo cambiar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares son:

Entonces, haciendo esta transformaciΓ³n, tendrΓ­amos que ahora la regiΓ³n R esta definida como.

El diferencial de Γ‘rea dA se definirΓ­a como:

π‘Ÿ2=π‘₯2+ 𝑦2

π‘₯=π‘Ÿπ‘π‘œπ‘ ΞΈπ‘¦=π‘Ÿπ‘ π‘’π‘›ΞΈ

𝑅={ (π‘Ÿ , ΞΈ )βˆˆπ‘…2π‘Žβ‰€π‘Ÿ ≀𝑏 , Ξ± ≀θ≀β }

β…† 𝐴=π‘Ÿ β…†π‘Ÿ β…†πœƒ

Page 4: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

Recordando : la relaciΓ³n entre el radio y la longitud de arco en un sector circular estΓ‘ dada por: tenemos entonces que el diferencial de Γ‘rea en coordenadas polares estΓ‘ dado por dA = (dr)(rdΞΈ ) como se muestra en la figura. Se acostumbra escribir como

s  =  rΞΈ

DIFERENCIAL DE AREA

ΞΈ

r

S

𝒔=𝒓 𝜽

π‘‘π‘Ÿ

π‘Ÿπ‘‘πœƒr

𝑑𝐴=(π‘‘π‘Ÿ )(π‘Ÿπ‘‘πœƒ)𝑑𝐴=π‘Ÿπ‘‘π‘Ÿπ‘‘ πœƒ

Page 5: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

∬𝐷

𝐷

𝑓 (π‘Ÿ ,πœƒ ) 𝑑𝐴=∬𝐷

𝐷

𝑓 (π‘Ÿ ,πœƒ ) π‘Ÿπ‘‘π‘Ÿπ‘‘πœƒ

∬𝐷

𝐷

𝑓 (π‘₯ , 𝑦 )β…† π‘₯β…† 𝑦=∬𝐷

𝐷

𝑓 (𝒓 π‘π‘œπ‘ πœƒ ,𝐫 senπœƒ ) π‘Ÿ π‘‘π‘Ÿπ‘‘ πœƒ

FΓ’RMULA

Page 6: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

INTEGRALES ITERADAS EN COORDENADAS POLARESβ€’ 1er caso Consideremos la regiΓ³n polar D dada por D={(r,ΞΈ)/ α≀θ ≀β ᴧ Π€(ΞΈ) ≀r ≀ Ρ°(ΞΈ)} y sea f: Duna funciΓ³n continua sobre D.

∬𝐷

𝐷

𝑓 (π‘Ÿ ,πœƒ ) 𝑑𝐴=βˆ«π›Ό

𝛽

∫¿¿

ΒΏ ΒΏΒΏ

Page 7: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

2do caso Consideremos la regiΓ³n polar D dada por D={(r,ΞΈ)/ a≀ r ≀b ᴧ Π€(r) ≀θ ≀ Ρ°(r)} y sea f: Duna funciΓ³n continua sobre D.

∬𝐷

𝐷

𝑓 (π‘Ÿ ,πœƒ ) 𝑑𝐴=βˆ«π‘Ž

𝑏

∫¿¿

ΒΏ ΒΏΒΏ

Page 8: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

EJEMPLITOS

1: calcular la integral doble , donde D es la cuarta parte del circulo que se halla en el primer cuadrante.

π‘₯2+ 𝑦2=1

soluciΓ³nπ‘†π‘’π‘Ž π‘₯=π‘Ÿπ‘π‘œπ‘ πœƒ , 𝑦=π‘Ÿπ‘ π‘’π‘›πœƒπ‘₯2+ 𝑦2=1β†’π‘Ÿ2=1β†’π‘Ÿ=1

