MATEMATICAS-MATEMATICAS

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

MATEMÁTICAS

MÓDULO EN REVISIÓN

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE: CECAR DIRECCION DE EDUCACION ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD PROGRAMA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS COMPILADOR: HERNANDO CASTAÑO BUITRAGO

REDISEÑO: SANDRA ROJAS SEVILLA CAND. MAGÍSTER MATEMATICA APLICADA

ESP. MATEMATICA LICENCIADA EN MATEMATICAS

SINCELEJO – SUCRE 2014

1. INTRODUCCIÓN

Matemáticas Básicas es un módulo que pretende implícitamente un doble

propósito. Por un lado, desarrollar una metodología de estudio que permita

llevar a la práctica los planteamientos y estrategias de la Educación a

Distancia. Por otro lado, desarrollar un aprendizaje autónomo sobre la

aritmética y el álgebra con base en la exposición clara de los conceptos

fundamentales, seguidos de ejemplos ilustrativos y de la presentación de

una serie de ejercicios propuestos en las actividades.

El módulo comprende cuatro unidades. La primera ofrece un repaso amplio

de la aritmética con el estudio del sistema de números Reales. La segunda

trabaja el álgebra de polinomios, partiendo de las definiciones y terminología,

operaciones con polinomios, Factorización y finalizando con la solución de

ecuaciones lineales y cuadráticas y solución de inecuaciones. La tercera

trata lo referente a las Funciones, en ella se presentan los conceptos de

Dominio, Rango, Dominio y Rango restringido, gráfica de funciones Reales y

aplicaciones en la Administración y Economía. La cuarta unidad, trata sobre

la línea recta y funciones lineales; su grafica, ecuación y aplicaciones a

problemas de Administración y economía (Función lineal de costos, de

ingresos, de utilidad, punto de equilibrio y depreciación lineal).

La forma como se plantea el desarrollo del modulo, dotara al alumno de

destreza en el manejo de conceptos y operaciones básicas indispensables

para entender y manipular todo lo relacionado con la parte Matemática que

toca con su formación profesional como administrador de empresas.

2. JUSTIFICACIÓN

El Ministerio de Educación Nacional (MEN ) considera “La Matemática es un

lenguaje universal, que no solamente es propio de los Matemáticos sino que

cualquier individuo requiere para poder interrelacionarse con otros, no

obstante existen individuos que solo requieren un manejo informal de de este

leguaje Matemático, pero aquellas personas que se están formando

profesionalmente deben pasar a un nivel superior (formal), adquiriendo en su

formación profesional competencias Matemáticas que le permitan

desarrollarse con calidad en el campo laboral”.

Dicho lo anterior es pertinente comunicar este lenguaje matemático a los

estudiantes de Administración de Empresas, la ausencia de conocimientos

previos y la aprehensión de los mismos obstaculizan este proceso; Por lo

cual para el desarrollo de la asignatura se ha tenido en cuenta las

competencias Matemáticas genéricas de los egresados de la educación

superior según Villaveces 2012. Teniendo en cuenta los resultados

obtenidos en la prueba diagnóstica que se ha realizado durante los últimos 4

años a los estudiantes de primer ingreso, lo cual indica que la mayor

proporción se encuentran en un nivel bajo de competencias matemáticas,

entonces si la intensión es que los estudiantes avancen a un nivel superior

en el dominio de este lenguaje se debe disminuir en gran medida esos

espacios de dificultad con que ingresan los estudiantes al facultada de

Ciencias económicas y administrativas de CECAR para que así puedan

avanzar a otro nivel.

3. FORMAS DE ABORDAR LA LECTURA DEL MODULO

Para que sea más provechosa su actividad de aprendizaje, se recomienda

seguir las siguientes sugerencias:

1. Inicie la actividad dando una ojeada general al módulo, revisando

títulos y subtítulos para ubicarse en la panorámica de la temática.

2. Realice una lectura atenta de las unidades, señalando y anotando las

ideas centrales, los conceptos básicos y sus relaciones.

3. Compare los conceptos emitidos por usted en la sesión atrévete a

opinar, contrástala con la del módulo, busca puntos comunes y

diferencias. re elabore las conceptualizaciones.

4. Responda a los interrogantes y acciones que se plantean en lecturas

complementarias y en los recuadros que aparecen en c/u de las

unidades.

5. Anote las dudas e inquietudes para llevarlas al tutor y demás

compañeros en la sesión presencial.

6. Repita el ciclo para la lectura de cada una de las unidades.

4. PROPÓSITOS DE FORMACIÓN

Al final del curso el alumno será capaz de entender, interpretar y aplicar los

conceptos básicos de la aritmética y del algebra a un contexto específico, en

materias que cursará posteriormente y en su práctica profesional, a través

del análisis crítico en la solución de problemas que involucren regla de tres,

porcentajes, polinomios ecuaciones lineales, funciones exponenciales y

logarítmicas.

5. REFERENTE TEÓRICO

Para la elaboración de la temática del modulo Matemáticas Básicas se ha

tenido en cuenta las competencias Matemáticas genéricas de los egresados

de la educación superior según Villaveces 2012. Ministerio de Educación

Nacional (MEN), la normatividad vigente como: La ley 30/1.992, o Ley de la

Educación Superior. El decreto1295 del 2.010, mediante el cual se

reglamenta el registro calificado de que trata la Ley 1188/ 2008 y la oferta y

desarrollo de programas académicos de educación superior. Los

Lineamientos del Ministerio de Educación Nacional (MEN) para la formación

por competencias en educación superior/2.009.

El Ministerio de Educación Nacional en su documento serie lineamientos

curriculares (1998) en cumplimiento del artículo 78 de la Ley 115 de 1994

consideran que las matemáticas en la escuela tienen un papel esencialmente

instrumental, que por una parte se refleja en el desarrollo de habilidades y

destrezas para resolver problemas de la vida práctica, para usar ágilmente el

lenguaje simbólico, los procedimientos y algoritmos lo cual conlleva al

desarrollo del pensamiento lógico-formal.

No obstante El profesional de Administración de Empresas debe estar

preparado para desenvolverse en empresas modernas que demandan

trabajadores capaces de realizar tres tipos de tareas: identificación de

problemas, solución de problemas y definición de estrategias además de que

el mercado internacional y la globalización exige debe hacer énfasis en la

mercadotecnia y los negocios en los cuales se aplican métodos cuantitativos

y cualitativos por lo cual existe una necesaria y permanente renovación

didáctica de las Matemáticas.

6. ESTRUCTURA DEL MODULO MATEMATICAS BASICAS

7. COMPETECIAS TRANSVERSALES A DESARROLLAR

COMPETENCIAS DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO. Competencias del Saber

• Comprende los conceptos básicos de las matemáticas para analizar,

modelar y resolver problemas aplicando métodos y procedimientos

cuantitativos y esquemáticos. .

MATEMATICAS BASICAS

CONJUNTOS NUMERICOS ALGEBRA BASICA FUNCIONES

FUNCIONES LINEALES Y SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES 2X2

• Comprende los procesos relacionados con la identificación del

problema y la construcción/proposición de estrategias adecuadas para

su solución en la situación presentada; además del tratamiento de

datos, la modelación y el uso de herramientas cuantitativas

(aritméticas, métricas, geométricas, algebraicas elementales y de

probabilidad y estadística).

Competencias del Saber Hacer

• Selecciona la información relevante y establece relaciones entre

variables en la solución (el análisis) de un problema.

• Realiza cálculos sencillos para la ejecución de un plan de solución de

un problema. .

• Aplica estrategias cuantitativas orientadas a validar, corregir, o

descartar soluciones obtenidas a problemas propuestos.

COMPETENCIAS DE LECTURA CRÍTICA

Competencias del Saber: Comprende el texto como un todo y la

construcción del sentido global a partir de la interpretación de sus

componentes implícitos y explícitos.

Competencias del Saber Hacer: Identifica las relaciones entre distintas partes de los textos. Las relaciones pueden ser de implicación, inclusión, pertenencia, causalidad, orden, ejemplificación, categorización, equivalencia, complementariedad, oposición, contradicción y/o contraste, analogía o

contraargumentación.

Competencias del Saber Ser: Toma distancia del texto y rastrear las

concepciones de mundo subyacentes, mediante la identificación de las

estrategias discursivas utilizadas y el reconocimiento del rol de quienes

participan en la materialización de los discursos. Evalúa desempeños como:

COMPETENCIAS EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA COMUNICACIÓN TIC:

Competencias del Saber: Conoce criterios de búsqueda sencilla y

avanzada para hacer consultas en bases de datos especializadas.

Competencias del Saber Hacer: Busca, selecciona y organiza de manera

eficiente información proveniente de diversas fuentes de información.

Competencias del Ser: Valora la importancia de las Tecnologías de la

Información y la comunicación como un medio para facilitar su trabajo en

diversos contextos.

UNIDAD 1

PRESENTACIÓN

Un sistema numérico consta de un conjunto de elementos, una o más

operaciones, una o más relaciones y algunas reglas, axiomas o leyes que

satisfacen los elementos del conjunto. Esta unidad hace referencia a uno de

tales sistemas, el sistema de números reales, exponiendo las operaciones

y relaciones que en el se dan, con sus respectivas propiedades. La comprensión de esta unidad es fundamental para el buen desempeño en

los temas subsiguientes de matemáticas y en el estudio de las estadísticas

NOMBRE CONJUNTOS NUMERICOS

PREGUNTA PROBLEMA

¿Cómo crees que el conocimiento de la aritmética te puede ayudar

a resolver problemas de tu vida cotidiana?

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

♦ Reconoce los elementos que conforman los sistemas numéricos.

♦ Realiza operaciones con números reales

♦ Aplica propiedades para la simplificación de operaciones con números

reales.

♦ Interpreta el concepto de porcentaje y realiza cálculos

SABERES

• Propiedades de los números reales.

• Operaciones con números reales.

• Proporcionalidad.

• Regla de tres simple y compuesta (directa , inversa y mixta)

• Porcentajes

• Potenciación

• Exponentes Fraccionarios

DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO

ACTIVIDAD PREVIA (Trabajo Individual)

1. El producto de dos números negativos es

A. Negativo B. Positivo C. Par D. Impar

2. El producto de dos enteros de diferentes signos es

A. Negativo B. Positivo C. Par D. Impar

3. Todo número racional es:

A. Negativo B. Positivo C. Real D. Entero

4. Todo número real es:

A. Decimal B. Positivo C. Entero D. Racional

5. De las siguientes operaciones es interna en los números enteros:

A. Radicación B. Potenciación C. División D. Producto

6. 153575321225 −+−+− es igual a:

A. 20 B. –10 C. –20 D. 50

7. )2)(3)(5)(12( −−− es igual a:

A. –22 B. –360 C. 360 D. 22

8. El inverso de 121

es:

A. 121

− B. –12 C. 1212 D. 12

9. 4 625 es igual a:

A. 25 B. 5 C. 125 D. –5

10. 354

213

32

432 −+−+ es igual a:

A. 121

− B. 121 C.

67 D.

1214

−

11. Al calcular el 15% de 5000 se obtiene:

A. 75 B. 750 C. 4250 D. 550

12. Julián paga el 16% de una deuda a Jesús, si canceló $12.000, la deuda

de Julián era de:

A. $192.000 B. $75.000 C. $132.000 D. $750.000

ACTIVIDAD GRUPAL

1. Reunidos en CIPAS, lea nuevamente la unidad 1.

2. Socialicen los resúmenes elaborados de manera individual

e independiente.

3. Socialicen las respuestas de las actividades, que

respondieron de manera individual.

4. Desarrollen los ejercicios que se encuentra al final de la

Unidad 1 y discútanlos en el grupo de estudios. Estos

ejercicios deben ser socializados en la sesión junto con

todos los compañeros de grupo y entregados al tutor.

SABERES Y ACTIVIDADES

1. CONJUNTOS NUMERICOS 1.1. Propiedades de los números Reales.

Propiedades Suma Producto

Asociativa 𝑎𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎𝑎 + 𝑏) + 𝑐 𝑎𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑎𝑏)𝑐

Conmutativa 𝑎𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑏 = 𝑏𝑎𝑎

Existencia

del neutro

𝑎𝑎 + 0 = 0 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ 1 = 1 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎

Existencia

del inverso

aditivo y

multiplicativo.

𝑎𝑎 + (−𝑎𝑎) = (−𝑎𝑎) + 𝑎𝑎 = 0 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎−1 = 𝑎𝑎−1 ∗ 𝑎𝑎 = 1 , si 𝑎𝑎 ≠ 0

Propiedad

Distributiva

de la

multiplicación

con respecto

a la suma

𝑎𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑎𝑏 + 𝑎𝑎𝑐

Astorga Alcides y Rodríguez Julio. El conjunto de los números reales. Revista digital Matemática. Instituto tecnológico de Costa Rica. www.cidse.itcr.ac.cr.

En la siguiente dirección encontraras un pdf con ejemplos. Analizar desde página 1 hasta la 3.

http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Reales/FTPropiedades.pdf.

Complementar con el siguiente video: http://www.youtube.com/watch?v=x2EEmTWVhq8

http://www.cidse.itcr.ac.cr/

http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Reales/FTPropiedades.pdf

http://www.youtube.com/watch?v=x2EEmTWVhq8

1.1.1. Operaciones con el cero

Al realizar las cuatro operaciones básicas con el cero es muy común que

exista cierta dificultad al realizar divisiones, mostramos en forma general las

operaciones con el cero y sus resultados. (Recuerde la propiedad 7 de los

números reales).

a + 0 = a 0 + a = a

a – 0 = a 0 – a = - a

a (0) = 0 0 (a) = 0

En contraste, al efectuar divisiones que incluyen el cero se debe tener un

poco mas de cuidado.

• 0 ÷ 5 = 0 por que 0 (5) = 0

• 5 ÷ 0 = ?. Debemos encontrar un número que al multiplicarlo por cero

sea igual a cinco. Y sabemos que todo número multiplicado por cero es

igual a cero. a (0) = 0

Por ejemplo. 4 su inverso multiplicativo es 1 / 5 porque 5 x 1 / 5 = 1

2 /3 su inverso multiplicativo es 3 / 2 porque 2 / 3 x 3 / 2 = 1

• 0 ÷ 0 =? como cualquier numero que se multiplique por cero es igual

a cero, entonces esta división no tendría una única respuesta, sino

infinitas.

Por lo cual debe quedarle claro que la división entre cero no está definida.

1.1.2. Clasificación de números Reales

1.1.3. Sistema de Números Naturales

Está conformado por el conjunto de los números que utilizamos para contar,

incluyendo el cero. En el se definen dos operaciones internas como son la

suma y la multiplicación; es decir, para cualesquiera dos números naturales,

la suma y la multiplicación de ellos también es otro número natural, y pueden

establecerse las relaciones “ser mayor que”, “ ser menor que”, “ ser múltiplo

de” y “ser divisor de” entre otras.

1.1.3.1 REPRESENTACIÓN EN LA RECTA Los números Naturales se representan en la recta numérica, trazando una

semirrecta, cuyo origen corresponde al punto cero (0). A cierta distancia

arbitraria hacia la derecha se coloca el número 1 y manteniendo esta

distancia se coloca luego el 2, el 3, y así sucesivamente.

1.1.3.2 Múltiplos y divisores Múltiplos: Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando el número

por el conjunto de los números naturales. Por ejemplo, para hallar los

múltiplos de 9, se multiplica a 9 por cada elemento del conjunto N. Asi, el

conjunto de los múltiplos de 9 es:

{ }....990....180....,56,45,36,27,18,99 =M El conjunto de los múltiplos de un número es infinito.

Divisores: Los divisores de un número son aquellos números que lo dividen

exactamente, por ejemplo:

{ }12,6,4,3,2,112=D

{ }25,5,125 =D

{ }35,7,5,135 =D

El conjunto de los divisores de un número es finito

Números Primos: Todo número que posea exactamente dos divisores, el 1

y él mismo, se llama primo. Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . tiene la

propiedad de tener solamente dos divisores, por lo tanto son primos. Números compuestos: Los números que tienen más de dos divisores se

llaman compuestos. Todo número compuesto se puede expresar como el

producto de números primos, por ejemplo,

48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 324 x

Mínimo común múltiplo: el mínimo común múltiplo ( m.c.m), de dos o más

números, es el menor de los múltiplos comunes a dichos números.

Para hallar el m.c.m de dos o más números se descomponen los números

simultáneamente en sus factores primos, no necesariamente comunes, hasta

obtener uno en cada columna; el producto de estos factores es el m.c.m.

Ejemplos: Halla el m.c.m de 12 y 15

Solución: Se hace la descomposición en factores primos.

12 15 2

6 15 2

3 15 3 m.c.m (12 y 15) .= 2 x 2 x 3 x 5 = 60

1 5 5

1 1 1

2. Halla el m.c.m de 18, 24 y 30

Solución: 18 24 30 2

9 12 15 2

9 6 15 2

9 3 15 3 m.c.m ( 18,24,30) = 2 x 2 x2 x3 x 3 x 5

3 1 5 3 = 8 x 3 x 3 x 5 = 360

1 1 5 5

1 1 1

Máximo Común Divisor: El máximo común divisor (M.C.D), de dos o más

números, es el mayor de los divisores comunes a dichos números.

Para hallar el M.C.D de dos o más números, se descomponen

simultáneamente los números en factores primos comunes.

Ejemplos 1. Halla el M.C.D de 24, 36 y 48

Solución:

24 36 48 2

12 18 24 2

6 9 12 3

2 3 4 no existe un factor común de 2, 3 y 4

luego el M.C.D de 24, 36 y 48 es: 2 x 2x 3 = 12

2. Halla el M.C.D de 60, 96, y 100

Solución: 60 96 100 2

30 48 50 2

15 14 25 no existe factor común de 15, 24, y 25

Luego el M.C.D de (60, 96, 100) es 2x2 = 4

Actividad

1. Escribe los números del 1 al 100 en filas de 10, tacha los

números pares, luego los múltiplos de tres, luego los múltiplos

de cinco, los múltiplos de siete y por último el uno. ¿Qué

números te han quedado?

Hallar el m.c.m y el M.C.D de: a. 48 y 16 b. 20 y 30

c. 25 y 70 d. 12, 36 y 30

0

1.1.4. SISTEMA DE LOS NUMEROS ENTEROS El conjunto que contiene a los números naturales, los negativos u opuestos

de los números naturales y al cero, se llama conjunto de los números

Enteros y se representa con la letra Z.

Conjunto de números enteros: { }...,3,2,1,0,1,2,3,4... −−−−=Z

Entonces: { } +− ∪∪= ZZZ 0

−Z = Conjunto de números enteros negativos

+Z = Conjunto de números enteros positivos o naturales

Números enteros opuestos: Si en la recta numérica dos números se

encuentran a la misma distancia del cero, los números son opuestos. Un

número entero y su opuesto difieren en el signo. Observa: 3 y –3 son

números opuestos, se dice que –3 es el opuesto de 3 o que 3 es el opuesto

de –3.

En la recta numérica los puntos que representan a (+1) (positivo) y a ( –1)

(negativo), están a la misma distancia del punto de origen, pero en sentidos

opuestos.

0

Enteros negativos origen Enteros positivos

1.1.4.1. RELACIÓN DE ORDEN EN LOS ENTEROS:

La relación de orden entre números enteros se puede analizar en una recta

numérica.

