Date post: | 04-Jan-2016 |
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FACULTAD DE INGENIERIA
Departamento de Construcciones
PUENTES Y VIADUCTOS
Vigas Continuas
Cálculo de Líneas de Influencia de Solicitacionesen Vigas Continuas de Tres Tramos
Ing. Víctor Hugo SeminaraIng. Aldo Carlos Zaragoza
Ing. Marcelo CodónAño 2002
Cálculo de líneas de influencia de solicitaciones en vigas continuas de tres tramos por medio del cálculo manual o el empleo de computadoras El objetivo del presente estudio es el de determinar las líneas de influencia de las solicitaciones M y T en cualquier sección de una viga continua de tres tramos de sección constante e igual módulo de elasticidad. La metodología seguida para la consecución de tal fin se ha tratado de desarrollar persiguiendo dos objetivos. El primero de ellos es el de efectuar un desarrollo lo suficientemente extenso para permitir al estudioso seguir el proceso completo que lleva a la determinación de las fórmulas finales e incluso para que pueda extraer conocimientos que le permitan ampliar los resultados acá logrados. El segundo objetivo es el de expresar en forma práctica las fórmulas finales que permitan a quien necesite de su empleo, la determinación en forma rápida de los valores necesarios sin la obligación de haber estudiado el método en profundidad. El desarrollo que veremos en primer lugar persigue el primero de los objetivos. 1. Determinación de la deformada en una viga simplemente apoyada sometida a Momentos Flectores en sus extremos. Encontraremos la deformada en una viga simplemente apoyada de luz l y sometida a un momento flector MI en su apoyo izquierdo y a un momento flector MD en su apoyo derecho.
( )
( )
:obtenemos veces dos Integrando
x l
M - l -x
l
M JE
:elástica línea la de ldiferencia ecuación lay
x l
M x- l
l
M M
:será cualquiera x"" absisa una en momento Ell
M - M R
:a igual es que R reacción la obtenemos 0, M la Planteando
DI''
DIx
IDA
AA
⋅⋅=η⋅⋅
⋅+⋅=
=
=Σ
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) M 2 M J E 6
l- ; M M 2
J E 6
l
M M 2 6
l x M
2
x - M - M
l 6
x
J E
1
M M 2 6
l M x - M - M
l 2
x
J E
1
:forma otra en resadasexp
x 6
l
l 6
x-
J E
M x
3
l
2
x -
l 6
x
J E
M
6
l
l 2
x-
J E
M
3
l x -
l 2
x
J E
M
:obtenemos doreemplazan y
6
l M
3
l M C 0 l x para
0 C 0 0 x para
borde de scondicione Aplicando
C x C 6
x
l
M -
2
x M -
6
x
l
M JE
C 2
x
l
M - x M -
2
x
l
M JE
DI'BDI
'A
DII
2
DI
3
DIIDI
2'
3D
23I
2D
2I'
DI1
2
21
3D
2
I
3I
1
2D
I
2I'
⋅+⋅⋅⋅
=η+⋅⋅⋅⋅
=η
+⋅⋅
⋅+⋅⋅
⋅⋅
⋅=η
+⋅⋅+⋅⋅
⋅⋅
⋅=η
⋅+
⋅⋅
⋅+
⋅+
⋅⋅
⋅=η
+
⋅⋅
⋅+
+
⋅⋅
⋅=η
⋅+
⋅=⇒=η⇒=
=⇒=η⇒=
+⋅+⋅⋅⋅=η⋅⋅
+⋅⋅⋅=η⋅⋅
Habiendo hecho este análisis que luego nos servirá como herramienta de trabajo, trataremos a continuación el tema específico. 2. Cálculo de la línea de influencia del momento flector en un apoyo de una viga continua de tres tramos de sección constante. De acuerdo con la teoría general de las líneas de influencia sabemos que para encontrar la línea de influencia del momento flector en un apoyo de una viga continua debemos efectuar un corte en el apoyo en estudio, aplicarle allí una distorsión rotacional unitaria positiva y encontrar la deformada producida por ella; dicha deformada cambiada de signo, es la línea de influencia buscada.
