Matematica financiera

UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

MATEMATICA FINANCIERA

presentado por:

Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

LAMBAYEQUE PERU

2013

Dedicatoria

Para mis padres, Martha y Elas; para mi

adorable esposa, Flor Angela y para los

mas grandes tesoros de mi vida, mis hijas

Alessandra Anghely y Stefany Grace.

Indice general

INTRODUCCION I

1. INTRODUCCION A LA MATEMATICA FINANCIERA 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Matematicas financieras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Tasas de incremento y disminucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. INTERES SIMPLE 9

2.1. Interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. Nota historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2. Elementos de una operacion a interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Interes simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1. Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2. Adecuacion de la tasa en el interes simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3. Interes comercial u ordinario. Interes real o exacto . . . . . . . . . . . . 19

2.2.4. Tabla de fechas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. INTERES COMPUESTO 27

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1. Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2. Factor simple de capitalizacion FSC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3. Factor simple de actualizacion FSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. DESCUENTO 35

4.1. Documentos mercantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

i

ii Matematica Financiera Walter Arriaga D.

4.1.1. La letra de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.2. El pagare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5. TASA EFECTIVA Y NOMINAL 41

6. ANUALIDAD 43

7. MATEMATICA FINANCIERA CON MAPLE 45

7.1. Tasa de incremento y disminucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

SIMBOLOGIA 47

FORMULARIO 49

Bibliografa 51

Indice de Materias 53

Indice de cuadros

2.1. Formulas para el interes simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Monto simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Formulas para el monto simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4. Tabla de fechas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1. Monto compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2. Formulas para el monto compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.1. Factores financieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

iii

iv Matematica Financiera Walter Arriaga D.

Indice de figuras

2.1. Interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Grafica del interes simple respecto al tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Grafica del monto simple respecto al tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1. Letra de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2. Pagare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

v

vi Matematica Financiera Walter Arriaga D.

1

INTRODUCCION A LA


Objetivos:

Ejecutar los calculos matematicos fundamentales respetando las convenciones respecto a

la precedencia de las operaciones.

Plantear y resolver problemas que involucren progresiones.

No sabemos a ciencia cierta cuando aparecieron, pero de lo que si estamos seguros es que

la Matematica Financiera es una derivacion de las matematicas aplicadas que estudia el valor

del dinero en el tiempo y que a traves de una serie de modelos matematicos llamados criterios

permiten tomar las decisiones mas adecuadas en los proyectos de inversion.

1.1. Introduccion

Nos dice Michael Parkin, en su obra Macroeconoma: El dinero, el fuego y la rueda,

han estado con nosotros durante muchos anos. Nadie sabe con certeza desde cuando existe el

dinero, ni de cual es su origen.

En forma similar nos acompana la matematica financiera, cuya genesis esta en el proceso

de la transformacion de la mercanca en dinero. Segun la teora del valor: el valor solo existe de

forma objetiva en forma de dinero. Por ello, la riqueza se tiene que seguir produciendo como

mercanca, en cualquier sistema social.

El sistema financiero esta esencialmente vinculado a las matematicas financieras, por ello

describiremos escuetamente su origen. Por el ano 1368 1399 D.C. aparece el papel moneda

1

2 Matematica Financiera Walter Arriaga D.

convertible, primero en China y luego en la Europa medieval, donde fue muy extendido por los

orfebres y sus clientes. Siendo el oro valioso, los orfebres lo mantenan a buen recaudo en cajas

fuertes. Como estas cajas de seguridad eran amplias los orfebres alquilaban a los artesanos y

a otros espacios para que guardaran su oro; a cambio les giraban un recibo que daba derecho

al depositante para reclamarlo a la vista. Estos recibos comenzaron a circular como medio de

pago para comprar propiedades u otras mercancas, cuyo respaldo era el oro depositado en

la caja fuerte del orfebre. En este proceso el orfebre se dio cuenta que su caja de caudales

estaba llena de oro en custodia y le nace la brillante idea, de prestar a las personas recibos

de depositos de oro, cobrando por sus servicios un interes; el oro seguira en custodia y solo

entregaba un papel en que anotaba la cantidad prestada; tomando como prevision el no girar

recibos que excedieran su capacidad de respaldo. Se dio cuenta de que intermediando entre

los artesanos que tenan capacidad de ahorro en oro y los que lo necesitaban, poda ganar

mucho dinero. As es la forma en que nacio el actual mercado de capitales, sobre la base de

un sistema financiero muy simple, de caracter intermediario.

1.2. Matematicas financieras

La Matematica Financiera es una derivacion de la matematica aplicada que estudia el

valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un

rendimiento o interes, a traves de metodos de evaluacion que permiten tomar decisiones de

inversion. Llamada tambien analisis de inversiones, administracion de inversiones o ingeniera

economica.

Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra en mo-

mentos precisos o determinados, informacion razonada, en base a registros tecnicos, de las

operaciones realizadas por un ente privado o publico, que permiten tomar la decision mas

acertada en el momento de realizar una inversion; con el derecho, por cuanto las leyes regulan

las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres y martimos, seguros, corretaje,

garantas y embarque de mercancas, la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden

adquirir, los contratos de compra venta, hipotecas, prestamos a interes; con la economa, por

cuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa,

podran obtener mayores beneficios economicos; con la ciencia poltica, por cuanto las ciencias

polticas estudian y resuelven problemas economicos que tienen que ver con la sociedad, donde

existen empresas e instituciones en manos de los gobiernos.

Las matematicas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuan-

Walter Arriaga D. Matematica Financiera 3

to a inversiones, presupuestos, ajustes economicos y negociaciones que beneficien a toda la

poblacion; con la ingeniera, que controla costos de produccion en el proceso fabril, en el cual

influye de una manera directa la determinacion del costo y depreciacion de los equipos in-

dustriales de produccion; con la informatica, que permite optimizar procedimientos manuales

relacionados con movimientos economicos, inversiones y negociaciones; con la sociologa, la

matematica financiera trabaja con inversiones y proporciona a la sociologa las herramientas

necesarias para que las empresas produzcan mas y mejores beneficios economicos que permitan

una mejor calidad de vida de la sociedad y con las finanzas, disciplina que trabaja con activos

financieros o ttulos valores e incluyen bonos, acciones y prestamos otorgados por instituciones

financieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matematicas financieras.

Por ello, las matematicas financieras son de aplicacion eminentemente practica, su estudio

esta ntimamente ligado a la resolucion de problemas y ejercicios muy semejantes a los de la

vida cotidiana, en el mundo de los negocios. Dinero y finanzas son indesligables.

1.3. Tasas de incremento y disminucion

Definicion 1.3.1. Una razon es un cociente entre dos numeros, en el que ninguno o solo

algunos elementos del numerador estan incluidos en el denominador. El rango es de 0 a infinito.

Ejemplos de razon: En el ano 2005 se declararon 83 casos de legionelosis en Andaluca, 11

en Canarias y 34 en Asturias (datos del Instituto Nacional de Estadstica).

Razon:casos de legionelosis en Andaluca

casos de legionelosis en Canarias=

83

11= 7, 55.

Por cada caso de legionelosis declarado en Canarias hay 7,55 casos declarados en An-

daluca.

Razon:casos de legionelosis en Andaluca

casos de legionelosis en Asturias=

83

34= 2, 44.

Por cada caso de legionelosis declarado en Asturias hay 2,44 casos declarados en An-

daluca.

Definicion 1.3.2. Una proporcion es una razon en la cual los elementos del numerador estan

incluidos en el denominador. Se utiliza como estimacion de la probabilidad de un evento. El

rango es de 0 a 1 (o de 0 a 100%).

Ejemplos de proporcion: En el ano 2005 se declararon 1295 casos de legionelosis en Espana

(datos del Instituto Nacional de Estadstica).

Casos de legionelosis en Andaluca en relacion al total de casos en Espana:83

1295= 0, 064.

El 6,4% de los casos de legionelosis en Espana se declararon en Andaluca.


Casos de legionelosis en Canarias en relacion al total de casos en Espana:11

1295= 0, 0085.

El 0,85% de los casos de legionelosis en Espana se declararon en Canarias.

Definicion 1.3.3. Una tasa es un tipo especial de razon o de proporcion que incluye una

medida de tiempo en el denominador. Esta asociado con la rapidez de cambio de un fenomeno

por unidad de una variable (tiempo, temperatura, presion). Los componentes de una tasa son

el numerador, el denominador, el tiempo especfico en el que el hecho ocurre, y usualmente un

multiplicador, potencia de 10, que convierte una fraccion o decimal en un numero entero. El

rango es de 0 a infinito.

