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Dr. Pedro Vásquez
UPRM
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Valores máximos y mínimos
Las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial se dan en losproblemas de optimización, en los cuales se desea obtener lo óptimo (lomejor) de algo. Por ejemplo, podemos mencionar:
1 Minimizar los costos de una compañía que produce un ciertoproducto.
2 Maximizar las ganancias de una empresa.3 Determinar la máxima aceleración de una nave espacial.
Los problemas anteriores se reducen a determinar los valores máximos ymínimos de una función.
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Observe la siguiente gráfica:
El punto más alto de la gráfica es(3,5), es decir el valor más grande
de f es f (3) = 5El punto más bajo de la gráfica es(6,2), es decir el valor más pequeño
de f es f (6) = 2
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Definición: Sea c un número en el dominio D de una función f . Entoncesf (c) es el:
valor máximo absoluto de f en D si f (c) ≥ f (x) para todo x en D.valor mínimo absoluto de f en D si f (c) ≤ f (x) para todo x en D.
f (a) es un mínimo absolutof (d) es un máximo absoluto
Nota: Los máximos omínimos absolutostambién se les llamamáximos o mínimos
globales
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En general, si se consideran intervalos que contienen a ciertos números deldominio se puede determinar máximos o mínimos en dichos intervalos.Por ejemplo, en la gráfica anterior, si se construye un intervalo alrededorde b se puede concluir que f (b) es el mayor valor en dicho intervalo, esese caso se dice que existe un máximo local.Similarmente, si se construye un intervalo alrerdedor de a se puede concluirque f (a) es el menor valor en dicho intervalo, es ese caso se dice queexiste un mínimo local.
Lo anterior nos lleva a la siguiente definición:Definición: El número f (c) es un:
valor máximo local de f si f (c) ≥ f (x) cuando x está cerca de c .valor mínimo local de f si f (c) ≥ f (x) cuando x está cerca de c .
De la gráfica anterior, podmeos decir que f posee mínimos locales en c ye, y máximos locales en b y d .
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Ejemplos1. En la siguiente gráfica, para cada número a, b, c , d , r y s, determine sila gráfica posee un mínimo o máximo local y absoluto o ninguno de ellos.
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2. En la siguiente gráfica, determine los valores máximos o mínimosabsolutos de la función g (x).
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3. Trace la gráfica de una función f continua en [1, 5] y que satisface:tiene un máximo absoluto en 5, un mínimo absoluto en 2, máximo local en3 y mínimos locales en 2 y 4.
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
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4. Trace la gráfica de la función f (x) = sin x , 0 ≤ x < p2 e identifique los
valores máximos y mínimos absolutos y locales de f
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
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5. Trace la gráfica de la función f (x) =!4− x2 si −2 ≤ x < 02x − 1 si 0 ≤ x ≤ 2 e
identifique los valores máximos y mínimos absolutos y locales de f
−3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
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Se han discutido ejemplos de funciones donde algunas tienen valoresextremos y otras no. El siguiente teorema da algunas condiciones paraque una función posea valores extremos:
Theorem
(Teorema del valor extremo) Si f es una función continua en un intervalocerrado [a, b] , entonces f tiene un valor máximo absoluto f (c) y un valormínimo absoluto f (d) en algunos números c y d en [a, b] .
Los diferentes casos del teorema del valor extremo se ilustran en lasiguiente gráfica:
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El teorema del valor intermedio indica que una función continua en unintervalo cerrado tiene un máximo y un mínimo absoluto, sin embargo nonos indica como hallarlos. Por ejemplo observe la siguiente gráfica:
La función f tiene un mínimo localen d y un máximo local en c .Observe que en los puntos demáximos o mínimos las
rectas tangentes parecen tenerpendiente 0, es decir:f 0 (c) = 0, f 0 (d) = 0
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El siguiente teorema, confirma las observaciones anteriores:
Theorem
(Fermat) Si f tiene un máximo o mínimo local en c, y f 0 (c) existe,entonces f 0 (c) = 0.
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Definición: Un número crítico de una función f es un número c en eldominio de f tal que f 0 (c) = 0 ó f 0 (c) no existe.
6. Halle los número críticos de:a. f (x) = x3 + 6x2 − 15x
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b. f (p) =p − 1p2 + 4
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c. f (x) = x−2 ln x
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Nota: Si f tiene un máximo o mínimo local en c , entonces c es unnúmero crítico de f .
Para hallar los máximos y mínimos absolutos de una función continua enun intervalo cerrado, se observó en los ejemplos, que es un extremo local(en este caso ocurre en un número crítico) u ocurre en un extremo delintervalo. Se sugiere considerar los siguientes pasos para hallar losmáximos y mínimos absolutos de una función continua en un intervalocerrado [a, b]:
1 Halle los valores de f en los números críticos de f en (a, b) .2 Halle los valores de f en los extremos del intervalo.3 El mayor de los valores en los pasos 1 y 2 es el valor máximo absolutoy el menor de los valores es el valor mínimo absoluto.
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7. Halle los valores máximos y mínimos absolutos de f en el intervalo dado:a. f (x) = 5+ 54x − 2x3, [0, 4]
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b. f (x) = x +1x, [0.2, 4]
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c. f (t) = t + cos (t/2) , [p/4, 7p/4]
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d. f (x) = x − ln x3," 12 , 2#
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8. Un objeto con peso W es arrastrado sobre un plano horizontal por unafuerza que actúa sobre una soga atada al objeto. Si la soga hace unángulo q con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es:
F =µW
µ sin q + cos q
donde µ es una constante positiva llamada el coeficiente de fricción ydonde 0 ≤ q ≤ p/2. Demuestre que F alcanza su mínimo cuandotan q = µ.
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