ALGEBRA TEMA: MATRICES 1

ALGEBRA

TEMA: MATRICES CONTENIDOS PAG.

• 1 - MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 02

Ejercicios Propuestos 08

• 2 - OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS 09

Ejercicios Propuestos 12

• 3 - TIPOS DE MATRICES 13

Ejercicios Propuestos 17

• 4 - INVERSA DE UNA MATRIZ 18

Ejercicios Propuestos 22

• RESULTADOS DE EJERCICIOS PROPUESTOS 23

ALGEBRA TEMA: MATRICES 2

1 - MATRICES – OPERACIONES CON MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se

denominan elementos de la matriz. A continuación se presentan ejemplos de

matrices:

−=

351310321

A

−=01

1B ( )9031=C

=

15013521

D

El tamaño de una matriz se describe en función del número de filas y de

columnas que contiene. Por ejemplo la matriz A tiene tres filas y tres columnas,

por lo tanto es una matriz 3 x 3. Para los casos de las matrices B, C y D sus

tamaños son respectivamente 3 x 1; 1 x 4; 2 x 4.

A los elementos de una matriz se los identifica con una letra minúscula seguida

por dos subíndices que indican la posición fila y la posición columna del mismo.

Por ejemplo el elemento correspondiente a la fila dos y columna tres de la

matriz A es a23 y su valor es igual a 3.

a23=3

Los restantes elementos de la matriz A son los siguientes:

a11=1 (Elemento correspondiente a fila 1 y columna 1)

a12=2

a13=3

a21=0

a22=-1

a31=1

a32=5

a33=3

Una matriz A con m filas y n columnas se simboliza de la siguiente manera:

= .

...........

...

...

21

22221

11211

MNAmm

na

n

aa

aaaaa

A

ALGEBRA TEMA: MATRICES 3

OPERACIONES CON MATRICES Primeramente se definirán matrices iguales, que son aquellas que tienen el

mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales. Por ejemplo las

matrices A y B son iguales:

−=

2011

A

−=

2011

B

ADICION DE MATRICES Para sumar dos matrices las mismas deben ser del mismo tamaño, es decir,

igual cantidad de filas que de columnas. La suma de dos matrices A y B se

realiza sumando los elementos de A con sus correspondientes de B.

EJEMPLO Nº 1.1: Sumar las matrices C y D siguientes:

−=

2011

C

−

=2153

D

Como ambas matrices son del mismo tamaño se pueden sumar. Los elementos

de la matriz suma F se obtienen de la suma de los respectivos elementos de la

matrices C y D:

fij= cij + dij

Entonces el elemento f11 se obtiene de sumar el elemento c11 con el d11:

f11 = 1 + 3 = 4

Análogamente se calculan los restantes elementos de la matriz f:

f12 = (-1) + 5 = 4

f21 = 0+ (-1) = -1

f22 = 2+2 = 4

Por lo tanto la matriz F = C + D es

−

=4144

F

PROPIEDADES DE LA ADICION DE MATRICES 1 – La adición de matrices es conmutativa: A + B = B + A

ALGEBRA TEMA: MATRICES 4

2 – La adición de matrices es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)

3 – La adición de matrices tiene elemento neutro aditivo. A + N = A

N es la matriz nula, o sea, aquella matriz en que todos sus elementos son

iguales a cero.

4 – La adición de matrices tiene inverso aditivo A + (-A ) = N

SUSTRACCION DE MATRICES La sustracción de matrices se realiza en forma similar a la adición, por lo tanto

las matrices deben ser de igual tamaño. Si a la matriz A le restamos la matriz

B, los elementos de la matriz resultante C se calculan de la siguiente manera:

cij= aij - bij

EJEMPLO 1.2: Dadas la matrices A y B, realizar la operación A – B.