Otra forma sería, después de efectuado el corte en el apoyo (o lo que es equivalente, colocar una articulación en la viga en coincidencia con ese apoyo), aplicar momentos unitarios en cada cara del corte y encontrar la deformada producida por ese estado de solicitaciones. Como el giro relativo ∆ϕ entre ambas secciones normalmente será distinto de 1 (uno), la deformada encontrada dividida por el ∆ϕ producido y cambiada de signo será la línea de influencia buscada y obviamente coincidirá con la hallada según el primer procedimiento descripto. Por razones de simplicidad seguiremos este último método. Supongamos la siguiente viga continua:
Y nos proponemos encontrar la línea de influencia de MB. De acuerdo a lo descripto hacemos:
y separando
Si analizamos esta segunda viga, en C aparecerá un momento MC cuyo valor lo podemos determinar aplicando la ecuación de los tres momentos.
( ) ( )32
2C32C2 l l 2
l 1 - M 0 l l M 2 l 1
+⋅⋅
=∴=+⋅⋅+⋅
Resumiendo tendremos:
Aplicando lo visto en 1. tendremos para el tramo AB.
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
- :será B apoyo el en El
3
l - x
l 2
x
l l 2
l
J E
1
l l 2
l 2
6
l -
l l 2
l x -
l l 2
l
l 2
x
J E
1
0 M ; l l 2
l 1- M
:tendremos CD tramo el arap y
l l 2
l - 2
6
l x
2
x -
l l 2
l 1
l 6
x
J E
1
l l 4
l - 1
J E 3
l B en giro el y
l l 2
l - 2
6
l x-
l l 2
l 1
l 2
x
J E
1
l l 2
l 1- M ; 1 M
:tendremos BC tramo el Para
l x l
x
J E 6
1
6
l x
l 6
x
J E
1
J E 3
l- B en giro ely
6
l
l 2
x
J E
1
1 M ; 0M
'B
'BB
3
3
2
32
2CD
32
23
32
2
32
2
3
2'CD
D32
2 I
32
222
32
2
2
3
BC
32
22'B
32
22
32
2
2
2'BC
32
2D I
11
31
1
3
AB
1'B
1
1
2'AB
D I
ABBC
AB
AB
ηη=ϕ∆ϕ∆
+
⋅−⋅
+⋅⋅
⋅=η
+⋅⋅
⋅+⋅
⋅+⋅
⋅⋅
−⋅⋅
=η
=+⋅
⋅=
+⋅
⋅⋅
+
+⋅
+⋅⋅
⋅⋅
=η
+⋅
⋅⋅⋅
=η
+⋅
⋅+
+⋅
+⋅⋅
−⋅⋅
=η
+⋅⋅
==
⋅+−⋅
⋅⋅=
⋅+
⋅−⋅
⋅=η
⋅⋅=η
+
⋅−⋅
⋅=η
==
( )
[ ]
( ) ( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]4
3
2
1
3
l
l l 4
l - 1
3
l G
:donde
l x2 x3 - l
x
l l 2
l
G6
1 L.I.M
CD tramo el para
l l 2
l - 2 l x x3
l l 2
l 1
l
x
G6
1 L.I.M
BC tramo el para
l x- l
x
G6
1 L.I.M
ABtramo el para que decir podemos iaconsecuenc En
JE3
l
l l 4
l - 1
J E 3
l
1
32
22B
32
3
3
32
2
B
CDB
32
22
2
32
2
2
3
B
BCB
11
3
B
ABB
1
32
22B
⋅
+⋅
⋅=
⋅⋅+⋅⋅
+⋅⋅
⋅=
+⋅
⋅⋅+⋅+
+⋅
+⋅−⋅⋅
=
⋅⋅
⋅=
⋅⋅+
+⋅
⋅⋅⋅
=ϕ∆
con x medido a partir del apoyo izquierdo de cada tramo. Siguiendo el mismo procedimiento encontraremos ahora la línea de influencia de MC. Hacemos:
y separando
en B aparecerá un momento MB que será:
( ) ( )21
2B21B2 l l 2
l 1 - M 0 l l M 2 l 1
+⋅⋅
=∴=+⋅⋅+⋅
por lo tanto podemos hacer:
Para el tramo AB, aplicando lo visto en 1. tendremos:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 2 l l 2
