MATEMÁTICA I
Sesión 01: OPERACIONES COMBINADAS I
Profesor: Christiam Huertas
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Conjuntos numéricos
La noción de número es tan antigua como el hombre
mismo, ya que son necesarios para resolver situacio-
nes de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números
para contar una determinada cantidad de elementos
(existen siete notas musicales, 8 planetas, etc.), para
establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mes
del año, el cuarto hijo, etc.), para establecer medidas
(1,7 metros, 64 kg, C, etc.), etc.
Los conjuntos numéricos son conjuntos infinitos que
tienen características específicas. Los más importantes
son:
1 Conjunto de los números naturales
Surgieron de la necesidad del ser humano de contar
objetos. Se denota mediante el símbolo y está
formado por:
* +
Los tres puntos al final, llamados puntos suspensivos,
indican que el conjunto continúa de la misma manera.
Es claro que la suma y el producto de dos números
naturales es un número natural. En símbolos:
Si entonces y
Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números
naturales es un número natural. Por ejemplo:
y , pero
Para solucionar el problema de la resta, se crean los
números negativos , , , entre otros, como
opuestos de los números naturales. Además se
incorpora el cero para dar solución a la resta de un
número consigo mismo.
2 Conjunto de los números enteros
Se denota mediante el símbolo y está formado por:
* +
Este conjunto se subdivide a la vez:
2.1 Conjunto de números enteros positivos
Se denota por y está formado por los números
enteros positivos.
* +
2.2 Conjunto de números enteros negativos
Se denota por y está formado por los números
enteros negativos.
* +
Representación de los números enteros en la recta numérica
3 Conjunto de los números racionales
Está constituido por todas las fracciones de enteros,
con denominador distinto de 0. Se le representa
mediante el símbolo y se define como:
{
}
Todo número racional
se puede representar como un
número decimal finito o infinito periódico. Ello se
logra simplemente efectuando la división entre y .
Ejemplo 01 Ejemplos de números racionales
es racional, pues 7 y 5 son números enteros.
es racional, pues y son enteros.
es racional, pues
y y son enteros.
es la expresion decimal de un número
racional porque
y y son números
enteros.
es la expresión decimal de un
número racional, porque
y y son
números enteros.
3.1 Número mixto
Es un número que tiene una parte entera y una parte
fraccionaria. Se expresa como
y su fracción
equivalente es:
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Ejemplo 02 Ejemplos de números mixtos
(
) (
)
4 Conjunto de los números irracionales
Está constituido por todos los números decimales
infinitos y no periódicos. Se le representa mediante el
símbolo y se define como
{
}
Ejemplo 03 Ejemplos de números irracionales
√
√
5 Conjunto de los números reales
Se le representa mediante el símbolo y está formado
por la unión de los números racionales y los números
irracionales. Por consiguiente, cualquier número real
debe ser un número racional o un número irracional.
Diagrama de Venn - Euler de los
conjuntos numéricos
Observación
Vemos que y .
Ejemplo 04
Coloque en los recuadros ( ) si el número pertenece a
los respectivos conjuntos.
√
√
Sumas notables
1. Suma de primeros naturales
( )
2. Suma de primeros pares
( )
3. Suma de primeros impares
( )
4. Suma de primeros cuadrados
( )( )
5. Suma de primeros cubos
( ( )
)
Ejemplo 05 Cálculo de sumas notables
Calcule el valor de las siguientes sumas.
a.
b.
c.
d.
Solución
( )
( )
⏟
( ) ( )
⏟
( )( )
( )( )
MATEMÁTICA I
Sesión 02: OPERACIONES COMBINADAS II
Profesor: Christiam Huertas
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Operaciones básicas en los conjuntos
numéricos
1 Números naturales
* +
Es claro que la suma y el producto de dos números
naturales es un número natural. En símbolos:
Si entonces y
Ejemplo 01 Suma y producto de números naturales
a. ( )
b. ( )
c. ( )
d. ( )
e. ya que:
Ejemplo 02 Operaciones en los naturales
María se ha preparado durante toda su vida,
invirtiendo 2 años en el nivel preescolar, 6 en
primaria, 5 en secundaria, 1 en la pre, 5 más en la
universidad (estudiando Educación) y finalmente 2 en
un posgrado (Gestión de la Educación). ¿Durante
cuantos años ha estado estudiando María?