−

=5121

A

−

=4203

B

c11= a11-b11= 1 – 3 = -2

c12= a12-b12= 2 – 0 = 2

c21= a21-b21= (-1) – (-2) = -1+2 = 1

c22= a22-b22= 5 – 4 = 1

Por lo tanto la matriz resultante C es:

−=

1122

C

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR (NUMERO) El producto de una matriz por un escalar consiste en multiplicar cada uno de

los elementos de la matriz por el citado escalar. Simbólicamente:

α. (A)ij = α.aij

EJEMPLO Nº 1.3: Multiplicar la matriz A del ejercicio anterior por -5.

ALGEBRA TEMA: MATRICES 5

−−−

=

−

−255105

5121

.5

EJERCICIO 1.4: Dadas las matrices A, B y C, realizar la operación 5.A +B-2C

−=

450211

A

=

400151

B

−

−=

2/112032

C

Realizamos primeramente los productos de matrices por escalares:

−=

−=

202501055

450211

.55A

−

−=

−

−=

124064

2/112032

.2.2C

A continuación se realiza la operación 5A + B – 2C:

=

−

−−

+

−=−+

232341162

124064

400151

202501055

25 CBA

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR 1 – Distributibidad respecto a la adición de matrices c(A + B) = cA + cB

2 – Distributibidad respecto a la adición de escalares (c + d).A = cA + dA

3 – Asociatividad mixta c(dA) = (cd).A

4 – Existencia de neutro 1.A = A

PRODUCTO DE MATRICES Sean A una matriz de tamaño m x n y B una matriz de n x p. Para que el

producto se pueda realizar es necesario que el número de columnas de la

matriz A sea igual al número de filas de la matriz B. En este caso el producto

es posible. La matriz resultante C tendrá el número de filas de la matriz A y el

número de columnas de la matriz B, por lo tanto el tamaño de C será m x p. Si

ALGEBRA TEMA: MATRICES 6

el número de columnas de A es distinto al número de filas de B, se dice que las

matrices no son conformables y el producto no existe.

El elemento correspondiente a la fila i y la columna j de la matriz producto C se

obtiene de multiplicar elementos correspondientes de la fila i de A y de la

columna j de B, y sumando los productos.

La fila i de a es (ai1, ai2, … , ain) y la columna j de B es

nj

j

j

b

bb

.2

1

Entonces el elemento cij = ai1.b1j+ ai2.b2j+…+ ain.bnj

EJEMPLO 1.5: Determinar los productos A.B y B.A si existen siendo:

=

0231

A

−

=623105

B

El tamaño de A es 2 x 2 y el tamaño de B es 2 x 3. El producto A.B es posible

por que el número de columnas de A (2) es igual al número de filas de B (2). La

matriz resultante del producto será por lo tanto una matriz de tamaño 2 x 3.

El elemento c11 se obtiene de sumar los productos de los elementos

correspondientes a la fila 1 de A con los de la columna 1 de B:

c11= 1 x 5 + 3 x 3 = 14

De la misma manera se calculan los restantes elementos, es decir, el elemento

c12 se obtiene de sumar los productos de los elementos correspondientes a la

fila 1 de A con los de la columna 2 de B y así sucesivamente:

c12 = 1 x 0 + 3 x (-2) = -6

c13 = 1 x 1 + 3 x 6 = 19

c21 = 2 x 5 + 0 x 3 = 10

c22 = 2 x 0 + 0 x (-2) = 0

c23 = 2 x 1 + 0 x 6 = 2

La matriz resultante es por lo tanto:

ALGEBRA TEMA: MATRICES 7

−=

201019614

C

El producto B.A no es posible, ya que en este caso las matrices no son

conformables por que el número de columnas de B (3) no es igual al número de

filas de A (2). En este caso se dice que el producto no es posible.