l
J E 6
l- C en giro el y
1 l l 2
l
6
lx
l l 2
l
2
x 1 -
l l 2
l
l 6
x
J E
1
1 - l l
l
6
l
l l 2
lx 1 -
l l 2
l
l 2
x
J E
1
1 M ; l l 2
l 1- M
BC tramo el Para
l x - l
x
l l 2
l
J E6
1
l l 2
l
6
l x -
l l 2
l
l 6
x
J E
1
6
l -
l 2
x
l l 2
l
J E
1
l l 2
l
6
l -
l l 2
l
l 2
x
J E
1
l l 2
l 1- M ; 1 M
21
22'C
21
22
21
22
21
2
2
3
BC
21
22
21
2
21
2
2
2'BC
D21
2 I
11
3
21
2
21
21
21
2
1
3
AB
1
1
2
21
2
21
21
21
2
1
2'AB
21
2D I
BC
+
+⋅⋅
⋅⋅=η
+
+⋅−⋅
⋅+
+⋅⋅+
+⋅
−⋅⋅
⋅⋅
=η
+
−⋅++⋅
⋅+
+⋅
−⋅⋅
⋅⋅
=η
=+⋅
⋅=
⋅⋅
+⋅⋅
⋅⋅=
+⋅⋅
⋅+⋅
⋅⋅
⋅⋅
=η
⋅
⋅⋅
+⋅⋅
⋅=
+⋅⋅
+⋅⋅
⋅⋅
⋅=η
+⋅⋅
==
( )
( ) [ ]
( ) ( ) ( ) [ ]
[ ]
( ) [ ]8
7
6
5
l l 4
l - 1
3
l
3
l G
:donde
l x2 x3 - l
x
G6
1 L.I.M
CD tramo el para
l l
l - 1 l x
l l 2
l x3
l l 2
l 1
l
x
G6
1- L.I.M
BC tramo el para
l x- l
x
l l 2
l
G6
1 - L.I.M
ABtramo el para que decir podemos iaconsecuenc En
l l 4
l - 1
J E 3
l
JE3
l
- :será C apoyo el en El
J E 3
l C en giro el y
3
lx
2
x -
l 6
x
J E
1
3
l x -
l 2
x
J E
1
0 M ; 1 M
CD tramo el Para
21
223C
32
3
3
C
CDC
21
22
21
22
21
2
2
3
C
BCC
11
3
21
2
C
ABC
21
223C
'C
'CC
3'C
32
3
3
AB
3
3
2'CD
D I
BCCD
BC
+⋅
⋅+=
⋅⋅+⋅⋅
⋅=
+
⋅⋅++⋅
⋅⋅+
+⋅
+⋅−⋅⋅
=
⋅⋅
+⋅⋅
⋅=
+⋅
⋅⋅⋅
+⋅⋅
=ϕ∆
ηη=ϕ∆ϕ∆
⋅⋅=η
⋅+
⋅⋅
⋅=η
+
⋅⋅
⋅=η
==
3. Cálculo de la línea de influencia del Momento Flector y del Esfuerzo de Corte en una sección cualquiera de una viga continua de tres tramos de sección constante. Para determinar la línea de influencia de estas solicitaciones en una sección cualquiera, podríamos seguir el método de la Teoría General de las líneas de Influencia. Otra forma de obtenerlas es partiendo del conocimiento de las líneas de influencia de los momentos de apoyos, procedimiento que resulta más práctico y que nosotros emplearemos. Debemos distinguir tres casos, según que la sección en estudio se encuentre en el primer, segundo o tercer tramo de la viga. Primer Caso: Sección en el primer tramo. Supongamos querer encontrar la L.I.MS1 y L.I.TS1, en una sección ubicada en el primer tramo de la viga.
Cuando la carga recorre el primer tramo tendremos:
( )
1
B
11
1o
l
M A
l
x - 1
l
x- l 1 A
=∆
=⋅=
( ) [ ]
[ ]10
9
x x para válida ; xl
x - 1 x
l
M M
x x para válida ; x- x 1 - xl
x - 1 x
l
M M
ss1
s1
BABS1
sss1
s1
BABS1
≥⋅
+⋅=
≤⋅⋅
+⋅=
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]14
13
12
11
l
M T
xl
M M
:tendremos tramo tercer ó segundo el recorre carga la Cuando
x x para válida ; l
x - 1
l
M T
x x para válida ; 1 - l
x - 1
l
M T
1
BCD-BCS1
s1
BCD-BCS1
s11
BABS1
s11
BABS1
=
⋅=
>
+=
<
+=
Segundo Caso: Sección en el segundo tramo.