∬𝐷

𝐷

√1βˆ’ π‘₯2βˆ’ 𝑦2β…† π‘₯β…† 𝑦=∬𝐷

𝐷

√1βˆ’ π‘Ÿ2π‘Ÿ π‘‘π‘Ÿπ‘‘ πœƒ

∬𝐷

𝐷

√1βˆ’ π‘₯2βˆ’ 𝑦2β…† π‘₯β…† 𝑦=∫0

πœ‹ /2

∫0

1

√1βˆ’π‘Ÿ 2π‘Ÿ π‘‘π‘Ÿπ‘‘πœƒ

∬𝐷

𝐷

√1βˆ’ π‘₯2βˆ’ 𝑦2β…† π‘₯β…† 𝑦=∫0

πœ‹ /2

βˆ’ 13

(1βˆ’π‘Ÿ )32 ΒΏ10ΒΏ

∬𝐷

𝐷

√1βˆ’ π‘₯2βˆ’ 𝑦2β…† π‘₯β…† 𝑦=βˆ’ 13 ∫

0

πœ‹ /2

(0βˆ’1)π‘‘πœƒ

∬𝐷

𝐷

√1βˆ’ π‘₯2βˆ’ 𝑦2β…† π‘₯β…† 𝑦=13 ∫0

πœ‹ /2

π‘‘πœƒ=πœ‹6

Page 9: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

βˆ¬π‘…

𝑅

π‘₯𝑦𝑑𝐴=∫0

πœ‹2

∫2

5

(π‘Ÿπ‘π‘œπ‘  πœƒ ) (π‘Ÿπ‘ π‘’π‘›πœƒ ) π‘Ÿπ‘‘π‘Ÿπ‘‘πœƒ=∫0

πœ‹2

∫2

5

π‘Ÿ 3π‘π‘œπ‘ πœƒπ‘ π‘’π‘›πœƒ π‘‘π‘Ÿπ‘‘ πœƒ

βˆ¬π‘…

𝑅

π‘₯𝑦𝑑𝐴=∫0

πœ‹2

π‘π‘œπ‘  πœƒπ‘ π‘’π‘›πœƒ [ π‘Ÿ 44 ]52π‘‘πœƒ=∫0

πœ‹2

π‘π‘œπ‘  πœƒπ‘ π‘’π‘›πœƒ [ 544 βˆ’ 24

4 ]52π‘‘πœƒβˆ¬π‘…

𝑅

π‘₯𝑦𝑑𝐴=6094 ∫

0

πœ‹2

π‘π‘œπ‘ πœƒπ‘ π‘’π‘›πœƒ π‘‘πœƒ=6094 [ 𝑠𝑒𝑛2πœƒ2 ] πœ‹2

0

βˆ¬π‘…

𝑅

π‘₯𝑦𝑑𝐴=6094 [ 𝑠𝑒𝑛2 πœ‹22 βˆ’ 𝑠𝑒𝑛

202 ]

βˆ¬π‘…

𝑅

π‘₯𝑦𝑑𝐴=6094 [ 12 βˆ’ 02 ]=6098 𝑒

2

2

5

5

0

R

Limites de integraciΓ³n

2: Evaluar la integral donde R es la regiΓ³n del primer cuadrante comprendida entre los cΓ­rculos =4 y =25

soluciΓ³n

r

Page 10: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

3: calcular la integral doble donde D es la regiΓ³n encerrada por la cardiode sobre el eje X.

π‘Ÿ=1+cosπœƒ

rD

πœƒx

y

soluciΓ³nπ‘†π‘’π‘Ž :π‘₯=π‘Ÿπ‘π‘œπ‘  πœƒ , 𝑦=π‘Ÿπ‘ π‘’π‘›πœƒ

𝐷 { 0≀ πœƒβ‰€πœ‹0β‰€π‘Ÿ ≀1+π‘π‘œπ‘ πœƒ

∬𝐷

𝐷

𝑦 β…† π‘₯β…† 𝑦=∬𝐷

𝐷

π‘Ÿπ‘ π‘’π‘›πœƒπ‘Ÿ π‘‘π‘Ÿπ‘‘ πœƒ=∬𝐷

𝐷

π‘ π‘’π‘›πœƒπ‘Ÿ2π‘‘π‘Ÿπ‘‘ πœƒ

∬𝐷

𝐷

𝑦 β…† π‘₯β…† 𝑦=∫0

πœ‹

∫0

1+cosπœƒ

π‘Ÿ2π‘ π‘’π‘›πœƒ π‘‘π‘Ÿπ‘‘ πœƒ

∬𝐷

𝐷

𝑦 β…† π‘₯β…† 𝑦=∫0

πœ‹ π‘Ÿ33π‘ π‘’π‘›πœƒ ΒΏ1+cosπœƒ

0π‘‘πœƒ ΒΏ

∬𝐷

𝐷

𝑦 β…† π‘₯β…† 𝑦=13∫0

πœ‹

(1+cosπœƒ)3 π‘ π‘’π‘›πœƒπ‘‘πœƒ=βˆ’ (1+cosπœƒ)4

12ΒΏπœ‹0

ΒΏ

∬𝐷

𝐷

𝑦 β…† π‘₯β…† 𝑦=βˆ’ 112

[0βˆ’16 ]=1612

=43𝑒

Page 11: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

4: Hallar el Γ‘rea de la regiΓ³n plana D ubicada en el interior del cΓ­rculo y en el exterior de la cardioide

π‘Ÿ=1+cosπœƒ

x

y

π‘Ÿ=3π‘π‘œπ‘ πœƒ

πœƒ=βˆ’ πœ‹3

πœƒ=πœ‹3

{π‘Ÿ=3π‘π‘œπ‘ πœƒπ‘Ÿ=1+cosπœƒβ†’

3π‘π‘œπ‘ πœƒ=1+cosπœƒπ‘π‘œπ‘ πœƒ=1

2β†’πœƒ=πœ‹

3,βˆ’ πœ‹3

soluciΓ³n

𝐴𝐷=∬𝐷

𝐷

𝑑π‘₯𝑑𝑦= βˆ«βˆ’πœ‹ /3

πœ‹3

∫1+cosπœƒ

3π‘π‘œπ‘ πœƒ

π‘Ÿπ‘‘π‘Ÿπ‘‘πœƒ

𝐴𝐷= βˆ«βˆ’πœ‹ /3

πœ‹3 π‘Ÿ22

ΒΏ 3π‘π‘œπ‘  πœƒ1+cosπœƒ

π‘‘πœƒ=12 βˆ«βˆ’πœ‹ /3

πœ‹ /3

ΒΏΒΏ

𝐴𝐷=12 βˆ«βˆ’πœ‹ /3

πœ‹/3

[8π‘π‘œπ‘ 2βˆ’2π‘π‘œπ‘  πœƒβˆ’1 ]π‘‘πœƒ=12 βˆ«βˆ’πœ‹/3

πœ‹ /3

ΒΏΒΏ

𝐴𝐷=12 βˆ«βˆ’πœ‹ /3

πœ‹/3

(4π‘π‘œπ‘ 2πœƒβˆ’2π‘π‘œπ‘  πœƒ+3 ) π‘‘πœƒ=12(2𝑠𝑒𝑛2πœƒβˆ’2π‘ π‘’π‘›πœƒ+3 πœƒ)ΒΏ πœ‹ /3

βˆ’πœ‹ /3ΒΏ

𝐴𝐷=πœ‹ 𝑒2

Calculamos las intersecciones para calcular los limites para

Page 12: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

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