EJEMPLO 1.6: Resolver el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial:

=

− 5

4*

3112

yx

Resolviendo el producto de matrices del lado izquierdo de la igualdad se

obtiene una matriz de 2 x 1:

+−+yxyx3

2

Igualando dicha matriz con la matriz del lado derecho de la igualdad se obtiene

un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

=

+−+

54

32

yxyx

El sistema en forma escalar queda expresado de la siguiente manera:

2x + y = 4

-x + 3y = 5

Es un sistema Compatible Determinado cuya solución es (x, y) = (1, 2)

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Para toda matriz A, B y C y para todo escalar k

1 – Asociatividad A(BC) = (AB)C

2 – Distributividad respecto a la suma de matrices derecha A(B+C) = AB + AC

3 – Distributividad respecto a la suma de matrices izquierda (A+B)C = AC + BC

4 – Asociatividad k(AB) = (kA)B = (AB)k

5 – Identidad multiplicativa InA=A

ALGEBRA TEMA: MATRICES 8

EJERCICIOS PROPUESTOS – TEMA: OPERACIONES CON MATRICES 1 – Dadas las matrices A, B, C y D, realizar, en cado de ser posible, las

siguientes operaciones:

a) A + 2 B

b) –A + 5B

c) ½.A + 3B

d) A . D – C

e) C . A – 4C

Siendo:

−=

141210313

A C

−=

700321104

B

−−=3421

15

=

211104

D

2 – Calcular los elementos correspondiente a la fila 2 del producto A.B

realizando el menor número de operaciones posibles.

3 – Calcular el elemento correspondiente a fila 1 , columna 2 del producto A.B

realizando el menor número de operaciones posibles.

4 – Realizar las operaciones A.B , B.A y comparar resultados.

5 – Resolver el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial:

=

−

−01

*84

21yx

ALGEBRA TEMA: MATRICES 9

2 - OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS DE UNA MATRIZ

La realización de operaciones elementales de filas sobre una matriz A, permite

resolver situaciones como encontrar el rango o nulidad de la misma, determinar

la inversa de la matriz, calcular el determinante o resolver sistemas de

ecuaciones lineales.

Si a una matriz A se le aplican operaciones elementales de filas, se obtiene

una matriz B. Se dice, entonces, que A y B son equivalentes por filas.

Las operaciones elementales por filas son las que a continuación se enuncian:

I) Multiplicar una fila por un escalar diferente de cero

II) Sumar un múltiplo de una fila a otra fila

III) Intercambiar dos filas

La aplicación de sucesivas operaciones elementales de filas sobre una matriz

deriva en una matriz que se denomina matriz reducida por filas que nos sirve

para resolver sistemas lineales de ecuaciones, calcular el rango de una matriz,

calcular la inversa de una matriz, etc. La matriz reducida por filas tiene las

siguientes características:

I) Todos las filas que constan de ceros, si los hay, están en la parte

inferior de la matriz.

II) Al leer de izquierda a derecha, la primera entrada distinta de cero en

cada renglón (que no esté formado totalmente por ceros ) es un 1,

llamado la entrada principal de su fila.

III) Si los filas i e i + 1 son dos filas sucesivas que no consten

completamente de ceros, entonces la entrada principal de la fila i+1

está a la derecha de la entrada principal de la fila i.

IV) Si una columna contiene una entrada principal de algún renglón,

entonces el resto de las entradas de esta columna son iguales a

cero.

ALGEBRA TEMA: MATRICES 10

EJEMPLO 2.1: Obtener la matriz reducida por filas de la matriz A, siendo A

igual a:

−−=

96332032

2100A

Se realizarán operaciones elementales de filas sobre la matriz A para obtener

su matriz reducida por filas.

La primera operación que se realiza es multiplicar la tercera fila por el escalar

1/3. Simbólicamente se representa (1/3.f3). Se obtiene la matriz:

−−=

32112032

2100A

Para hacer cero los elementos de la columna 1, se suma a la segunda fila la

tercera multiplicada por -2. (-2f3 + f2 –› f2 )

−−=

321144102100

A

Ahora se pasa a la segunda columna. Observar que de acuerdo a las

condiciones que debe reunir una matriz reducida por filas el primer elemento no

nulo leyendo de izquierda a derecha debe ser un 1. Tomando la fila 2, tenemos

un 1 allí, por lo tanto se deben hacer cero los elementos correspondientes a la

columna 2. Para ello se suma a la fila 3 la segunda cambiada de signo.

