MATRICES ESPECIALES Entre la infinidad de matrices que podemos considerar, existen algunas que por tener características determinadas reciben nombres especiales y serán muy útiles posteriormente; además, esas características especiales hacen que puedan cumplir determinadas propiedades que resaltaremos en este epígrafe. Concretamente, las matrices especiales que vamos a considerar van a ser: identidad, diagonal, triangular y simétrica. MATRIZ ESCALAR: Toda matriz cuyos elementos de su diagonal principal toman el mismo valor, tanto arriba como debajo de la diagonal son ceros. También la conocemos por matriz identidad y a su vez es un caso de matriz diagonal. 1 0 0 A = 0 1 0 0 0 1 MATRIZ SIMETRICA: Es una matriz cuadrada, donde los elementos alternos tienen el mismo valor. MATRIZ ANTISIMETRICA: Matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su transpuesta A = -At; , aij = -aji aij = aji . Necesariamente; aii = 0 MATRIZ COMPLEJA: Es toda matriz cuadrada, cuyos elementos son números complejos. 3+2i i 5i A = -4+3i -2i 3+6i -2+i 3+6i -4i MATRIZ CONJUGADA: Sea A una matriz rectangular o cuadrada compleja. Si se forma otra matriz tomando los complejos de cada elemento de A se obtiene la matriz conjugada de A. A = [4 3+2j; −3–3j 4+4j] 4 3+ 2i
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MATRICES ESPECIALES
Entre la infinidad de matrices que podemos considerar, existen algunas que por tener
características determinadas reciben nombres especiales y serán muy útiles
posteriormente; además, esas características especiales hacen que puedan cumplir
determinadas propiedades que resaltaremos en este epígrafe. Concretamente, las
matrices especiales que vamos a considerar van a ser: identidad, diagonal, triangular y
simétrica.
MATRIZ ESCALAR:
Toda matriz cuyos elementos de su diagonal principal toman el mismo valor, tanto
arriba como debajo de la diagonal son ceros. También la conocemos por matriz
identidad y a su vez es un caso de matriz diagonal. 1 0 0
A = 0 1 0
0 0 1
MATRIZ SIMETRICA: Es una matriz cuadrada, donde los elementos alternos tienen el
mismo valor.
MATRIZ ANTISIMETRICA: Matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su
MATRIZ COMPLEJA: Es toda matriz cuadrada, cuyos elementos son números
complejos. 3+2i i 5i
A = -4+3i -2i 3+6i
-2+i 3+6i -4i
MATRIZ CONJUGADA: Sea A una matriz rectangular o cuadrada compleja. Si se
forma otra matriz tomando los complejos de cada elemento de A se obtiene la matriz
conjugada de A.
A = [4 3+2j; −3–3j 4+4j] 4 3+ 2i
-3- 3i 4+ 4i
Ac = conj(A)
4 3- 2i
-3+ 3i 4- 4i
MATRIZ IDENTIDAD: de orden n a una matriz cuadrada en la que los elementos de la
diagonal principal son todos uno y el resto son cero:
MATRIZ DIAGONAL: Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos los
elementos que no están en la diagonal principal son cero. La matriz identidad es un caso
particular de matriz diagonal.
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Una matriz cuadrada se dice que es triangular
inferior si verifica que aij = 0, cuando i < j
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Una matriz cuadrada se dice que es triangular
superior si verifica que aij = 0, cuando i > j
MATRIZ ADJUNTA: Si se tiene una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es
la resultante de sustituir cada término de A por sus respectivos adjuntos.
El adjunto de un término ai j de la matriz A resulta del determinante de la matriz que se
obtiene de quitar a A la fila y la columna a la que pertenece el término ai j multiplicado
por (−1)(i+j) +[(1)-(2)] -[(-1)-(0)] +[(2)-(0)]
adj (A) = -[(-1)-(0)] +[(-2)-(0)] -[(4)-(0)]
+[(1)-(0)] -[(2)-(0)] +[(-2)-(1)]
MATRIZ HERMÍTICA: Una matriz que es igual a su transpuesta conjugada; en el caso
de ser de elementos reales, una matriz hermítica es sinónima de simétrica. 3 2+i -2i
A= 3+4i i 2+6i
2-6i 3 12i
MATRIZ NULA: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. 0 0 0
A = 0 0 0
0 0 0
MATRIZ ORTOGONAL: Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e
invertible : A-1 = AT
La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices
ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó
−1.
