MATE 3032
Dr. Pedro Vásquez
UPRM
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Derivadas e integrales de funciones vectoriales
La derivada de una función vectorial r, es una función r0 definifa por
drdt=r0 (t) = lim
h!0
r (t + h)− r (t)h
Si el límite existe. El significado geométrico se puede apreciar en lasiguiente figura:
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La recta tangente a la curva C en el punto P es la recta que pasa por P yes paralela al vector tangente r0 (t) .El vector tangente unitario se define por:
T(t) =r0 (t)|r0 (t)|
El siguiente teorema presenta un método fácil para calculuar la derivada deuna función vectorial r(t) :
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Ejemplo1. r(t) =
⟨t2, t3
⟩, t = 1
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2. Halle la derivada de:a. r(t) =
⟨pt − 2, 3, 1/t2
⟩
b. r(t) =D
11+t ,
t1+t ,
t21+t
E
c. r(t) = a+tb+t2c
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Reglas de diferenciación
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3. Halle el VTU de: r(t) =⟨sin2 t, cos2 t, tan2 t
⟩, t = p/4
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4. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva:x = t2 + 1, y = 4
pt, z = et
2−t ; en el punto (2, 4, 1)
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La integral definida de una función vectorial continua r(t) se puede definirde manera similar a como se define la integral definida de una función devalor real. Si la integral de r(t) se expresa en términos de las funcionescomponentes f , g y h de la siguiente manera:
y
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Por el teorema fundamental del cálculo se tiene:
donde R es una antiderivada de r, esto es: R0(t) = r(t).La notación
Rr(t)dt se usa para integrales definidas.
5. Evalúe:R 10
(11+t i+
11+t2 j+
t1+t2 k
)dt
6. Evalúe:Z p/4
0
(sec t tan ti+ t cos 2tj+ sin2 2t cos 2tk
)dt
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7. Halle r(t) si r0(t) = ti+ et j+ tetk y r(0) = i+ j+ k
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