De dos enteros cualesquiera, es mayor el que está a la derecha en la recta

numérica. Por ejemplo:

• 4 > 2, porque 4 está a la derecha de 2

• -3 > -5, porque -3 está a la derecha de – 5.

•

• 0 > -2, porque 0 está a la derecha de – 2

1.1.4.2. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

Los signos que llevan los números enteros (+) y menos (-), no son signos de

operaciones (adición y sustracción), sino que indican su cualidad de ser

positivos o negativos y su posición en la recta, a la derecha o izquierda del

cero. Cuando se prescinde del signo en un número entero, por ejemplo (-5),

resulta el número natural 5, este número natural 5 se llama “valor absoluto”

del número entero –5 y nos indica la distancia a que se encuentra el número

del cero u origen de la recta numérica. Así el valor absoluto de – 4 es 4 y el

valor absoluto de 5 es 5.

Un entero a es mayor que otro entero b, si a está a la derecha de b en la recta numérica. Todo entero positivo es mayor que cualquier entero negativo. El cero es mayor que cualquier número negativo

Los valores absolutos se indican generalmente encerrados en barras

verticales así: 4− = 4, se lee “valor absoluto de –4 es igual a 4”.

En general el valor absoluto de un número entero es el mismo número si el

entero es positivo o cero, y su opuesto si el entero es negativo.

1.1.4.3. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

ADICION En la suma de números enteros se puede presentar los siguientes casos:

a. Que los enteros tengan el mismo signo. En tal caso se suman como si

fueran números naturales y al resultado se le coloca el mismo signo de los

sumandos.

Ejemplos: a. ( -8) + (-5) = -13 b. 8 + 9 = 17 c. (-15) + (-40) = -55

b. Que los enteros tengan signos diferentes. En este caso, se restan

como si fueran números naturales y se coloca el signo del sumando de

mayor valor absoluto.

Ejemplos: a. -8 + 20 = 12 b. 15 + (-13 ) = 2 c. 45 + (-15) = 30

d. - 62 + 25 = - 37

SUSTRACCIÓN

La sustracción de números enteros es la operación inversa de la suma. Se

efectúa de acuerdo con el siguiente procedimiento: Al minuendo se le suma

el opuesto del sustraendo y el resultado de esta suma es la diferencia.

a – b =a + (-b) = c

a : minuendo, b : Sustraendo, c : Diferencia:

Ejemplos: 1. 42 – 31 = 42 + (-31) = 11

2. 46 – 59 = 46 + (-59) = -13

ACTIVIDAD

El siguiente video te ayudara a comprender la

representación en la recta de números enteros. http://www.youtube.com/watch?v=sgutYwXEOOk

a. ¿Qué número entero le debes sumar a 45 para obtener –135?

b. La diferencia de dos números es 25. Si el sustraendo es -5.

¿Cuál es el minuendo?

c. La adición de dos números es –18. si el mayor es –7, cual es

menor?.

http://www.youtube.com/watch?v=sgutYwXEOOk

MULTIPLICACIÓN

Para multiplicar dos números enteros se sigue la siguiente regla

1. El producto de dos enteros de igual signo es positivo.

2. El producto de dos enteros de diferente signo es negativo.

Ejemplos: a) 5 x 8 = 40 b) (-7) x (-6) = 42

c) (-8) x 9 = -72 d) 6 x (-12) = - 72

e) (–15)(-12) = 180 f) (- 13) x 12 = - 156

DIVISIÓN

Para hallar el cociente exacto de dos enteros se dividen sus valores

absolutos y al cociente se le coloca el signo (+) si los números tienen el

mismo signo y el signo menos (-)si tienen diferente signo.

Ejemplos:

11)11()121()323)96()71284) −=−÷−−=÷−=÷ cba

1.1.5. SISTEMA DE LOS NUMEROS RACIONALES

Está conformado por el conjunto de los números que se pueden escribir de la

forma ,ba donde a y b son enteros y b ≠ 0.

Así. Q =

≠∈∈ 0,,, bZbZa

ba

En el se definen las operaciones internas, suma, resta, multiplicación,

Division y potenciación de exponente entero. Pueden establecerse las

relaciones “ser mayor que” , “ ser menor que”, “ ser múltiplo de” y “ser

divisor de” entre otras.

Los números racionales contienen a los naturales y a los enteros. Son

racionales: ....02222.0.003.0,02.0,0,32,

43,5,2 −−−

Nota: Los números decimales exactos y los infinitos periódicos son

racionales, no así los infinitos no periódicos.

Los números racionales se pueden interpretar como fracción, como cociente

entre dos enteros, como operador y como razón.

Como fracción, el racional 53 , nos indica que la unidad se ha dividido en 5

partes iguales de las cuales se han tomado 3. Las partes en que se divide la

unidad se llama denominador y las partes que se toman se llama

numerador así:

53

Como el cociente de dos números enteros, el racional:

8 8, 8 4 2, , 24 41 1, 1 10, , 0.1

10 10

significa es decir

significa es decir

÷ = =

÷ =

Numerador

i d

Como operador, el racional 32 actúa sobre una cantidad y la modifica.

Observa:

Marta utilizó las dos terceras partes de sus ahorros ( $9.000) para comprar

un texto de inglés.

Observa:

El operador 32 implica dos acciones u operaciones sobre el número 9.000; la

multiplicación y la división o viceversa, el orden no interesa.

Si se considera el operador ba

, cuando a es mayor que b se tiene un

operador ampliador, si a es menor que b el operador es reductor.

1.1.5.1. REPRESENTACIÓN DE LOS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA

A cada número racional le corresponde un único punto en la recta numérica

Para ubicar un racional en la recta numérica, se toma la unidad y se divide

en tantas partes como lo indica el denominador de la fracción y de esas

partes se toman las indicadas por el numerador. Ampliar con el siguiente

video

http://www.youtube.com/watch?v=9ZxfdIAWPUk


1.1.5.2. OPERACIONES CON RACIONALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Para sumar o restar dos o más racionales con igual denominador se suman o

se restan los numeradores y se escribe el mismo denominador. En general:

Ejemplos:

32

357

35

37.2

56

542

54

52.1 −=

+−=+−=

+=+

1520

15137

1513

157.4

121

1289

128

129.3 −

=−−

=−−=−

=−

Para sumar o restar racionales con diferentes denominadores se efectúa de

acuerdo con la siguiente regla:

Ejemplos

993

2793

272172

93)73()98(

97

38.3

125

2410

241828

46)36()47(

43

67.2

4289

421277

76)26()711(

72

611.1

−=

−=

−−=

−−=−−

==−

=−

=−

=+

=+

=+

xxx

xxx

xxx

MULTIPLICACIÓN

Para multiplicar dos o más números racionales se multiplican numeradores

y denominadores entre sí. Si es posible se simplifica el resultado de la

multiplicación.

Ejemplos:

1. 158

5324

52

34

==×xx

2. ( ) ( )

157

3014

6028

12056

385724

37

82

54

====−−

=

−−

xxxxxx

DIVISIÓN Par dividir racionales, basta con multiplicar el racional dividendo por el

inverso multiplicativo del racional divisor. En general:

Ejemplos:

1. 710

1420

2754

25

74

52

74

====÷xxx

2. 34

2432

6448

64

48

46

48 −

=−

=−

=−=÷−xxx

También puedes efectuar el producto cruzado y multiplicar directamente

3. 421

1263

4397

94

37

===÷xx

ACTIVIDAD

1. Representa en la recta numérica los siguientes racionales

2. Efectuar las siguientes operaciones entre números racionales; simplifica el

resultado si es posible.

1.1.5.3. EXPRESIÓN DECIMAL DE UN RACIONAL Cualquier racional se puede escribir en notación decimal dividiendo el

numerador entre el denominador.

Ejemplos:

25,041....666.3

411.428,0

73.44,0

94. ==== dcba

Cuando un número decimal tiene finitas cifras decimales y las escribimos

todas, se dice que esa es su expresión decimal exacta.

875,1163025,0

41.125,2

817. === cba

Cuando un número decimal tiene infinitas cifras decimales y existe cierta

cantidad de cifras que se repiten indefinidamente se dice que es periódico.

El grupo de cifras que se repite se llama período.

...477777,590493....25252525,3

99322....33333,4

313. === cba

1.1.5.4. OPERACIONES CON NÚMEROS DE DECIMALES

SUMA Y RESTA

Para sumar o restar dos números decimales, se ubica uno debajo del otro

cuidando que los puntos decimales queden en columna y se procede como

una suma o resta de naturales. El punto decimal del resultado debe quedar

en línea con los anteriores. Si los números que se suman o se restan no

tiene la mismas cifras decimales se escriben ceros hasta igualarlas.

Ejemplos:

+

282,250

278,75560,325

-

812,238

458,219270,458

-

79,0

93,872,9

1,2

6,35,1

−

MULTIPLICACIÓN

Los números decimales se multiplican como números enteros, separando en

el resultado tantas cifras como cifras decimales tengan los dos factores

juntos.

Ejemplos:

61404,272,5457,0.234,7894,3236,24. =×=× ba

DIVISION

Para facilitar la División de decimales, tanto el dividendo y el divisor deben

tener el miso números de cifras después del punto decimal. En caso de no

ser asi, se debe completar con ceros y luego proceder a dividir como

números enteros. El punto decimal se coloca en el cociente cuando se ha

obtenido el último residuo y se desee continuar la división, en tal caso se

agrega cero al último residuo.

Ejemplo.

Dividir 310,25 entre 7,3

1.1.6. SISTEMA DE LOS NUMEROS IRACIONALES

Los antiguos griegos encontraron que la diagonal de un cuadrado y la longitud

del lado, eran magnitudes que no se podían expresar como la razón de dos

números enteros. Este descubrimiento sorprendió tanto la mente de los

matemáticos de la época que las llamaron magnitudes inconmensurables y al

número que las determina números irracionales 1

Otras magnitudes inconmensurables son la longitud de una circunferencia y su

diámetro, las cuales son determinadas por un número llamado PI que se

representa con la letra griega π .

Asi, podemos entonces definir los números irracionales como aquellos que no

son posible representarlos como la razón entre dos números enteros, es decir

los que no son Racionales.

Algunos irracionales son: ...00001010010001.0,,6,5,3,2 π

1.3.1 OPERACIONES CON NÚMEROS DE IRRACIONALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN:

El siguiente video te ayudara a comprender División de números decimales. http://www.youtube.com/watch?v=dYaWQqOT8aM

http://www.youtube.com/watch?v=wCTG8ILpkcA

http://www.youtube.com/watch?v=dYaWQqOT8aM

http://www.youtube.com/watch?v=wCTG8ILpkcA

Para poder sumar o restar radicales cuadráticos estos deben tener los

mismos radicando; para conseguirlo hay que extraer factores fuera del

radicando.

Ejemplos 1. Efectuar las operaciones indicadas1

21022023022422026326504182

2242)4(621662166326

2202)5(422542254504

262)3(22.92922182

326504182.

=−=+−=+−

====

====

====

+−

Luegox

x

x

Soluciona

18318391839243812273

39381381243

18)3)(3(2992812

393)3(3393393273

243812273.

−=+−=+−

===

===

====

+−

Luegox

x

Soluciònb

MULTIPLICACIÓN:

Para obtener el producto de dos radicales semejantes, basta multiplicar las

cantidades subradicales.

1 Matemática 2000. editorial voluntad, pag. 61. 1991

Ejemplos

24154321545332.

52555.

1553.

==

==

=

xxxxc

xb

xa

DIVISIÓN

Para obtener el cociente de dos expresiones radicales basta realizar la

división entre las cantidades subradicales y simplificar si es posible .

27

217

417

417

287

214282714.

24520520.

=

====÷

==÷=÷

b

a

1.2 OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

El estudio de las operaciones; Suma, resta, Multiplicación y División con

números reales es una extensión de lo estudiado en los anteriores sistemas,

por lo tanto nos referiremos a dos operaciones básicas en los reales (que

son posibles en los otros sistemas con algunas restricciones)

POTENCIACIÓN

La operación de potenciación se define en los números reales como una

multiplicación abreviada cuando los factores son iguales. Así al tener 4 x 4 x

4 x 4 x 4, esto se puede representar por 45, donde el número 4 recibe el

nombre de base y 5 es el exponente. Se debe tener en cuenta que la base

puede ser positiva o negativa.

Es decir, n veces

. . . a x a x a x a x a = 𝒂𝒏 para todo a en los reales y 𝒏 entero.

También se debe tener en cuenta la ley de los signos aplicada en la

multiplicación de números enteros.

2 x 2 x 2 = 23 = 8 ; 1)1()1()1()1()1( 4 =−=−−−−

62555555;8)2()2()2()2( 43 ==−=−=−−− xxx

Propiedades de la potenciación:

• Producto de potencias de igual base:

Para todo a en R , n, m en Z se tiene:

Ejemplos: 62312352323 )2()2()2()2()2();4444) −=−=−−−= +++ xxbxa

• Cociente de potencias de igual base:

Para todo a en R , a ≠ 0 , n ,m en Z se tiene:

Ejemplos:

1666666;

515

5555;44

4444 044

4

444

44

6

262123

2

323 ====÷===÷===÷ −−−

Potencia de una Potencia: Sea a en R y n, m, en Z entonces:

Ejemplos:

Potencia de un producto: Sean a y b reales y n entero, entonces:

Ejemplos:

[ ] 333222 )6(5)6(5);3)5()35() −=−−=− xxbxxa

Potencia de un cociente:

Sean a y b dos reales, b≠ 0 y n un entero, entonces:

Ejemplos:

278

32

32);

925

35

35) 3

33

2

22

==

==

ba

Exponentes Fraccionarios. Se ha definido am cuando m es un entero

cualquiera, ahora se extiende la definición al caso en que m es un número

racional arbitrario.

Considere na1

cuando n es un entero distinto de cero.

Cualquier número diferente de cero, elevado a un exponente cero es igual a 1

haciendo m = n1 , por la propiedad (potencia de una potencia) se tiene:

n

na

1

= aaan

n==

11

.

De este modo, si hacemos b = na1

, se sigue que nb = a.

Observa: 2831

= , dado que 823 =

El símbolo n a también se utiliza en lugar na1

, es decir, nn aa1

=

Así: 4 343

aa = ¸ 22 21

=

Ejemplos:

1. ( ) 23232 551

== por que 3225 =

2. ( ) 6216216 331

−=−=− porque ( ) 2166 3 −=−

3. ( ) 21616 441

== por que 1624 =

4. ( ) 221

44 −=− no tiene raíces reales, por que los números negativos sólo

tienen raíces n – ésimas cuando n es impar.

1.1.6.1. NOTACION CIENTIFICA

Un número esta en notación científica cuando se escribe como el producto de

un número entre 1 y 10 y una potencia de 10. Esto es, su expresión es de la

forma

Ejemplos:

a) 4,79 ×10 2 b) 7,392×10 7 c) 1,8×10 -3

Son números escritos en notación científica.

Conversión de números a notación científica. Se vuelve a escribir el número

dejando apenas una cifra a la izquierda del punto decimal, y se descartan todos

los ceros no significativos. El exponente al cual está elevado diez es igual al

número de lugares que se corrió el punto decimal desde su posición inicial,

positivo si se ha movido hacia la izquierda y negativo si se ha movido hacia la

derecha.

Ejemplo: Convierte 1975 a notación científica.

Solución: Se sitúa el punto decimal entre 1 y el 9, es decir, se corre tres

lugares hacia la izquierda. El exponente será +3, luego

1975 = 1,975 x103

Ejemplo: Convierte 0.000 005 70 a notación científica.

Solución: Como el punto decimal debe correrse seis lugares hacia la derecha,

el exponente es - 6.

Luego, 0.000 005 70 = 5,0 x 10 - 6

Se descartan los ceros no significativos situados a la izquierda del número 5, pero

se conserva el cero significativo a la derecha del número 7.

ACTIVIDAD

1. Efectuar las siguientes operaciones

2. Escribe en forma de potencia los siguientes productos:

a. (-5) x (-5) x (-5) c. t x t x t x t e . ( -8) (-8)

b. 7 x 7 x 7 x 7 d. (a.b) (a.b) (a.b) (a.b). f. (-p)(-p)(-p)

3. Simplificar aplicando las propiedades de la potenciación y resolver:

4. Simplifique las siguientes expresiones, eliminando paréntesis y exponentes

negativos.

5. Encuentre m tal que

1.3 PROPORCIONALIDAD TOMADO DE MÓDULO COMPETENCIAS BÁSICAS DE MATEMÁTICAS TIRSO MERCADO DIAZ

RELACIONES ENTRE MAGNITUDES

Razón: es una manera de comparar dos magnitudes. En términos generales,

una razón informa la comparación por división de dos números o de las

medidas de dos cantidades que pueden ser de la misma especie o de

diferente especie.

Se simboliza por:

" a es " :lee Se ó bab :a ba

𝒂 es el antecedente y 𝒃 el consecuente

Ejemplo:

• La velocidad es una razón entre la distancia recorrida y el tiempo gastado

para recorrerla: 20km/h, significa que un automóvil recorre una distancia

de 20 km cada hora.

• La razón entre la edad del hijo y la del padre si respectivamente tienen 20

años y 60 años es: 31

años60 años20

= que significa que por cada año del hijo el

padre tiene 3.

Proporción: corresponde a la igualdad de dos razones: si a/b e una razón y

c/d es otra razón y son iguales, se escribe y cumple:

lfundamenta propiedad ;bc ad dc

ba

=⇔=

𝒂 y 𝒅 se denominan medios y 𝒃 y 𝒄 extremos

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de

los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población.

Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La

proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El

factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las

relaciones entre las magnitudes.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA: En este caso al representar las dos

magnitudes que se están estudiando, presenta las siguientes características:

• Su gráfica es una línea recta que parte del origen del sistema de

coordenadas cartesianas.

• La constante de proporcionalidad, corresponde a la pendiente de la recta

y generalmente se le da un nombre, de acuerdo con lo que se esté

estudiando.

• La ecuación que relaciona o liga las magnitudes es de la forma y = K x. Esto significa que el cociente entre cada pareja de las magnitudes en la

tabla de datos es constante. No se deben olvidar sus unidades

respectivas.

La representación gráfica de dichas magnitudes es la que se muestra.

PROPORCIONALIDAD INVERSA: Presenta las siguientes características:

• Su gráfica es una hipérbola.

• La constante de proporcionalidad está dado por el producto de las parejas

correspondientes en la tabla de datos y también se le da un nombre de

acuerdo con el caso que se estudia.

• La ecuación que liga las magnitudes que se estudian es de la forma:

xKy =

Ejemplo: Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de

recorrido ¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones?

Solución

Se plantea un esquema de proporcionalidad

3 galones → 120km 20 galones → x

Se resuelve la proporción, de acuerdo a que existe una relación directa entre

las magnitudes.

800km20(40km)x

ndosimplifica 3g

20g(120km)x

==

⇒=

Se observa que si se aumenta el número de galones aumenta, el kilometraje

aumenta.

Ejemplo: Dos autos recorren exactamente la misma distancia. Al primero le

ha tomado dos horas llegar a su destino, rodando a una velocidad promedia

de 75km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en

llegar?

Solución Se plantea un esquema de proporcionalidad

75km/h → 2h 100 km/h → x

Se resuelve la proporción, de acuerdo a que existe una relación inversa

entre las magnitudes, para aplicar la proporción se invierte la segunda razón

y se aplica la propiedad fundamental de la misma.