MATRIZ NILPOTENTE:Si A es una matriz cuadrada y 0 = k A para algún número
natural , k se dice que A es nilpotente. Si k es tal que 0 1 . - k A y , 0 = k A se dice que
A es nilpotente de orden k
MATRIZ UNIPOTENTE: Decimos que una matriz cuadrada A de orden n es
unipotente si y solo si se verifica que A.A = 0n, es decir A2 = I n.
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Algebra LinealMATRICES Y SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES
INTRODUCCION Para el estudio de métodos numéricos es indispensable el conocimiento y manejo del álgebra lineal, ya que es la base en la solución de la gran mayoría de problemas que cotidianamente se presentan.
El programa que se utiliza para resolver métodos numéricos es el MATLAB; el cual se basa en operaciones de matrices y vectores; siendo esta otra de las razones para incluir el álgebra lineal en métodos numéricos.
El objetivo principal de este trabajo es comprender la parte básica del álgebra lineal como lo es la teoría de matrices y la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante varios métodos.
Una vez explicada la teoría, se resolverán problemas, relacionados con el tema, en el MATLAB; escribiendo tanto el planteamiento del problema como su programa para MATLAB.
En este trabajo se comienza explicando como se realizan las operaciones básicas entre matrices y vectores, tales como suma, resta, multiplicación, inversa, etc.; para dar paso a la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante varios métodos como lo son mediante:
Cálculo de la inversa de la matriz A, Eliminación Gaussiana y Descomposición de la matriz A en LU.
Al final del trabajo se citan problemas y se resuelven con MATLAB utilizando los diferentes métodos que se mencionan en la teoría.
También se adiciona el programa que corre bajo MATLAB del cual se obtuvieron los resultados que aquí se citan.
T E O R I A
MATRICES Y VECTORES Una matriz es un arreglo rectangular de números, llamados elementos, ordenados de tal manera que cuente con "m" filas y "n" columnas.
Los elementos pueden ser números reales o complejos. Para definir un elemento dentro de una matriz se utiliza una notación con doble subíndice, por ejemplo:
Así el elemento será aquel localizado en la fila "i" y en la columna "j".
Los vectores son formas especiales de las matrices. Si m > 1, pero n = 1, la matriz se convierte en:
Con una sola columna, y se denomina vector columna.
Pero si la matriz es de m = 1 y n > 1 se convierte en vector fila.
Cuando solo hay una columna o una sola fila no es necesario utilizar dos subíndices, con un solo subíndice es suficiente.
En otro caso especial donde m = n = 1, la matriz de 1 x 1 se denomina escalar.
A continuación se numeran algunas definiciones de matrices importantes dentro del álgebra lineal.
MATRIZ CUADRADA: Es una matriz donde m = n, se llama simplemente de "n x n".
MATRIZ NULA: Todos los elementos de la matriz son cero.
MATRIZ IDENTIDAD: Es una matriz cuadrada donde todos los elementos de la diagonal principal son "1"; mientras que todos los demás elementos son cero.
Esto es:
MATRIZ TRANSPUESTA: La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando las filas en el lugar de las
columnas y las columnas en el lugar de las filas. Así si , .
Por ejemplo:
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Es una matriz cuadrada, donde los elementos por abajo de la diagonal principal son ceros, esto es:
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Es una matriz cuadrada en la que los elementos por arriba de la diagonal superior son cero; esto es:
OPERACIONES ENTRE VECTORES Y MATRICES
SUMA Y RESTA: Podemos sumar una matriz a otra o restarla de otra si ambas tienen el mismo tamaño (mismo número de columnas y filas). Como los vectores son una forma especial de matrices, las mismas reglas se aplican a los vectores. Sea
la suma y resta de matrices del mismo tamaño esta definida por:
donde es una matriz con
ejemplo:
PRODUCTO VECTORIAL Y MATRICIAL Sea;
y dos n-vectores;
entonces el producto de (producto escalar), esta dado por:
Debido a la notación empleada , el producto escalar de dos vectores a menudo recibe el nombre de producto punto o producto interno de los vectores. Se puede advertir fácilmente que el producto escalar de dos n-vectores es un escalar. A fin de que se puede hacer el cálculo del producto escalar de A y B es necesario que A y B tengan el mismo número de componentes.