(-f2 + f3 –› f3 )

−−=

760144102100

A

De la misma manera se repite el proceso con la columna 3, que tiene un 1 en la

primera fila, por lo tanto se deben hacer ceros los elementos correspondientes

a las fila 2 y 3 realizando las siguientes operaciones elementales:

ALGEBRA TEMA: MATRICES 11

4f1 + f2 –› f2

-6f1 + f3 –› f3

−=

19001120102100

A

Finalmente para dar cumplimiento a la condición III de una matriz reducida por

filas, se intercambian las filas para que la entrada principal de las filas i + 1 se

encuentren a la derecha de la entrada de la fila i. Se intercambian las filas 1 y

3.

−=

21001201019001

A

La matriz obtenida es la reducida por filas de A y cumple las condiciones I a IV

establecidas.

APLICACIÓN DEL ALGEBRA DE MATRICES: RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Realizar operaciones elementales por filas sobre una matriz representativa de

un sistema de ecuaciones lineales, permite obtener una matriz de un sistema

equivalente, es decir que el nuevo sistema tendrá el mismo conjunto solución

que el sistema original, ya que las operaciones elementales por filas sobre la

matriz de un sistema de ecuaciones no modifican las soluciones del mismo.

EJEMPLO 2.2: Resolver el sistema de ecuaciones siguiente:

z = 2

2x + 3y = -2

3x + 3y + 6z = -9

La matriz del sistema de ecuaciones propuesto es la misma matriz del Ejemplo

7:

ALGEBRA TEMA: MATRICES 12

−−=

96332032

2100A

La matriz reducida por filas de A es la siguiente de acuerdo a lo calculado en

ejemplo anterior:

−=

21001201019001

A

El sistema equivalente será entonces:

x = -19

y = 12

z = 2

Por lo tanto la solución del sistema es x = -19; y = 12; z = 2.

EJERCICIOS PROPUESTOS – OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS SOBRE UNA MATRIZ 1 – Indicar si las siguiente matrices se encuentra reducidas por filas. Si así no

lo fuere realizar las operaciones necesarias para reducirlas:

=

010300101

A

−=

000041100107

B

−=

105100000004301

C

2 – Calcular las reducidas por filas de las siguientes matrices utilizando

operaciones elementales por filas:

−−=

055321312

A C

−−

−=

235642213

B

−

−−

=

56311512322004254421

3 – Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y + z = 3

2x + 3y + z = 5

x – y -2z = -5

ALGEBRA TEMA: MATRICES 13

3 - TIPOS DE MATRICES MATRIZ DIAGONAL: es aquella matriz que todos sus elementos que no

pertenecen a la diagonal principal son iguales a cero.

aij = 0 para i ≠ j

EJEMPLO 3.1: La matriz B es una matriz diagonal, mientras que la matriz C no

lo es por que su elemento c21 ≠ 0

−=

500020001

B

B es una matriz diagonal 3 x 3

−

−

=

5000020000100011

C

C no es una matriz diagonal 4 x 4 ya que su elemento c21 ≠ 0

MATRIZ IDENTIDAD: Es aquella matriz en la que los elementos de la diagonal

principal son iguales a 1 mientras que los elementos distintos de la diagonal

principal son nulos. Se denorará In (Matriz identidad de orden n)

Simbólicamente aij = 1 para i=j

aij = 0 para i ≠ j

EJEMPLO 3.2: las siguientes matrices son las matrices identidad de orden 2 y

de orden 3 respectivamente:

=

1001

2I Matriz identidad de orden 2

=

100010001

3I Matriz identidad de orden 3

ALGEBRA TEMA: MATRICES 14

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: son las matrices que los elementos por

debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

Simbólicamente aij = 0 para i > j

EJEMPLO 3.3: La siguiente matriz es triangular superior:

−

−

=

5000320024101411

C

Obsérvese que los elementos situados por debajo de la diagonal principal son

iguales a cero, es decir los elementos c21, c31, c32, c41, c42, c43.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: son las matrices que los elementos por

debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

Simbólicamente aij = 0 para i < j

EJEMPLO 3.4: La matriz D es triangular inferior

−

−−=

51014202152001320002100001

D

MATRICES SIMETRICAS: Son aquellas que los elementos simétricos respecto

a la diagonal principal son iguales.