Ejemplos de tasa: En el ano 2005 se encontraban censados en Andaluca 78 49 799 personas,

y en Espana 44 108 530 (datos del Instituto Nacional de Estadstica).

La tasa de legionelosis en Andaluca en el ano 2005:83

78 49 799= 1, 06 105.

1,06 personas por cada 100 000 habitantes, padecieron legionelosis en Andaluca.

La tasa de legionelosis en Espana en el ano 2005:1295

44 108 530= 2, 94 105.

2,94 personas por cada 100 000 habitantes, padecieron legionelosis en Espana.

Ejemplo 1.3.1. En el continente Tierra Media, se reunieron 5 reyes para analizar el problema

de desnutricion de sus respectivos reinos. Cada rey menciona la poblacion total de su reino y

la cantidad de desnutridos identificados de la siguiente manera:

Reino Poblacion Desnutridos

La Comarca 355 85

Gondor 486 92

Mordor 258 72

Numenor 921 211

Rohan 644 162

Las tasas pueden ser: de tanto por uno, de tanto por ciento, de tanto por mil, de tanto por

diez mil, etc. Luego:

Distrito Cociente Tanto por Tanto por Tanto por Tanto por

desnut./pobl. Uno Ciento Mil Diez Mil

La Comarca 85/355 0.2394 23.94% 239 2394

Gondor 92/486 0.1893 18.93% 189 1893

Mordor 72/258 0.2791 27.91% 279 2791

Numenor 211/921 0.2291 22.91% 229 2291

Rohan 162/644 0.2516 25.16% 252 2516


Analizando el cuadro y la columna de los porcentajes1 (tanto por ciento) podemos observar

que el reino de Mordor es el mas afectado, pues 27.91 (practicamente 28) de cada cien de

sus habitantes estan desnutridos. En segundo lugar esta el reino de Rohan, en donde 25.16

(practicamente 25) de cada cien de sus habitantes sufren desnutricion. Luego vienen los reinos

de La Comarca, Numenor y por ultimo, el reino de Gondor en donde 18.93 (digamos 19) de

cada cien de sus habitantes sufren desnutricion.

Definicion 1.3.4. La tasa de interes es aquella tasa que se aplica en una operacion comercial,

la cual determina el interes a pagar, se expresa en tanto por ciento (%) y generalmente la tasa

de interes se da por ano.

Una tasa puede servir para indicar en que porcion una cantidad aumenta (tasa de incre-

mento) y tambien en que porcion una cantidad disminuye (tasa de disminucion).

Para toda tasa de incremento existe una tasa de disminucion que permite retornar a la

cantidad original.

Ejemplo 1.3.2. Incrementar en 25% el numero 1000.

Solucion: 1000 + 25%(1000) = 1000 +25

1001000 = 1000 + 250 = 1250

La nueva cantidad es ahora 1250, sin embargo no podemos diminuir al nuevo numero la

misma tasa para regresar a la cantidad original, veamoslo en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.3.3. Disminuir en 25% el numero 1250.

Solucion: 1250 25%(1250) = 1250 25

1001250 = 1250 312,5 = 937,5

Ahora veamos:


Solucion: 1250 20%(1250) = 1250 20

1001250 = 1250 250 = 1000

As pues se observa que para regresar a la cantidad original despues de haberle aplicado

una tasa de incremento de 25% se le debe aplicar una tasa de disminucion de 20%

Ahora veamos:


Solucion: 1000 20%(1000) = 1000 20

1001000 = 1000 200 = 800

Ejemplo 1.3.6. Incrementar en 25% el numero 800.

Solucion: 800 25%(800) = 800 +25

100800 = 800 + 200 = 1000

1Los porcentajes es lo que generalmente se usa en los negocios y las finanzas


Luego podemos establecer una relacion entre la tasa de incremento (T i) y la tasa de

disminucion (Td) usando las siguientes formulas:

T i =Td

1 Td(1.1)

que establece que la tasa de incremento es igual a la tasa de disminucion, entre la cantidad ya

disminuda.

Td =T i

1 + T i(1.2)

que establece que la tasa de disminucion es igual a la tasa de incremento, entre la cantidad ya

incrementada.

Ejemplo 1.3.7. Hallar T i para una Td de 20%

Solucion:

T i =Td

1 Td=

20%

1 20%=

0,2

1 0,2=

0,2

0,8= 0,25 = 25%

Ejemplo 1.3.8. Hallar Td para una T i de 25%

Solucion:

Td =T i

1 + T i=

25%

1 + 25%=

0,25

1 + 0,25=

0,25

1,25= 0,20 = 20%

Observacion 1.3.1. El porcentaje aplicado sobre el costo es siempre una tasa de incremento

T i. El porcentaje aplicado sobre el importe de venta es siempre una tasa de disminucion Td.

El resultado de T i se sumara; el de Td se restara.

Podemos usar ciertas formulas para pasar directamente del costo al importe de venta o

viceversa. Para ello definamos:

C : Costo

V : Importe de venta

i : Tasa o porcentaje de ganancia

G : Ganancia

Cuando la tasa es un porcentaje sobre el costo. En este caso la ganacia es G = Ci, luego

V = C +G, reemplazando se tiene V = C + Ci, ahora factorizando tenemos:

V = C(1 + i) (1.3)

y despejando C se tiene:

C =V

1 + i(1.4)


Cuando la tasa es un porcentaje sobre el importe de venta. En este caso la ganacia es

G = V i, luego V = C + G, reemplazando se tiene V = C + V i, ahora despejando V

tenemos:

V =C

1 i(1.5)

y despejando C se tiene:

C = V (1 i) (1.6)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.3.1.

I Hallar la tasa de disminucion (Td) para una tasa de incremento (T i) de:

1) 12% Rpta. 10.71%

2) 18%

3) 25%

4) 30%

5) 35%

6) 40%

7) 50%

8) 60%

9) 80%

10) 90%

II Hallar la tasa de disminucion (T i) para una tasa de incremento (Td) de:

1) 12%

2) 18%

3) 25%

4) 30%

5) 35%

6) 40%

7) 50%

8) 60%

9) 80%

10) 90%

III Resolver los siguientes problemas:

1. Se tiene un artculo cuyo costo es de S/. 900. Se desea venderlo ganando el 40% del

costo. Hallar el importe de venta.

2. Se tiene un artculo cuyo costo es de S/. 1,494. Se desea venderlo ganando 17% del

importe de venta. Hallar dicho importe de venta.

3. Se tiene un artculo cuyo importe de venta es de S/. 1,380. Con ese importe de venta,

se esta ganando 15% del costo. Calcular dicho costo.


4. Se tiene un artculo cuyo importe de venta es de S/. 2,400. Sabemos que esta ganando

16% de dicho importe de venta. Calcular el costo.

5. Un artculo se vende en S/. 4,680 ganando 30% sobre el importe de la compra. Hallar

dicho importe de compra (el costo).

6. Un artculo se vende en S/. 11,000 ganando 22% del importe de venta. hallar el importe

de la compra (el costo).

7. Un artculo costo S/. 413.60. Se desea venderlo ganando el 15% del costo y otorgando

un descuento de 20% sobre el importe de lista L. Hallar L.

8. Un artculo costo S/. 1,411.20. La empresa deseaba venderlo ganando el 16% de la

venta y otorgando un descuento de 30% sobre el importe de lista L. Hallar L.

9. El importe de lista de un artculo es de S/. 1,560. Se vende otorgando dos descuentos

sucesivos de 16% y 5%. Hallar el importe de venta.

10. El importe de lista de un artculo es de S/. 150. Se vende otorgando descuentos suce-

sivos de 10%, 16% y 4%. Hallar el importe de venta.

11. El importe de venta mnimo de un artculo es de S/. 2,274.3. Se desea presentar un

importe de lista que permita ofrecer descuentos sucesivos de 5%, 10% y 15%. Hallar

el importe de lista L.

12. Un artculo costaba el ano pasado S/. 25 y ahora cuesta S/. 33. Calcular el porcentaje

de variacion.

2

INTERES SIMPLE

Objetivos:

z Conocer los elementos o variables que intervienen en Interes Simple.

z Construir el modelo matematico para los distintos casos de Interes Simple.

z Establecer la representacion algebraica del modelo.

z Determinar el valor futuro de una inversion.

z Hacer un analisis comparativo de los datos y los resultados obtenidos.

2.1. Interes

El concepto de interes, sin ser intuitivo, esta profundamente arraigado en la mentalidad de

quienes viven en un sistema capitalista. No necesitamos formacion academica para entender

que cuando recibimos dinero en calidad de prestamo, es justo pagar una suma adicional

al devolverlo. La aceptacion de esta realidad economica, es comun a todos los estratos so-

cioeconomicos. El dinero puede convertirse en capital a base de la produccion capitalista. Y

gracias a esta transformacion de un valor dado se transforma en un valor que se valoriza, que

se incrementa a s mismo.