1,5h2

3hx

ndosimplifica 100km/h

75km/h(2h)x

==

⇒=

Se observa que si la velocidad aumenta el tiempo disminuye.

PROPORCIONALIDAD LINEAL:

Veamos la siguiente situación: Se tiene un resorte, que tiene una longitud

inicial de 4 cm. Se le colocan cuerpos iguales y el resorte se alarga o estira a

medida que se le van adicionando dichos cuerpos y se obtiene la siguiente

tabla de datos.

N° de

cuerpos

0 1 2 3 5

longitud

(cm)

4 7 10 13 19

Aquí la variable dependiente es la longitud que se estira el resorte y la

variable independiente el N° de cuerpos que se le colocan al mismo.

Las relaciones entre magnitudes explican las reglas de tres simple directa,

inversa y reglas de tres compuesta directa, inversa y mixta.

1.4 PORCENTAJES Y REGLA DE TRES

1.4.1 El porcentaje da el número de partes que se toma de cada ciento

.

Ejemplo: Un porcentaje de rechazo de dos por ciento quiere decir que se

rechazan 2 partes de cada 100.

Ejemplo: Si usted realiza un préstamo con interés del 3% sobre el capital,

significa que por cada 100 pesos prestados usted debe pagar 3 pesos.

El porcentaje es otra forma de expresar una fracción que tiene como

denominador 100.

Ejemplo : Un 23 por ciento (escrito también 23%) de impuesto a la renta

quiere decir que 10023 de la renta gravable debe pagarse en impuestos.

Conversión de decimales a porcentaje. Para convertir decimales a

porcentaje se corre el punto decimal dos lugares a la derecha y se agrega en

seguida del número el símbolo de porcentaje (%).

𝑎𝑎% =𝑎𝑎

100

Ejemplo : (a) 0.15 = 15% (b) 0.74 = 74% (c) 0.025 = 2.5%

Conversión de fracciones comunes a porcentajes. Para convertir

fracciones a porcentajes, se expresa la fracción como decimal, y se convierte

éste decimal a porcentaje.

Ejemplos:

Conversión de porcentajes a decimales. Para convertir porcentajes a

decimales, se corre el punto decimal dos lugares hacia la izquierda y se quita el

signo de porcentaje (%).

Ejemplos: 33% = 0.33 15% = 0.15 125% = 1.25

Porcentajes: El tanto por ciento es una relación entre dos cantidades. Para

calcular el porcentaje se divide el entero en cien parte iguales y se toma de

ella la cantidad pedida.

Ejemplo: Si una cantidad se divide en 100 partes iguales y se toman 40 de

ellas, se tiene el 40 por ciento, que se escribe como:

40%0,410040

==

Un porcentaje es una razón de la misma especie la cual se multiplica por

cien.

Ejemplo: En la asignatura de Competencias Básicas de matemáticas en el

tercer semestre, se tiene 33 alumnos, de los cuales 21 son mujeres y el resto

son hombres, n términos de porcentajes, se resumen en la siguiente tabla de

datos.

Estudiantes Cantidad %

Hombres 12 36,4

Mujeres 21 63,6

Total 33 100,0

1.4.2 REGLA DE TRES

La señora Josefina fue a la carnicería a comprar $20.00 de carne molida.

¿Cuánto debe marcar la báscula si el precio de la carne es de $38.00 el kilo?

Para resolver este problema, la señora Josefina se da cuenta que con los

datos que tiene se pueden plantear dos relaciones del peso de la carne y su

precio, como se muestra a continuación:

1. Por $38.00, puedo recibir 1 kg de carne.

2. Por $20.00, ¿cuánto podré recibir?

Estas dos relaciones se pueden plantear de la siguiente manera:

38 pesos 1 kg de carne

20 pesos ? kg de carne

Estas relaciones significan lo siguiente:

Si 38 pesos son para 1 kg de carne, 20 pesos ¿a qué cantidad en kilos de

carne corresponde?

Como se puede observar, en ellas existen 4 cantidades: 3 conocidas y una

desconocida (la cantidad de carne en kilos).

1. Multiplicar en cruz las cantidades de las relaciones, como se

muestra a continuación.

38 pesos 1 kg de carne

20 pesos ? kg de carne

? 𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑎𝑟𝑛𝑒 × 38 pesos = 20 pesos × 1 kg de carne

2. Dejar sola la cantidad que no se conoce. Los 38 que están al lado

izquierdo multiplicando pasan al lado derecho a dividir.

? 𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑎𝑟𝑛𝑒 =20 pesos × 1 kg de carne

38 pesos

Al resolver esta operación se obtiene la cantidad en kilos que recibirá la señora

Josefina por $20.

La señora Josefina deberá recibir 0.526 kg de carne por $20.

Observaciones:

La regla de tres se aplica en problemas donde se trata de encontrar una

cantidad, dado que se conocen otras tres relacionadas.

La regla de tres no debe aplicarse cuando las cantidades no se relacionan de

manera proporcional; por ejemplo, la edad y el peso de las personas no son

proporcionales, porque no tienen que ver nada el peso con la estatura. Puede

haber una persona muy alta y muy gorda, o una flaca y muy alta.

En la regla de tres las cantidades que se relacionan deben tener las mismas

unidades, como vio en el ejemplo anterior.

Los ejemplos anteriores se tomaron del pdf Porcentaje y regla de tres http://www.conevyt.org.mx/cursos/inea/ineapdfs/mate/ncuenhog/l1unida6.pdf

Para ampliar el tema regla de tres ver los siguientes videos.

La recomendación es que además de ver lo videos los escribas e intentes hacer

solo

.

http://www.youtube.com/watch?v=zNnIFUycImI

http://www.youtube.com/watch?v=KMKKZ8igOw8

http://www.youtube.com/watch?v=603qZRBbtUI

http://www.youtube.com/watch?v=FR_bF0C4Jq4

Analizar los siguientes ejercicios resueltos.

http://www.vitutor.com/di/p/a_5.html


http://www.conevyt.org.mx/cursos/inea/ineapdfs/mate/ncuenhog/l1unida6.pdf







http://www.youtube.com/watch?v=Vie5cWwmn9E

ACTIVIDAD

(a) 48% (b) 4.83% (c) 0.5% (d) 18.3%

1. Convierte los siguientes decimales en porcentajes.

(a) 0.7360 (b) 0.014 (c) 2.45 (d) 0.00048

2. Convierte las siguientes fracciones a porcentajes.

3. Convierta los siguientes porcentajes a decimales

(a) 48% (b) 4.83% (c) 0.5% (d) 18.3%

4. Una cuadrilla pavimentó 852 m de carretera en un día y 1.052 al día

siguiente. Halle el porcentaje de cambio en la longitud pavimentada el

segundo día.

5. Una viga de acero de 25 m de longitud se contrae un 0.25% cuando se le

somete a temperaturas inferiores a la de congelación. ¿Cuánto se

contrajo en centímetros?

RESUMEN

Esta unidad básicamente se refiere al conjunto de los números reales son

sus propiedades y operaciones; el sistema de números reales consta de

todas las posibles expresiones decimales. Aquellas que terminan o se repiten

(periódicas) corresponden a los números racionales, mientras que las

restantes corresponden a los Irracionales. R = Q ∪ I.

EVALUACIÓN

1. Halla el m.c.m y el M.C.D de:

a. 48 y 36 b. 20 y 30 c. 25 y 35 d. 12, 36 y 54a.

2. ¿Que número entero le debes sumar a 45 para obtener –135?

3. Efectuar las siguientes operaciones entre números racionales; simplifica el resultado si es posible.

67

97.

38

69.

518

37.

89

87.

1215

124. −

−++−−+ edcba

2. Convierta los siguientes porcentajes a decimales

a. 19% b. 5% c. 0,56%

3. Una máquina reduce un 15% el peso de una pieza fundida que

inicialmente pesaba 15.6 kgs. ¿Cuál es el peso final?

4. Se contrata un ingeniero con un sueldo de $14500, pero la agencia de

empleos retiene el 6% como comisión. Halle el valor de la comisión.

5. Al solicitar un préstamo de $15.000, a una compañía se le exigió que

pagara un interés simple de 7.6% por adelantado. ¿Cuánto recibió

realmente?

6. La elaboración de un nuevo producto tiene un costo de $25 400 en

materiales y $31 250 en mano de obra. ¿Qué porcentaje del total

representa éste último?

7. Realiza 487505483182 +−+

8. Simplifica utilizando las propiedades de la potenciación.

( ) ( )( )22

2332

32

324

634.

59632. xb

xxxa

11. Expresa en notación científica las siguientes cantidades.

a. 0,0000123 b. 456214 c. 2400000000

12. Juan José Castillo invirtió $2.520.000 en un negocio que le produce

una ganancia del 8% mensual y $3.500.000 en otro negocio que le

produce 8.5% mensual. ¿a cuanto asciende la ganancia mensual de

Juan?

13. Simplifique la expresión: pp

pp

ppp

23

323

3

6.125.27.4

10.9.8

14. Escriba los siguientes números en notación científica.

(a) 3587 (b) 52000 (c) 0.008 40 (d) 0.000 006

UNIDAD 2

PRESENTACION

El Álgebra es la ciencia del cálculo con magnitudes representadas por letras

afectadas por los signos + o -. Los polinomios hacen parte del mundo del

álgebra y su estudio es parte fundamental para la comprensión de los

modelos matemáticos que surgen del planteamiento de problemas de

administración y economía.

NOMBRE: ALGEBRA BASICA

PREGUNTA PROBLEMA

¿Cómo se aplica los polinomios para la comprensión de los modelos

matemáticos que surgen del planteamiento de problemas de administración y

economía?


♦ Identifica con precisión los elementos y terminología utilizada

regularmente en álgebra.

♦ Realiza con certeza sumas, resta, multiplicaciones divisiones y

potenciaciones de polinomios.

♦ Aplica adecuadamente los diferentes tipos de Factorización.

♦ Resuelve correctamente ecuaciones lineales y cuadráticas.

♦ Resuelve correctamente inecuaciones lineales

SABERES

1. Expresiones algebraicas 2. Signos de agrupación 3. Operaciones con expresiones algebraicas 4. Productos notables 5. Factorización 6. Ecuaciones lineales en una variable

7. Ecuaciones cuadráticas en una variable 8. Inecuaciones.

DINAMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO


1. Simplifique las siguientes expresiones, sin utilizar exponentes negativos.

−+

−

+

3

3

2

4

22

33

3

7

7

5

2429326

)22))

1010)

.)..).)B.Ba)

xx

xxhg

xxfe

bbdxxxcaab

x

x

xx

2. Suprima los símbolos de agrupamiento y simplifique

a) 5 + ( x - y ) b) 3 - ( a - b )

c) - ( x - y ) - ( x + y ) d) 6 - 3 [ x - 2 ( x - y ) ]

e) - 7 [ - 2 ( 3x - y ) - w ] + x f) - { 4x - [ 2x - ( 3x - 9 ) - 6 ] + 2}

3. Sume o reste las siguientes expresiones algebraicas

( ) ( ) ( )xxxxxxxa 545652534) 2332 +−−−++−+

( ) ( ) ( )yxyxyxb 32

21

65

32 24) −++−+

4. Multiplique las expresiones algebraicas

( )( ) ( )( )4332)4534) 232 −+−+− xxxxbxxa

5. Resuelva las ecuaciones

065)22653)3524) 2 =−+−=

−−

−=+ xxcx

xbxxa

2 2 2) 18 144 ) 2 5 3 0 ) 3 2 16 0d x x e x x f x x+ − − + = + − =

ACTIVIDAD GRUPAL

1. Reunidos en CIPAS, lea nuevamente la Unidad 2.

2. Socialicen los resúmenes elaborados de manera individual e

independiente.

3. Socialicen las respuestas de la sección Atrévete a opinar, que


4. Socialicen las respuestas de las actividades, que respondieron de

manera individual.

5. Desarrollen los ejercicios que se encuentra al final de la Unidad 2

y discútanlos en el grupo de estudios. Estos ejercicios deben ser

socializados en la sesión junto con todos los compañeros de

grupo y entregados al tutor.


2. UNIDAD DOS: ALGEBRA BASICA

2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS DEFINICIONES Y TERMINOLOGIA

Constantes. Son las cantidades que no cambian en un problema particular,

como 5, -4, 1/3, π, 7 . Cuando se emplea una letra para representar

una constante, se acostumbra escogerla de las primeras letras del

alfabeto (a, b, c, etc.).

Variables. Son las cantidades que pueden variar en un problema. Usualmente

se representan utilizando las últimas letras del alfabeto.

Ejemplo: En la expresión y = ax2 + bx + c, las letras x e y

representan variables, mientras a, b y c representan constantes.

Expresiones algebraicas. Una Expresión algebraica es una combinación de

variables, constantes, signos de operación y símbolos de

agrupamiento.

Ejemplo: 4𝑥 + 3𝑦 , 5𝑥𝑦 / 𝑧 , y (3 + 𝑥)𝟐 − 7 son

expresiones algebraicas.

Términos. Los signos de suma y resta dividen una expresión algebraica en

términos (excepto si los signos están dentro de un símbolo de

agrupamiento).

Ejemplo : La expresión 𝑥2 − (2𝑥 + 3)3 tiene dos términos.

Factores. Los factores de una expresión algebraica son aquellas cantidades que

al multiplicarse entre si dan como resultado la expresión.

Ejemplo : Los factores del número 14 son 2 y 7, (Aunque 1 es factor

de cualquier cantidad no se acostumbra a considerarlo).

Ejemplo : Los factores de 6xy son 2, 3, x e y.

Coeficientes. La parte constante de un término se llama coeficiente numérico (o

simplemente coeficiente).

Ejemplos :

(a) En el término 3x, 3 es el coeficiente de x

(b) En el término −3ax, −3a es el coeficiente de x.

Términos semejantes. Dos términos son semejantes cuando sólo difieren en

el coeficiente.

Ejemplo: 3xy2 y −5xy2 son términos semejantes.

Monomio. Un monomio es una expresión algebraica que contiene sólo un

término.

Ejemplo: 6xyz es un monomio.

Binomio. Un binomio es una expresión algebraica con dos términos.

Ejemplo : 2x + 5 es un binomio.

Trinomio. Un Trinomio es una expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo : x2 + 2x - 3 es un trinomio.

Multinomio. Cualquier expresión que contenga más de un término es un

multinomio.

Ejemplo: x2 − 3 + x es un multinomio (y también un trinomio).

Polinomio. A un multinomio se le califica además de polinomio cuando todas las

potencias a las cuales están elevadas las variables son enteros

positivos.

Ejemplo: 2x2 − x2 + 4 es un polinomio

2x3 − x - 2 + 4 es un multinomio, pero no un polinomio.

2.2 SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Símbolos de agrupamiento. Para agrupar partes de una expresión, se utilizan

paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { } según se requiera.

Ejemplo : {3 - 5 [x + 3x(1 - x)]} - x .

Multiplique todos los términos que están dentro del símbolo por el factor que le

antecede, y suprima el símbolo de agrupamiento.

Ejemplos :

a) 2(x - 3) = 2x – 6

b) 4 + 2(x - 3) = 4 + 2x - 6 = 2x - 2

c) x - 3 (1 - y) = x - 3 + 3y

2. Si hay agrupamientos dentro de los agrupamientos, debe simplificarse primero

los más internos.

Ejemplos:

a) 3[ 2 + 4(1 - x)] = 3[ 2 + 4 - 4x] = 3[6 - 4x] = 18 - 12x

b) w + 2 [2 - (x + 3)] = w + 2[ 2 - x - 3 ] = w + 2 [ - x - 1]

= w - 2x - 2

c) 2{ [(x - 2) - ( y + 4)] + 3} - 5 = 2{ [x - 2 - y - 4] + 3} - 5

= 2{ [x - y - 6] + 3} - 5

= 2{x - y - 3} - 5

= 2x - 2y - 6 - 5

= 2x - 2y - 11

ACTIVIDAD

1. Escriba las siguientes expresiones utilizando solo exponentes positivos y

simplifique

2. Escriba las siguientes expresiones sin notación fraccionaria, utilizando exponentes

negativos donde se necesite


a) 6 - 3 [ x - 2 ( x - y ) ] b) - 2 [ x - 6 ( 2w - z ) ] + 6

2.3 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las Expresiones algebraicas se suman o restan sumando o restando los términos

semejantes, y esto se hace sumando o restando los coeficientes.

Ejemplos:

a) 2x + 3x = 5x

b) 2x + 3y - 4z + 3x - 2y + 4z = 2x + 3x + 3y - 2y - 4z + 4z

= 5x + y

Cuándo las expresiones que se van a sumar o restar son más extensas, es

conveniente ordenarlas en filas situadas una debajo de la otra, de manera que los

términos semejantes queden en la misma columna.

Ejemplo:

Sume o reste, según se indique.

(6x + 3xy - 2w + yz) - (2x + 3w - 2yz - 3y) + (y - xy + w)

Solución:

Ordenando la expresión en filas

yyzwxyxywxyyyzwx

yzwxyx

43424

3232236

++−+++−++−−

+−+

En álgebra, el producto de M por N se puede expresar como:

M • N M N M ( N ) (M) N (M)(N) M x N

Este último no es conveniente, pues el signo de multiplicación se puede confundir

con la letra x.

MULTIPLICACIÓN DE DOS MONOMIOS. Se multiplican los coeficientes y se

suman los exponentes según propiedades de la potenciación.

Ejemplos :

a) 2x ( 3x ) = 6x2 b) 4x2 ( - 2x3 ) = - 8x 5

c) 3x2 y 3 z (- 4wxy 2 z 3) = - 12wx 3 y 5 z 4

MULTIPLICACIÓN DE UN MULTINOMIO POR UN MONOMIO. Se multiplica

cada término del multinomio por el monomio, como se hace cuando se suprimen

símbolos de agrupamiento.

Ejemplo :

a) 3x ( x2 - 2 ) = 3x3 - 6x

b) - 3x ( x 3 - 2x + 5 ) = - 3x ( x3 ) - 3x ( - 2x ) - 3x ( 5 )

= - 3x4 + 6x 2 - 15x

MULTIPLICACIÓN DE UN MULTINOMIO POR UN MULTINOMIO. Se

multiplica cada término de uno de los multinomios por todos los términos del otro,

y se suman o restan, según el caso, los términos semejantes.

Ejemplos :

a) ( x + 3) ( x - 2 ) = x (x) + x ( - 2) + 3 (x) + 3 ( -2)

= x 2 - 2x + 3x - 6

= x 2 + x - 6

b) ( x - 2) ( x 2 - 3X + 4 ) = x (x 2) + x ( - 3x) + x (4) - 2 ( x 2 ) - 2 ( - 3x) - 2

(4)

= x 3 - 3x 2 + 4x - 2x 2 + 6x - 8

= x 3 - 5x 2 + 10x - 8

ACTIVIDAD

1. Sume o reste, según el caso, y simplifique.

a) ( 3x + 5 ) + ( 2x - 3)

b) ( - 2x 2 - x + 6 ) - ( 7x 2 - 2x + 4) + ( x 2 - 3 )

2. Multiplique entre sí los siguientes monomios, y simplifique.

a) x 4 . x . x 2 b) ( a 4 b 3 ) ( b2 ) c) 5x ( - 2x)

d) ( 3x 2 y ) ( 2xy 2 ) ( 4x 2 y 2 ) e) ( - x 2 ) ( - y 2 ) ( - z 2 )

3. Halle los siguientes productos y simplifique.

a) 2x ( 3x - 2 ) b) ( - 3x ) ( x 2 - 2x + 2 )

c) ( 6ab ) ( 2a - 3b - ab ) d) ( x 2 - 2x - 3 ) ( 2x 2 + x + 2)

e) ( 3a - 2x ) ( 2a + 5x ) f) ( xy - 2x 2 y - 3xy 2 ) (xy)

División de Expresiones Algebraicas

División de un monomio por otro monomio. Se dividen los coeficientes y se

restan exponentes según propiedades de la potenciación para

determinar los cocientes de las variables.