Solución
Para determinar cuántos años ha estado estudiando
María se realiza la suma de los años estudiados:
Por consiguiente, María ha estudiado 21 años.
Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números
naturales es un número natural. Por ejemplo:
y , pero
2 Números enteros
* +
Regla de los signos para la suma
1. Signos iguales se suman y se conserva el signo.
2. Signos diferentes se restan y se conserva el signo
del número mayor.
Ejemplo 03 Suma de números enteros
a. (se conserva el signo)
b. (se conserva el signo)
c. (queda el signo del mayor número)
d. (queda el signo del mayor número)
e. (queda el signo del mayor número)
f. (queda el signo del mayor número)
Ejemplo 04 Resta de números enteros
Al comprar un televisor plasma de S/. 2809 a crédito, se da
un adelanto de S/. 748 y el resto se pagará a 6 meses,
¿cuánto es lo que falta para terminar de pagar la TV?
Solución
Se realiza una resta del costo del aparato y el adelanto
para saber cuánto falta por pagar:
Por lo tanto, falta pagar S/. 2061.
Regla de los signos para el producto
La regla de los signos para el producto se puede
resumir en el siguiente cuadro.
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
Ejemplo 05 Producto de números enteros
a. ( )( )
b. ( ) ( )( )
c. ( ) ( )( )
d. ( )( )
Ejemplo 06 Multiplicación de números enteros
El tren eléctrico de una cierta ciudad se conforma de 9
vagones, cada uno tiene 8 puertas y cada una de estas,
2 hojas corredizas. Si se desean cambiar las hojas de
los 120 trenes existentes en la ciudad, ¿cuántas hojas
se cambiaran?
Solución
Para obtener el número de hojas en total, se multiplica
el número de trenes, el número de vagones, el número
de puertas y el número de hojas:
( )( )( )( )
Entonces, el número de hojas a cambiar es 17280.
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Regla de los signos para la división
La regla de los signos para la división se puede
resumir en el siguiente cuadro.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Ejemplo 07 División de números enteros
3 Números racionales
{
}
Operaciones con fracciones
Propiedad Descripción
Cuando se suman fracciones con el mismo
denominador se suman los numeradores.
Cuando se suman fracciones con denominado-
res diferentes, se busca un denominador co-
mún. Luego, se suman todos los denominadores
Cuando se multiplican fracciones, se multiplican
los numeradores y los denominadores.
Cuando se dividen fracciones, se invierte el
divisor y se multiplica.
Cuando se dividen fracciones, se multiplican los
extremos y este, se divide entre el producto de
los medios.
Multiplicación cruzada.
Ejemplo 08 Suma y resta de fracciones (homogéneas)
Ejemplo 09 Suma y resta de fracciones (heterogéneas)
Ejemplo 10 Multiplicación de fracciones
Ejemplo 11 División de fracciones
Ejemplo 12
Solución
Aplicamos la propiedad 6 (productos cruzados):
( ) ( ) Asegúrese de usar paréntesis
Propiedad distributiva
Sumar 6
Restar 5m
Dividir entre -2
4 Números irracionales
{√ √ √ √ }
5 Números reales
MATEMÁTICA I
Sesión 03: OPERACIONES COMBINADAS III
Profesor: Christiam Huertas
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Operaciones básicas en los conjuntos
numéricos
Orden de las operaciones
Debes tener presente que existe una prioridad en el
desarrollo de las operaciones, es decir; hay operacio-
nes que deben realizarse antes que otras para obtener
el resultado correcto. Este orden es el siguiente:
Orden de las operaciones
1. Se realizan las potencias o raíces.
2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de
izquierda a derecha.
3. Se realizan las adiciones y sustracciones de
izquierda a derecha.
4. Si en la expresión aparecen signos de colección,
deberá operarse en la parte interna en primera
instancia, siguiendo las reglas anteriores.