El interes, tiene importancia fundamental en los movimientos de capitales, la colosal in-

fraestructura financiera y crediticia descansa sobre este concepto basico de pagar por el uso del

dinero tomado en prestamo. Sin el interes el mercado de capitales o simplemente los negocios

no existiran.

Definicion 2.1.1. El Interes es el ingreso o beneficio que percibe el acreedor por el dinero que

presta y el ahorrista por el dinero que deposita. Tambien se puede definir como la diferencia

9


entre una cantidad inicial o capital y una cantidad final o monto.

Horizonte temporal

Interes

Capital

Mon

tofinal

Capital

Mon

toinicial

Momento de aperturade la cuenta

Momento de cierrede la cuenta

Figura 2.1: Interes

Como un ejemplo introductorio:

La empresa industrial Metalmecanica necesita financiar la compra de piezas de repuesto

para una de sus lneas de produccion, obteniendo del Banco de Credito y Comercio BCC un

prestamo de 100000 soles. Esta cantidad tiene que ser devuelta dentro de un ano, pero la

empresa tiene que pagar 1000 soles mensuales durante ese tiempo. Facilmente se observa que

Metalmecanica habra de entregar una cantidad total superior a la recibida.

Para conocer cuanto dinero adicional entregara la empresa al BCC, basta multiplicar por

12 el valor de cada pago mensual. Designemos por I el resultado del producto.

I = 12 1000 entonces I = 12000 soles

Cuando dentro de un ano la empresa devuelva la cantidad (C) recibida en prestamo,

entonces habra desembolsado un total (M) que viene dado por la suma:

M = C + I (2.1)

luego M = 100000 + 12000 entonces M = 112000 soles

Podemos representar esta operacion financiera con un esquema de tiempo y valor.

I = M C

0 12 meses

C = 100000 M = 112000

Al cabo de un ano los 100000 soles iniciales se transformaran en 112000 soles. La empresa

paga un total de 12000 soles adicionales por el uso de dinero ajeno y el banco recibe esta cifra

como compensacion por el riesgo asumido.


Este ejemplo, muy elemental, ilustra lo que se conoce como operacion a interes, que es

aquella en la que una de las partes devuelve a la otra una cantidad mayor que la recibida.

En toda operacion a interes intervienen dos protagonistas: El acreedor o prestamista, que es quien entrega cierta cantidad de recursos monetarios,bajo las condiciones que se acuerden y durante un tiempo limitado. El deudor o prestatario, que es quien recibe los recursos monetarios, contrayendo as unadeuda u obligacion que habra de cumplir entregando lo recibido mas una cantidad adi-

cional. Esta cantidad adicional es el interes que paga el deudor por el prestamo recibido.

Por tanto:

Se denomina interes a la cantidad adicional que se paga por el uso de dinero ajeno.

Ahora veamos los distintos tipos de interes utilizados por los mercados financieros.

Interes Fijo y Variable: Conocemos como tipo de interes fijo, a la tasa de interes con-

stante en el tiempo. La tasa variable, es el tipo de interes donde una parte la calculamos sobre

una base fija mas un ndice de referencia. El ndice de referencia vara segun las condiciones del

mercado. En el Peru las entidades financieras utilizan diferentes tasas de interes. Clasificamos

los plazos de las tasas de interes de dos formas:

Interes de Corto Plazo: Referido a los intereses que devengan o liquidan intereses en un

perodo inferior a 12 meses.

Interes de Largo Plazo: Son intereses devengados o liquidados en perodos superiores a un

ano.

Actualmente esta es la unica clasificacion utilizada para senalar los plazos de las opera-

ciones, si bien antiguamente utilizaban el concepto de Mediano Plazo, a la fecha este ha pasado

a formar parte del largo plazo.

2.1.1. Nota historica

Las operaciones a interes cuentan con una milenaria existencia. Unos dos mil anos ANE

y gracias a la aparicion de los sistemas abstractos de numeracion, fue posible que se sen-

taran los cimientos del calculo de intereses en las culturas mesopotamica y egipcia, pasando

posteriormente a China, India y las sociedades mediterraneas.

Durante el periodo de esplendor de las civilizaciones clasicas grecolatinas las operaciones

a interes fueron de uso corriente, aunque contaron con fuerte oposicion de parte de los ter-

ratenientes. Pero fue en la epoca imperial romana que el cobro excesivo de intereses (usura)

alcanzo niveles escandalosos, a tal punto que fueron promulgadas leyes para la regulacion de


practicas tan abusivas; claro esta, el objetivo era la proteccion del patrimonio de las clases

dominantes.

A lo largo de la Edad Media y hasta el siglo 13, si bien las autoridades eclesiasticas

formularon condenas de variable intensidad contra las operaciones a interes, no es menos cierto

que las practicas usurarias mantuvieron su presencia en el espacio economico europeo. Con el

crecimiento de las ciudades y el despegue de la burguesa se inicia un cambio de mentalidad

financiera, sobre todo en Holanda y las republicas de Genova y Venecia en el norte de Italia.

La colonizacion de los territorios americanos impulso grandemente las actividades comer-

ciales, financieras y bancarias de las potencias europeas. Se trataba de una expansion cuya

piramide tena como base una economa semifeudal, fuertemente asociada a la explotacion del

trabajo esclavo de indoamericanos y africanos.

En realidad, es en el siglo 19 que el auge industrial y comercial resultante de la revolu-

cion cientficotecnica de finales del siglo 18, cuando el liberalismo economico considera el

interes como un elemento indispensable de las operaciones financieras, siendo incorporado a

las legislaciones comerciales de la gran mayora de los pases.

2.1.2. Elementos de una operacion a interes

Capital, principal o valor inicial (C)

Es la cantidad de dinero con que se inicia la operacion. LLamado tambien stock inicial,

valor actual o valor presente

Tasa de interes, tipo de interes o redito (i)

Es la tasa que se aplica al capital en cada unidad de tiempo para calcular el interes

parcial generado en esa misma unidad de tiempo.

Plazo o tiempo de imposicion (n)

Es el tiempo que dura la operacion, concertado de mutuo acuerdo por las partes con-

tratantes. Asumiremos que el plazo esta dividido en intervalos unitarios.

Interes total (I)

Es la suma total de los intereses periodicos o parciales. Representa por tanto el incre-

mento o beneficio total.

Monto, valor futuro o valor esperado (M)

Total de dinero que el deudor paga una vez finalizado el plazo, incluye el capital o

principal mas el interes total, es decir: M = C + I.


Por ejemplo, si la tasa de interes es i = 0, 08 (ocho centesimas), significa que se pagan 0, 08

(ocho centimos) por cada sol recibido. En este caso la tasa ha sido expresada como tanto por

uno. En cambio, si se indica como i = 8%, entonces expresa que se pagan 8 por cada 100

soles recibidos. En la practica resulta frecuente utilizar indistintamente los terminos tasa de

interes y tipo de interes.

Ejemplos de tasas de interes expresadas como tanto por ciento y como tanto por uno:

a) 12% =12

100= 0,12

b) 7% =7

100= 0,07

c) 1,5% =1,5

100= 0,015

d) 0,5% =0,5

100= 0,005

2.2. Interes simple

Definicion 2.2.1. Es el que se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo que

dura una inversion se deben unicamente al capital inicial. Cuando se utiliza el interes simple,

los intereses son funcion unicamente del capital principal, la tasa de interes y el numero de

perodos.

El interes simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable o constante.

En consecuencia, el interes obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir,

la retribucion economica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interes

es calculado sobre la misma base.

Interes simple, es tambien la ganancia solo del Capital (principal, stock inicial de efectivo)

a la tasa de interes por unidad de tiempo, durante todo el perodo de transaccion comercial.

La formula de la capitalizacion simple permite calcular el equivalente de un capital en un

momento posterior. Generalmente, el interes simple es utilizado en el corto plazo (perodos

menores de 1 ano).

Al calcularse el interes simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que

estos son cobrados o pagados. El interes simple, NO capitaliza.

Denotemos el interes simple por Is. En el metodo de interes simple los intereses devengados

en cada intervalo unitario son iguales.

En el ejemplo introductorio:

Is = Is1 + Is2 + Is3 + + Is12 = 1200 puesto que n = 12 meses. Como se gana igual interes


cada mes: Is = 12Isk ; donde k es menor o igual que n.

De modo general:

Is = nIsk

luego:

Isk =Isn

(2.2)

que permite calcular el pago mensual de intereses.

El metodo de interes simple se utiliza generalmente en operaciones que tienen plazo de

hasta un ano.