Ejemplos :

a) xxxx 2)36(36 122 =÷=÷ −

b) 2

2

32

233223

3155155

zx

zxyzyxzxyzyx ==÷

División de un multinomio por un monomio. Se divide cada término del

multinomio por el monomio.

Ejemplo :

a) 16642

322

12282)32128( 3

2424 −+=−+=÷−+ xx

xx

xx

xxxxxx

b) xy

xyxyy

xyx

xyyxxyyxyx

31

21

62

63

666)236(

2222 +−−=

−−

−+

−=−÷−+

División de un polinomio por otro polinomio. Escriba el dividendo y el divisor

ordenados en forma descendente respecto del exponente de la variable,

agregando los términos que falten con coeficiente cero. Acomode los polinomios

como se hace para efectuar una división aritmética considerable y siga un

procedimiento como el del ejemplo.

Ejemplo 1: Divida x 2 + 2x 4 - 3 por x + 2.

Solución :

1. Escriba el dividendo de manera que los exponentes queden en

orden descendente y agregue los términos que faltan .

2x 4 + 0x 3 + x 2 + 0x - 3

2 Acomode el divisor y el dividendo como para hacer una división aritmética.

2x 4 + 0x 3 + x 2 + 0x - 3 x + 2

3. Divida el primer término del dividendo ( 2x4 ) entre el primer término del divisor

(x). Escriba el resultado ( 2x 3 ) como primer término del cociente.

2x 4 + 0x 3 + x 2 + 0x - 3 x + 2

2x3

4. Multiplique el divisor por el primer término del cociente, reste el resultado del

dividendo (colocándolo debajo de el con signo contrario). Así se obtiene un

nuevo dividendo.

2x 4 + 0x 3 + x 2 + 0x - 3 x + 2

- 2x 4 - 4x 3

- 4x 3 + x 2 + 0x - 3 2x3

5. Repita los pasos 4 y 5, utilizando cada vez el nuevo dividendo, hasta que el

grado del residuo sea menor que el grado del divisor.

2x 4 + 0x 3 + x 2 + 0x - 3 x + 2

- 2x 4 - 4x 3

- 4x 3 + x 2 + 0x - 3 2x3 – 4x2 + 9x - 18

4x3 + 8x2

9x2 + 0x - 3

- 9x2 - 18x

-18x - 3

18x + 36

33

Residuo ↑

El resultado se escribe : 2

3189422

32 2324

++−+−=

+−+

xxxx

xxx

Este método se utiliza únicamente para polinomios (multinomios en los cuales

todas las potencias de las variables son enteros positivos).

Ejemplo 2: Divida 4x3 – 2x2 – 16x - 10 entre 2x + 2.

Solución :

4x3 – 2x2 – 16x - 10 2x + 2.

- 4x3 – 4x2 2x2 – 3x - 5

- 6x2 – 16x - 10

6x2 + 6x

- 10x -10

10x + 10

0

Residuo↑

El resultado se escribe: 53222

101624 223

−−=+

−−− xxx

xxx

El siguiente video te ayudara a comprender División entre polinomios http://www.youtube.com/watch?v=8xPi9q549hs

http://www.youtube.com/watch?v=8xPi9q549hs

ACTIVIDAD

1. Realice la división y simplifique.

2. Realice las divisiones y simplifique.

3. Realice las divisiones

2.4 Productos notables

1. El cuadrado de una suma (𝑎𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏 + 𝑏2

2. El cuadrado de una diferencia (𝑎𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑏 + 𝑏2

3. El cubo de una suma (𝑎𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏2 + 𝑏3

4. El cubo de una diferencia (𝑎𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏2 − 𝑏3

5. Una suma por una diferencia (𝑎𝑎 + 𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑏) = 𝑎𝑎2 − 𝑏2

6. (𝑥 + 𝑎𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑎𝑏

Pasos: Escribe al frente la formula que usarías para resolver

a) Resuelve

b) Compara tu resultado.

c) Socializa con tus compañeros y tu tutor.

1. (3Q2 + 2)3

2. (P3 − 5)2

3. (R − 5)(R + 5)

4. (x + 8)(x + 3)

5. (Q2 − 2)3

6. (y + 5)2

Ver videos y resuelve http://www.youtube.com/watch?v=rfST6YtvjUs

http://www.youtube.com/watch?v=BdRAhV0JDjM

http://www.youtube.com/watch?v=T-s6jCs7PuY

http://www.youtube.com/watch?v=rfST6YtvjUs



2.5 Factorización

Factorizar es hallar los factores de una expresión. Proceso de escribir un

número o un polinomio como el producto de sus factores.

FACTORES COMUNES. Si cada término de una expresión contiene la

misma cantidad, ésta puede factorizarse.

Factor común

ab + ac + ad = a(b + c + d)

Ejemplo: Factorizar x 3 - 2x + x 2.

Solución: Como cada uno de los tres términos contiene a x, entonces

x 3 - 2x + x 2 = x (x 2 - 2 + x)

Ejemplo: Factorizar 3xy 2 - 9x 3 y + 6x 2y 2

Solución: 3xy es común a todos los términos, luego

3xy 2 - 9x 3 y + 6x 2y 2 = 3xy( y - 3x 2 + 2xy)

Verificación. Para verificar si se ha factorizado correctamente, basta con

examinar si al realizar el producto de los factores se obtiene la expresión

original.

Ejemplo: ¿Son x + 5 y x + 1 los factores de x 2 + 6x + 5 ?

Solución: Multiplicando entre si los factores.

(x + 5) ( x + 1) = x 2 + x + 5x + 5

= x 2 + 6x + 5, la fracción original.

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS PERFECTOS. El producto de

( a - b ) y ( a + b ) es ( a - b ) ( a + b ) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2

Diferencia de dos cuadrados a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b)

Ejemplos : a) x 2 - 16 = ( x + 4 ) ( x - 4 )

b) 4b 2 - 9a 2 = ( 2b + 3a ) ( 2b - 3a )

TRINOMIOS CUADRÁTICOS. La forma general del trinomio cuadrático es:

Ax 2 + Bx + C, donde A, B y C son distintos de cero.

No todos los trinomios pueden factorizarse en factores racionales. Un trinomio es

factorizable si:

Prueba de factorizabilidad

B 2 - 4AC = Cuadrado perfecto

Ejemplo: ¿Es factorizable el trinomio 5x 2 + 13x + 6 ?

Solución: De la ecuación, A = 5, B = 13 y C = 6,

(13) 2 − 4(5)(6) = 169 - 120 = 49 = 7 2

Luego, este trinomio es factorizable y sus factores son :

( 5x + 3 ) ( x + 2 )

♦ Trinomios cuyo coeficiente principal es 1. Si Multiplicamos ( x + a ) y ( x + b ) obtenemos un trinomio cuyo coeficiente

principal (el coeficiente del término x 2 ) es igual a 1, el coeficiente del término

central es la suma(a + b) y el término independiente es igual al producto ( ab).

Ejemplo: Factorice x 2 + 5x + 6.

Solución: si este trinomio es factorizable tendrá como factores.

Trinomios cuyo coeficiente principal es 1

( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab

( x + a) ( x + b)

Donde la suma de a con b es 5 y el producto da a con b es 6. Esta condición la

cumplen los enteros 2 y 3, luego.

X 2 + 5x + 6 = (x + 2 ) ( x + 3)

Los signos algebraicos del término central y del término independiente del

trinomio dan indicios de cuáles pueden ser los factores.

Si el signo del último término es positivo, a y b deben tener el mismo signo.

Si el signo del último término es negativo, a y b deben tener signos opuestos.

El signo del término central dirá cuál de los números es más grande, el

positivo o el negativo.

Ejemplo : Factorizar x 2 + x - 12

Solución : Como el último término es negativo, a y b deben tener signos

opuestos. Los factores tendrán entonces la forma y el mayor de

ellos debe ser de signo positivo. Luego,

x 2 + x - 12 = ( x - 3 )( x + 4 )

Trinomios cuyo coeficiente principal es distinto a uno. Si se multiplican ax + b y cx + d, se obtiene un trinomio con

coeficiente principal ac, coeficiente del término central (ad + bc ) y

término independiente bc.

Trinomio cuadrático general

( ax + b ) ( cx + d ) = acx 2 + ( ad + bc ) x + bd

Uno de los métodos para factorizar este trinomio es tratar de encontrar por

Tanteo cuatro números a, b, c y d que cumplan los requisitos.

Ejemplo : Factorizar 3x 2 + 10x + 3.

Solución: El coeficiente principal ac = 3 y el término independiente bd = 3.

Ensayemos a = 1, c = 3 y b = 1, d = 3, luego ad + bc = 1(3) + 1(3) = 6,

en lugar de 10, como exigen las condiciones.

Ensayemos a = 1, b = 3, c = 3, y d = 1, Luego ad + bc = 1(1) + 3(3) = 10.

como exigen las condiciones. Así, 3x 2 + 10x + 3 = ( x + 3 ) ( 3x + 1)

Un segundo método, que elimina el tanteo, es el método de agrupamiento.

Ejemplo : Factorice 3x 2 - 16x - 12

Solución :

1. Multiplique el coeficiente principal y el término independiente.

3( - 12 ) = - 36

2. Halle todas las combinaciones posibles de dos factores que al multiplicarse

entre sí den este número.

- 1 y 36 - 4 y 9 2 y - 18

- 2 y 18 - 6 y 6 3 y - 12

- 3 y 12 - 1 y - 36 4 y - 9

3. Encuentre el par de factores, cuya suma algebraica sea igual al coeficiente

del término central. 2 y - 18

4. Escriba de nuevo el polinomio, separando en dos el término central de

acuerdo con los factores escogidos.

3x 2 + 2x − 18x − 12

5. Agrupe los primeros dos términos, y los últimos dos términos

( 3x 2 + 2x ) + ( −18x − 12 )

6. Factorice los factores comunes en cada uno de los agrupamientos.

x ( 3x + 2 ) - 6 ( 3x + 2)

7. Factorice el factor común ( 3x + 2 ) de la expresión entera.

( 3x + 2 ) ( x - 6 )

Ejemplo: Factorice 2x 2 - 5x - 3

Solución :

Paso 1. 2( - 3 ) = - 6

Paso 2. - 1 y 6 1 y - 6

- 2 y 3 2 y - 3

Paso 3. - 5x = x - 6x

Paso 4. 2x 2 + x - 6x - 3

Paso 5. ( 2x 2 + x ) + ( - 6x - 3 )

Paso 6. x ( 2x + 1 ) - 3 ( 2x + 1 )

Paso 7. ( 2x + 1 ) ( x - 3 )

♦ Trinomios cuadrados perfectos.

Cuándo elevamos al cuadrado un binomio, obtenemos un trinomio en el cual :

1. El primero y el último término son cuadrados perfectos.

2. El término central es dos veces el producto de las raíces cuadradas de los

términos externos.

3. El signo del término central es el mismo signo del segundo termino del

binomio.

Una vez que se haya reconocido que un trinomio es cuadrado perfecto, es fácil

factorizarlo por simple inspección.

Trinomios cuadrados perfectos

(𝑎𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑏 + 𝑏2

Ejemplo : Factorice x 2 - 4x + 4.

Solución: Los términos de los extremos son cuadrados perfectos, y el término

central, 4x, es dos veces el producto de las raíces cuadradas del

primero y el último, x y 2. Se tiene entonces un trinomio cuadrado

perfecto con a = x y b = - 2, de manera que:

x 2 - 4x + 4 = ( x - 2 ) 2

Ejemplo: 9x 2 + 12xy + 4y 2 = ( 3x + 2y) 2

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.

Cuando multiplicamos ( a + b ) por ( a 2 - ab + b 2 ), obtenemos la suma de

dos cubos.

Suma de dos cubos

( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b 3

De la misma manera:

Diferencia de dos cubos

( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 − b 3

Después de reconocer la suma o diferencia de dos cubos, se puede factorizar por

inspección.

Ejemplo: Factorizar x 3 + 8

Solución: Esta suma de dos cubos, en la cual

a = x y b = 2

a 3 = x 3 b 3 = 2 3

De manera que:

x 3 + 8 = ( x + 2 ) ( x 2 - 2x + 4 )

Ejemplo:

8y 3 - 27z 3 = ( 2y - 3z ) ( 4y 2 + 6yz + 9z 2 )

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

Ejemplo: Factorizar xy + 4x + 3y + 12

Solución: Agrupando los dos términos que contienen el factor x y los dos que

contienen el factor y, y factorizando, obtenemos.

(xy + 4x) + ( 3y + 12) = x ( y + 4 ) + 3 ( y + 4)

Ahora ambos términos tienen un factor común, ( y + 4 ).

Factorizando, (xy + 4x) + ( 3y + 12) = ( y + 4 ) ( x + 3 )

Ejemplo :

ax - 3 + x - 3a = ( ax + x ) + ( -3a - 3 )

= x( a + 1 ) - 3( a + 1) = ( a + 1 ) ( x - 3)

FACTORIZACIÓN COMPLETA. Después de factorizar una expresión,

debe observarse si alguno de los factores puede él mismo ser factorizado.

Ejemplo: Factorizar x 2 y - y

Solución : Factorizando y como factor común se obtiene

y ( x 2 − 1 )

Se factoriza después la diferencia de cuadrados ( x 2 − 1 ) quedando la

expresión como

: x 2 y - y = y ( x + 1 ) ( x − 1 )

Ejemplo : a 4 − 8a 2 + 16 = ( a 2 − 4 ) 2

= ( a 2 − 4) ( a 2 − 4)

= ( a - 2) ( a + 2) ( a - 2) ( a + 2)

ACTIVIDAD

1. Factorice completamente.

(a) 10y - 5x (b) 21xy - 7x

(c) 2b 3 + b 2 - 2b (d) 2a 3 b + 6a 2 b 2 - 8ab 3

(e) a 2 x 2 - 4bx 2 + 3cx 2 + 5x 2 (f) y 3 - 6y 2

(g) x 6 - 3x 4 - 5x 2 (h) 4x 2 y - 32x 2 y 2


(a) x 2 - y 2 (b) 16x 2 - 1 (c) x 4 - b 4

(d) 1 - x 6 (e) 5x 4 - 20y 2 (f) ( a - 6 ) 2 - 25

3. Compruebe si los siguientes trinomios son factorizables.

(a) x 2 - 30x - 64 (b) y 2 + 2y - 7

(c) 2x 2 - 12x + 18 (d) 3a 2 - 5a - 9

(e) 3x 2 + 7x + 2 (f) 5w 2 - 2w - 1


(a) a 2 + 5a + 6 (b) x 2 - 7x + 12

(c) x 4 - 6x 2 + 8 (d) a 2 + 7a + 10


(a) 2x2 + x - 6 (b) 6a 2 - 7a + 2

(c) 3w 2 - 3w - 6 (d) 2x 4 + x 2 - 3

(e) 12b 2 - b - 6 (f) 10x 2 + xy - 2y 2


(a) x2 - 2xy + y 2 (b) a 2 + 4a + 4

(c) x 2 + 2xy + y 2 (d) 2a 2 - 12a + 18

(e) a 2 x 2 + 2abx + b 2 (f) x 4 - 2x 2 y 2 + y 4

7. Factorice por Agrupamiento.

(a) ax + bx + 3a + 3b (b) 2xy + wy - wz - 2xz

(c) a 3 + 3a 2 + 4a + 12 (d) ab + a - b - 1

(e) 3x - 2y - 6 + xy (f) x 2 y 2 - 3x 2 - 4y 2 + 12

2.6 ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

Se obtiene una ecuación cuando dos expresiones se igualan entre sí.

Ejemplo: X2 – 3x = 5, Es una ecuación.

Una ecuación tiene tres partes: el lado izquierdo, o miembro izquierdo (MI), el

lado derecho, o miembro derecho (MD) y el signo de igualdad, que indica

que el MI es igual al MD.

Cuando los dos miembros de una ecuación son iguales únicamente para

algunos valores de las incógnitas, se dice que la Ecuación es condicional

Ejemplo: Los miembros de la ecuación. X – 2 = 0

Son iguales solamente cuando x = 2

Los valores de la incógnita para los cuales es válida la igualdad entre los

miembros de una ecuación condicional (de aquí en adelante la llamaremos

simplemente ecuación), son las raíces o soluciónes de la ecuación.

Ejemplo: La solución de la ecuación X + 5 = 9, es x = 4, porque es éste el

valor de x que hace cumplir la igualdad. Se dice entonces que 4 satisface la

ecuación, o que 4 es una raíz de la ecuación.

Ejemplo: Las soluciones de la ecuación x2 = 9 son x = 3 y x = -3

Una ecuación que se cumple para todos los valores de la incógnita es una

identidad.

Ejemplo:

X2 – 9 = (x + 3)(x - 3) Es una identidad.

El grado de una ecuación es el valor más elevado de los exponentes de la

incógnita.

Ejemplo: La ecuación, X2 – 2x + 3 = 0. Es una ecuación de segundo

grado.

La ecuación, X3 – 2X2 + 3X = 0. Es una ecuación de tercer grado.

Numero de incógnitas. Las ecuaciones también se clasifican por el número

de incógnitas que contienen.

Ejemplo: La ecuación 3x – 2y – 5 = 0 Es una ecuación de primer grado

en dos incógnitas, x e y.

Ejemplo: La ecuación 3x2 – 2y2 – 5x + 3y = 0 Es una ecuación de

segundo grado en dos incógnitas, x e y.

Las ecuaciones se clasifican además por el tipo de expresiones que

contienen.

Ejemplo: el siguiente cuadro es una muestra de los tipos de ecuaciones.

ECUACIÓN TIPO

2X – 5 = 5X + 3 Ecuación lineal (de primer grado) en una incógnita.

X2 – 7X + 5 = 0 Ecuación cuadrática (de segundo orden) en una

incógnita.

3sen x = 2 Ecuación trigonométrica en una incógnita.

2x - 3y = 5

x + 4y = 7

Sistema de dos ecuaciones lineales en dos

incógnitas.

4x - 3y + 2z =5

x - 2y + 3 z = -3

2x - 3y + z = 2

Sistema de tres ecuaciones lineales en tres

incógnitas.

Log 2x + Log x = 5 Ecuación Logarítmica, en una incógnita.

2.5x = 4 Ecuación Exponencial, en una incógnita.

2+x =3x Ecuación con radicales, en una incógnita.

x4 - 2x2 + 3 = 0 Ecuación de tipo cuadrático, en una incógnita.

2.6.1 VERIFICACIÓN DE UNA SOLUCION APARENTE. Una solución se verifica sustituyéndola en la ecuación original.

Ejemplo: Determine si x = 35

− ; es una solución de la ecuación.

2

124

3 +=

− xx

Solución: Sustituyendo x por 35

−

37

37

237

43

14

2

1352

4

335

−=−⇒−

=−

⇒+

−

=−

−

Satisface la Ecuación.