Ejemplo 1 Orden de las operaciones
Simplifique
Solución
⏟ ⏟
Ejemplo 2 Orden de las operaciones
Simplifique
Solución
⏟
Ejemplo 3 Orden de las operaciones
Halle el valor de ( )
Solución
Primero debemos realizar el paréntesis (la potencia, luego la
multiplicación y después la resta). Luego la multiplicación por 4 y la
división 26 2. Posteriormente terminamos con las sumas y restas:
( )
( )
( )
( )
Ejemplo 4 Orden de las operaciones
Solución
Por lo tanto, .
Ejemplo 5 Orden de las operaciones
(
)
Solución
Primero operamos dentro del paréntesis
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Por lo tanto
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Interpretación de las fracciones
Una fracción puede describir una parte de un conjunto
de cosas, por ejemplo:
3 de basquetbol 2 de futbol
En la figura anterior hay cinco balones.
Tres balones son de basquetbol, por lo que:
Así que
de los balones son de basquetbol.
También
de los balones son de futbol.
Sumando las partes se obtiene:
( )
Interpretación de textos
Al enfrentarse a problemas de tipo aritmético o
algebraico, es cuando cobra importancia el saber
interpretar y expresar tales problemas.
Ejemplo 6 Interpretación de las fracciones
Si se ha gastado la mitad de lo que se tiene, ¿cuánto
queda?
Solución
Si se gasta la mitad, lo que queda es la otra mitad.
Si lo que se tiene es , al gastar
, lo que queda es
Ejemplo 7 Interpretación de las fracciones
Si se gana un tercio de lo que se tiene, ¿cuánto se
tiene ahora?
Solución
Si se gana
de lo que se tiene, lo que se tiene
ahora es
de lo que se tenía.
Si lo que se tiene es , al ganar
, lo que se tiene
ahora es
Ejemplo 8 Interpretación de las fracciones
Si se tiene cierta cantidad, se gasta la tercera parte en
víveres y los
en pasajes, ¿cuánto queda?
Solución
Lo que se gasta en total es
de lo que se
tiene, por lo tanto, lo que queda es
de lo que se
tenía inicialmente.
Si lo que se tiene es , lo que se gasta en total es
de lo que se tiene, por lo tanto, lo que
queda es
Ejemplo 9 Interpretación de las fracciones
Se tiene cierta cantidad, se gasta la tercera parte en
víveres y los
del resto en pasajes, ¿cuánto queda?
Solución
Lo que se gasta en víveres es
, lo que queda son
los
de lo que se tiene. Luego se gasta los
del
resto, entonces, lo que queda son los
(
)
de
lo que se tiene.
Si lo que se tiene es , lo que se gasta en víveres es
, entonces, lo que queda es
Se gasta luego
(
)
, entonces, lo que queda
es
Ejemplo 10
De un saco de azúcar de 50 kilogramos se venden 15
kilogramos. ¿Qué parte de la cantidad inicial falta
vender?
Solución
Falta vender:
En fracción sería:
Ejemplo 11
Miguel perdió
de su dinero y presto
¿Qué parte
de su dinero le queda?
Solución
Se suma la porción que perdió con la que presto y el
resultado se resta a la unidad que representa lo que
tenía.
( )
( )
Por lo tanto, a Miguel le sobran
de su dinero.
MATEMÁTICA I
Sesión 04: PLANTEO DE ECUACIONES I
Profesor: Christiam Huertas
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Planteo de ecuaciones
En la descripción verbal de un problema, por lo
general, existen palabras y frases que son clave para
traducirlo a expresiones matemáticas que involucran
suma, resta, multiplicación y división.
1.1 Ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones
matemáticas donde hay al menos una variable
(incógnita).
Ejemplo 01 Ejemplos de ecuaciones
Los números que hacen de una ecuación una
proposición verdadera se llaman soluciones de la
ecuación. El conjunto solución de una ecuación es el
conjunto formado por todas las soluciones de la
ecuación.
Ejemplo 02 Solución y conjunto solución de una ecuación.