2.2.1. Formulas

Formula para el interes simple:

La tasa de interes simple anual viene dada por la razon entre el interes y el capital:

i =IsC

En el caso del ejemplo introductorio: i =12000

100000= 0,12 = 12%

Esta es la tasa de interes simple anual acordada entre deudor y acreedor. De hecho, se

dividio el interes entre 1 (un intervalo anual). Si el plazo hubiera sido de 6 meses, entonces:

Is = 6 1000 = 6000, pero recuerdese que la tasa y el plazo tienen que estar referidos a la

misma unidad de tiempo, de manera que hay que hacer la conversion anual del plazo.

n = 6 meses1 ano

12 meses= 0,5 ano

Entonces:

i =

60000,5

100000=

12000

100000= 0,12 = 12%

Para un plazo de t intervalos unitarios, anuales o sub anuales: i =Isn

C, de donde Ci =

Isn,

haciendo I = Is y despejando I se tiene:

I = Cin (2.3)

Esta es la formula basica para el calculo del interes simple.

De la formula (2.3) podemos despejar C, i y t

Ejemplo 2.2.1. Un capital de 80000 soles se coloca al 6% simple anual durante 9 meses,

que interes devengara en ese plazo?


Interes simple

I = Cin

Capital Tasa de interes Tiempo

C = Iin i =ICn 100 n =

ICi

Cuadro 2.1: Formulas para el interes simple

Solucion:

Datos:

C = 80000

i = 6% = 0, 06 anual

n = 9 meses

Conversion del tiempo de plazo:

t = 9 meses1 ano

12 meses= 0,75 ano

I = Cin = 80000 0,06 0,75 = 3600

I = 3600

Formula para el monto simple:

Veamos ahora como se forma el monto simple.

N Stock Interes Interes Stock final

n inicial periodico total I M = C + I

1 C Ci Ci 1Ci C + Ci C(1 + i)

2 C Ci Ci+ Ci 2Ci C + Ci+ Ci C(1 + 2i)

3 C Ci Ci+ Ci+ Ci 3Ci C + Ci+ Ci+ Ci C(1 + 3i)

4 C Ci Ci+ Ci+ Ci+ Ci 4Ci C + Ci+ Ci+ Ci+ Ci C(1 + 4i)...

......

......

t C Ci I = Cin M = C(1 + in)

Cuadro 2.2: Monto simple

El monto es la suma del capital o principal y el interes:

Ms = C + I

y como I = Cin, entonces se tiene que:

Ms = C + Cin


haciendo M = Ms y extrayendo factor el comun C, se llega a la expresion:

M = C(1 + in) (2.4)

Despejando C, i, n se tiene:

Monto simple

M = C(1 + in)

Interes simple Capital Tasa de interes Tiempo

I = M C C = M1+in i =MCCn 100 n =

MCCi

Cuadro 2.3: Formulas para el monto simple

Ejemplo 2.2.2. La cantante internacional Shakira solicita un prestamo de 5000 soles y acuer-

da pagar dicho prestamo en 4 meses a una tasa de 5% mensual. Que monto pagara Shakira?

Solucion:

Datos:

C = 5000

i = 5% = 0, 05 mensual

n = 4 meses

CapitalC = 5000

Periodosn

1 mes 2 mes 3 mes 4 mes

5% 5% 5% 5%

250 250 250 250

MontoM

6000

1000

Interes ITasa deinteres i

Calculando el interes I

I = Cin = 5000 0,05 4 = 1000

Calculando el monto M

M = C + I = 5000 + 1000

M = 6000 soles


Ahora tabulemos los datos para poder representar graficamente el interes y el monto simple:

n C i I M

1 5000 0,05 250 5250

2 5000 0,05 250 5500

3 5000 0,05 250 5750

4 5000 0,05 250 6000

Graficando:

250

500

750

1000

1 2 3 4n

I

Figura 2.2: Grafica del interes simple respecto al tiempo

5000

5250

5500

5750

6000

1 2 3 4 n

M

Figura 2.3: Grafica del monto simple respecto al tiempo

Ejemplo 2.2.3. En cuanto se convertiran 50000 soles impuestos al 9% simple anual durante


4 meses? Si los intereses son cobrados mensualmente, calcule el valor de cada cuota.

Solucion:

Datos:

C = 50000

i = 9% = 0, 09 anual

n = 4 meses

Conversion del tiempo de plazo:

n = 4 meses1 ano

12 meses=

1

3ano

M = C(1 + in) = 50000

(

1 + 0,09 1

3

)

= 50000 1, 03 = 51500

M = 51500 soles

En el metodo de interes simple se devenga igual interes en cada intervalo unitario del plazo.

Para calcular el cobro mensual de intereses usamos la formula (2.2), para ello Is = 51500

50000 = 1500, luego

Isk =Isn

=1500

4= 375

Isk = 375 soles

2.2.2. Adecuacion de la tasa en el interes simple

tasa anual

2= tasa semestral

tasa anual

3= tasa cuatrimestral

tasa anual

4= tasa trimestral

tasa anual

6= tasa bimestral

tasa anual

12= tasa mensual

tasa anual

24= tasa quincenal

tasa anual

360= tasa diaria

tasa semestral 2 = tasa anual

tasa semestral

6= tasa mensual

tasa semestral

12= tasa quincenal

tasa semestral

180= tasa diaria

tasa cuatrimestral 3 = tasa anual

tasa cuatrimestral

4= tasa mensual

tasa cuatrimestral

8= tasa quincenal

tasa cuatrimestral

120= tasa diaria

tasa trimestral 4 = tasa anual

tasa trimestral

3= tasa mensual

tasa trimestral

6= tasa quincenal


tasa trimestral

90= tasa diaria

tasa bimestral 6 = tasa anual

tasa bimestral

2= tasa mensual

tasa bimestral

4= tasa quincenal

tasa bimestral

60= tasa diaria

tasa mensual 12 = tasa anual

tasa mensual

2= tasa qincenal

tasa mensual

30= tasa diaria

tasa quincenal

15= tasa diaria

tasa diaria 360 = tasa anual

tasa diaria 30 = tasa mensual

tasa diaria 15 = tasa quincenal

2.2.3. Interes comercial u ordinario. Interes real o exacto

Definicion 2.2.2. Un ano comercial es una forma de contabilizar el tiempo mediante el cual

la duracion del ano se ajusta a 360 das.

La razon para dicho ajuste en la duracion del ano natural esta en la simplificacion de

muchos calculos, principalmente en el area financiera. Se toma un ano como la suma de doce

meses, simplificando la duracion de esos meses y haciendolos todos iguales a 30 das. Con ello,

todos los meses duran igual y suponen un total de 360 das al ano.

Este ano se utiliza para el calculo de intereses bancarios y de descuentos. Gracias a este

sistema, todos los meses devengan los mismos intereses (los correspondientes a 30 das) y no

devengan mas los meses de mayor duracion.

Por ello, no supone que el ano termine cinco das antes, sino que hace desaparecer 5 das

del calendario de forma artificial. Por lo demas, el ano sigue empezando el primer da de enero,

y terminando el ultimo da de diciembre.

Cuando utilizamos el ano comercial de 360 das significa que estamos trabajando a interes

comercial u ordinario. En cambio, si se utiliza el ano fsico, tambien llamado ano civil,

ano calendario o ano natural, con 365 das (o 366 si es bisiesto), entonces se hacen los

calculos a interes real o exacto. Convendremos en que, mientras no se indique lo contrario, se

trabajara con el interes comercial u ordinario.

2.2.4. Tabla de fechas

En la Matematica Financiera, se utilizan distintos metodos de calculo a la hora de contar

el tiempo que dura una operacion financiera, o las fechas de inicio y fin, en parte por facilitar

calculos, y en parte debido al tiempo que se tarda en formalizar una operacion financiera, a los

horarios de las entidades financieras, y a la presencia de das no laborables en el calendario.


Usaremos la tabla de fechas cuando es necesario calcular la cantidad exacta de das entre

dos fechas del plazo. En ella se indica cuantos das hay desde cualquier fecha de un mes, hasta

identica fecha de cualquier otro, bien sea dentro del ano o del siguiente.

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Enero 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334

Febrero 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303

Marzo 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275

Abril 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244

Mayo 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214

Junio 214 243 273 304 334 365 30 61 92 122 153 193

Julio 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153

Agosto 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122

Septiembre 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91

Octubre 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61

Noviembre 61 92 120 151 181 212 242 274 304 334 365 30

Diciembre 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365

Cuadro 2.4: Tabla de fechas

El manejo de la tabla de fechas se resume en los siguientes pasos:

Localice el mes de inicio de la operacion en la fila correspondiente.