Verifique todas las soluciones. Las soluciones aparentes que no satisfacen

la ecuación original se llaman soluciones extrañas y deben descartarse. La

mayoría de las veces estas soluciones se introducen al multiplicar ambos

miembros por una expresión que contiene la incógnita.

Ejemplo: verifique las soluciones aparentes x = 2 y x = -2 de la ecuación

radical 125 +=+ xx

Solución:

Cuando x = 2, Cuando x = - 2,

ecuaciònlasatisface,39

12)2(25?

=

+=+

ecuaciònlasatisfaceNo,11

12)2(25?

−=/

+−=−+

2.6.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

En general, las ecuaciones se resuelven realizando en ambos miembros

operaciones matemáticas válidas buscando aislar la incógnita a un lado del

signo de igualdad. Una operación de este tipo es sumar o restar la misma

cantidad en ambos miembros de la ecuación.

Ejemplo: Halle x sí X – 5 = 7

Solución: Sumando 5 a ambos miembros.

X – 5 + 5 = 7 + 5

X = 12

Otra operación es multiplicar o dividir ambos miembros por la misma cantidad.

Ejemplo: Halle x si 32

5=

x

Solución: Multiplicando ambos miembros por 2.

6)3(25 ==x

Dividiendo ambos miembros por 5,

56

=x

Tomar raíces, elevar a alguna potencia, invertir ambos miembros, tomar

logaritmos o antilogaritmos son otras de las operaciones que se pueden realizar

al mismo tiempo sobre los dos miembros, pero ellas no deben conducir a una

operación no permitida en los números reales, como una división por cero o la

raíz cuadrada de un numero negativo

Ejemplo: Halle x sí

31

211+=

x

Solución: invirtiendo ambos miembros, pero teniendo cuidado de invertir el

miembro derecho como un todo,

56

651

31

21

1==

+=x

No se debe invertir el miembro derecho término por término. La solución que se

obtendría seria incorrecta. (Pruébelo)

La operaciones sumar o restar la misma cantidad en ambos miembros de la

ecuación, puede abreviarse mediante la transposición de términos, que consiste

en pasar un termino de un miembro a otro cambiándole de signo.

Ejemplo: Halle x si,

1325 −=− xx

Transponiendo -2

135

2135+=

+−=xxxx

Transponiendo 3x 135 =− xx

Restando términos semejantes 12 =x

Dividiendo ambos miembros por dos 21

=x

2.7.4 ECUACIONES FRACCIONARIAS

Las ecuaciones fraccionaria son las que contienen la incógnita en el denominador. Estas ecuaciones pueden transformarse multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ejemplo: Halle x si 32

253+=

xx

Solución: El MCM de los denominadores es 6x.

multiplicando ambos miembros por 6x

x

xxx

xx

xx

xx

x

415183

122

3018326

256336

+=

+=

+

=

Transponiendo el 15 xx

4341518

==−

Dividiendo ambos miembros por 4 43

=x

Verifique la o las soluciones aparentes, por que al multiplicar por un MCM que

contenga la incógnita, es posible introducir soluciones extrañas.

2.7.5 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES

Para resolver problemas verbales, puede dejarse llevar por las siguientes

guías:

Leer el problema cuidadosamente para determinar exactamente lo que

se está buscando.

Asignar variables a las cantidades que se desea encontrar

usualmente se utilizan las variables x ,y , z.

Utilizar los datos dados para establecer una ecuación envolviendo las

variables de los valores desconocidos.

Resolver la ecuación y verificar la respuesta.

Ejemplos

1. 18 es sustraído de seis veces un numro y el resultado es 96. ¿cuál es el

numero?

Solución:

2. Un comerciante compra camisas de dos calidades A y B por $1.624.000. De

la calidad A compro 32 y de la calidad B 18. Si cada camisa de la calidad A

costo $7.000 mas que cada camisa de la calidad B ¿cuál es el precio de una

camisa de cada calidad?.

Solución :

196

1141146

1896696186

961866

=

=

=+=

=−

=−

x

x

xx

x

problemadelntoplanteamiexnúmeroelvecesseisx

númeroelx

18( 7000) 1832 18( 7000) 1.624.00032 18 126.000 1.624.000

50 1.624.000 126.00050 1.750.000

1.750.000 35.00050

x precio de camisas de calidad Bx xx x

xx

x

−+ − =+ − =

= +=

= =

El valor de cada camisa de calidad A es de $35.000 y el valor de cada camisa de calidad B es

$28.000

ACTIVIDAD

1. Halle el valor de x en las siguientes ecuaciones

2. Halle el valor de x en las siguientes ecuaciones

3. Resuelva los siguientes problemas:

a. Tres socios A, B, y C deben repartirse $12.600.000 (ganancia

producida por un negocio) de tal manera que la parte de B sea el

doble de la de A y la parte de C el triple que la de B. ¿Cuánto le

corresponde a cada uno?.

b. Simón invierte $5.000.000 mas que Andrés en un negocio. Si la

inversión total de los dos fue de $18.440.000, ¿cuánto invirtió

cada uno?

2.7 ECUACIONES CUADRATICAS EN UNA VARIABLE

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está

elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Su forma general es

ax2 + bx + c = 0. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9.

En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto

se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.

El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la

ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta

que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este

documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada

fórmula resolvente: La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y

otra con el signo - antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo

grado se limita entonces, a identificar las letras a,b y c y sustituir sus valores

en la fórmula resolvente o formula general.

aacbbx

242 −±−

=

Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que

debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un

número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.

Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los

cuales se pueden hallar las raíces de una Ecuación cuadrática de forma mas

fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de Factorización.

Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también

llamadas raíces, a saber:

Dos raíces reales distintas

Una raíz real (o dos raíces iguales)

Dos raíces imaginarias distintas

El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del

discriminante. Se define al discriminante D como:

D = b2 - 4.a.c

Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número

real y se generan dos raíces reales distintas.

Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el

mismo número.

Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria,

produciéndose dos raíces imaginarias o complejas. En este caso se

dice que la Ecuación no tiene solución real.

Ejemplos.

1. Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0 Solución:

Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto

a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5 ; b = 13

; c = 6. Se aplica la fórmula:

aacbbx

242 −±−

=

31030

101713

52

104

101713

1013

1028913

1012016913

)5(2)6)(5(4)13(13

21

2

=−−

=−−−

=−=−

=−+−

=

−±−

=−±−

=−

+±−=

−

−−±−=

xx

x

Hay dos raíces diferentes, 52

1 −=x usando el signo + y otra 32 =x usando

el signo -.

Verificación: Probando con x = 3. Resulta: -5.(3)2 + 13.(3) + 6 = - 45 + 39 + 6 = 0, tal como

se esperaba en el segundo miembro.

Probando con 52

−=x se tiene 06526

2546

5213

525

2

=+−−=+

−+

−−

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y -2/5

son las raíces de - 5x2 + 13x + 6 = 0

2. Resolver: 6x - x2 = 9

Solución:

No pueden identificarse los valores de las letras directamente, ya que la

ecuación está desordenada y no hay un cero del lado derecho de la igualdad,

por lo tanto, deben hacerse los cambios necesarios para que la ecuación

tenga la forma deseada.

Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: x2 - 6x + 9 = 0. Ahora se

identifican letras a = 1 ; b = - 6 ; c = 9 ; y se aplica la fórmula general:

326

2063

26

206

206

206

236366

)1(2)9)(1(4)6()6(

21

2

==−

===+

=

±=

±=

−±=

−−±−−=

xx

x

Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos

raíces iguales a 3.

3. Resolver: - 6x + 13 = - x2

Solución: Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: x2 - 6x + 13 = 0, de

donde a = 1 ; b = -6 y c = 13. Aplicando la formula general se tiene:

?10

1662

52366)1(2

)13)(1(4)6()6( 2

=−−±

=−±

=−−±−−

=x

El discriminante es negativo y ninguna calculadora evaluará la raíz cuadrada

de un número negativo porque este es un resultado que pertenece a los

números complejos, que escapan del alcance del presente documento, por lo

que simplemente diremos que la ecuación no tiene solución real.

Si una ecuación cuadrática puede ser factorizada en una multiplicación de

factores lineales, entonces puede decirse que es una ecuación factorizable.

Por ejemplo, 0823 2 =−+ xx es una ecuación factorizable porque puede ser

factorizada por los factores lineales (3x - 4) y (x + 2). O sea,

0)2)(43(823 2 =+−=−+ xxxx . Para resolver una ecuación mediante este

método primero se escribe la ecuación en la forma 02 =++ cbxax . Luego

se factoriza la expresión en factores lineales. Y por último se determina el

valor de x.

Ejemplo:

Otros ejemplos.

1. Resolver 02082 =−+ xx

Solución:

Factorizando el trinomio, la ecuación queda ( )( ) 0210 =−+ xx

De donde se obtiene que x + 10 = 0 o x – 2 = 0

x = - 10 o x = 2

2. Resolver 0253 2 =+− xx

Solución:

Factorizando el trinomio la ecuación queda ( )( ) 0123 =−− xx

De donde se obtiene que 132

01023

==

=−=−

xox

xox

ACTIVIDAD

1. Resuelva por Factorización

2. Resuelva aplicando la formula general

2.8 INECUACIONES

Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal

pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

Los signos de desigualdad son: > (mayor que), < (menor que), ≥

(mayor o igual que), ≤ (menor o igual que)

Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se

usan para resolver una ecuación lineal.

Ejemplo:, resolver la desigualdad 3 > x - 8.

Sumando la misma cantidad (8) a ambos lados:

3 > x - 8

3 + 8 > x - 8 + 8

11 > x

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide ambos

miembros por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.

Ejemplo:

53

15153

1238538125

>−−

>

−<−−−<−−<+

x

x

xxx

xx

Las soluciones de las inecuaciones son intervalos de números reales.

Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números

reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes

símbolos:

Intervalo abierto (a, b) = {x / a < x< b}.

Intervalo cerrado [a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

En una gráfica, los puntos finales de un intervalo abierto se representan con

un punto abierto ( ) y los de un intervalo cerrado se representan con un

punto cerrado ( ). Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:

Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intervalos abiertos y los corchetes para los intervalos cerrados. Veamos ahora cuando se utilizan ambas denotaciones a la misma vez. Por ejemplo:

Si tenemos (a, b] = {x / a < x ≤ b}. la gráfica sería:

Si tenemos [a, b) = {x / a ≤ x < b}. , la gráfica sería:

Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números

reales mayores que un numero real a y se representan con la notación de

intervalo (a, ). El conjunto de todos los números reales menores que a se

representan con la notación de intervalo (- , a).

La solución para el ejercicio del ejemplo queda expresada como ( )∞,5

Ejemplos:

1. Resolver -5 ≤ 2x - 3< 1

Solución:

-5 ≤ 2x – 3 < 1

-5 + 3 ≤ x < 1 + 3

- 2 ≤ x < 4

La solución de la inecuación es el intervalo [- 2, 4)

2. Resolver 5x – 3 < 4x + 3 ≤ 3x + 12

Solución:

En este caso se separa la inecuación en dos desigualdades y se resuelven

por separado

5x – 3 < 4x + 3 4x + 3 ≤ 3x + 12

5x – 4x < 3 + 3 4x – 3x ≤ 12 – 3

x < 6 x ≤ 9

La solución de la inecuación será la intersección de los dos intervalos, así:

( ) ( ) ( )6,9,6, ∞−=∞−∩∞−

ACTIVIDAD

1. Resuelva las inecuaciones y exprese el resultado como un intervalo

a) 5x – 6 ≤ 3x + 10 b) 7x + 1 > 9 - 2x

c) 4x + 3 ≥ 5x – 8 d) 6(x – 3) ≤ 7x + 5

e) 3x + 4 ≤ 7x – 5 ≤ 6x f) 5 – 3x ≤ 4 – 5x < 6 – 4x

RESUMEN

Términos semejantes. Dos términos son semejantes cuando sólo difieren en

el coeficiente; es decir cuando la parte literal es la misma.

Simplificación: Para sumar o restar expresiones algebraicas se debe tener en

cuenta los términos semejantes.

Multiplicación de expresiones algebraicas: Para multiplicar expresiones

algebraicas se multiplican los coeficientes y para la parte literal se tiene en cuenta

propiedades de la potenciación. (𝑎𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 = 𝑎𝑎𝑚+𝑛)

Símbolos de agrupamiento. Para agrupar partes de una expresión, se utilizan

paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { } según se requiera

Productos notables

7. El cuadrado de una suma (𝑎𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏 + 𝑏2

8. El cuadrado de una diferencia (𝑎𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑏 + 𝑏2

9. El cubo de una suma (𝑎𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏2 + 𝑏3

10. El cubo de una diferencia (𝑎𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏2 − 𝑏3

11. Una suma por una diferencia (𝑎𝑎 + 𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑏) = 𝑎𝑎2 − 𝑏2

12. (𝑥 + 𝑎𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑎𝑏

Casos de factorización

a) Factor común ab + ac + ad = a(b + c + d)

b) Diferencia de dos cuadrados a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b)

c) Trinomios cuyo coeficiente principal es 1 ( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b

) x + ab

d) Trinomio cuadrático general ( ax + b ) ( cx + d ) = acx 2 + ( ad + bc ) x

+ bd

e) Trinomios cuadrados perfectos (𝑎𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏 + 𝑏2

o (𝑎𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑏 + 𝑏2

f) Suma de dos cubos ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b 3

g) Diferencia de dos cubos ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 − b 3

h) Factorización por Agrupamiento. i) Factorización completa. Después de factorizar una expresión, debe

observarse si alguno de los factores puede él mismo ser factorizado.

Ecuaciones lineales 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 : Es un planteamiento de igualdad,

involucrando una o más variables a la primera potencia, que no

contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que

involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera

potencia.

Ecuaciones Cuadráticas: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 se pueden resolver usando la

formula general o factorización.

Fórmula general: aacbbx

242 −±−

=

Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal

pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

EVALUACION


c) - 7 [ - 2 ( 5x - y ) - w ] + x d) ( x - y ) - { [ x - ( 2 - 3y ) ] - x}

e) - { - [ - ( w - 5 ) - x ] } + w f) 3x - { 6x - [ 2x - ( 4x - 9 ) - 6 ] + 2}

2. Simplifique las siguientes expresiones, empleando solamente exponentes

positivos

( ) ( )( ) 33

323223322 ... −

−−−

xxxcxxbxxa x

3. Resuelva ( ) ( )4643525 323 −+−−+ xxxxx

4. Resuelva ( )( )463525 323 −++ xxxx

5. Resuelva 2164 −÷− xx

6. Factorice completamente

4512.49.27. 223 −+−+ xxcxbxa

6. Resuelva: ( ) ( ) 63233524 −+=−+ xxx

7. Resuelva: 382

634

835 −

−=−

+− xxx

8. Resuelva: 03352 2 =−+ xx

9. Resuelva: 6423 ≤−≤− x

10. Si compras un libro, un pantalón y una toalla por $87.000 y la toalla costó

$5.000 mas que el libro y $20.000 menos que el pantalón, ¿cuál es el precio

de cada artículo?

11. Dos agricultores A y B compraron un terreno por $m. Si A hubiera pagado

las 2/3 partes de lo que pagó B, el costo del terreno hubiera sido $n.

¿cuánto pagó cada uno?

UNIDAD 3

PRESENTACION

En los modelos matemáticos, las relaciones significativas entre variables

suelen representarse por medio de funciones matemáticas o más

simplemente funciones. El concepto de función es básico en la matemática y

es esencial para el estudio del Cálculo. El termino función fue introducido en

la terminología matemática por uno de los inventores del cálculo, Goffried

Wilhelm Leibniz

NOMBRE: FUNCIONES

PREGUNTA PROBLEMA

¿Cuáles son las aplicaciones que tiene el concepto de función en el contexto

de la Administración de empresas?


♦ Enuncia correctamente el concepto de función.

♦ Determina el dominio y el rango restringido de una función.

♦ Dibuja la grafica de una función real en el plano cartesiano

♦ Reconoce algunos tipos de funciones reales.

♦ Describe situaciones o problemas de administración y economía mediante

modelos matemáticos, con el uso de las funciones

SABERES

Definición de función

Función Logarítmica y exponencial

Aplicación

DINAMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO


Sin haber leído la unidad responde los siguientes interrogantes

1. ¿Una función es una relación?

2. ¿Toda relación es una función?

3. ¿Cómo se define el dominio de una función?

4. ¿Cómo se define el rango de una función?

5. ¿Has tenido la oportunidad de estudiar una función de costo,

¿ingreso?, ¿utilidad?

6. Dibuja en papel milimetrado la función 1)( 2 −= xxf

ACTIVIDAD GRUPAL



independiente.




manera individual.

Desarrollen los ejercicios que se encuentra al final de la Unidad 4 y

discútanlos en el grupo de estudios. Estos ejercicios deben ser socializados

en la sesión junto con todos los compañeros de grupo y entregados al tuto.


3. FUNCIONES

3.1 DEFINICION

La función es, en esencia, un dispositivo de entrada-salida. Se proporciona

una entrada a una regla matemática que la transforma (manipula) en una

salida específica.

Por Ejemplo, la ecuación y = x2- 2x + 1.

Si se introducen determinados valores de x, la ecuación produce como salida

los valores correspondientes de y. Así:

Si x = 1 y = (1)2 -2 (1) + 1 = 0.

Si x = -5 y = (-5)2 - 2 (-5) + 1 = 36.

La ecuación da la regla que permite transformar un valor de x en un valor

correspondiente de y. La regla de esta ecuación podría expresarse con

palabras en los siguientes términos: " Se toma el valor de entrada y se eleva al cuadrado, se resta el doble del valor de entrada y se suma uno"

La función es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada uno y sólo un valor de salida

3.1.1 DOMINIO Y RANGO

El dominio (Df.) de una función es el conjunto de todos lo posibles valores de

entrada.

El rango (Rf.) de una función es el conjunto de todos los posibles valores de

salida.

3.1.2 NOTACION DE FUNCIONES:

Las funciones, en la acepción que se les dará en el curso, sugieren que el

valor de una cosa depende del valor de otra u otras cosas.

En el mundo que nos rodea existe un número incontable de relaciones

funcionales. Por Ejemplo:

• La cantidad vendida de un producto dependerá de su precio y de los

precios de las marcas de la competencia.

• La cantidad de personas que acuden a una playa dependerá de la

temperatura y del día de la semana.

• El poder adquisitivo de la moneda depende del indice del costo de vida.

• Las prestaciones otorgadas por el sistema de seguridad social de un país

dependen de su tasa de desempleo.

X Y X

Y

El lenguaje de las matemáticas, tiene una manera sucinta de describir la

relación funcional existente entre las variables.

La ecuación y = f(x), que se lee "y es igual a f de x", establece que y es

función de x, es decir, el valor de la variable y depende del valor de la

variable x.

X: Recibe el nombre de variable INDEPENDIENTE.

Y: Recibe el nombre de variable DEPENDIENTE.

En general, encontraremos funciones que se expresan estableciendo su

valor mediante una fórmula algebraica en términos de la variable

independiente.

Ejemplo: Dada la función f(x) = 3x2 - 4x + 6, calcular el valor de f(x)

cuando x = c, x = 2, x = -3, x = 21

Solución: Se tiene que f(x) = 3x2 - 4x + 6.