Ecuación Solución(es) Conjunto
solución
* +
* +
* +
* +
Dos o más ecuaciones con las mismas soluciones son
llamadas ecuaciones equivalentes. Por lo general las
ecuaciones se resuelven comenzando con la ecuación
dada y produciendo una serie de ecuaciones
equivalentes más simples.
Ejemplo 03 Ejemplo de ecuaciones equivalentes
Ecuaciones Conjunto solución
* +
* +
* +
1.2 Ecuaciones lineales
El tipo más sencillo de ecuación es la ecuación lineal,
o ecuación de primer grado.
Una ecuación lineal es una ecuación de la forma:
donde y son números reales ( ) y es la
variable.
Para hallar la solución de una ecuación lineal, solo se
despeja la variable.
Ejemplo 04
Resuelva la ecuación .
Solución
Resto 9
Multiplico por 1/2
Luego,
es la solución de la ecuación ; y
por tanto, su conjunto solución es {
}.
Ejemplo 05
Resuelva la ecuación ( ) .
Solución
Operamos en la ecuación
* +
Si en las ecuaciones aparecen fracciones o decimales
como coeficientes, se recomienda multiplicar ambos
lados por el mínimo común múltiplo de los
denominadores de todas las fracciones. Esto produce
una ecuación equivalente con coeficientes enteros.
Ejemplo 06
Solución
Multiplicamos en ambos lados por ( ) .
(
) ( )
Operamos en la ecuación
( )
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* +
1.3 Planteo de ecuaciones
Sugerencias para plantear una ecuación
1. Leer cuidadosamente el texto del problema hasta
comprender de que se trata.
2. Ubicar los datos y la pregunta.
3. Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va a
trabajar.
4. Relacionar los datos con las variables para
plantear una o más ecuaciones que al resolver nos
den la solución del problema.
Plantear una ecuación
Traduciendo a expresiones matemáticas
Operación Palabras claves
Adición
( )
Suma
Añadir
Aumentado por
Más que
Sustracción
( )
Resta
Diferencia
Menos
Menor que
Disminuido por
Quitado de
Multiplicación
( )
Multiplicar
Producto
Veces
De
División
( )
Dividir
Dividido por
Cociente
Razón
A continuación, resolvemos a modo de ejercicio la
traducción de ciertos enunciados dados en forma
verbal a su forma simbólica (matemática).
Traducción de palabras a expresiones
matemáticas
Expresión verbal Expresión
matemática
Suma
La suma de un número con 7
24 sumado a un número
Un número incrementado en 5
La suma de dos números
Resta
12 menos un número
Un número disminuido en 12
La diferencia de dos números
El exceso de un número sobre 3
Multiplicación
16 veces un número
Un número multiplicado por 5
de un número
El doble de un número
El producto de dos números
Observación
Para el planteo de una ecuación es importante tener en
cuenta “la coma: , ”.
Ejemplo 07
⏟ ⏟
⏟ ⏟
( )
División
El cociente de 8 y un número
Un número dividido entre 13
La razón de dos números
(o el cociente de dos números)
( )
( )
Lenguaje común
(enunciado)
Leer
Interpretar
Simbolizar
Lenguaje matemático (ecuación)
Resolución de la ecuación
MATEMÁTICA I
Sesión 05: PLANTEO DE ECUACIONES II
Profesor: Christiam Huertas
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Planteo de ecuaciones
Sugerencias para plantear una ecuación
1. Leer cuidadosamente el texto del problema hasta
comprender de que se trata.
2. Ubicar los datos y la pregunta.
3. Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va a
trabajar.
4. Relacionar los datos con las variables para
plantear una o más ecuaciones que al resolver nos
den la solución del problema.
Plantear una ecuación
Ejercicios de aplicación
Ejemplo 01
Halle un número tal que aumentado en 10 resulta 23.
Solución
Sea el número. Por dato:
Por lo tanto, el número es .
Ejemplo 02
El triple de un número disminuido en 12 da 15. ¿Cuál
es el número?
Solución
Sea el número. Por dato:
Por lo tanto, el número es 9.