Localice el mes de conclusion de la operacion en la columna que corresponda.

La interseccion de la fila (fecha inicial fi) y la columna (fecha final ff ) indica el numero

exacto de das entre identicas fechas de ambos meses.

Si la fecha final es mayor que la inicial, se suma la diferencia al numero que aparece en

la interseccion filacolumna. Por el contrario, si la fecha final es menor que la inicial se

restara la diferencia.

Ejemplo 2.2.4. Calcule la cantidad de das de un plazo comprendido entre:

a) El 6 de marzo y el 6 de noviembre

Solucion:

Si se siguen los dos primeros pasos se llega facilmente al resultado:

n = 245 das


b) El 14 de abril y el 9 de agosto

Solucion:

del 14/04 al 14/08: 122 das

del 14/08 al 09/08: 5 das

= 117 das

n = 117 das

c) El 11 de septiembre y el 30 de noviembre

Solucion:

del 11/09 al 11/11: 61 das

del 11/11 al 30/11: + 19 das

= 80 das

n = 80 das

d) El 21 de mayo del 2011 y el 17 de marzo del siguiente ano:

Solucion:

del 21/05 al 21/03: 304 das

del 21/03 al 17/03: 4 das

= 300 das

El plazo tiene 300 das, pero en el esta comprendido el mes de febrero del 2012, y como el

ano 2012 es bisiesto, entonces se sumara un da al plazo.

n = 301 das

EJERCICIOS RESUELTOS 2.2.1.

1. El 18 de julio, cierta empresa comercial adquiere mercancas por valor de 150000 soles,

acordando con el vendedor la devolucion del principal de la deuda el 16 de octubre e ir

pagando los intereses mensualmente.

a) Calcule el monto de la deuda si esta fue pactada al 12% simple anual.

b) Cuanto se pagara mensualmente por concepto de interes?

Solucion:

Datos:

C = 150000


i = 0,12 anual

fi := 18/07

ff := 16/10

Para el inciso a)

Calculo del tiempo de plazos:

del 18/07 al 18/10: 92 das

del 18/10 al 16/10: 2 das

= 90 das

Luego usamos la formula (2.3) para calcular el interes

I = Cin

= 150000 0, 12 90 das

= 150000 0, 12 90 das1 ano

360 das

= 150000 0, 12 0,25

= 4500

Para calcular el monto de la deuda usamos la formula (2.3) o la formula (2.1):

M = 150000 + 4500 = 154500

Para el inciso a)

Usaremos la formula (2.2). Como el mes comercial tiene 30 das, entonces

n = 90 das1 mes

30 das= 3 meses

luego:

Ik =I

n=

4500

3= 1500



I. Interes simple

1. Con fecha 21 de marzo, el Ingeniero Industrial Andres Tresado adquiere materia prima

cuyo valor no liquida de inmediato, sino que consigue un aplazamiento hasta el 20 de

mayo para cumplir con su obligacion. La tasa de interes acordada es del 9% simple

anual y la empresa debe pagar un monto de 121800 soles. Cual fue el valor de la

compra? Rpta. 120000

2. Hay que saldar una deuda de 81600 soles que se contrajo el 16 de octubre, al 0,5%

simple mensual y con un plazo que vence el 14 de abril del siguiente ano. Calcule

cuanto recibira el acreedor, incluyendo intereses. Rpta. 84048

3. La profesora Elsa Pito abre hoy una cuenta a plazo fijo en una sucursal del Banco

Popular de Ahorro. Su deposito es de 2000 soles y ganara el 6,5% de interes simple

anual, de modo que tendra un saldo final de 2130. Por cuantos meses se contrata esta

cuenta? Rpta. Por 12 meses

4. Dentro de 9 meses, un prestamo concedido por el Banco Industrial y a 3,5% simple

trimestral, habra ganado 5250 soles de interes. Que cantidad fue prestada al cliente?

Rpta. 50000

5. En el siguiente esquema aparece representada una operacion de composicion. Calcule:

i4 = 0,030 t

250000 272500

a) El interes simple devengado.

b) La tasa anual de interes.

c) El tiempo de plazo en meses.

d) El valor de cada pago trimestral que amortiza los intereses.

6. La empresa Cartoon Network debe pagar un monto de 11875 soles por una compra

de piezas de repuesto que hace el 12 de febrero, con plazo hasta el 13 de mayo y al

75% simple anual. Cuanto desembolsara la empresa con un pago unico al contado?

Rpta. 10000

7. Un semestre despues de contrada una deuda, la cooperativa Selva Virgen debe

cumplir su compromiso haciendo un pago unico y final de 63060 soles, que incluye


intereses calculados al 0,85% simple mensual. Cual era el valor inicial de la deuda?

Rpta. 60000

8. Cuanto habra que invertir hoy al 15% anual para que se pueda obtener dentro de

10 meses, 4500 soles mensuales de interes? Rpta. 360000

9. Que tasa de interes simple anual debe aplicarse para que 30000 prestados el 9 de

marzo se conviertan en 31425 el 19 de diciembre? Rpta. 6%

10. La Editorial Soka Gakkai adquiere nuevos equipos impresores que en total cuestan

3900000 soles. Para financiar la compra consigue un credito por dicha cantidad, al

8% simple anual y cuyo monto es de 4134000 soles. Calcule por cuantos meses se

concedio el credito. Rpta. Por 9 meses

11. Si la Compana Mercomar obtuvo un prestamo bancario por valor de 25000 soles que

ganan 625 en los 4 meses del plazo. Que tasa de interes simple anual fue acordada

con su acreedor? Rpta. 7,5%

12. El 10 de mayo, la Empresa Naviera del Golfo termina de saldar los intereses de una

deuda contratada al 0,75% simple mensual el 11 de noviembre del ano anterior. Se

sabe que la empresa pago 1203, 75 de interes mensual a lo largo del plazo. Calcule el

principal de la deuda. Rpta. 160500

13. La empresa Comercial Tropico adeuda 95600 que deben ser liquidados dentro de 6

meses, al 12% simple anual, con devolucion del principal al final del plazo y cancelacion

mensuales del interes.

a) Que monto pagara el deudor? Rpta. 101336

b) Calcule el valor de cada pago mensual de intereses. Rpta. 956

14. Con fecha 9 de abril, la empresa Ben 10 debera haber pagado 150000 soles por la

reparacion de varios de sus almacenes. Como no puede hacer frente de inmediato a esta

deuda, acuerda con su acreedor el pago de 1250 mensuales de interes, con devolucion

del principal el 6 de octubre. Si Ben 10 entrega 7500 adicionales a su acreedor:

a) Cuantos pagos mensuales debe hacer Ben 10? Rpta. 6

b) Que monto tiene que pagar? Rpta. 157500

c) Calcule la tasa de interes simple anual acordada entre las partes. Rpta. 10%

15. La Facultad de Economa contrato el 11 de mayo la compra de un lote de computa-

doras. Si la operacion tiene vencimiento el 6 de diciembre, pagos trimestrales de 3500

por pago de intereses y alcanza un monto de 110500:


a) Cual fue el valor de la compra? Rpta. 100000

b) Que tasa de interes simple anual acordaron comprador y vendedor? Rpta. 14%

16. Faltan 30 das para cumplir con un pago de 836000 soles, pero la empresa Lazy

Town solamente dispone de 800000. Si colocara este dinero en una inversion que a

los 30 das le permita completar la cifra del pago pendiente, a que tasa de interes

simple anual tendra que hacerlo? Rpta. Al 18%.

17. Una pequena empresa compra hoy mercancas valoradas en 100000 y tiene dos vari-

antes posibles para la liquidacion de la deuda:

A: Un pago inicial del 40% y cancelacion del resto en 6 meses, al 12% simple anual.

B: No se hace pago inicial, pero el plazo es de 4 meses y la tasa es del 15% simple

anual.

Cual es la variante mas ventajosa para la empresa?

18. Analice que sera mas conveniente para un banco en el plazo de un ano:

A: Prestar 200000 al 1% simple mensual.

B: Prestar el 60% de esa cifra al 7,5% simple semestral y el resto al 6,5% simple

anual.

19. La Corporacion Gaviota debe abonar 3600 soles cada tres meses por concepto de

intereses de una deuda de 120000, cancelable en un ano.

a) Que tasa simple trimestral convino en pagar el deudor? Rpta. 3%

b) Calcule la cantidad adicional que Gaviota debe pagar por el aplazamiento de la

cancelacion. Rpta. 14400

20. Una compana financiera invierte 2000000 soles el 8 de abril, al 15% simple anual. El

6 de agosto retira el dinero invertido y lo otorga en prestamo ese mismo da, de modo

que al finalizar el plazo obtiene un monto de 2205000

a) Que operacion resulto mas ventajosa para la compana?

b) Que tasa de interes simple anual aplico en la segunda? Rpta. 20%

21. Un capital C ha sido impuesto durante un ano y gana un interes que representa la

octava parte de dicho capital. A que tasa simple anual se llevo a cabo la operacion?