Para calcular f(c), se reemplaza x por c en la expresión, así:

f(c) = 3c2 - 4c + 6

Para el cálculo de f(2), se sustituye a x por 2

f(2) = 3(2)2 - 4(2) +6

= 12 - 8 + 6 = 10

f( 21 ) = 3( 2

1 )2 - 4( 21 ) + 6 =

43 - 2 + 6 =

419

En problemas prácticos con frecuencia es necesario construir una función

algebraica a partir de cierta información verbal:

Ejemplos:

1. El departamento de policía de una ciudad pequeña estudia la compra de

un carro de patrulla más. Los analistas de la policía estiman que el costo del

carro, completamente equipado, es de 18.000 dólares. Han estimado

también un costo promedio de operación de 0.50 dólares por millas:

a) Determine la función matemática que representa el costo total C de la

obtención y operación del carro de patrulla, en término del número de

millas que recorra.

b) ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 50.000 millas en su vida

útil?

Solución:

En este problema se pretende determinar la función que relaciona el costo

total C con las millas recorridas x.

a) El costo total C es la variable dependiente y el número de millas

recorridas x es la variable independiente, por lo tanto:

C(x) = costo total de operación + costo de compra

C(x) = (costo de operación por milla)(número de millas) + costo de compra

b) Para obtener el costo proyectado si el carro recorre 50.000 millas en su

vida, basta con reemplazar a x por 50.000 en la función de costo obtenida

en la parte a), así:

C(50.000) = 0.50(50.000) + 18.000

C(50.000) = 25.000 + 18.000

C(500.000) = 43.000

Luego, el costo del vehículo cuando a recorrido 50.000 millas es de 43.000

Dólares.

C(x) = 0,5 0 x + 18.000

2. Una carpintería fabrica mecedoras que vende a $25.000 cada una. Estima

que los costos de producción de cada mecedora ascienden a $16.500 y

además tiene costos fijos de funcionamiento de $100.000 mensuales.

Determine la función matemática que suministre la utilidad total en función

del número de sillas producidas y vendidas al mes.

Solución:

El costo total C de producción de x sillas al mes está dado por C(x) =

16.500x +100.000, y el ingreso total (I ) está dado por el producto del precio

de venta (p) y el número de sillas vendidas (x) , es decir, I(x) = px = 25.000x.

La utilidad neta U será la diferencia entre los ingresos y los costos, así:

U(x) = 25.000x - (16.500x+100.000)

U(x) = 25.000x -16.500x - 100.000

U(x) = I(x) - C(x)

U(x) = 8.500x - 100.000

3.1.3 GRÁFICA DE FUNCIONES

Para construir la gráfica de una función se utiliza un sistema de coordenadas

cartesianas, La línea horizontal se denomina eje x y la vertical eje y. Un

plano con tales ejes de coordenadas se llama plano cartesiano o

simplemente plano xy.

Se selecciona una unidad de longitud a lo largo de los dos ejes, no

necesariamente igual para ambos.

Ejemplo: Ubica en el plano cartesiano los puntos

P(2,1); Q(-1,3); R(-2,-2) y S(3,-1)

Solución:

Q

P

Q

R

S

Ver video Ubicación de puntos en el plano cartesiano

http://www.youtube.com/watch?v=jlKv4Vugy8c


La gráfica de una función y = f(x), es el conjunto de todos los puntos de

coordenadas (x,y) que satisfacen la ecuación. Como es imposible ubicar

todos los puntos que pertenecen a la función, se escoge un número

suficiente de ellos (que exhiban la naturaleza general de la gráfica de la

función), se ubican en el plano y luego se unen mediante una línea suave.

Ejemplo: Realizar la gráfica de la función f(x) = 2x - 1

Solución: Se hace y = 2x - 1 y se realiza una tabla de valores, dando

valores arbitrarios a x y calculando los respectivos valores de la función

como se mostró en el Ejemplo 1.

TABLA 1

X - 2 -1 0 1 2

y = f(x) -5 -3 -1 1 3

Se ubican los puntos en el plano y se unen mediante una línea suave.

Ejemplo. Dibujar la gráfica de la función f(x) = 4 - x2.

Solución: Se realiza la tabla de valores

TABLA 2

X - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

y = f(x) -5 0 3 4 3 0 -5

Se ubican los puntos en el plano y se unen con una línea suave.

3.2 Función logarítmica y función exponencial

Función exponencial: Es aquella que transforma un número real cualquiera en una potencia que tiene por exponente el número real dado y por base un número positivo diferente de uno.

f(x) = Logb x, con b>0 y b≠1

Ejemplo: Son funciones exponenciales:

f(x) = 2x; g(x) = (21 )x; h(x) = 3x ; m(x) = ( 3

1 )x

Función exponencial Natural: es la función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 , donde 𝑒 es la base natural

Como se observa en las gráficas de la función exponencial, todo número real

tiene imagen, por lo tanto el dominio de la función exponencial es el conjunto

de los números reales R.

Función logarítmica: Es la inversa de la función exponencial. Su forma

general es

Ejemplo: Son funciones logarítmicas:

f(x) = Log2 x; g(x) = Log1/2 x; h(x) = Log10 x; m(x) = Loge x

Observación: Los logaritmos de base 10 se llaman logaritmos DECIMALES,

generalmente se omite escribir su base, escribiendo solamente Log x.

Los logaritmos de base e se denominan logaritmos NEPERIANOS O

NATURALES y se escriben en forma abreviada como Ln.

De tal forma 𝑙𝑛𝑥 es la función inversa de ex y satisface las siguientes relaciones.

f(x) = an donde a > 0

elnx = x, si x >0 y ln(ex) = x

Lo que quiere decir que el logaritmo natural anula la exponencial; y la exponencial anula el logaritmo natural.

Propiedades de los logaritmos naturales. La función logaritmo cumple, entre, entre otras, las siguientes propiedades,

las cuales permiten transformar ciertas operaciones en otras más simples:

1. El logaritmo de un producto: ln (ab) = lna + lnb

2. El logaritmo de un cociente: ln (ba ) = lna – lnb

3. El logaritmo de una potencia: ln ax = x lna.

4. Cambio se base: loga x = alnxln

5. ln1 = 0

La función logarítmica no está definida para los números reales negativos ni

para cero. Luego el dominio de la función logarítmica es el conjunto de los

números reales positivos R+

.

3.3 APLICACIONES

a) Cualquier capital C, a una tasa de interés del r % anual, capitalizando n veces al año, origina un saldo final igual a:

Ct = C (1 + n

r100

) n.

Ec1

b) al transcurrir t años, el saldo final obtenido es:

Ec2 Ct = C (1 + n

r100

) nt.

c) El capital final obtenido al depositar C pesos invertidos al r % anual capitalizados continuamente es:

Ct = C 100r

e ec.3

d) Al cabo de t años de capitalizar el interés continuamente, el saldo total al invertir C pesos al r %, es:

Ct = C 100rt

e ec.4

Ejemplo1: La empresa “RE” desea realizar un préstamo bancario por $5 000 000, el

banco le ofrece las siguientes alternativas.

a) Con un interés anual del 15 % capitalizados mensualmente al año.

b) Con un interés del 15% capitalizados semestralmente por 3 años.

c) Con un interés del 15 % capitalizados continuamente.

d) con un interés del 15 % capitalizados continuamente por 3 años.

¿Cual opción escogerías?

Solución:

Para saber cual poción es mejor debemos calcular cual es el capital final

para cada una.

Así para a) usamos Ec.1 Ct = C (1 + n

r100

) n.

Ct = 5000 000 ( )

12

12100151

+

Ct = 5000 000 ( )12012501 .+

Ct = 5000 000 ( )1201251.

Ct = 5000 000 (1.1607)

Ct = 5 803 500

Para b) usamos la ec.2 Ct = C (1 + n

r100

) nt.

Ct = 5000 000 ( )

( )32

2100151

+

Ct = 5000 000 ( )607501 .+

Ct = 5000 000 ( )60751.

Ct = 5000 000 (1.54)

Ct = 7 716 507

Para c) usamos la ec.3 Ct = C

Ct = 5000 000 e 10015

Ct = 5000 000 e 150.

Ct = 5000 000 (1.1618)

Ct = 5 809 000

Para d) usamos la ec.4 Ct = C 100rt

e

Ct = 5000 000 e( )

100315

Ct = 5000 000 e 450.

Ct = 5 000 000 (1.5683)

Ct = 7 841 500

¿Analiza y decide cual opción escogerías? Ejemplo2: Resolver la ecuación:

Ln 6x = ln 20

Xln6 = ln 20

X = 620

lnln

X = 1.67

De acuerdo con el comportamiento de las funciones, las podemos clasificar en:

Función creciente: Es aquella función en la que crecen los valores de

las imágenes en la medida en que crecen los valores del dominio. Es

decir, si tomamos dos elementos: x1,x2, del dominio de una función f(x)

tales que x1 < x2 se cumple que f(x1) < f(x2).

Función decreciente: Es aquella función en la que decrecen los valores

de las imágenes en la medida en que crecen los valores del dominio. Es

decir, si tomamos dos elementos: x1,x2, del dominio de una función f(x)

tales que x1 < x2 se cumple que f(x1) > f(x2).

f(x1)

f(x2)

La figura siguiente muestra un Ejemplo de estos dos tipos de funciones.

Ejemplo: Las funciones f(x) = 2x y h(x) = 3x son estrictamente creciente en

todo el dominio (ver gráficas en figuras 1.14 y 1.15).

Las funciones g(x) = (1/2)x y m(x) = (1/3)x son estrictamente decrecientes

en todo el dominio (ver gráficas en las figuras 16 y 17).

La función f(x) = |x| es creciente para los valores positivos de x y decreciente

para los valores negativos

En el siguiente pdf encontraras la grafica de las funciones exponenciales y

logarítmicas Funciones exponencial. Rivera Carlos. Precalculo.

http://precalculo.carimobits.com/PrecalcII/Material%20del%20Curso/func%20

exponencial%20Feb%2021%202012.pdf

x2

Función creciente

x1

x2 x1

F(x2)

F(x1)

Función decreciente

http://precalculo.carimobits.com/PrecalcII/Material%20del%20Curso/func%20exponencial%20Feb%2021%202012.pdf


ACTIVIDAD

RESUMEN

Ingreso 𝐼 = 𝑥𝑝; 𝑥: cantidad y 𝑝: el precio.

Ver videos Función exponencial http://www.youtube.com/watch?v=MMQ--yo2gJY

Función Logarítmica http://www.youtube.com/watch?v=vczBsAh5voo

Concepto intuitivo de logaritmo natural

http://www.youtube.com/watch?v=8chvVkeoUzE

1. El costo total en la fabricación de x unidades de cierto producto está

dado por la función C(x) = 60x + 0.15x2 +150.000.

a) ¿Qué tipo de función es la función de costo?

b) ¿Cuál es el costo de producir 3.000 unidades?

c) ¿Cuál es el costo cuando no se produce ninguna unidad?, ¿Qué

término podría utilizarse para describir este costo?

2. El costo promedio por unidad al producir x pares de zapatos está

dado por C(x) = 3.000 - 0.8x + 0.0005x2. Determina el costo promedio

cuando se producen 10.000 pares de zapatos.

3. Una suma de $300.000 se invierte a un interés compuesto anual del

18%. Calcule el valor de la inversión después de 5 años.

http://www.youtube.com/watch?v=MMQ--yo2gJY

http://www.youtube.com/watch?v=vczBsAh5voo


Costo: costo variable + costo fijo.

Utilidad: U(x) = I(x) - C(x)

Relación 𝑙𝑛𝑥 y 𝑒𝑥 𝒆𝒍𝒏𝒙 = 𝒙, 𝒔𝒊 𝒙 > 0 𝑦 𝑙𝑛(𝑒𝒙) = 𝒙

Cualquier capital C, a una tasa de interés del r %

a) capitalizando n veces al año, origina un saldo final igual a:

Ct = C (1 + n

r100

) n

b) Al transcurrir t años, el saldo final obtenido es: Ct = C (1 + n

r100

) nt.

c) anual capitalizados continuamente es: Ct = C 100r

e

d) Al cabo de t años de capitalizar el interés continuamente, el saldo total

al invertir C pesos al r %, es: Ct = C 100rt

e

EVALUACION

1. Determina la función de costo en la producción de x televisores al mes si

el costo por unidad es de $ 125.500 y la fábrica tiene costos fijos

mensuales de $ 20.000.000.

2. Determine la función de utilidad en el ejercicio 1, si cada televisor se

vende a $ 280.000.

3. Si la función de costo para la producción mensual de x unidades de un

producto está dada por C(x) = 370x + 200.000; a) Determina el dominio

y el rango restringido, sabiendo que la máxima producción es de 1.500

unidades. b) ¿Cuál es el costo cuando se producen 600 unidades?

4. Realiza la gráfica de las siguientes funciones

a) f (x ) = 2x2 - 4 b) g (x ) = x3 - 1

5. Una fábrica de jabones de baño que vende a $350 cada uno. Estima que

los costos de producción de cada jabón ascienden a $165 y que además

tiene costos fijos de funcionamiento de $100.000 semanales. Determine

la función matemática que suministre la utilidad total en función del

número de jabones producidos y vendidos a la semana.

6. La función C(x) = 450x +950.000 expresa el costo total (en pesos) de

producir x unidades mensuales de un producto. Si el número máximo que

puede producirse es de 65.000 unidades, establezca el dominio y el rango

restringido de esta función de costo.

7. La función C(x) = 5x2 - 850x + 50.000 expresa el costo total (en pesos)

de producir x unidades mensuales de un producto. Si el número máximo

de unidades que pueden producirse es de 600, establezca el dominio y el

rango restringido de esta función de costo.

8. El costo total en la fabricación de x unidades de cierto producto está

dado por la función C(x) = 35x + 0.2x2 +250.000.


b) ¿Cuál es el costo de producir 900 unidades?

c) ¿Cuál es el costo cuando no se produce ninguna unidad?, ¿Qué término

podría utilizarse para describir este costo?

9. El costo total en la fabricación de x unidades de cierto producto está dado

por la función C(x) = 0.002x3 + 0.3x2 - 30x +280.000.


b) ¿Cuál es el costo de producir 4.000 unidades?

c) ¿Cuál es el costo cuando no se produce ninguna unidad?, ¿Qué término

podría utilizarse para describir este costo?

10. Una suma de $ 500.000 se invierte a un interés compuesto anual del

24%. Calcule el valor de la inversión después de 3 años.

11. Halle el valor de x en la ecuación dada:

a) 2 = x.e 060 b) 210

0

2.eQ

Q −= c) 5 = 3 lnx - 21 ln x

d) 3x = e2 e) –ln x = 50t + C

12. Calcule la expresión sin usar calculadora.

a) ln e5 b) ln e c) eln9 d) e2 ln 3 e) e3ln2 – 2 ln

13. ¿Cuánto dinero debe ser invertido hoy a un tipo anual de 9% capitalizado

continuamente, para que dentro de 20 años su valor sea de 32 000 000?

UNIDAD 4

PRESENTACION

Muchos modelos matemáticos tienen la forma de funciones lineales, las

cuales se representan gráficamente mediante una recta.

En esta unidad se considerara la representación grafica de las líneas rectas,

se definirá la pendiente y se estudiara las relaciones existente entre rectas

paralelas, rectas perpendiculares y rectas ínter secantes, así, como las

aplicaciones a los modelos de costo lineal.

Un sistema de ecuaciones consta de dos o más ecuaciones que contienen

dos o más variables, llamadas comúnmente incógnitas. Esta unidad hace

referencia a los sistemas de ecuaciones lineales, exponiendo los sistemas

cuadrados y los diferentes métodos para hallar su solución. La comprensión de esta unidad es fundamental para el buen desempeño en

los temas subsiguientes de matemáticas y en el estudio de la estadística

NOMBRE: FUNCIONES LINEALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2.

PREGUNTA PROBLEMA

¿Como las funciones lineales y los sistemas de ecuaciones se usan para

explicar el punto de equilibrio de mercado?


Determina la pendiente de una recta cuando se conocen dos puntos de

ella

Determina la ecuación de una recta, cuando se conocen dos puntos o un

punto y la pendiente.

Determina si dos rectas son paralelas o perpendiculares

Establecer modelos lineales de costos, ingresos y utilidades

Obtiene las ecuaciones de Demanda y Oferta de un producto dado.

Calcula el punto de equilibrio de mercado

Valora la importancia de los sistemas de ecuaciones lineales 2X2 en su

formación como administrador de empresas

SABERES

La línea recta – Función lineal

Aplicaciones:

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Aplicaciones: Punto de equilibrio de mercado

DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO


Sin leer la unidad responde a los siguientes interrogantes:

1. ¿se puede determinar la Ecuación de una recta conociendo dos

puntos por los cuales pasa?

2. ¿Es posible determinar la ecuación de una recta conociendo un punto

y la pendiente de inclinación?

3. ¿Dos rectas paralelas se cortan en un punto?

4. ¿Qué tipo de ángulos forman dos rectas perpendiculares?

5. ¿Qué tipo de línea se obtiene al trazar la grafica de una función

Lineal?

ACTIVIDAD GRUPAL



independiente.




manera individual.

9. Desarrollen los ejercicios que se encuentra al final de la Unidad 4 y

discútanlos en el grupo de estudios. Estos ejercicios deben ser socializados

en la sesión junto con todos los compañeros de grupo y entregados al tutor.


4. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMICAS

4.1 LA LINEA RECTA – FUNCIÓN LINEAL

En la unidad 3 estudiaste las funciones y su gráfico. Entre ellas encontraste

una función particular de la forma f(x) = mx + b llamada función lineal, cuyo

gráfico es una línea recta.

Ejemplo:

La gráfica de la función f(x) = 2 x-1 es la línea recta mostrada en la figura

4.1

Figura 4.1

f(x) = 2 x-1

LINEAS RECTAS Y ECUACIONES LINEALES

Toda línea recta tiene asociada una ecuación algebraica en dos variables

dependiendo de su grado de inclinación (pendiente) y el punto de corte con

el eje Y.

4.1.1 PENDIENTE: mide el grado de inclinación de una línea recta. Se

simboliza con la letra m.

Ejemplo: Consideremos la ecuación y = 3x + 1 que tiene como

gráfica la recta que aparece en la figura 4.2

Figura 4.2

A

B

C

Elijamos dos puntos sobre la recta, tales como A (-1,-2) y B (1,4). La

diferencia entre las coordenadas x de estos puntos se llana recorrido de A a

B y se denota por AC. La diferencia entre las coordenadas y de A y B se

denomina la elevación de A a B y se denota por BC, así:

Recorrido = AC = 1 -(-1) = 2. Elevación = BC = 4 -(-2) = 6.

La razón de la elevación al recorrido = corrido

ElevaciónRe

= 26 = 3

Tomemos otros dos puntos sobre la recta, P (-2,-5) y Q (2,7)

Calculamos el recorrido y la elevación de P a Q.

Recorrido = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4. Elevación = 7 - (-5) = 7 + 5 = 12.

Así: La razón de la elevación al recorrido es 4

12 = 3.

Nuevamente se ha obtenido la misma razón de la elevación al recorrido. Esta

razón es la pendiente de la línea recta y =3 x +1, es decir m = 3.

Figura 4.3

x1 x2

P

Q

y1

y2

m = =

(1)

Ahora tomemos una línea recta cualquiera (figura 4.3) y establezcamos su

pendiente, tomando dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2)

Con base en la figura se tiene que:

Recorrido = x2 - x1.