El producto escalar entre vectores cumple con lo siguiente:
Sean a, b y c n-vectores y un escalar. Entonces:
1.-
2.- (Ley conmutativa del producto escalar)
3.- (Ley distributiva del producto escalar)
4.-
PRODUCTO ENTRE DOS MATRICES: Suponga que B y C son matrices. Si el número de columnas de A y el número de filas de B son idénticas, las matrices pueden multiplicarse como:
Donde es una matriz que representa el resultado de la multiplicación. Los elementos de C están relacionados con los de A y B por:
Dicho de otra forma, el elemento ij-ésimo de AB es igual al producto punto del i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B. Es decir:
El número de filas de C es igual al de A, y el número de columnas de C es igual as de B. En otras palabras, si A es una matriz de p x q y B una matriz de q x r , entonces C es una matriz de p x r. Obviamente, si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, C también será también una matriz cuadrada del mismo tamaño. Lo anterior es suficiente para deducir que el producto de AB no es igual a BA. Puede darse el caso especial donde AB = BA, a lo cual se dice que las matrices son conmutativas.
Ejemplo de productos entre matrices. Sea:
Encontrar C = AB
Obtenemos así que:
INVERSA DE UNA MATRIZ: Sean A y B matrices de n x n, y suponiendo que la multiplicación AB = BA = Identidad,
entonces la matriz B se le llama inversa de A, y se escribe . De esta manera:
De la definición anterior se deduce que , si A tiene inversa. Nosotros podemos conocer fácilmente si una matriz tiene inversa; basta con encontrar su determinante, y si resulta cero, no tiene inversa; cualquier otro número nos indica que tiene inversa.
Para encontrar la inversa de una matriz puede resultar un poco difícil, dependiendo del tamaño de la misma . Un ejemplo sencillo se muestra a continuación. Sea:
Encontrar la inversa de A o .
Si tomamos la definición de inversa encontramos que , entonces:
Resolviendo encontramos:
Igualando término a término, encontramos una serie de ecuaciones que al resolverlas obtenemos el resultado:
Sin embargo, este no es el método más adecuado, ya que por el método de eliminación de Gauss-Jordan es posible encontrar la inversa de una matriz más rápidamente (este método se verá más adelante).
INDEPENDENCIA LINEAL Las columnas de una matriz A de dimensión (mxn) se puede escribir como (n) vectores
columna , cada uno de (m) elementos, como a continuación
]
Los vectores columna son linealmente dependientes si existen escalares , no todos iguales a cero, tales que se cumple:
es decir que:
de lo contrario será linealmente dependiente.
SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Consideremos un conjunto de "m" ecuaciones con "n" incógnitas dado por:
. . . . .
. . . . .
. . . . .
donde son coeficientes conocidos, son incógnitas y son términos conocidos que se denominan términos no homogéneos.
El sistema de ecuaciones lineales anteriores pueden expresarse de la forma compacta como:
donde A, x , y están definidos respectivamente por:
Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar el valor de las incógnitas "x".
Una forma de resolver este sistema de ecuaciones es utilizando la formula multiplicándola por la matriz inversa de A por ambos lados de la igualdad; de la siguiente manera:
(I es la matriz identidad)
De esta manera encontramos que si calculamos la inversa de A y la multiplicamos por el vector "y", obtendremos el vector "x" con las soluciones al sistema de ecuaciones.
Los sistemas de ecuaciones pueden presentar tres casos:
Es el más común, ya que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
El número de ecuaciones es menor que el de incógnitas y tenemos lo que se conoce como problema subdeterminado.
El número de ecuaciones es mayor que es de incógnitas y tenemos lo que se conoce como problema sobredeterminado. Esto ocurre en el ajuste de rectas y curvas.
Un conjunto de ecuaciones lineales no siempre tiene solución numérica. Los siguientes tres conjuntos de ecuaciones son ejemplo de ello:
Ejemplo 1:
En este caso las dos rectas se encuentran en el mismo sitio por lo que la solución que satisface a una, también a la otra, teniendo así infinitas soluciones.