Rpta. 12,5%

22. La Compana MetalMecanica adquiere hoy equipamiento de mando digital destinado

a una nueva lnea de produccion. Paga un anticipo del 30% y se compromete a cancelar

el adeudo con un segundo plazo de 364000 dentro de tres meses, que incluye intereses

al 16% simple anual.


a) Cuanto adeuda la compana despues del pago inicial? Rpta. 350000

b) Calcule el precio de venta de los equipos comprados. Rpta. 500000

23. Despues de haber estudiado el caso, un analista de la Compana Financiera Atlantica

formula la siguiente recomendacion a la gerencia: Podremos obtener 270000 de interes

si el 21 de noviembre se le concede a la empresa X el prestamo que ha solicitado

por 6000000, siempre que se acuerde una tasa del 1,5% simple mensual. Como en el

informe se omite ese dato podra Ud. Determinar la fecha de vencimiento del plazo?

Rpta. 19 de febrero.

24. Dentro de 9 meses, el monto de un prestamo bancario obtenido 3 meses atras al 2,5%

trimestral, sera de 154000.

a) Cuanto le fue prestado al deudor? Rpta. 140000

b) Cuanto se paga trimestralmente por cancelacion de intereses? Rpta. 3500

25. Se contrata una deuda de 180000 al 9% simple anual el 17 de febrero, y sera cancelada

con los siguientes pagos: 40000 (21 de mayo), 80000 (17 de junio) y un ultimo pago

el 15 de octubre. Cuanto hay que pagar (incluyendo intereses) en esta ultima echa?

(saldos decrecientes). Rpta. 61800

3

INTERES COMPUESTO

Objetivos:

z Conocer los elementos o variables que intervienen en Interes Compuesto.

z Construir el modelo matematico para los distintos casos de Interes Compuesto.

z Establecer la representacion algebraica del modelo.

z Determinar el valor futuro de una inversion.

z Hacer un analisis comparativo de los datos y los resultados obtenidos.

3.1. Introduccion

El concepto y la formula general del interes compuesto es una potente herramienta en el

analisis y evaluacion financiera de los movimientos de dinero.

El interes compuesto es fundamental para entender las matematicas financieras. Con la

aplicacion del interes compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalizacion

del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interes sobre la base inicial mas todos los

intereses acumulados en perodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y

pasan a convertirse en nuevo capital.

Definicion 3.1.1. El interes compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de

un capital inicial o principal a una tasa de interes durante un perodo,en el cual los intereses

que se obtienen al final de cada perodo de inversion no se retiran sino que se reinvierten o

anaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.

Llamamos monto de capital a interes compuesto o monto compuesto a la suma del capital

inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el

27


interes compuesto.

El intervalo al final del cual capitalizamos el interes recibe el nombre de perodo de capi-

talizacion. La frecuencia de capitalizacion es el numero de veces por ano en que el interes pasa

a convertirse en capital, por acumulacion.

Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interes compuesto:

El capital original (C)

La tasa de interes por perodo (i)

El numero de perodos de conversion durante el plazo que dura la transaccion (n).

3.1.1. Formulas

Formula para el monto compuesto:

Veamos ahora como se forma el monto compuesto.

N Stock inicial Interes periodico Stock final

n C Ci C + Ci

1 C Ci C + Ci = C(1 + i)

2 C(1 + i) C(1 + i)i C(1 + i) + C(1 + i)i = C(1 + i)2

3 C(1 + i)2 C(1 + i)2i C(1 + i)2 + C(1 + i)2i = C(1 + i)3

4 C(1 + i)3 C(1 + i)3i C(1 + i)3 + C(1 + i)3i = C(1 + i)4

......

......

n C(1 + i)n1 C(1 + i)n1i C(1 + i)n1 + C(1 + i)n1i = C(1 + i)n

M = C(1 + i)n

Cuadro 3.1: Monto compuesto

Monto compuesto

M = C(1 + i)n

Interes compuesto Capital Tasa de interes Tiempo

I = C[(1 + i)n 1] C = M(1+i)n i =

(

n

MC 1

)

100 n = log(M/C)log(1+i)

Cuadro 3.2: Formulas para el monto compuesto


3.2. Factor simple de capitalizacion FSC

Definicion 3.2.1. Es aquel que se aplica a un capital, deposito o prestamo, para calcular el

importe total o monto al final del plazo.

FSC > 1

Formula para el factor simple de capitalizacion FSC

FSC = (1 + i)n

luego

M = C FSC

3.3. Factor simple de actualizacion FSA

Definicion 3.3.1. Es aquel que se aplica a un monto o stock final, para calcular el capital o

stock inicial que lo produjo.

FSA < 1

Formula para el factor simple de capitalizacion FSC

FSC = (1 + i)n

luego

C = M FSA

EJERCICIOS RESUELTOS 3.3.1.

1. Un cierto capital invertido durante 7 anos a una tasa de interes compuesto anual del 10%

se ha convertido en 1 583 945 soles. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se

han pagado semestralmente.

Solucion

Datos:

n = 7 anos

i = 10% anual


M = 1583 945

Convirtiendo el interes anual a semestral se tiene:

i = 10% =0,1 anual

2= 0,05 semestral

ahora con respecto al tiempo: 7 anos equivale a 14 semestres, entonces:

C =M

(1 + i)n=

1583 945

(1 + 0,05)14= 799 999,85

por lo tanto el capital fue de 800 000 soles.

2. Calcular la tasa de interes compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1 500 000

soles para que al cabo de 4 anos se haya convertido en 2 360 279 soless.

Solucion

Datos:

n = 4 anos

C = 1500 000 anual

M = 2360 279

i =

(

n

M

C 1

)

100 =

(

4

2 360 279

1 500 000 1

)

100 = 11,99999953

por lo tanto la tasa de interes compuesto anual es de 12%.



1. Un capital de 4000 soles se coloca durante 5 anos con una tasa anual compuesta de 30%.

Hallar el monto o valor futuro. Rpta. 14851,72

2. Un deposito de 6000 soles es remunerado con tasa mensual compuesta de 2,5% durante 1

ano y 3 meses. Hallar el monto. Rpta. 8689,79

3. Un deposito de 12000 soles que es remunerado con tasa trimestral compuesta de 3,2%, ha

sido colocado durante 12 meses. Hallar el monto. Rpta. 13611,31

4. La empresa FC Barcelona recibe un prestamo de 1800 soles del Banco UCL, el 16 de agosto

del 2011. Lo pagara el 12 de setiembre del 2011. Este banco cobra una tasa diaria compuesta

de 0,2%. Cual sera el monto que debera pagar la empresa deudora? Rpta. 1899,77

5. Hallar el capital que debera depositarse hoy para acumular un monto de 92000 soles dentro

de un ano y medio. La tasa mensual compuesta es de 3,5%. Rpta. 49529,22

6. Calcular el valor actual de un pago de 9000 soles que se recibira dentro de 2 anos si la tasa

mensual compuesta es de 1,4% Rpta. 6446,61

7. Un capital de 2400 soles, colocado durante un plazo de 8 meses, se ha convertido en 3040,25.

Hallar la tasa de interes mensual compuesta. Rpta. 3%

8. Un capital de 4500 soles depositado durante 5 anos, produce un monto de 5474,94. Hallar

la tasa de interes anual compuesta. Rpta. 4%

9. Sea un prestamo de 6 000 soles que se pagara con dos cuotas mensuales de 3181,18 soles

cada una. Calcular la tasa de interes compuesto mensual. Rpta. 4%

10. Sea un prestamo de 12 000 soles que se pagara con tres cuotas mensuales de 4199, 5319 y

3780 soles. Calcular la tasa de interes compuesto mensual. Rpta. 5,4%

11. Un capital de 8000 soles, colocado al 2,5% mensual compuesto, se ha convertido en 9509,49

soles. Hallar el plazo. Rpta. 7 meses

12. Un capital de 3000 soles, colocado con tasa anual compuesta de 5%, se ha convertido en

un monto de 4020,29 soles. Hallar el plazo. Rpta. 6 anos

13. Hallar el interes producido por un capital de 6000 soles colocado durante 4 anos, con tasa

anual compuesta de 4,8% Rpta. 1237,63


14. Hallar el monto producido por un capital de 2 000 soles que se coloca al 3% mensual

compuesto, durante un ano y medio.

