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LAS FUNCIONES DE ONDA PARA EL HIDROGENO FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
LAS FUNCIONES DE ONDA PARA EL HIDROGENO
Dado que : r
qqkU 21 depende solamente de la distancia radial r entre el núcleo y el electrón,
algunos de los estados permitidos para este átomo pueden ser representados mediante funciones de onda que solo dependen de r. La mas simple de las funciones de onda para el hidrogeno es la que describe el estado 1s y se
conoce como 1s ( r ) :
0/
3
0
1
1)(
ar
s ea
r
Donde a0 = radio de Bohr
Características:1s ( r ) i) Satisface la ecuación schrodinger ii) Tiende a cero conforme r tiende a y se normaliza iii) Dado que depende solo de r , es simétrico esféricamente, y la simetría existe
APRA todos los estados s
Densidad de Probabilidad :
0/2
3
0
2
1
1 ar
s ea
(*)
Densidad de probabilidad radial : p(r) Ya que en la posición r = 0 suponemos que el núcleo esta fijo en el espacio, podemos asignarle esta densidad de probabilidad a la cuestión de ubicar el electrón.
La probabilidad de encontrarlo en un elemento de volumen dV es de dV2
Definimos la función de densidad de probabilidad radial P ( r ) cono la probabilidad por unidad de longitud radial de encontrar el electrón en una envolvente esférica de radio r y de espesor dr.
Por tanto ,P(r) es la probabilidad de encontrar al electrón en esta envolvente. El volumen dV de esta envolvente, infinitesimalmente delgada, es igual a su área superficial 4 r2 , multiplicada por el espesor de la envolvente dr, por la cual la probabilidad será :
drrdVdrrP 2224)(
Por tanto, la función de densidad de probabilidad radial es : 224)( rrP
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Reemplazamos en (*) : 0/2
3
0
2
1
4)(
ar
s ea
rrP
Grafico ; 0/2
3
0
2
1
4)(
ar
s ea
rrP
Grafico de puntos
Grafico xyz GRAFICO 3D Calcule el valor mas probable de r para un electrón en su estado base del átomo de hidrogeno Solución
Ejemplo 1: El estado base del hidrogeno
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Encontramos el valor más probable de r haciendo que : 0/1 drdP s
0
40/2
3
0
2
1
ars ea
r
dr
d
dr
dP r = a0
¡EL VALOR MAS PROBABLE DE r ES EL RADIO DE BOHR! ¿Qué pasaría si? ¿Qué pasaría si se le pidiera en vez del valor más probable, el valor promedio de r para el electrón en su estado base? Solución El valor promedio de r es el mismo que el valor esperado de r
0
)( drrrPrrav
Reemplazo :
0
/2
3
0
2
04
drea
rr
ar
Simplificando : drer
ar
ar
av
0
/23
3
0
04
Aplicamos : 10
!
n
axn
a
ndxex
04
0
3
00
/23
3
0 2
3
)/2(
!3440 a
aadrer
ar
ar
av
02
3arav
Calcule la probabilidad de que electrón del hidrogeno en el estado base se encontrara fuera del primer radio de Bohr Solución
drPP
as
0
1
drera a
ar
0
0/22
3
0
4
Resolviendo la integral : 25 eP P = 0,677 P= 67,7 %
Ejemplo 2: probabilidades del electrón en el hidrogeno
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FUNCION DE ONDA PARA EL HIDROGENO EN EL ESTADO 2S
02/
0
2/3
0
2 .21
24
1)(
ar
s ea
r
ar
Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 2s ( n =2 , l = 0 , ml = 0 )
Estado 2p ( n =2 , l = 1 , ml = 1 ) =
2px
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Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 2p ( n =2 , l = 1 , ml = 0 ) =
2pz
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Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
GRAFICO3D
Estado 3s ( n =3 , l = 0 , ml = 0 ) =
Estado 2p ( n =2 , l = 1 , ml = -1 ) =
2py
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Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 3p ( n =3 , l = 1 , ml = 1 ) =
3px
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Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 3p ( n =3 , l = 1 , ml = 0 ) =
3pz
Estado 3p ( n =3 , l = 1 , ml = -1 ) =
3py
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Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = 2 ) =
3dx2- y
2
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GRAFICO 3D
Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = 0 ) =
3dz2
Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = 1 ) =
3dyz
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Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
GRAFICO xyz 3D GRAFICO 3D
Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = -1 ) =
3dyz
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GRAFICO 3D
Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 4f ( n =4 , l = 3 , ml = 0 ) =
Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = -2 ) =
3dx2- y
2
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Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos
GRAFICO 3D
18. Dibuje la función de onda
0/
3
0
1
1)(
ar
s ea
r
y la función de densidad de
probabilidad radial 0/2
3
0
2
1
4)(
ar
s ea
rrP
para el hidrogeno. Establezca
los valores de r en el rango desde 0 hasta 1,5 a0 donde a0 es el radio de Bohr
Solución
0/
3
0
1
1)(
ar
s ea
r
0/2
3
0
2
1
4)(
ar
s ea
rrP
SOLUCIONARIO R.SERWAY – J. JEWETT FISICA. Tomo II. 6º Edición.2005. México. Cap. 20.Pág.688 Sección 20,5.
