Date post: | 09-Aug-2015 |
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UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRESFACULTAD DE MEDICINA HUMANA
LIMITE DE UNA FUNCIONMATEMATICA APLICADA A LA
MEDICINA2015
IDEA DEL LIMITE DE UNA FUNCION
Ejemplo 1: Veamos el comportamiento de la función f poniendo en una tabla algunos de sus valores. Observamos que a medida que el valor de x crece, el valor f(x) disminuye y al parecer se acerca al valor 1. Con una calculadora, evaluemos f(x) para valores muy grandes de x, y notaremos que el valor será prácticamente 1.
x f(x)
1 2
2 1,5
3 1,33….
4 1,250
5 1,2
10 1,1
15 1,06….
20 1,05
30 1,033..
50 1, 02
LIMITE DE UNA FUNCION El limite de una función (f) cuando x tiende a x₀
es el numero real L, y se representa por : = L , si para cada ε > 0, existe un δ > 0, Si se cumple que x є Df se cumple: 0 <|x-x₀|< δ y se verifica: |f(x)- L|< ε
L + ε L
L – ε
x₀- δ x₀ x₀+δ
𝛿𝛿
𝜀𝜀
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Observaciones 1. El lımite f(x) puede o no existir. Si el lımite existe, esto es, L es finito se dice que f(x) converge a L, si no existe, se dice que f(x) diverge cuando x tiende a .
2. El hecho que f(x) = L , significa que f(x) puede tomar valores arbitrariamente cercanos a L siempre que x este suficientemente cerca de .3. Es conveniente tener en cuenta que se ha dicho que x esta cercano a , pero no es igual a , de hecho, no necesariamente pertenece al dominio de la función f. (Matematica en la Salud - Veronica Poblete Oviedo)
LIMITE DE UNA FUNCIÓN1) Calcular el limite de f(х)= 2x² - 3x +1,cuando x
tiende a 2. Solución
= 2(2)² -3(2)+1 = 8 – 6 + 1 = 3
LIMITE DE UNA FUNCIÓN TEOREMAS PRINCIPALES DE LIMITES: Sean “n” un numero positivo, “K” una constante,
y f y g funciones con limites en “c”. Entonces: a)
b) c)
d)
e)
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
f)
g)
h)
i) ;
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Ejercicios de Aplicación: 1. Hallar el
Solución
= 4 = 4 = 4 [-2]³
= 4. (-8)
= - 32
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
2. Hallar el Solución =
= = 3[3]³ - 5.3
= 81 – 15
= 66
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
3. Hallar el
Solución
= =
= =
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
4. Hallar el Solución
+4]= 12
LIMITES LATERALES
LIMITES LATERALESComo se hizo notar en la observación un lımite puede o no existir. En esta sección estudiaremos un importante criterio que nos permite concluir al respecto. Para introducir el tema, veamos el siguiente
Consideremos la función f(x) = , x 0. Nos preguntamos . ¿Existe Como |x| = x para x 0 y |x| = −x para x 0 , La siguiente figura muestra la grafica de f,
1
- 1
LIMITE LATERAL DERECHO
Sea f : A ⊂ R → R una función y ∈ R. Diremos que el lımite de f(x) cuando x tiende a por la derecha es L, si para todo ε > 0 existe δ > 0, tal que para x ∈ A con 0 < x− < δ se tiene que |f(x) − L| < ε. Notación: f(x) = L, se lee el lımite de f(x) cuando x tiende a por la derecha es L.
L
LIMITE LATERAL IZQUIERDO
Sea f : A R → R una función y R. Diremos que ⊂ ∈ el lımite de f(x) cuando x tiende a por la izquierda es M,
si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para x A con ∈ 0 < c − x < δ se tiene que :|f(x) −M| < ε.
Notacion: f(x) = M, se lee el lımite de f(x) cuando x
tiende a por la izquierda es M.
M
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Dados estos conceptos, podemos establecer el siguiente criterio de convergencia de lımites. Existe f(x) si y solo si existen f(x) = f(x)
L=M
LIMITES INFINITOS
Definición: El límite de f(x) es infinito (positivo o negativo) cuando x tiende a , y escribimos:
si podemos incrementar (o disminuir) indefinidamente los valores de f(x), aproximando x a , pero sin que x llegue a ser igual a .
asíntota
LIMITES INFINITOS POR LA IZQUIERDA
Definición: El límite de f(x) es infinito (positivo o negativo)
cuando x tiende a , y escribimos: si podemos incrementar (o disminuir)
indefinidamente los valores de f(x), aproximando x a , siendo x menor que .
LIMITES INFINITOS POR LA DERECHA
Definición: El límite de f(x) es infinito (positivo o negativo)
cuando x tiende a , y escribimos: si podemos incrementar (o disminuir)
indefinidamente los valores de f(x), aproximando x a , siendo x mayor que .
LIMITES INFINITOS
Hallar el:
a)
b)
3
LIMITES INFINITOS
Hallar los siguientes limites:
a)
b)
Solución
Evaluamos a Evaluamos b
3x f(x)
2 -2
1 -1
0 -0,66
-1 -0,5
-2 -0,25
x f (x)
4 2
5 1
6 0,66..
9 0,33..
10 0,285
LIMITE AL INFINITO POR LA IZQUIERDA
Definición: Sea f una función definida en un intervalo Entonces: Indica que podemos acercar tanto como queramos los valores de f(x) a L, disminuyendo los valores de x indefinidamente.
L
a
LÍMITE AL INFINITO POR LA DERECHA:
Definición Sea f una función definida en un intervalo . Entonces: Indica que podemos acercar tanto como queramos los valores de f(x) a L, aumentando los valores de x indefinidamente.
L
a
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Hallar el
Solución: =
Hallar el: Solución:
= =
= 3
LIMITE AL INFINITO
Problema de aplicación:El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la función que representa la cantidad de personas que adquieren la enfermedad en un tiempo t medido en semanas.¿Cuantas personas están contagiadas al comienzo de la epidemia? ¿Que nos indica el valor ?
LIMITE INDETERMINADOS
FORMAS INDETERMINADAS
Forma: ; para levantar esta indeterminación
tendremos en cuenta lo siguiente:
a) Si: [f₍x₎]°< [g₍x₎]° = 0
b) Si: [f₍x₎]°= [g₍x₎]° =
c) Si: [f₍x₎]° > [g₍x₎]° = ∞
LIMITE INDETERMINADOS
Ejemplo: Calcular:Solución
[f₍x₎]°< [g₍x₎]°
= 0
LIMITE INDETERMINADOS
Forma: ; esta forma de indeterminación se levanta factorizando numerador y denominador para poder
cancelar los factores que generan la indeterminación.
Calcular:
Solución:
= 3
LIMITE INDETERMINADOS
Forma: (∞ - ∞) o ( 0 x∞); para levantar este tipo de indeterminación se procede a efectuar las operaciones indicadas lo cual nos lleva a las formas ya estudiadas y aplicamos las reglas
correspondientes en cada caso. Hallar el Solución
= ∞ - ∞
LIMITE INDETERMINADOS
LIMITE DE UNA FUNCIÓNEjercicios :Hallar los limites de los siguientes ejercicios:
1.
2.
3.
4.
5.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
Definición: Una función f es continua en a si:
Esta definición se describe más propiamente con estas tres condiciones:
1) Que f(a) esté definida.
2) Que exista
3) Que se cumpla
CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
Es continua la función en 2:
2
2