15. Un empleado deposito S/. 5,250 en un banco que paga interes de 2% mensual compuesto.

Que stock final o monto podra retirar el empleado luego de 2 anos?

16. Hallar el capital que, colocado durante 10 meses al 1,8% mensual compuesto, produce un

monto de S/. 5 400.

17. Un industrial que desea comprar una maquina recibio tres ofertas:

a) Pagar al contado S/. 9 500.

b) Un solo pago de S/. 10 800 dentro de cuatro meses.

c) Un solo pago de S/. 11 600 dentro de seis meses.

Determinar cual oferta es la mas conveniente. La tasa mensual compuesta es 4%.

18. Un capital de S/. 2 400 colocado al 2,7% mensual compuesto, produjo un monto de S/. 2

816. Calcular el plazo.

19. Un capital de S/. 1 900 se coloco durante 8 meses. En ese plazo, produjo un monto de S/.

2 600.28. Calculnar la taza de interes mensual compuesto que se aplico.

20. Un capital de S/. 5 200 colocado durante 10 meses produjo al final del plazo un monto de

S/. 6 021.60. Calcular la tasa efectiva total.

21. Un prestamo de S/.15 000 se pagara en dos cuotas mensuales iguales de S/. 8 181.55 cada

una. Calcular la tasa de interes mensual compuesto que se aplico.

22. Un prestamo de S/. 14 000 se pagara con tres cuotas anuales de S/. 5 250, S/.5 000 y S/.

6 480. Interpolar sucesivamente y calcular la tasa anual de interes compuesto.

23. Un capital de S/. 7,450 se coloco durante siete anos, con tasa anual compuesta 2%. Calcular

el interes total que se genero.

24. Una empresa debera pagar al banco 7 200 soles dentro de cuatro meses y otros 11 500

soles dentro de seis meses. Acuerda cancelar todo con un solo pago R dentro de un ano,

aplicando tasa mensual compuesta 2%. Calcular R considerando fecha focal: 1) hoy; 2) el

da del pago R.


25. Un equipo de sonido cuesta al contado S/. 3 500. Se vende sin cuota inicial, para cobrar en

cuatro cuotas mensuales iguales. Se aplica tasa de interes mensual compuesta 3%. Calcular

la cuota fija.

26. Cuanto debe depositar usted hoy en un banco que paga una tasa compuesta mensual de

8%, para que pueda retirar $ 15 000 luego de un plazo de 18 meses?

27. Se dispone de 1 000 000 de soles el cual se deposita en una entidad financiera que le pagara un

interes mensual del 2,5% sobre la cantidad inicial acumulada cada mes. Cuanto se tendra al

final de 1 ano? Rpta. 1 344 888,82

28. Cuanto debera depositarse hoy en una entidad financiera que paga un interes trimestral

compuesto del 8,5%, para tener 4 000 000 dentro de 2 anos? Rpta. 2 082 677,79

29. Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalizacion

trimestral, para disponer de 20000 al cabo de 10 anos. Rpta. 4586,75

30. Una entidad financiera ofrece que, por cualquier monto que se le entregue, devolvera el

doble al cabo de 30 meses. Que interes esta pagando? Rpta. 2,3% mensual

31. Cada cuanto se duplica el dinero invertido al 2%? Rpta. 35 periodos de tiempo

32. Cuanto dinero debe pagarse a un banco que hizo un prestamo de 300 000 soles si se reembol-

sa al ano capital e interes y la tasa aplicada es de 24% anual convertible trimestralmente?

Rpta. 378 743,09

4

DESCUENTO

Objetivos:

z

4.1. Documentos mercantiles

Las operaciones comerciales y financieras casi nunca se liquidan de inmediato, sino que

el deudor cumple su compromiso en fecha posterior a la de contratacion. Por otra parte, son

muchas las ocasiones en que las entidades necesitan disponer de efectivos y con ese proposito

materializan en documentos los creditos que poseen contra terceros. Estos documentos son

negociables y con ellos se puede comprar y pagar; pueden circular como si fuesen dinero, ya

que estan respaldados por la solvencia del deudor, pero dinero que no se puede hacer efectivo

hasta la fecha de vencimiento.

En su practica cotidiana, las entidades economicas hacen uso de documentos que consti-

tuyen formales promesas de pago y que estan sujetos a lo que en cada pas esta legislado al

efecto.

Los documentos mercantiles, tambien llamados efectos comerciales, son aquellos que

implcitamente expresan una promesa de pago. Desde el punto de vista contable son efectos a

cobrar a corto y a largo plazo.

Existen distintos tipos de documentos mercantiles: la letra de cambio, el pagare, el cheque,

la carta de credito, la tarjeta de credito, la tarjeta de debito, etc. En esta seccion centraremos

la atencion en los dos primeros.

35


4.1.1. La letra de cambio

Hacia el siglo XIII los banqueros venecianos comenzaron a utilizar este documento mercan-

til, con lo que las transacciones comerciales y bancarias adquirieron notable impulso. Gracias

a su uso se hizo innecesario portar ingentes cantidades de dinero metalico; tomese en cuenta

que no es hasta el siglo XVIII que comienza a generalizarse el billete de papel, y eso en las

naciones de mayor podero economico.

Caractersticas de la letra de cambio

La letra de cambio es un documento expedido en forma legal, mediante el cual una persona

ordena a otra que pague, a la orden de ella misma o de un tercero, una suma de dinero, en

lugar y fecha determinados por el documento.

Conviene aclarar que el termino persona hace referencia tanto a personas fsicas o nat-

urales, como a personas jurdicas; es decir, empresas e instituciones.

Personas que intervienen en la letra de cambio

Librador o girador: Quien emite el documento.

Librado o girado: La persona a quien va dirigida la letra, y que es quien paga.

Beneficiario, tomador o tenedor: Es la persona que cobra la letra, aunque comunmente

se denomina beneficiario al original, y tomador a los posteriores beneficiarios.

Datos que debe contener una letra de cambio

Lugar, da, mes y ano en que se libra.

Fecha o epoca en que debera ser pagada.

Nombres y apellidos, razon social o ttulo a cuya orden se libra.

Nombres y apellidos, razon social o ttulo a cuya orden se manda a hacer el pago.

Nombres y apellidos, razon social o ttulo del librador o su apoderado.

La cantidad que el librador manda a pagar, en numeros y letras; si hubiera discrepancia

entre ambas escrituras, se paga atendiendo a la cantidad escrita en letras.


Terminos de vencimiento

Una letra de cambio puede librarse con diferentes terminos o plazos, que pueden ser:

A la vista: En el acto de presentacion.

A das o meses vista: Se contara a partir de su presentacion, y lo acredita la aceptacion

de la letra, contandose desde el da siguiente a su aceptacion.

A das o meses fecha: Igual que en el termino anterior, pero partiendo de la fecha de

emision.

A da fijo: Es obligatorio que se pague en la fecha indicada.

Duplicados de letras de cambio

Los tenedores de letras de cambio estan en su derecho de exigir de los libradores la expe-

dicion de segundas, terceras y cuantas copias necesiten, expresando en todas ellas que no se

consideran validas sino en el caso de no haberse pagado en virtud de la primera o de otras

expedidas anteriormente.

Momentos de la letra de cambio

Aceptacion: Reconocimiento por parte del librado de que s esta obligado al pago.

El documento tiene que ser presentado al librado para que este lo acepte, llenando los

espacios destinados a ese fin y anotando la palabra acepto (o aceptamos), la fecha

y su firma, o manifestando al portador las razones que tuviera para no aceptar la letra.

Aval: Es una garanta escrita que suscribe la institucion o persona que ofrece seguridad

de que el librado pagara la letra. Normalmente esta garanta se consigna en el documento,

escribiendose las palabras Por Aval, acompanadas de la firma del avalista.

Endoso: Es el acto jurdico por el cual se transfiere cualquier documento a la orden, o

pasa al dominio de otra persona. Las letras de cambio son documentos transferibles y

facilitan los pagos sin que sea necesaria al presencia de dinero fsico; una persona que

recibe una letra puede pagar con ella a otra persona que, a su vez, puede pagar a otra,

y as sucesivamente. La persona que transfiere la letra se denomina endosante, y la

persona a la cual se le endosa recibe el nombre de endosatario. Quien transfiere la letra

tiene que responder porque se le pague al endosatario. La letra ha de estar expedida a


la orden para poder ser endosada, y el proceso de sucesivas transferencias tiene como

lmite la fecha de vencimiento.

Protesto: Es el medio de que se dispone para hacer patente la falta de aceptacion o de

pago, o de ambos aspectos, de una letra de cambio. El protesto se materializa mediante

acta notarial que de fe de la falta de pago por parte del deudor, dandose as inicio

a las diligencias encaminadas a la avenencia entre las partes, y posteriormente, si fuere

necesario, iniciar el proceso judicial que corresponda. Los gastos de protesto son pagados

por el librado.