Cuando la carga recorre el segundo tramo tendremos:
( )
2
BC
22
2o
l
M - M A
l
x - 1
l
x- l 1 A
=∆
=⋅=
( ) [ ]
[ ]16
15
x x para válida ; xl
x - 1 x
l
M - M M M
x x para válida ; x- x 1 - xl
x - 1 x
l
M - M M M
ss2
s2
BCB
BCS2
sss2
s2
BCB
BCS2
≤⋅
+⋅+=
≤⋅⋅
+⋅+=
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]20
19
18
17
l
M - M T
M xl
M - M M
:tendremos tramo tercer ó primero el recorre carga la Cuando
x x para válida ; l
x - 1
l
M - M T
x x para válida ; 1 - l
x - 1
l
M - M T
2
BCCD-ABS2
Bs2
BCCD-ABS2
s22
BCBCS2
s22
BCBCS2
=
+⋅=
>
+=
<
+=
Tercer Caso: Sección en el tercer tramo.
Cuando la carga recorre el tercer tramo tendremos:
( )
3
C
33
3o
l
M- A
l
x - 1
l
x- l 1 A
=∆
=⋅=
( ) [ ]
[ ]22
21
x x para válida ; xl
x - 1 x
l
M - M M
x x para válida ; x- x 1 - xl
x - 1 x
l
M - M M
ss3
s3
CC
CDS3
sss3
s3
CC
CDS3
≥⋅
+⋅=
≤⋅⋅
+⋅=
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]26
25
24
23
l
M- T
xl
M - M M
:tendremos tramo segundo ó primero el recorre carga la Cuando
x x para válida ; l
x - 1
l
M- T
x x para válida ; 1 - l
x - 1
l
M- T
3
CBC-ABS3
s3
CC
BC-ABS3
s33
CCDS3
s33
CCDS3
=
⋅=
>
+=
<
+=
4. Adaptación práctica de las fórmulas para el cálculo. Supongamos dividir cada uno de los tramos de la viga continua en “m” partes iguales.
Definimos las sucesivas posiciones de la carga sobre la viga con l m
nx ⋅= i , siendo “li “ la luz
del tramo considerado y “n” variable de 0 (cero) a m. La [1] quedará:
[ ]
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) [ ]2'
2
1'
l l 2
l - 2 -
m
n3
l l 2
l 1
m
n - l
m
n
G 6
1
l l 2
l - 2 l l
m
n - l
m
n3
l l 2
l 1
l
l
m
n -
G 6
1 L.I.M
: La
1 - m
n
m
n
G 6
l l l
m
n -
l
l
m
n
G 6
1 L.I.M
32
2
32
22
222
B
32
222
222
2
32
2
2
32
3
3
B
BCB
2
2
B
21
111
31
3
3
B
ABB
+⋅
⋅+
+⋅
+⋅⋅⋅⋅⋅
=
=
+⋅
⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅
+⋅
⋅⋅
⋅=
⋅⋅
⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅=
[ ]
( )
( ) [ ]3'
3
2 m
n3 -
m
n l
m
n
l l 2
l
G 6
1
l l 3 l m
n3 -
l
l
m
n
l l 2
l
G 6
1 L.I.M
: La
2
223
32
2
B
33232
2
3
33
3
3
32
2
B
CDB
+⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅
⋅=
=
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅
⋅=
[ ]
( ) ( ) [ ]
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ]
[ ]
[ ]7'
7
6'
6
5'
5
2 m
n3 -
m
n l
m
n
G 6
1 - l l
m
n2 l
m
n3 -
l
l
m
n
G 6
1- L.I.M
: La
l l
l - 1
l l 2
l
m
n3
l l 2
l 1
m
n - l
m
n
G 6
1-
l l
l - 1 l l
m
n
l l 2
l l
m
n3
l l 2
l 1
l
l
m