Elevación = y2- y1.

Luego

Como se dijo en la definición, la pendiente de una recta indica que tan

inclinada está con respecto al eje X. Con base en esto se pueden considerar

las siguientes propiedades:

Si m es positiva (m > 0), la línea asciende hacia la derecha.

Si m es negativa (m < 0), la línea desciende hacia la derecha.

Si m es cero, (m = 0), la línea es horizontal (paralela al eje X ).

Si m no esta definida, la línea es vertical (paralela al eje Y).

x

Ejemplo: Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los

puntos (4, -3) y (2, 4)

Solución: utilizando la ecuación (1) m = 42

)3(4−−− =

234

−+

= - 27

Esta recta desciende hacia la derecha.


puntos (7,0) y (3, -5).

Solución: m = 7305

−−− =

45

−− =

45

Esta recta asciende hacia la derecha.

m n

o de

finid

a m=0

m<

m>0

y

Figura 4.4


puntos (5, 3) y (8, 3).

Solución: m = 5833

−− =

30 = 0

Esta recta es horizontal.


puntos ( 5,3) y (5, 8).

Solución: m = 5538

−− =

05 ( no definida ).

Como esta pendiente no está definida, la recta es vertical.

4.1.2 ECUACION DE LA RECTA: Dado un punto en el plano, pasan por el

muchas rectas que tienen pendientes diferentes, como se ilustra en la figura

4.5.

Figura 4.5

¡Pero si se conoce la pendiente, existe solo una recta que pasa por tal punto!

Vamos ahora a determinar la ecuación de la recta no vertical que pasa por el

punto (x1, y1). Sea (x, y) un punto sobre la recta distinto de (x1, y1) como se

muestra en la figura 4.6

¡ A N Í M A T E !

y - y1 = m(x-x1)

La pendiente de la recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x, y) está dada por

m = 1

1

xxyy

−−

de donde m (x-x1) = y - y1 o lo que es lo mismo

(2).

A la ecuación (2) se le conoce como la fórmula punto pendiente de la recta.

Ejemplo: Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el

punto (3,2) y tiene pendiente 3.

Solución: En la ecuación (2) se hace m = 3 y (x1, y1) = (3,2).

Figura 4.6

(x1, y1)

(x, y)

x1

y1

x2

y2

y = -2x + 1.

y se obtiene y-2 = 3(x-3).

y = 3x –9 + 2. y = 3x - 7.

La ecuación pedida es

Ejemplo: Determine la ecuación de la recta que pasa por el

punto (-2, 5) y tiene pendiente -2.

Solución: Usando la ecuación (2) se tiene

y -5 = -2 (x - ( - 2))

y - 5 = - 2(x + 2) y - 5 = - 2x - 4

y - 5 = - 2x - 4

y = - 2x – 4 + 5


Ejemplo: Determina la ecuación de la recta cuya pendiente es

2/3 y pasa por el punto (-3,-4).

Solución: Utilizando la ecuación (2) se tiene:

y = 3x -7.

y - (-4) = 32 (x-(-3))

y+4 = 32 (x+3)

y+4= 32 x + 2

y = 32 x + 2 - 4

.

Ejemplo: Determine la ecuación de la recta que pasa por los

puntos (-2,5) y (4,3).

Solución: Como en este caso se conocen dos puntos de la recta,

hallamos la pendiente con uso de la ecuación (1).

m = 12

12

xxyy

−−

= )2(4

53−−− =

242+− = -

62 = -

31

Para calcular la ecuación de la recta, se toma uno cualquiera de los puntos

dados como (x1, y1) y se reemplaza en la ecuación (2).

y = x - 2

y = m x + b

Y = b

Sea (x1,y1) = (4,3), luego y-3 = - 31 (x-4)

y -3 = - 31 x +

34

y = - 31 x +

34 +3

La ecuación (2) presenta las siguientes variantes:

i) Si tomamos el punto de corte con el eje y, (0,b) la fórmula queda

y - b = m (x - 0), de donde

Esta ecuación sé conoce como fórmula pendiente - ordenada al origen de

la recta.

ii) Si la recta es horizontal, la pendiente es cero y la ecuación se reduce a

y = - x +

x = a

Ax + By + C = 0 (3)

Esta es la ecuación de una recta horizontal a una distancia b del eje X

iii) Si la recta es vertical y su punto de corte con el eje x es (a, o), su

ecuación esta dada por

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los

puntos (3,- 2) y ( 8, - 2).

Solución: hallamos la pendiente m = 38

)2(2−−−− =

522 +− =

50 = 0.

Como m = 0, la ecuación que pasa por los puntos mencionados es horizontal

y por lo tanto su ecuación es de la forma y = - 2.

Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los

Puntos (4, -3) y (4, 8).

Solución: hallamos la pendiente: m = 44

)3(8−−− =

038 + =

011 , como no está

definida la pendiente, la recta es vertical y por lo tanto su ecuación es de la

forma x = 4.

En general, una ecuación lineal con dos variables x y y tiene la forma:

En donde A , B y C son constantes y A y B no son ceros a la vez.

Dependiendo de los de los valores de A y B, se presentan las siguientes

variantes:

1. Si B ≠ 0 y A ≠ 0, al despejar y, la ecuación (3) toma la forma

BCx

BAy −−=

Que es la ecuación de una línea recta con pendiente BA

− y ordenada al

origen BC

−

2. Si B ≠ 0 y A = 0, al despejar y, la ecuación (3) toma la forma y = - BC

Esta es la ecuación de una línea recta horizontal cuya ordenada al origen es

BC

− .

3. Si B = 0 y A ≠ 0, al despejar y, la ecuación (3) toma la forma: x = - AC

que es la ecuación de una recta vertical que intercepta al eje x en el punto

AC

−

El siguiente es un video sobre Ecuación general de una recta dados dos puntos.

4.1.3 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

El siguiente es un video sobre Ecuación de recta que pasa por un punto y es paralela a una recta dada

Dos rectas con pendientes m1 y m2 son:

http://www.youtube.com/watch?v=9bWiXT5EjkM

http://www.youtube.com/watch?v=8gEyd4oekz0



Figura 4.7

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el

punto (2,3) y es paralela a la recta 2x + 3y - 5 = 0

Solución Despejando y en la ecuación se obtiene y = -32 x +

35

Luego la recta dada tiene pendiente - 32 .

Sea m la pendiente de la recta que pasa por (2,3). Como las dos rectas son

paralelas, sus pendientes son iguales. Esto es m = -32 .

Por la formula punto pendiente se tiene

y - 3 = - 32 (x - 2)

Paralelas si m1 = m2 Perpendiculares si m1m2 = -1

3y + 2x - 13 = 0

2y +x - 1 = 0

3y - 9 = -2x + 4


Ejemplo: Determine la ecuación de la recta que pasa por el

punto (3, -1) y es perpendicular a la recta 2y - 4x + 8 = 0

Solución: Despejando y obtenemos y = 2x - 4. La pendiente de la recta

dada es 2.

Sea m la pendiente que pasa por el punto (3, -1). Como las dos rectas son

perpendiculares, el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es:

2m = -1 o m = 21

−

Por la fórmula punto-pendiente al ecuación de la recta que pasa por (3,-1) es:

y - (-1) = 21

− (x - 3)

y + 1 = 21

− (x - 3)

2y + 2 = - x + 3


4.2 APLICACIONES

MODELOS DE COSTO LINEAL.

En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de

costo a saber:

• Costos fijos: Son los que no dependen del número de artículos

producidos, es decir, del nivel de producción. Ejemplos de costos fijos

son las rentas, intereses sobre préstamos, salarios y gastos de

administración.

• Costos variables: Son los que dependen de la cantidad de artículos

producidos o nivel de producción. Son costos variables: Los costos de los

materiales y de la mano de obra.

El costo total está dado por

En el caso en que el costo variable por cada artículo producido sea

constante, los costos variables totales son proporcionales a la cantidad

producida. Si m denota el costo variable por unidad, entonces los costos

variables totales al producir x unidades son de mx pesos . Si los costos fijos

son de b pesos, se desprende que el costo total C (en pesos) de producir x

unidades, está dado por:

Costo total = costos totales variables + costos fijos.

.

Esta ecuación es un ejemplo de un modelo de costo lineal.

La gráfica de la ecuación es una línea recta cuya pendiente representa el

costo variable por unidad y cuya ordenada al origen da los costos fijos.

Ejemplo: El costo variable de producir x relojes es de $5.000 y los costos

fijos por mes son de $ 10.000.000.

Costo total = costos variables + costos fijos.

C(x) = mx + b

a) Dé la ecuación de costo lineal.

b) Determine el costo de producir 10.000 relojes por mes.

Solución (a) Si C(x) representa el costo (en pesos) de procesar x relojes

por mes, se sigue de acuerdo al modelo lineal, que

C(x) = 5.000x + 10.000.000

b) Sustituyendo x = 10.000 en la ecuación de costo, tenemos:

C(10.000) = 5.000(10.000) + 10.000.000 = 60.000.000

Así, el costo de producir 10.000 relojes es de $60.000.000.

Ejemplo El costo de producir 10 traperos al día es de $25.000. En tanto que

producir 30 traperos del mismo tipo al día, cuesta $ 55.000. Suponiendo

que el modelo de costo es lineal, determine la ecuación que da el costo de

producir x traperos al día.

Solución: El problema nos da los puntos (10, 25000) y (30, 55000). Como el

modelo de costo es lineal, la pendiente de la línea que une estos dos puntos

es

C(x) = 1.500x + 10.000

m =1030

000.25000.55−− =

20000.30 = 1.500

Utilizando la fórmula punto-pendiente obtenemos la ecuación de la línea con

pendiente 1.500 y que pasa por el punto (10, 25000). La cual es la ecuación

de costo pedida.

y - y1 = m(x - x1)

y - 25.000 = 1.500(x - 10)

y = 1.500x - 15.000 + 25.000

y = 1.500x + 10.000

Así, la ecuación de costo es

♦ Punto de equilibrio. Se denomina punto de equilibrio al número de

unidades producidas y vendidas para que no haya perdida ni ganancia en

un negocio, es decir, para que los costos de producción sean iguales a

los ingresos obtenidos por las ventas.

Ejemplo: Si la fábrica de relojes del ejemplo anterior vende cada reloj en

$10.000, ¿cuántos relojes deberá producir y vender al mes para que el

negocio no presente perdida ni ganancia?

Solución: Como cada reloj se vende a $10.000, el ingreso obtenido por la

venta de x relojes está dado por Ι(x) = 10.000x.

El punto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los

costos, es decir,

10.000x = 5.000x + 10.000.000

10.000x - 5.000x = 10.000.000

5.000x = 10.000.000

x = 2.000

Por lo tanto, se deben producir y vender 2.000 relojes para que la fábrica no

tenga perdida ni ganancia.

Ejemplo: Si cada trapero del ejemplo se vende en $2.500, ¿cuántos deben

producirse y venderse al día para que el negocio esté en equilibrio?

Solución: El ingreso por la venta de x traperos es Ι(x) = 2.500x.

El punto de equilibrio se obtiene cuando Ι(x) = C(x), esto es,

2.500x = 1.500x + 10.000

2.500x - 1.500x = 10.000

1.000x = 10.000

x = 10

Luego, se deben producir y vender 10 traperos al día para que el negocio no

presente perdidas ni ganancias.

Veamos este ejemplo gráficamente:

Ι(x) = 2500x

Punto de

Figura 4.8

La figura 4.8 muestra que el punto de equilibrio es la intersección de las

líneas que representan las ecuaciones de ingreso y costo. Se observa en la

gráfica que cuando x < 10, el costo excede a los ingresos y hay perdida.

Cuando x > 10, los ingresos exceden a los costos y por lo tanto hay

ganancias o utilidades.

♦ Depreciación lineal. En el balance general de toda empresa o

compañía, se registra como activo el valor de los equipos adquiridos.

Debido al deterioro o al avance en la tecnología que los vuelve obsoletos, el

valor de estos equipos va disminuyendo gradualmente.

Esta disminución en el valor de los activos se denomina depreciación.

Si el valor del activo se reduce cada año en una cantidad constante, de tal

manera que el valor se reduzca a un valor de desecho al termino de la vida

útil estimada para el equipo, se denomina depreciación lineal.

La tasa de depreciación lineal por año se calcula así.

Tasa de depreciación (por año) = )(

secañosenutillVida

hodedeValorinicialValor −

Ejemplo: Una imprenta compra maquinaria, cuya vida útil se estima en 16

años, por la suma de $ 125.000.000. Si el valor de desecho está estimado en

$15.000.000

a) Determine la cantidad de depreciación por año.

b) Halle una fórmula que dé el valor de la maquinaria después de x años.

c) Calcule el valor de la maquinaria después de 10 años

Solución: Depreciación por año = 16

000.000.15000.000.125 −

= 16

000.000.110

= 6.875.000

Valor después de x años = (valor inicial) - (depreciación por año) (número de

años) = $125.000.000 - $ 6875.000 X

Valor después de 10 años = $125.000.000 - $6875000 (10)

= $125.000.000 - $68.750000

= $ 56.250.000

4.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales está formado por m ecuaciones lineales

con n variables.

mnmnmmm

nn

nn

n

bXaXaXaXa

bXaXaXaXabXaXaXaXabXnaXaXaXa

=++++

=++++=++++=++++

.......................................

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

Donde los 𝑎𝑎𝑖𝑗 y 𝑏𝑖 son constantes y las 𝑋𝑗 son las variables.

En este modulo se estudiara los denominados sistemas lineales cuadrados,

es decir, aquellos cuyo número de variables es igual al numero de

ecuaciones.

1.1 SISTEMAS DOS POR DOS

Los sistemas lineales 2x2 (dos ecuaciones con dos variables), son de la

forma:

Donde A, B,C,D,E,F son constantes.

Ejemplo: Los siguientes son sistemas lineales 2x2.

a) 4x -2y = - 4 b) 3x + 2y = 5 c) x + y = 2

5x + 3y = 3 6x - 4y = 2 x - y = 6

La solución del sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) es el conjunto

de los valores de x e y que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones.

Esta solución puede hallarse utilizando uno de los siguientes métodos:

♦ Método gráfico: Consiste en realizar la gráfica de las dos ecuaciones

sobre un mismo plano y determinar los puntos comunes de las dos rectas.

Puede suceder uno de los siguientes casos:

Ax + By + C = 0 (1)Dx + Ey + F = 0 (2)

1. Que las dos rectas se intersecten, en este caso la solución del sistema

es el punto de intersección, dado que está situado en ambas rectas y por

lo tanto satisface las dos ecuaciones.

2. Que las líneas sean paralelas, en tal caso no hay puntos comunes y por

lo tanto el sistema no tiene solución.

3. Que las líneas coincidan, en tal caso todos los puntos de las rectas son

comunes y por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones. Solución única Ninguna solución Infinitas soluciones

Figura 1.1

Ejemplo: Resuelva en forma gráfica el sistema

4x - y = 2 (1)

5x + 2y = 9 (2)

Solución: Se realiza la gráfica de las dos rectas; para lo cual basta con

determinar dos parejas de valores que satisfagan cada una de las

ecuaciones, ubicar los puntos en el plano y trazar las rectas.

X 0 2 y -2 6 Para la ecuación (1) Para la ecuación (2)

Figura 1.2

X 0 1 y 9/2 2

5x + 2y = 9

4x - y = 2

(1,2)

Como puede observarse en la figura 1.2 el punto de coordenadas (1,2) se

encuentra sobre las dos rectas, por lo tanto la solución del sistema es

S = {(1,2)}. Es decir, x = 1 y y = 2.

Ejemplo: Resuelva gráficamente el sistema:

x + 2y = -2 (1)

3x + y = 4 (2)

Solución: Se realiza la gráfica de las dos rectas, determinando dos parejas

de valores que satisfagan cada una de las ecuaciones:

X 0 4 y -1 -3 Para la ecuación (1) Para la ecuación (2)

X 0 1 y 4 1

(2, -2)

x + 2y = - 2

3x + y = 4

Figura 1.3

La gráfica de la figura 1.3 nos muestra que la solución del sistema es

S = {(2, -2)}. Es decir, x = 2 y y = - 2.

♦ Método algebraico: Determina los valores de las variables mediante

operaciones algebraicas. Según el procedimiento se subdivide en:

1. Método de sustitución: Consiste en despejar una de las variables en

una de las ecuaciones y remplazarla en la otra.

Ejemplo: Resolver por sustitución 3x + 2y = 4 (1)

2x - 4y = 8 (2)

Solución: Despejamos x en la ecuación (1)

3x = 4 - 2y ⇒ x = 324 y− (3)

En el siguiente video te explican el método grafico

http://www.youtube.com/watch?v=ieiRIATCOUI


Se reemplaza este valor en la ecuación (2)

2 (324 y− ) - 4y = 8

( 348 y− ) - 4y = 8

Multiplicamos cada término por 3.

8 - 4y - 12y = 24

-16y = 24 - 8

-16y = 16

y = 16

16−

Se reemplaza el valor de y en la ecuación (3)

x = 324 y− =

3)1(24 −− =

36

324=

+ = 2

El sistema tiene solución única, la cual es S = {(2, - 1)}

Ejemplo: Resolver por sustitución el sistema.

2x - y = 4 (1)

6x - 3y = 12 (2)

y = -1

x =2

Solución: Despejamos y en la ecuación (1)

2x - 4 = y ⇒ y = 2x -4

Reemplazamos este valor en (2)

6x - 3 (2x - 4) = 12

6x - 6x + 12 = 12

12 = 12

Se ha obtenido una Identidad, por lo tanto el sistema tiene infinitas

soluciones.

2. Método de igualación: Se despeja una misma variable en las dos

ecuaciones e igualan los resultados.

Ejemplo: Resolver por igualación el sistema.

5x + 3y = -1 (1)

2x + 3y = 5 (2)

Ver el siguiente video te explican el método de sustitución

http://www.youtube.com/watch?v=3FHhPLVUt9o


Solución: Despejamos x en ambas ecuaciones

5x + 3y = -1 2x + 3y = 5

5x = -1 - 3y 2x = 5 - 3y

x = 5

31 y−− x = 235 y−

Igualamos los valores de x

5

31 y−− = 235 y−

Se realiza el producto cruzado y se obtiene

-2 -6y = 25 - 15y

-6y + 15y = 25 + 2

9y = 27

y = 927

Reemplazamos este valor en la ecuación

y = 3

x = 235 y−

⇒ x = 2

)3(35 − = 2

95 − = 24− = -2

Luego la solución del sistema es S = {(-2, 3)}

Ejemplo Resolver por igualación el sistema

2x - 3y = 5 (1)

4x - 6y = 9 (2)

Solución: Despejamos x en ambas ecuaciones

2x - 3y = 5 4x - 6y = 9

2x = 5 +3y 4x = 9 + 6y

x = 235 y+ x =

469 y+

Igualamos los valores de x

235 y+ =

469 y+

20 + 12y = 18 + 12y

x = -2

12y - 12y = 18 - 20

0 = -2 (absurdo).

Como se ha obtenido un absurdo, el sistema no tiene solución.

3. Método de eliminación: Se multiplica cada una de las ecuaciones por

números tales que al sumar las expresiones obtenidas se anule una de

las variables.