Simbólicamente aij = aji

EJEMPLO 3.5: La matriz siguiente es simétrica.

−−

−=

103042321

F

ALGEBRA TEMA: MATRICES 15

Observar que en este caso f21 = f12 = -2 y f31 = f13 = 3. Por lo tanto F es

simétrica.

LA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ: Si A es una matriz m x n, entonces la

transpuesta de A, denotada por At, se define como la matriz n x m que se

obtiene de intercambiar las filas por las columnas de A, es decir, que la primera

columna de At es la primera fila de A, la segunda columna de At es la segunda

fila de A y así sucesivamente.

EJEMPLO 3.6: Encontrar la matriz transpuesta de A, siendo A:

−−

−=

25016310

7121A

Intercambiando filas por columnas de A se obtiene At:

−−

−

=

267531012101

tA

EJEMPLO 3.7: Encontrar la traspuesta de B, siendo B:

( )7201 −=B

Intercambiando filas por columnas de B, se obtiene:

−=

72

01

tB

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANPUESTA Para todas la matrices A y B y para todo escalar k:

1 – (At)t= A

2 – (kA)t = k(At)

ALGEBRA TEMA: MATRICES 16

3 – (Ar)t = (At)r para todos los enteros r no negativos

4 – (A + B)t = At+Bt

5 – (AB)t = Bt.At

MATRIZ ELEMENTAL La matriz elemental es cualquier matriz que puede ser obtenida al realizar una

operación elemental por renglón sobre una matriz identidad.

EJEMPLO 3.8: La matriz ha sido obtenida a partir de la matriz

identidad I

1002

2 a través del empleo de una operación elemental de fila, en este

caso la multiplicación de la primera fila por el escalar 2.

La matriz ha sido obtenida a partir de la matriz identidad I

1201

2 a través de

la operación de multiplicar la primera fila por 2 y el resultado sumarlo a la fila 2:

2f1+f2 –> f2

La matriz ha sido obtenida al intercambiar las filas 1 y 2 de la matriz

identidad I

0110

2.

TEOREMA 3.1: Sea E una matriz elemental que se obtiene cuando se efectúa

una operación elemental por fila sobre la matriz identidad In. Si la misma

operación elemental por fila se realiza sobre una matiz A de n x r, el resultado

es el mismo que la matriz E.A.

EJEMPLO 3.9: Si a la matriz identidad I2 se le intercambian las filas y se

multiplica la segunda fila por 4 se obtiene la siguiente matriz . Si se

realizan las mismas operaciones sobre la matriz se obtiene

=

0410

E

−11

=

42

A

ALGEBRA TEMA: MATRICES 17

−4814

=

201

A

. Verificar que al multiplicar la matriz elemental E por A se obtiene el

mismo resultado.

EJERCICIOS PROPUESTOS – TEMA: TIPO DE MATRICES 1 – Demostrar que la suma de dos matrices triangulares superiores es una

matriz triangular superior.

2 – Demostrar que la suma de dos matrices simétricas es una matriz simétrica.

3 – Demostrar que el producto de una matriz A de m x n multiplicado por In es

igual a la matriz A.

4 – Dadas las matrices A, B y C, realizar las siguientes operaciones: (A.B)t+C;

Bt.A+C; B.C+A.