n -
G 6
1- L.I.M
: La
1 - m
n l
m
n
l l 2
l
G 6
1- l l
m
n -
l
l
m
n
l l 2
l
G 6
1- L.I.M
: La
2
223
C33
232
2
3
33
3
3
C
CDC
21
2
21
2
21
22
222
C
21
222
21
2222
2
21
2
2
32
3
3
C
BCC
2
221
21
2
C11
1
31
3
3
21
2
C
ABC
+⋅⋅⋅⋅
⋅=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅
⋅=
+
++⋅
⋅⋅+
+⋅
+⋅⋅⋅⋅⋅
=
=
+
⋅⋅⋅++⋅
⋅⋅⋅+
+⋅
+⋅
⋅⋅
⋅=
⋅⋅⋅
+⋅⋅
⋅=
⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅
⋅=
y operando sobre las [9] a [26] tendremos:
[ ]
[ ]
s
1
ABB
sssABB
1
sABS
s
11
ABB
s1sssABB
1
sABS
x x para válida
m
n - 1
l
L.I.M x
m
n x- x L.I.M
l
x M.I..L
x x para válida
l m
n
m
n -
l
L.I.M x l
m
n x-
m
n x- x L.I.M
l
x M.I..L
1
1
≥
+⋅=⋅+⋅=
≤
⋅+
⋅=⋅+⋅+⋅=
10'
9'
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]14'
13'
12'
11'
l
L.I.M T.I..L
xL.I.M M.I..L
x xpara válida ; m
n - 1
l
L.I.M T.I..L
x xpara válida ; m
n -
l
L.I.M T.I..L
1
CD-BCBCDBC
S
sCD-BC
BCDBC
S
s1
ABBAB
S
s1
ABBAB
S
1
1
1
1
=
⋅=
>+=
<=
−
−
[ ]
[ ]16'
15'
x x para válida ; L.I.M x m
n -1
l
L.I.M - L.I.M
xm
n- x x
l
L.I.M - L.I.M L.I.M M.I..L
x x para válida ; l m
n L.I.M x
m
n -
l
L.I.M - L.I.M
l m
n x- x
m
n- x x
l
L.I.M - L.I.M L.I.M M.I..L
sBCBs
2
BCB
BCC
sss2
BCB
BCCBC
BBCS
s2BCBs
2
BCB
BCC
2ssss2
BCB
BCCBC
BBCS
2
2
≥+⋅
+=
=⋅+⋅+=
≤⋅++⋅
=
=⋅+⋅+⋅+=
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]20'
19'
18'
17'
l
L.I.M - L.I.M T.I..L
L.I.M xl
L.I.M - L.I.M M.I..L
x xpara válida ; m
n - 1
l
L.I.M - L.I.M T.I..L
x xpara válida ; m
n -
l
L.I.M - L.I.M T.I..L
2
CD-ABB
CD-ABCCDAB
S
CD-ABBs
2
CD-ABB
CD-ABCCDAB
S
s2
BCB
BCCBC
S
s2
BCB
BCCBC
S
2
2
2
2
=
+⋅=
>+=
<=
−
−
[ ]21' x x para válida ; l m
n L.I.M x
m
n -
l
L.I.M
xm
n- x x
l
L.I.M - L.I.M M.I..L
s3CDCs
3
CDC
sss3
CDCCD
CCDS3
≤⋅++⋅
=
=⋅+⋅=
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]26'
25'
24'
23'
22'
x x para válida ; l
L.I.M- T.I..L
x x para válida ; l
x - 1L.I.M M.I..L
x x para válida ; m
n-1
l
L.I.M - T.I..L
x x para válida ; m
n-
l
L.I.M - T.I..L
x x para válida ; L.I.M x m
n -1
l
L.I.M
xm
n- x x
l
L.I.M - L.I.M M.I..L
s3
BC-ABCBCAB
S
s3
sBC-ABC
BCABS
s3
CDCCD
S
s3
CDCCD
S
sCDCs
3
CDC
sss3
CDCCD
CCDS
3
3
3
3
3
<=
<
⋅=
>+=
<=
≥+⋅
+−=
=⋅+⋅=
−
−
Hagamos ahora:
( ) ( )
[ ]
[ ]
m
3 L ;
m
A 1- K ;
m
B 1- J ;
m
1 I
mG6
l- H ;
mG6
Bl G ;
mG6
l F
mG6
l E ; l A
mG6
1- D ;
mG6
l C
3
l
2
A - 1
3
l G : de y
3
l
2
B - 1
3
l G :obtenemos de
l l2
l B ;
l l2
l A
222
C
23
B
23
C
22
B
222
1CB
21
32C
12B
32
2
21
2
=+
=+
==
⋅⋅=
⋅⋅⋅
=⋅⋅
=
⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅=
+
⋅=
+
⋅=
+⋅=
+⋅=
8
4
m
A3 P ; 1 -A 2 N ; 2 - B M
⋅=⋅==
Tendremos reemplazando en las [1’] a [7’]
( ) [ ]
( ) ( ) ( ) [ ]
( ) [ ]3"
2"
1"
2 nL - nInG 2 m
n3 -
m
nnG M.I.L
M nL nJ nE B - 2 - m
n3 B 1
m
nnE M.I.L
1 - nInC 1 - m
nnC M.I.L
22
2CDB
22
2BCB
22
2ABB
+⋅⋅⋅⋅=
+⋅⋅⋅=
+⋅+⋅⋅⋅=
⋅++⋅−⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
( ) [ ]
( ) ( ) ( ) [ ]
( ) [ ]7"
6"
5"
2 nL - nInH 2 m
n3 -
m
nnH M.I.L
N - nP nK nF A2 - 1 A m
n3 A 1
m
nnF M.I.L
1 - nInD 1 - m
nnD M.I.L
22
2CDC
22
2BCC
22
2ABC
+⋅⋅⋅⋅=
+⋅⋅⋅=
⋅+⋅⋅⋅=
⋅+⋅⋅++⋅−⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
5. Forma de proceder. Para encontrar la Línea de Influencia del Momento Flector y Esfuerzo de Corte en una sección de una viga continua dada, procederemos de la siguiente forma. Son conocidos l1, l2 y l3 y la absisa xs de la sección que vamos a estudiar. Fijamos un valor de m teniendo en cuenta la cantidad de valores que queremos obtener de la línea de influencia para cada tramo. Determinamos con esos datos los valores de A, B, C, ……., P. Luego con la [1”], [2”], [3”], [5”], [6”] y [7”] haciendo variar n entre 0 (cero) y m obtenemos las líneas de influencia de los momentos de los apoyos y con las [9’] a [26’] completamos el estudio. Como puede apreciarse estas fórmulas pueden ser resueltas directamente a través de programas para computadoras personales (por ejemplo Excel). 6. Ejemplo práctico. Sea la siguiente viga continua.
de la cual nos proponemos encontrar la línea de influencia del momento flector y del esfuerzo de corte en la sección indicada en la fugura. Adoptamos m = 10. Determinamos los valores de A, B, ……., P. A = 0,3214285 B = 0,3214285 C = 0,1991465 D = -0,0640113 E = 0,6452346 F = -0,6452346 G = 0,0640113 H = -0,1991465 I = 0,01 J = -0,0132142 K = -0,0132142 L = 0,3 M = -1,678571 N = -0,357143 P = 0,0964285 Encontraremos primero L.I.MB y L.I.MC, con los valores recién calculados y haciendo variar n de 0 (cero) a 10 en cada tramo y luego hallamos L.I.MS y L.I.TS. Los valores se encuentran en la tabla de la página siguiente y luego se presentan las gráficas de las líneas de influencia buscadas. El usuario podrá verificar estos datos y obtener gráfica y analíticamente las líneas de influencia de Ms y Ts para cualquier sección de una viga continua de hasta diez tramos
mediante la utilización de la planilla de cálculo que se adjunta.