Ejemplo 2:
Las dos ecuaciones son líneas paralelas que nunca se interceptan, por lo que no existe una solución.
Ejemplo 3:
Tenemos tres ecuaciones independientes para dos incógnitas. Como se observa éstas tres ecuaciones nunca pueden satisfacerse simultáneamente.
DETERMINANTES El determinante es una cantidad importante asociada a una matriz cuadrada. De hecho no podemos obtener una solución única de un conjunto no homogéneo de ecuaciones lineales si el determinante de la matriz de coeficientes es cero. Esto se debe a que, si por lo menos una ecuación de un conjunto de ecuaciones lineales no es linealmente independiente, el determinante es cero. Si el valor del determinante es extremadamente pequeño o grande, es señal de que hay errores graves en la solución de las ecuaciones. El determinante de una matriz también desempeña un papel importante cuando se calculan los valores propios de una matriz.
El determinante de una matriz A se denota como "det(A)". En el caso de una matriz de 2x2 el determinante de A se calcula:
Para una matriz de 3x3 existen varias formas de obtenerlo, pero una definición formal del determinante de una matriz A de orden n esta dada por:
Donde la sumatoria abarca todas las permutaciones del primer subíndice de a, y es + si la permutación es par y - si es impar.
Si la matriz es una matriz triangular inferior o superior, o una matriz diagonal, el cálculo se simplifica mucho. El determinante de este tipo de matrices se calcula simplemente multiplicando los elementos de su diagonal principal.
ConmutatividadDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda
Ejemplo mostrando la conmutatividad de la adición (3 + 2 = 2 + 3).
Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.
[editar] Definición algebraica
Sea E un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria o ley de composición interna *, es decir una aplicación:
Se dice que * es conmutativa si verifica para todo (x,y) de E×E la igualdad x * y = y * x. Escrito formalmente:
Este diagrama ilustra la conmutatividad: p es la permutación de las variables x e y. Da el mismo resultado recorrer la flecha horizontal, es decir aplicar la operación * que recorrer la flecha vertical (permutar las variables) y luego la diagonal (aplicar * ).
Estos diagramas, donde el resultado no depende del trayecto sino sólo del punto de partida y el de llegada se llaman diagramas conmutativos (sí, con la misma palabra). Se suele indicar esta propiedad con un círculo inscrito en el "ciclo".
Por convención, si una operación se escribe con el símbolo +, siempre se supone que es conmutativa. Esta convención no es válida para el producto × ni · pues, por ejemplo, el producto de matrices no es conmutativo en dimensión superior a 1, ni el de los números cuaterniones. El producto vectorial tampoco es conmutativo.Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.
[editar] Ejemplos En el conjunto C de los números complejos, y por restricción, en el conjunto R
de los números reales, la suma (adición) y el producto (multiplicación) son operaciones conmutativas.
La suma en los espacios vectoriales es conmutativa. La suma de funciones también. La reunión y la intersección en la teoría de conjuntos y más generalmente la
suma y el producto de las álgebras de Boole.
[editar] Generalización
Se generaliza el concepto a toda clase de aplicaciones (aquí el dominio y el codominio no tienen relación a priori) de dos ó más variables, y se habla de "simetría" en vez de conmutatividad:
f, función de dos variables es simétrica si para todo (x,y), f(x,y) = f(y,x). Una función de n variables es simétrica si no cambia su valor cuando se permuta
donde p es la permutación de dos variables, id es la aplicación identidad.El diagrama se resume en: f o (p×id) = f o (id×p) = f, donde o denota la composición de las funciones.
En álgebra lineal, existe un concepto "opuesto": la antisimetría, propiedad que dice que la permutación de dos variables implica un cambio de signo: f(y,x) = - f(x,y).
El contenido de este artículo incorpora material
Matriz (matemática)De Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Matriz.
En matemáticas, una matriz es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Contenido[ocultar]
1 Definiciones y notaciones 2 Ejemplo 3 Operaciones básicas
o 3.1 Suma o adición 3.1.1 Propiedades
o 3.2 Producto por un escalar 3.2.1 Ejemplo 3.2.2 Propiedades
o 3.3 Producto 3.3.1 Propiedades
o 3.4 Aplicaciones lineales o 3.5 Rango o 3.6 Transpuesta
4 Matrices cuadradas y definiciones relacionadas 5 Las matrices en la Computación 6 Historia 7 Notas
8 Véase también
[editar] Definiciones y notaciones
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.