00

−

312341

C

−

−=

472015

B

−

=011421

5 – Realizar sobre la matriz identidad I3 una sucesión de filas para obtener la

matriz E. Verificar que el producto E.A es igual a realizar sobre la matriz A la

misma sucesión de operaciones elementales que se realizaron sobre la matriz

identidad. (Utilizar la matriz A del apartado anterior)

ALGEBRA TEMA: MATRICES 18

4 - INVERSA DE UNA MATRIZ Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es invertible si existe una

matriz B tal que B.A = A.B = In. A la matriz B se la denomina matriz inversa de

A y se la representa simbólicamente por A-1.

EJEMPLO 4.1: La matriz B es inversa de la matriz A ya que B.A = A.B = In

−

−=

3152

A

=

2153

B

Verificar que los productos A. B y B.A son iguales a I2

EJEMPLO 4.2: Demuestre que las matrices siguientes no son invertibles:

a) 0 b)

=

0000

=

4221

B

Solución: Para que la matriz nula (a) sea invertible, debe existir una matriz 0´

de manera que 0.0´= I2. Sin embargo el producto de la matriz nula por cualquier

matriz es igual a la matriz nula, por lo tanto 0.0´ nunca podría ser igual a la

matriz identidad I2.

Para el segundo caso (b), supóngase que existe una matriz B´, tal que B.B´ = I2

Si , entonces:

=

wzyx

B´

=

1001

.4221

wzyx

de lo que se obtiene el siguiente sistema de

ecuaciones:

x +2z = 1

y + 2w = 0

2x +4z = 0

2y + 4 w = 1

Restando dos veces la primera ecuación de la tercera se obtiene:

2x – (2x) + 4z – (4z) = 0-2

0 = -2

ALGEBRA TEMA: MATRICES 19

Evidentemente la última expresión no es posible, lo que nos indica la

incompatibilidad del sistema, por lo que se deduce que la matriz B no tiene

inversa.

PROPIEDADES DE LAS MATRICES INVERTIBLES a) Si A es una matriz invertible, entonces A-1 también es invertible. (A-1)-1=A

b) Si A es una matriz invertible, y c es un escalar distinto de cero, entonces

c.A también es invertible. (c.A)-1 = 1/c.A-1

c) Si A y B son matrices invertibles del mismo tamaño, entonces A.B también

es invertible. (A.B)-1 = B-1.A-1

d) Si A es una matriz invertible, entonces AT también es invertible.

(AT)-1 = (A-1)T

e) Si A es una matriz invertible, entonces An también es invertible para todo

entero n. (An)-1 = (A-1)n

TEOREMA 4.1: Sea A una matriz cuadrada. Si una sucesión de operaciones

elementales por fila reduce A a I, entonces la misma sucesión de operaciones

elementales por fila transforma a I en A.

En la práctica el teorema nos permite el cálculo de la inversa de una matriz A.

La metodología para el cálculo consiste en ampliar la matriz A con la matriz

identidad obteniéndose la A│I. Sobre la matriz A│ I se realizan las operaciones

elementales hasta obtener la matriz identidad en lugar de A, y por lo tanto en

lugar de I se obtendrá la inversa de A. Ello es así por que de acuerdo al

teorema anterior, sobre la matriz identidad se realizan las mismas operaciones

elementales por fila que se realizaron sobre A.

EJEMPLO 4.3: Encontrar la inversa de la matriz si existe.

−=

331422121

A

Para el cálculo de la inversa de A se amplía la misma con la matriz identidad I3

y se realizan operaciones elementales de filas hasta que en lugar de A se

obtenga I3.

ALGEBRA TEMA: MATRICES 20

[A│I] =

−

100331010422001121

Se realizan las siguientes operaciones elementales por filas:

-2f1+f2 –> f2

-f1+f3 –> f3

−−−

−

101410012620001121

-(1/2)f2

−−−

−

10141002/11310001121

-f2+f3 –> f3

-2f2+f1–> f1

−

−−−

1212700

0211310

011501

-(1/7)f3–> f3

−−−

−

7/114/17/210002

11310011501

-5f3 + f1 –> f1

3f3 + f2 –> f2

−−

−

7/114/17/21007/314/47/10107/514/97/3001

ALGEBRA TEMA: MATRICES 21

Como en el lado izquierdo en lugar de A se obtiene la matriz identidad, en el

lado derecho, en lugar de I, se obtiene A-1. Verificar que el producto A.A-1 = I3