Perjuicio de la letra de cambio: Las letras que no se presenten a la aceptacion o al

pago dentro del termino senalado, o si no son protestadas oportunamente, quedan per-

judicadas. Cuando una letra queda perjudicada el tenedor pierde las acciones cambiarias

que establece la ley, y para exigir su pago tiene que acudir a otros procedimientos.

Un modelo de letra de cambio podra ser el de la figura (4.1)

4.1.2. El pagare

Es tambien un documento formal que expresa una promesa de pago, por el cual una persona

natural o jurdica se compromete a entregar a otra, y en un plazo determinado, una suma de

dinero estipulada en el documento.

El pagare se utiliza en prestamos a corto plazo y debe ser pagado por la persona que lo

suscribe, en esto se diferencia de la letra de cambio. En general, al pagare le son aplicables las

normativas del Codigo de Comercio relativas a la letra de cambio, aunque sin la fuerza legal

de esta y sin el requerimiento de aceptacion.

Otorgante y tenedor: Se denomina otorgante a la persona que expide el pagare; la

persona que tiene derecho a cobrar el documento, este o no mencionada en el mismo, se

designa como tenedor.

Vencimiento: Cuando la fecha de vencimiento no aparece en el documento, suele en-

tenderse que tiene plazo de un ano. Con frecuencia se extienden pagares con plazo menor

o mayor de un ano.

Endoso: Los pagares expedidos a la orden son endosables; en cambio, si son expedidos

a persona determinada, no son endosables.


LETRA DE CAMBIO

Aceptamos: Lugar y fecha de emision

PorCantidad en numeros.

Fecha de aceptacion. A das vista se servira Ud. mandar a pagar por esta unica decambio a la orden de:

Firma del librado Beneficiario

La cantidad deCantidad en letras

LibradoA:

Lugar donde se pagara la letra

Letra No. Firma del librador

Al dorso del documento, el Endoso:

Paguese a la orden de:Endosatario

Fecha Firma del endosatario

Figura 4.1: Letra de Cambio

Valor nominal: La cantidad escrita en el pagare es su valor nominal, pero si el docu-

mento gana interes a lo largo del plazo, entonces su valor nominal es la cantidad escrita

mas el interes que debe ganar.

Series de pagares: Cuando las operaciones son a largo plazo, tanto para el comercio

nacional como internacional, se utilizan pagares como documentos de amortizacion de

las deudas; el comprador expide series de pagares a favor del vendedor con los importes

y las fechas de vencimiento acordados.

Fiador solidario: Puede suceder que el prestamista no conozca lo suficiente al solici-

tante del prestamo, o que no le merezca suficiente confianza; en casos como este se exige

como garanta la firma de una persona que confiera solidez a la operacion y que, de

hecho, se convierte en fiador solidario del deudor.


A continuacion, presentamos un modelo de pagare:

PAGARE

Lugar y fecha de expedicion

A das de la fecha, pagare a la orden de:

Tenedor

Cantidad en numeros y en letras

Pagaderos en:Direccion del lugar donde habra de pagarse

Valor recibido con interes del % anual:

Cantidad en numeros y en letras

Vencimiento:Fecha de vencimiento

Pagare No.Firma del otorgante

Figura 4.2: Pagare

5

TASA EFECTIVA Y NOMINAL

Objetivos:

z

41

6

ANUALIDAD

Objetivos:

z

Factor NombreNotacion Convierte

FormulaAlgebraica Un En

FSCFactor simple de

(1 + i)n C M M = C FSCcapitalizacion

FSAFactor simple de

(1 + i)n M C C = M FSAactualizacion

FCSFactor de capitalizacion (1 + i)n 1

iR M M = R FCS

de la serie

FDFAFactor de deposito al i

(1 + i)n 1M R R = M FDFA

fondo de amortizacion

FASFactor de actualizacion (1 + i)n 1

i(1 + i)nR C C = R FAS

de la serie

FRCFactor de recuperacion i(1 + i)n

(1 + i)n 1C R R = C FRC

del capital

Cuadro 6.1: Factores financieros

43

7


CON MAPLE

Objetivos:

Ejecutar los calculos matematicos fundamentales respetando las convenciones respecto a

la precedencia de las operaciones.

Plantear y resolver problemas que involucren progresiones.

7.1. Tasa de incremento y disminucion

Programa 7.1. Tasa de incremento

> restart:

> Digits:=4:

> Ti:=proc(Td)

> Td/(1-Td)

> end proc:

> Tasa_incremento:=Ti(0.20);

Tasa_incremento := 0,2500

Programa 7.2. Tasa de disminucion

> restart:

> Digits:=4:

> Td:=proc(Ti)

> Ti/(1+Ti)

45


> end proc:

> Tasa_disminucion:=Td(0.25);

Tasa_disminucion := 0,2000

SIMBOLOGIA

I, Interes.

M , Monto, Valor esperado, Valor final,

Stock final.

C, Capital, Principal, Valor inicial, Stock

inicial.

i, Tasa de interes, redito.

n, Numero total de periodos, plazo.

ie, Tasa efectiva.

j, Tasa nominal.

m, Numero de capitalizaciones.

TEA, Tasa efectiva anual.

TES, Tasa efectiva semestral.

TET, Tasa efectiva trimestral.

TEB, Tasa efectiva bimestral.

TEM, Tasa efectiva mensual.

TED, Tasa efectiva diaria.

TNA, Tasa nominal anual.

TNS, Tasa nominal semestral.

TNT, Tasa nominal trimestral.

TNB, Tasa nominal bimestral.

TNM, Tasa nominal mensual.

TND, Tasa nominal diaria.

FSC, Factor simple de capitalizacion.

FSA, Factor simple de actualizacion.

FCS, Factor de capitalizacion de la serie.

FDFA, Factor de deposito al fondo de

amortizacion.

FAS, Factor de actualizacion de la serie.

FRC, Factor de recuperacion del capital.

47

FORMULARIO

Interes simple

1. Interes:

I = Cin

I = M C

2. Monto:

M = C + I

M = C(1 + in)

3. Capital:

C =I

in

C =M

1 + in

4. Tasa de interes:

i =I

Cn

i =M C

Cn

5. Numero de periodos:

n =I

Ci

n =M C

Ci

Interes compuesto

1. Interes:

I = C[(1 + i)n 1]

2. FSC:

FSC = (1 + i)n

3. FSA:

FSA = (1 + i)n

4. Monto:

M = C(1 + i)n

M = C FSC

5. Capital:

C =M

(1 + i)n

C = M FSA

6. Tasa de interes:

i =n

M

C 1

7. Numero de periodos:

n =log(M/C)

log(1 + i)

Descuento

1.

Tasa efectiva y nominal

1. Monto:

M = C(1 + ie)

M = C

(

1 +j

m

)

n

2. Tasa efectiva:

ie =

(

1 +j

m

)

n

1

49


3. Tasa nominal:

j = m( n1 + ie 1)

4. Interes:

I = C

[(

1 +j

m

)

n

1

]

Anualidad

1. Monto:

M = R

[

(1 + i)n 1

i

]

Bibliografa

[1] Alvarez, A. Matematicas Financieras. Editorial Mc Graw Hill, Colombia, 1995.

[2] Canovas Theriot, Roberto. Matematicas Financieras: fundamentos y aplicaciones. Edito-rial Trillas, Mexico, 2004.

[3] Daz Mata, Alfredo. Aguilera Gomez, Victor M. Matematicas Financieras. Editorial McGraw Hill, Mexico., cuarta edition, 2008.

[4] Sabino, Carlos. Diccionario de Economa y Finanzas. Editorial Panapo, Caracas, 1991.

[5] Villalobos, J. Matematicas Financieras. Editorial Iberoamericano, Mexico, 1998.

[6] Zima, Petr. Brown, Robert L. Matematicas Financieras. Editorial Mc Graw Hill, Mexico,segunda edition, 2005.

Indice alfabetico

anocalendario, 19civil, 19comercial, 19natural, 19

capital, 12costo, 6

factorsimple de actualizacion FSA, 29simple de capitalizacion FSC, 29

fechafinal, 20inicial, 20

interes, 9comercial, 19compuesto, 27fijo, 11ordinario, 19simple, 13total, 12variable, 11

monto, 12compuesto, 28simple, 15

plazo, 12principal, 12proporcion, 3

redito, 12razon, 3

tabla de fechas, 19tasa , 4

de disminucion, 5de incremento, 5de interes, 5

tiempo de imposicion, 12

valor futuro, 12valor inicial, 12venta, 6

53

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