Ejemplo: Resolver por eliminación el sistema

6x - 5y = -6 (1)

4x +3y = 4 (2)

Solución: Para eliminar la variable x, multiplicamos la ecuación (1) por (-2) y

la ecuación (2) por 3

-12 x + 10y = 12

12 x + 9y = 12

19 y = 24

Reemplazamos el valor de y en (2)

y =

Ver el siguiente video te explican el método de Igualación

http://www.youtube.com/watch?v=lTRANviJWEY


4x + 3 (1924 ) = 4

4x + 1972 = 4

4x = 4 - 1972

4x = 194

La solución del sistema es S = {(191 ,

1924 )}.

Ejemplo Resolver el sistema.

x + y = 3 (1)

2x - y = 21 (2)

Solución: En este caso no se requiere multiplicar las ecuaciones, ya que al

sumarlas se elimina y

x + y = 3

2x - y = 21

x =

3x = 24

x = 24 / 3

x = 8

Reemplazamos el valor de x en (1)

8 + y = 3

y = 3 - 8

y = - 5

La solución del sistema es S = {(8, -5)}

Ejemplo Resolver el sistema

3x + 5y = 10 (1)

2x + y = 5 (2)

Solución: Multiplicamos la ecuación (2) por -5

3x + 5y = 10

-10x - 5y = -25

-7x = - 15

x = 7

15−−

x = 7

15

Reemplazamos este valor en la ecuación (2)

2 (7

15 ) + y = 5

730 + y = 5

y = 5 - 730

y = 75

La solución del sistema es {(7

15 , 75 )}

OBSERVACION: La solución de un sistema de ecuaciones lineales es

independiente del método utilizado para resolverlo. Por lo tanto:

ACTIVIDAD ACTIVIDAD

PUEDES RESOLVER TODOS LOS SISTEMAS LINEALES 2X2 POR EL METODO QUE MÁS SE TE

FACILITE

Ver el siguiente video te explica el método de eliminación.

http://www.youtube.com/watch?v=v6iKv3QXqNs


4.4 APLICACIONES: PUNTO DE EQUILIBRIO DE MERCADO

♦ Oferta y demanda.

Las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales

en cualquier análisis económico. La cantidad x de cualquier artículo que será

adquirida por los consumidores depende del precio en que el artículo esté

disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo

determinado que los consumidores están dispuesto a comprar, a varios

niveles de precios, se denomina ley de la demanda. La más simple es una

relación del tipo

p = mx + b

En donde p es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes. La

gráfica de una ley de demanda se llama la curva de demanda. Obsérvese

que p se ha expresado en términos de x. Esto nos permite calcular el nivel

de precio en que cierta cantidad x puede venderse.

Es un hecho perfectamente conocido que si el precio por unidad de un

articulo aumenta, la demanda por el articulo disminuye, porque menos

consumidores podrán adquirirlo, mientras que si el precio por unidad

disminuye (es decir, el articulo se abarata) la demanda se incrementará. En

1. Resuelva los siguientes sistemas donde aplique todos los métodos vistos.

a) 5x + 7y = 6 b) 4x + y = 3 c) 5x + 3y = 10

3x - 2y = - 15 6x - 2y = 1 2x + 2y = 5

otras palabras, la pendiente m de la relación lineal de demanda es negativa.

De modo que la gráfica de la ecuación tiene una inclinación que baja hacia la

derecha, como se aprecia en la parte (a) de la figura 4.9. Puesto que el

precio p por unidad y la cantidad x demandada no son números negativos, la

gráfica sólo debe dibujarse en el primer cuadrante.

La cantidad de un artículo determinado que sus proveedores están

dispuestos a ofrecer depende del precio al cual puedan venderlo. Una

relación que especifique la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes

(o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios se denomina

ley de la oferta.

La gráfica de una ecuación de la oferta (o ley de la oferta) se conoce como

curva de oferta. En general los proveedores inundarán el mercado con una

gran cantidad de artículos, si pueden ponerle un precio alto, y una cantidad

más pequeña de artículos si el precio obtenido es más bajo. En otras

palabras, la oferta aumenta al subir el precio. Una curva de demanda lineal

típica aparece en la parte (b) de la figura 4.9 El precio p1 corresponde a un

precio bajo del cual los proveedores no ofrecerán el articulo.

(a) (b) 0 0

P1

p

x x

b

x0

p

Figura 4.9

Ejemplo: Un comerciante puede vender 30 escobas al día a un precio de

$2.500 cada una, pero puede vender 50 si les fija un precio de $2.200 a cada

escoba. Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.

Solución: Considerando la cantidad x demandada como la abscisa

(coordenada x) y el precio p por unidad como la ordenada (coordenada y)

los dos puntos sobre la curva de demanda tienen coordenadas (30, 2.500) y

(50, 2.200)

Dado que la ecuación de demanda es lineal, está dada por la ecuación de la

línea recta que pasa por los puntos dados. La pendiente de la línea que une

estos puntos es

m = 3050

500.2200.2−− = -

20300 = -15.

La pendiente obtenida es negativa. ¿Por qué?

Por la fórmula punto- pendiente, la ecuación de la línea que pasa por el

punto (30,2.500) con pendiente m = - 15 es (haciendo y = p):

p - p1 = m(x - x1)

p - 2.500 = -15(x - 30)

p = -15x + 450 + 2.500

p = -15x + 2.950

Que es la ecuación de demanda pedida.

Ejemplo: El comerciante del ejemplo 2.30 ofrecerá al mercado 50 escobas al

día si el precio de compra es $2.400 la unidad y 100 escobas al día si el

precio es de $2.900. Determine la ecuación de la oferta suponiendo que es

lineal.

Solución: Dado que la ecuación de oferta es lineal, está dada por la

ecuación de la línea recta que pasa por los puntos (x,p): (50, 2400) y (100,

2900), donde x representa la cantidad ofrecida y p el precio al cual se ofrece.

Hallamos la pendiente de esta recta:

m =50100

400.2900.2−− =

50500 = 10

Haciendo y = p, se determina la ecuación de la línea que pasa por el punto

(50, 2400) y tiene pendiente 10, por la formula punto-pendiente.

p - p1 = m(x - x1)

p - 2.400 = 10(x - 50)

p = 10x - 500 + 2.400

p = 10x + 1.900

Que es la ecuación de oferta pedida.

♦ Equilibrio de mercado.

El equilibrio de mercado ocurre cuando en un mercado competitivo, donde el

precio depende única y exclusivamente de la cantidad ofrecida y demanda,

éste tiende a ajustarse para que estas cantidades sean iguales.

El precio de equilibrio del mercado p0 y la cantidad de equilibrio x0 se

determinan resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de oferta y

demanda. Esto nos indica que el punto de equilibrio de mercado es la

intersección de las curvas de demanda y oferta.

Ejemplo Un comerciante puede vender 30 escobas al día a un precio de

$2.500 cada una, pero puede vender 50 si les fija un precio de $2.200 a cada

escoba. El comerciante ofrecerá al mercado 50 escobas al día si el precio de

compra es $2.400 la unidad y 100 escobas al día si el precio es de $2.900.

La ecuación de oferta para las escobas es p = 10x + 1.900 y la de

demanda p = -15x + 2.050 (ver modulo I). Determine el punto de equilibrio

de mercado.

Solución: Las ecuaciones de oferta y demanda forman el sistema

p = 10x + 1.900

p = -15x + 2.050

Igualando los dos valores de p tenemos que

10x + 1.900 = -15x + 2.050

10x + 15x = 2.050 - 1.900

25x = 150

x = 6

Sustituyendo x en la ecuación p = 10x + 1.900 obtenemos p = 1.960

Luego, se establece el equilibrio de mercado cuando se ofrecen y demandan

6 escobas a un precio de $1.960.

Ejemplo Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio de un artículo cuyas

curvas de demanda y oferta son:

Demanda: 20p + 15x = 6.200

Oferta: 12p - 8x = 2.360

Solución: Multiplicamos la ecuación de demanda por 3 y la ecuación de

oferta por - 5, y sumamos las ecuaciones resultantes, así:

60p + 45x = 18.600

-60p + 40x = -11.800

85x = 6800

x = 80

Sustituyendo x en la ecuación 20p + 15x = 6200 se obtiene

20p + 15(80) = 6200

20p + 1200 = 6200

20p = 6200 – 1200

p = 20

5000

p = 250

Luego, la cantidad de equilibrio es 80 y el precio de equilibrio $250

Ejemplo Halla el punto de equilibrio de mercado para un producto cuyas

ecuaciones son: Demanda: 12x + 5p = 1500

Oferta: 7x - 4p = 460

Solución: Multiplicamos la ecuación de demanda por 4 y la ecuación de

oferta por 5. Sumamos las ecuaciones resultantes

48x + 20p = 6000

35x - 20p = 2300

83x = 8300

x = 100

Sustituyendo x en la ecuación 48x + 20p = 6000 Se tiene

48 (100) + 20p = 6000

20p = 6000 - 4800

20p = 1200

p = 60

Luego la cantidad de equilibrio es 100 y el precio de equilibrio $ 60.

Ejemplo: Cuando el precio de un artículo es de $1.200, un comerciante

ofrece 12.000 unidades, de las cuales se venden 8.000. Pero cuando el

precio es de $1.000, ofrece 10.000 unidades y se venden 9.000. Determina

el punto de equilibrio de mercado para este producto.

Solución: Debemos determinar las ecuaciones de demanda y oferta.

Para la ecuación de demanda se tiene que:

Precio demanda

p1 = 1.200 x1 = 8.000

p2 = 1000 x2 = 9.000

Hallamos la pendiente m = 000.8000.9200.1000.1

−−

m = -51

Hallamos la ecuación de demanda: p - p1 = m (x -x1)

p - 1200 = - 51 (x - 8000)

5p - 6000 = - x + 8000

5p + x - 14.000 = 0

Para la ecuación de oferta se tiene que

Precio oferta

p1 = 1.200 x1 = 12.000

p2 = 1000 x2 = 10.000

Hallamos la pendiente

m = 000.12000.10

200.1000.1−− =

2000200

−− =

101

Hallamos la ecuación de oferta:

p - 1.200 = 101 ( x - 12.000 )

10 p - 12.000 = x - 12000

10p - x = 0

Se resuelve el sistema

5p + x = 14.000

10p - x = 0

15p = 14.000

p = 933.33

Sustituimos p en la ecuación 5p + x = 14.000

5 (933.33) + x = 14.000

x = 14.000 - 4666.65

x = 9333.35

x ≈ 9.333

El precio de equilibrio es de $ 933,33 y la cantidad de equilibrio es

aproximadamente 9.333 unidades.

ACTIVIDAD

1. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, -8) y (4,

1)

2. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (-5, 8) y es

paralela a la recta 4x - 5y-6 = 0 3. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 5) y es

perpendicular a la recta 4x + 3y + 1 = 0

4. Cuando el precio de un artículo es de $1.200, un comerciante ofrece

12.000 unidades, de las cuales se venden 8.000. Pero cuando el

precio es de $1.000, ofrece 10.000 unidades y se venden 9.000.

Determina las ecuaciones de oferta y de demanda

5. A un precio de $300 un comerciante puede ofrecer 500 unidades al

día de un producto, mientras que la demanda es de 400. Si el precio

se eleva a $400, el comerciante ofrecerá 800 unidades pero la

demanda bajará a 350 unidades.

a) Determina la ecuación de demanda suponiendo que es lineal

RESUMEN

Un sistema lineal está formado por m ecuaciones lineales y n

variables. Si el número de ecuaciones es igual al número de variables,

se dice que el sistema es cuadrado.

Un sistema lineal, puede tener una única solución, infinitas soluciones

o ninguna solución.

Los sistemas 2x2 pueden ser resueltos por el método grafico, que

consiste en determinar el punto o los puntos de intersección de las

rectas que representan las ecuaciones, pero es poco practico cuando la

solución involucra números no enteros. Para una mejor precisión es

conveniente el uso de métodos algebraicos (Igualación, Sustitución y

Eliminación) o métodos matriciales.

Se denomina punto de equilibrio al número de unidades que se deben

producir y vender para que no halla pérdidas ni ganancias, es decir,

para que los costos sean iguales a los ingresos.

Se obtiene equilibrio de mercado cuando la demanda de un artículo es

igual a su oferta.

EVALUACION

1. Una fábrica de jugos ofrecerá al mercado 8.000 litros al mes a un precio

de$200, y ofrecerá 12.000 litros si el precio es de $300. Determina la

ecuación de la oferta, suponiendo que es lineal.

2. A un precio de $300 un comerciante puede ofrecer 500 unidades al día

de un producto, mientras que la demanda es de 400. Si el precio se eleva

a $400, el comerciante ofrecerá 800 unidades pero la demanda bajará a

350 unidades. Determina las ecuaciones de demanda y oferta,

suponiendo que son lineal

3. La familia Mendoza compró un equipo de sonido por $1.500.000 que se

deprecia linealmente cada año en un 8% de su valor inicial. ¿Cuál es el

valor del equipo después de x años? ¿Qué valor tendrá después de 5

años?

4. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5,-2) y (2,6)

5. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4,5) y es paralela

a la recta 3x -2y + 5 = 0

6. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4,5) y es

perpendicular a la recta 2x + 5y - 6 = 0

7. Un fabricante de mesas estima que el costo de producción de cada una es

de $25.000 y que tiene costos fijos mensuales de $350.000. Si cada mesa la

vende en $39.000, ¿Cuantas deberá producir y vender al mes para obtener

equilibrio en su negocio?

8. Cuando el precio de cierto artículo es de $600, se venden 1000 unidades.

Pero cuando el precio es de $800, se venden 800. Determina la ecuación de

demanda para este artículo, suponiendo que es lineal.

9. José compró una motocicleta nueva por $3.200.000 ¿Cuál es el valor de la

motocicleta después de x años, suponiendo que se deprecio linealmente

cada año a una tasa del 10% de su costo original? ¿ Cuál es el valor de la

moto después de 4 años?

10. Un fabricante de lápices observa que las ventas son de 15.000 unidades

al mes cuando el precio es de $120 cada uno. Pero cuando el precio es de

$150, las ventas bajan a 12.000 unidades. Determina la relación de

demanda, suponiendo que es lineal.

11. Un fabricante de grabadoras nota que a un precio de $65.000 por

grabadora, las ventas ascienden a 3.000 grabadoras al mes. Sin embargo

cuando el precio se incrementa en un 10%, las ventas disminuyen en un

20%. Determina la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.

Con base en la siguiente información responde las preguntas 1 a 3

Un comerciante puede vender 200 unidades de cierto artículo al día a $ 30

por unidad y 250 unidades a $ 27 por unidad. La ecuación de oferta para tal

articulo es 6p = q + 48 donde q es el número de unidades producidas y p es

el precio por unidad.

1. La ecuación lineal de demanda que corresponde a esta situación es:

A. 2100 3q 50p += B. 2100- 3q p =

C. 42 q503 p += D. 2100 3q - p 50 +=

2. El precio de equilibrio de mercado es:

A. 43 B. 63

C. 33 D. 23

3. La cantidad de equilibrio de mercado es:

A. 150 B. 160

C. 250 D. 130

Con la siguiente información responda las preguntas 4 y 5

Una empresa produce sillas y mesas. Cada silla requiere 3 horas para ser armadas y 4 horas

para el proceso de acabado; cada mesa requiere 5 horas para ser armada y cuatro horas para el

proceso de acabado. Se cuenta con 480 horas – hombre para el proceso de armado y 560 horas

para el proceso de acabado.

4. Si se quiere determinar el número de sillas y de mesas que se pueden producir utilizando

todo el potencial de mano de obra, el sistemas de ecuaciones que modela este problema

es: (La variable “S” representa el numero de sillas y la variable ”M” representa el numero

de mesas)

A.

=+=+

5604348053

MSMS

B.

=+=+

5604548044

MSMS

C.

=+=+

5604448053

MSMS

D.

=+=+56044

480)5(3MSMS

5. El número de mesas y sillas que se pueden producir son, respectivamente:

A. 110 y 30 B. 30 y 110

C. 240 y 8 D. 8 y 240

6. En el edificio de una clínica, la primera planta ofrece 7 piezas para hospitalización

atendidas por 4 enfermeras, la segunda planta ofrece 6 piezas atendidas por 3 enfermeras

y la tercera ofrece 5 piezas atendidas por 3 enfermeras. Si en la limpieza semanal, cada

aseadora cobra $20.000 por la primera planta, $15.000 por la segunda y $10.000 por la

tercera. Para que la ganancia semanal sea $1.240.000 en la primera planta, de $1.155.000

en la segunda y de $ 870.000 en la tercera, lo que debe cobrarse por la renta semanal de

cada pieza, el numero de aseadoras que deben ser contratadas y el sueldo de cada

enfermera, deben ser, respectivamente:

A. 300.000, 3, 20.000 B. 300.000, 3, 200.000

C. 30.000, 3, 200.000 D. 30.000, 3, 20.000

GLOSARIO

Para el glosario el estudiante puede hacer uso interactivo de un documento

completo del cual se da el sitio web.

Este diccionario ilustrado de conceptos matemáticos de distribución gratuita

incluye más de mil definiciones y más de trescientas ilustraciones para que el

lector pueda crear una idea más clara del concepto para entenderlo de una

manera más sencilla y amena. (SOTO, 2001)

SOTO EFRAIN DICCIONARIO ILUSTRADO DE CONCEPTOS MATEMATICOS.

http://www.aprendematematicas.org.mx/obras/DICM.pdf


BIBLIOGRAFIA

ARDILA, Víctor y VILLEGAS, Mauricio. Nova Matemática 11. Santafé de Bogotá: Editorial Voluntad, 1998.

ARYA, Jagdish y LARDNER; Robin. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Santafé de Bogotá: Prentice Hall, 1994.

OLMOS, Alfredo Y MARTINEZ, Luis. Matemática practica 9. Santafé de Bogotá: Editorial Voluntad, 1990.

WEBER, Jean E. Matemáticas para Administración y Economía. México: Harla,1982

CALTER, Paul, Fundamentos de matemática I. México, Editorial Mc Graw-Hill, 1984. Segunda Edición

BRITTON, Jack y BELLO, Ignacio. Matemáticas Contemporáneas. Editorial Harla 1984. Segunda Edición.

LONDOÑO, Nelson y BEDOYA, Hernando. Serie Matemática Progresiva. Editorial Norma 1984. Segunda Edición

SOTO EFRAIN DICCIONARIO ILUSTRADO DE CONCEPTOS MATEMATICOS. México 2011.

CARL B. ALLENDOEFER. Matemáticas Universitarias. Editorial Mc. Graw Hill. Cuarta edición

1990.

HAEUSSLER ERNEST F. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de

la Vida. Editorial Prentice. Octava edición, 2001.

CIBERGRAFIA

www.cidse.itcr.ac.cr.

http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Reales/FTPropiedades.pdf.















http://precalculo.carimobits.com/PrecalcII/Material%20del%20Curso/func%20exponencial%20Feb

%2021%202012.pdf








http://www.cidse.itcr.ac.cr/

http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Reales/FTPropiedades.pdf






























DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

MATEMÁTICAS

Carretera Troncal de Occidente - Vía Corozal - Sincelejo (Sucre)Teléfonos: 2804017 - 2804018 - 2804032, Ext. 126, 122 y 123Mercadeo: 2806665 Celular: (314) 524 88 16E- Mail: [email protected]

Date post:	28-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	john-rojas
View:	244 times
Download:	0 times

MATEMATICAS-MATEMATICAS

Documents