EJEMPLO 4.4: Calcular la inversa de

−

−−=

235202112

B

Realizando operaciones de filas a la matriz de 3 x 6 que se obtiene de agregar

la matriz identidad a derecha de A se obtiene:

[A│I] =

−

−−

100235010202001112

3f1 + f3 –> f3

−−

−−

103101010202001112

-f3 –> f3

−−

−−

103101010202001112

2f3 +f1–> f1

-2f3 +f2–> f2

−

−−

103101216000205110

Observar que en la parte izquierda de la matriz [A│I]reducida por filas no se

puede obtener la matriz Identidad, por lo que la matriz A no tiene inversa. Esto

nos permite establecer el siguiente teorema:

TEOREMA 4.2: Una matriz de n x n es no singular (Invertible) si y sólo si es

equivalente por renglones a In

ALGEBRA TEMA: MATRICES 22

PROPOSICIONES EQUIVALENTES Sea A una matriz de n x n. Las siguientes proposiciones son equivalentes:

1 – A es invertible.

2 – La forma reducida por filas de A es In.

3 – A es un producto de matrices elementales.

EJERCICIOS PROPUESTOS – INVERSA DE UNA MATRIZ 1 – Encontrar las reducidas por filas de las siguientes matrices. ¿Cuáles son

invertibles?

−

−=

111201342

A

−−

−−=

221442221

B

−

−−

=

4134511222011361

D

2 – Encontrar, si existe, la inversa de las matrices del apartado anterior.

Verificar realizando el producto A.A-1 = I

ALGEBRA TEMA: MATRICES 23

RESULTADOS DE EJERCICOS PROPUESTOS TEMA 1: OPERACIONES CON MATRICES 1ª)

−−=+

15418525111

2BA

1b)

- −

−−

−=+

344113952117

5BA

1c)

−−=+

2/4322/1102/133

2/92/12/273)2/1( BA

1d)

−=−

3374611

. CDA

1e) No es posible la operación por que las matrices no son conformables.

2) (-1 2 17)

3) El elemento correspondiente a fila 1, columna 2 de la matriz A.B es 2

4) A.B ≠ B.A

5) El sistema planteado es incompatible.

TEMA 2: OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS SOBRE UNA MATRIZ 1) Ninguna de las matrices es reducida por filas

ALGEBRA TEMA: MATRICES 24

2)

=

100010001

rA

=

000110101

rb

−

10000001000101002001

3) La matriz del sistema de ecuaciones es la siguiente:

−−−=

521151323111

A

Y su matriz reducida por filas es:

=

210010100001

A

Por que la solución del sistema es (x, y, z) = (0, 1, 2)

TEMA 3: TIPOS DE MATRICES 1- Se demuestra que la suma de dos matrices triangulares superiores es

triangular superior.

2- La suma de dos matrices simétricas es simétrica

3- La matriz identidad es neutro para el producto de matrices.

4-

−−−

=+12318

351634).( CBA t

−−

=+1228

45420CABt

=+

21224105

. ACB

ALGEBRA TEMA: MATRICES 25

TEMA 4: INVERSA DE UNA MATRIZ 1 – Las matrices reducidas por filas son las siguientes:

=

100010001

)(Re Ad

−=

000000221

)(Re Bd

=

1000010000100001

)(Re Dd

De acuerdo a los resultados, son inversibles las matrices A y D por que sus

reducidas por filas es la matriz identidad.

2 – Inversas

−−

−−=−

99/3699/1899/999/999/4599/2799/7299/6399/18

1A

−−−−−

−−−

=

1000/1041000/4561000/3681000/1281000/561000/2161000/6481000/8

1000/641000/1041000/3121000/152100/32100/48100/4425/6

D