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19. La función de onda de estado base para el electrón en un átomo de hidrogeno es igual
a :
0/
3
0
1)(
are
ar
Donde r es la coordenada radial del electrón y a0 es el radio de Bohr. (a) Demuestre que la función de onda, como se ha dado, esta normalizada. (b) Determine la
probabilidad de localizar al electrón entre 2/01 ar y 2/3 02 ar
Solución
Parte (a) : Aplicando la condición de normalidad, que la suma debe ser uno: 12
dr
Según la probabilidad: drrP 224
dre
ar
ar
0
2
/
3
0
2 01
4
drea
r ar
0
/2
3
0
2
04
3
0
3
0 2
!24
a
a= 1
10
!.
n
axn
a
ndxex
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Parte (b): Debemos hallar la Probabilidad : drea
ra
a
ar
2/3
2/
/2
3
0
20
0
04
drea
r ar
0/2
3
0
24
Hacemos : ma
r
0
2 dm
a
dr
0
2 reemplazo : dmem m
.2
1 2
integramos por partes : vduuvudv
Sea u = m2 y du = 2mdm
dmedv m v = em
Luego : mdmeem mm 2..2
1 2
dmeemem mmm 2..2.2
1 2
Otra vez integramos por partes : vduuvudv
Sea u = 2m y du = 2dm
dmedv m v = em
mmm eemem 2.2.2
1 2
Pero : ma
r
0
2
2
3
2
22
0
2
2
0
2
0
0
000 2.2
24
2
1
a
a
a
r
a
r
a
r
eea
re
a
r
Reemplazo los valores y obtengo :
111333 226.92
1 eeeeee
Simplificando : 3
2
2
175
e
e 0,497
20. La función de onda para un electrón en el estado 2p del hidrogeno es igual a :
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02/
0
2/3
0
223
1 ar
p ea
r
a
¿Cuál es la distancia más probable del núcleo para poder encontrar un electrón en el estado 2p?
Solución
Valor de la probabilidad : drrrP 224)(
0/
2
0
2
3
0
2 .)2(3
1.4)(
are
a
r
arrP
Para hallar la distancia mas probable aplico : 0dr
dP
0.1
..4 00
0
43
a
r
a
r
ea
rer
040
43
a
rr 04
0
3
a
rr r = 0 04ar
21. Para un estado esféricamente simétrico de un átomo de hidrogeno, la ecuación de
Schrodinger en coordenadas esféricas es igual a :
Er
ek
dr
d
rdr
d
m
e
2
2
22 2
2
Demuestre que la función de onda 1s para un electrón en el hidrogeno :
0/
3
0
1)(
are
ar
Satisface la ecuación de Schrodinger Solución Simplificaremos el lado izquierdo, para llegar a E.
0/
3
0
1)(
are
ar
0/
03
0
.1
.1 ar
eaadr
d
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0/
003
0
2
2
.1
.1
.1 ar
eaaadr
d
Reemplazo
000 /
3
0
2/
03
0
/
003
0
2 1..
1.
1.
2.
1.
1.
1
2
arearare
ar
eke
aare
aaam
Factorizo : 0/
3
0
1)(
are
ar
r
ke
aram
2
0
2
0
2 1.
21
2
r
ke
mrama
2
0
2
2
0
2
2
Factorizo :
r
ke
rama
2
00
2 21
2
Pero : 02
2
amke
r
2
0
2
kema
Reemplazo :
r
ke
rr
ke 22 21
2
r
ke
r
ke
r
ke 222
2
r
ke
2
2
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E lq2d