[editar] Ejemplo
Dada la matriz:
que es una matriz 4x3. El elemento o es el 7.
La matriz
es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
[editar] Operaciones básicas[editar] Suma o adición
Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB.Artículo principal: Producto de matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:
para cada par i y j.
Por ejemplo:
[editar] Propiedades
Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC). Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC. Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB. En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No
necesariamente A ó B son matrices nulas El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B =
A.C, No necesariamente B=C
El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.
Las matrices pueden representar convenientemente aplicaciones lineales (también conocidas como "transformaciones lineales") entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Así, si ℝn es el espacio euclídeo n-dimensional cuyos vectores se pueden representar como vectores columna (matrices n-por-1), para cada aplicación lineal f : ℝn → ℝm existe una única matriz A m por n de tal forma que
para cada vector x de ℝn.
Se dice que la matriz A "representa" la aplicación lineal f, o que A es la matriz coordenada de f.
El producto de matrices claramente corresponde a la composición de las aplicaciones. Si la matriz k por m B representa otra aplicación lineal g : ℝm → ℝk, entonces la composición g o f se representa por BA:
Esto se desprende de la mencionada propiedad asociativa del producto de matrices.
Más en general, una aplicación lineal de un espacio vectorial n-dimensional en otro espacio vectorial m-dimensional (no necesariamente ℝn) se representa por una matriz m por n, a condición de que se haya elegido una base para cada uno de ellos.
[editar] RangoArtículo principal: Rango de una matriz
El rango de una matriz A es la dimensión de la imagen de la aplicación lineal representada por A, que coincide con la dimensión de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de A. También puede ser definido sin referencia al álgebra lineal de la siguiente manera: el rango de una matriz m por n A es el más pequeño número k de tal manera que A puede escribirse como un producto BC donde B es una matriz m por k y C es una matriz k por n (aunque ésta no es una manera práctica de calcular el rango).
Si A describe una aplicación lineal respecto a dos bases, entonces la matriz AT describe la transpuesta de una aplicación lineal respecto a las bases del espacio dual.
[editar] Matrices cuadradas y definiciones relacionadas
Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas n-por-n junto a la suma y la multiplicación de matrices, es un anillo que generalmente no es conmutativo.
M(n,R), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un álgebra asociativa real unitaria. M(n,C), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa compleja.
La matriz identidad In de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina así porque satisface las ecuaciones MIn = M y InN = N para cualquier matriz M m por n y N n por k. Por ejemplo, si n = 3:
La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas.
Los elementos invertibles de este anillo se llaman matrices invertibles o matrices no singulares. Una matriz A n por n es invertible si y sólo si existe una matriz B tal que
AB = In = BA.
En este caso, B es la matriz inversa de A, identificada por A-1 . El conjunto de todas las matrices invertibles n por n forma un grupo (concretamente un grupo de Lie) bajo la multiplicación de matrices, el grupo lineal general.
Si λ es un número y v es un vector no nulo tal que Av = λv, entonces se dice que v es un vector propio de A y que λ es su valor propio asociado. El número λ es un valor propio de A si y sólo si A−λIn no es invertible, lo que sucede si y sólo si pA(λ) = 0, donde pA(x) es el polinomio característico de A. pA(x) es un polinomio de grado n y por lo tanto, tiene n raíces complejas múltiples raíces si se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz cuadrada tiene como mucho n valores propios complejos.
El determinante de una matriz cuadrada A es el producto de sus n valores propios, pero también puede ser definida por la fórmula de Leibniz. Las matrices invertibles son precisamente las matrices cuyo determinante es distinto de cero.
El algoritmo de eliminación gaussiana puede ser usado para calcular el determinante, el rango y la inversa de una matriz y para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal, lo que equivale a la suma de sus n valores propios.
[editar] Las matrices en la Computación
Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En este contexto, son la mejor forma para representar grafos, y son muy utilizadas en el cálculo numérico.
[editar] Historia
El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C. 1
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C. , Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.2 En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.
Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).1
Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.
El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices.
Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.