Posición de la carga Fórmula Fórmula Fórmula Fórmula Tramo Sección
n utilizada
MB utilizada
MC utilizada
Ms utilizada
Ts
0 0 [1"] 0,0000 [5"] 0,0000 [19"] 0,0000 [20"] 0,0000 1 1 [1"] -0,1972 [5"] 0,0634 [19"] -0,1190 [20"] 0,0145 2 2 [1"] -0,3824 [5"] 0,1229 [19"] -0,2308 [20"] 0,0285 3 3 [1"] -0,5437 [5"] 0,1748 [19"] -0,3282 [20"] 0,0399 4 4 [1"] -0,6691 [5"] 0,2151 [19"] -0,4038 [20"] 0,0491 5 5 [1"] -0,7468 [5"] 0,2400 [19"] -0,4508 [20"] 0,0548 6 6 [1"] -0,7647 [5"] 0,2458 [19"] -0,4616 [20"] 0,0561 7 7 [1"] -0,7110 [5"] 0,2285 [19"] -0,4292 [20"] 0,0522 8 8 [1"] -0,5735 [5"] 0,1844 [19"] -0,3461 [20"] 0,0421 9 9 [1"] -0,3405 [5"] 0,1095 [19"] -0,2055 [20"] 0,0250
1
10 10 [1"] 0,0000 [5"] 0,0000 [19"] 0,0000 [20"] 0,0000 0 0 [2"] 0,0000 [6"] 0,0000 [15"] 0,0000 [17"] 0,0000 1 1 [2"] -0,8980 [6"] -0,2841 [15"] 0,5462 [17"] -0,0659 2 2 [2"] -1,4601 [6"] -0,6415 [15"] 1,3055 [17"] -0,1545 3 3 [2"] -1,7373 [6"] -1,0211 [15"] ó[16"] 2,2036 [17"] -0,2602 [18"] 0,7398 4 4 [2"] -1,7808 [6"] -1,3716 [16"] 1,5820 [18"] 0,6227 5 5 [2"] -1,6419 [6"] -1,6419 [16"] 1,0581 [18"] 0,5000 6 6 [2"] -1,3716 [6"] -1,7808 [16"] 0,6656 [18"] 0,3373 7 7 [2"] -1,0211 [6"] -1,7373 [16"] 0,3840 [18"] 0,2602 8 8 [2"] -0,6415 [6"] -1,4601 [16"] 0,1929 [18"] 0,1545 9 9 [2"] -0,2841 [6"] -0,8980 [16"] 0,0717 [18"] 0,0659
2
10 10 [2"] 0,0000 [6"] 0,0000 [16"] 0,0000 [18"] 0,0000 0 0 [3"] 0,0000 [7"] 0,0000 [19"] 0,0000 [20"] 0,0000 1 1 [3"] 0,1095 [7"] -0,3405 [19"] -0,0255 [20"] -0,0250 2 2 [3"] 0,1844 [7"] -0,5735 [19"] -0,0430 [20"] -0,0421 3 3 [3"] 0,2285 [7"] -0,7110 [19"] -0,0534 [20"] -0,0522 4 4 [3"] 0,2458 [7"] -0,7647 [19"] -0,0574 [20"] -0,0561 5 5 [3"] 0,2400 [7"] -0,7468 [19"] -0,0560 [20"] -0,0548 6 6 [3"] 0,2151 [7"] -0,6691 [19"] -0,0502 [20"] -0,0491 7 7 [3"] 0,1748 [7"] -0,5437 [19"] -0,0408 [20"] -0,0399 8 8 [3"] 0,1229 [7"] -0,3824 [19"] -0,0287 [20"] -0,0281 9 9 [3"] 0,0634 [7"] -0,1972 [19"] -0,0148 [20"] -0,0145
3
10 10 [3"] 0,0000 [7"] 0,0000 [19"] 0,0000 [20"] 0,0000
x [m]
MB
[tm
]
Línea de influencia de MB para una carga móvil P=1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38-2
-1,75-1,5
-1,25-1
-0,75-0,5
-0,250
0,250,5
x [m]
MC
[tm
]
Línea de influencia de MC para una carga móvil P=1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38-2
-1,75-1,5
-1,25-1
-0,75-0,5
-0,250
0,250,5
x [m]
Ms
[tm
]
Línea de influencia de Ms para una carga móvil P=1Sección "s" ubicada a x=15.4 m del apoyo extremo izquierdo
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
11,11,21,31,41,51,61,71,81,9
22,12,22,3
x [m]
Ts
[tm
]
Línea de influencia de Ts para una carga móvil P=1Sección "s" ubicada a x=15.4 m del apoyo extremo izquierdo
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38-0,32-0,28-0,24
-0,2-0,16-0,12-0,08-0,04
00,040,080,120,16
0,20,240,280,320,36
0,40,440,480,520,56
0,60,640,680,720,76
0,8