Ejemplo 03
Halle un número, donde la suma de su mitad, cuarta y
octava parte, resulta dicho número disminuido en una
unidad.
Solución
Sea el número: . Entonces,
Su mitad:
Su cuarta:
Su octava:
Por dato:
Multiplicamos por 8 ( )
Por lo tanto, el número es 8.
Ejemplo 04
Iris tiene S/. 20 más que Ana, y entre ambas tienen S/.
40. ¿Cuánto dinero tiene Ana?
Solución
Supongamos que Ana tenga soles, entonces Iris
debe tener ( ) soles. Pero ambas tienen S/. 40.
es decir,
⏟ ⏟
( )
Por lo tanto, Ana tiene S/. 10
Ejemplo 05
En una reunión hay 40 personas, cuando se retiran 8
varones y 6 damas, la diferencia entre ellos y ellas es
10. ¿Cuántos varones quedaron?
Solución
Nos ayudamos de una tabla para plantear el problema:
Varones Mujeres Dato
Inicio
Después
Además, por dato:
( )
También
Sumamos
(Inicio)
Quedaron: varones.
Lenguaje común
(enunciado)
Leer
Interpretar
Simbolizar
Lenguaje matemático (ecuación)
Resolución de la ecuación
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Ejemplo 06
Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia
de cuadrados sea igual a 9.
Solución
Sean y ( ) los números consecutivos. Por dato
se sabe que:
( )
Operamos para hallar el valor de :
Por lo tanto, los números son 4 y 5.
Ejemplo 07
La edad de Jorge es el triple de la edad de su hijo
Gerardo. La edad que tenía Jorge hace cinco años era
el doble de la edad de Gerardo dentro de 10 años.
¿Cuáles son las edades actuales de Jorge y Gerardo?
Solución
Supongamos que es la edad de Gerardo. La primera
condición indica que Jorge tiene una edad que es el
triple de Gerardo; es decir, la edad de Jorge es .
Luego, hace 5 años la edad de Jorge es ( ) y la
edad de Gerardo dentro de 10 años es ( ). La
segunda condición del problema se puede escribir
como:
( )
Por tanto, Gerardo tiene 25 años y Jorge 75.
Ejemplo 08
Gladis, José y Alex ganan entre los tres S/. 1200. José
ganó S/. 200 menos que Gladis y Alex ganó el doble
que José. Halle lo que ganó cada uno de ellos.
Solución
Sea S/. lo que gano Gladis, entonces por dato:
Lo que gana José es: S/. ( )
Lo que gana Alex es: S/. ( )
También, entre los tres ganan S/. 1200. Es decir:
( ) ( )
Por lo tanto, Gladis gana S/. 450, José gana S/. 250 y
Alex gana S/. 500.
Ejemplo 09
Para ganar S/. 180 en la rifa de un televisor, se
hicieron 120 boletos, vendiéndose únicamente 75
boletos y originándose así una pérdida de S/. 45.
¿Cuál es el valor del televisor?
Solución
Sea el precio de cada boleto: soles.
Sea el precio del televisor: soles.
Se sabe que:
Se hizo 120 boletos para ganar 180 soles, entonces:
( )
Pero solo se vendió 75 boletos y se perdió 45 soles,
entonces:
( )
Despejamos :
( )
Reemplazamos en (I)
Reemplazamos en (III)
( )
Por lo tanto, el costo de la TV es de S/. 420
Ejemplo 10
En una fiesta hay tantos caballeros bailando como
damas sin bailar y ningún caballero sin bailar; una vez
que se retiran 70 damas y 20 caballeros y todos salen
a bailar, nadie se quedaría sin bailar. ¿Cuántas
personas había inicialmente?
Solución
Nos ayudamos de una tabla para plantear el problema:
Varones Mujeres
Bailan
No bailan
Total
Luego, se retiran 20 varones y 70 mujeres, entonces
quedan
Varones Mujeres
Pero, por dato nadie se queda sin bailar, entonces
Por lo tanto, el número de personas que había
inicialmente es ( ) .