1 D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2009 Prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos. Módulo 1. El uso de herramientas estandarizadas de evaluación para el aprendizaje de las matemáticas y el proceso de matematización Presentación [Ve a la página del diplomado para ver el interactivo] Resultados de aprendizaje Al final del módulo, el participante será capaz de: 1. Comprender la importancia potencial de los exámenes estandarizados para apoyar un aprendizaje significativo de las matemáticas. 2. Reconocer situaciones donde se da un aprendizaje significativo. 3. Analizar el proceso de matematización y explicar todos sus pasos. 4. Identificar las características de las pruebas estandarizadas de evaluación ENLACE y PISA.
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1 D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2009
Prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.
Módulo 1. El uso de herramientas estandarizadas de evaluación para el aprendizaje de las
matemáticas y el proceso de matematización
Presentación
[Ve a la página del diplomado para ver el interactivo]
Resultados de aprendizaje
Al final del módulo, el participante será capaz de:
1. Comprender la importancia potencial de los exámenes estandarizados para apoyar un aprendizaje significativo de las matemáticas.
2. Reconocer situaciones donde se da un aprendizaje significativo.
3. Analizar el proceso de matematización y explicar todos sus pasos.
4. Identificar las características de las pruebas estandarizadas de evaluación ENLACE y PISA.
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Tema 1. La cultura de los exámenes estandarizados
Pocos niegan hoy en día la importancia de que el alumno logre automatización, fluidez y precisión en el uso de las matemáticas…
Pero igualmente casi todos están de acuerdo en que un proceso de aprendizaje de las matemáticas que sólo logra un dominio procedimental de las mismas, es incompleto, antipedagógico y potencialmente dañino en el proceso de formación del estudiante.
Este proceso se tacha como incompleto, antipedagógico porque tiende a destruir la curiosidad, la significatividad personal, la intencionalidad para lograr más conocimiento, la creatividad y el pensamiento crítico. Un aprendizaje de las matemáticas que sólo logra que un alumno “haga bien sus cuentas” logra que el alumno piense como una máquina. Es decir: como le digan qué debe hacer y sin saber por qué lo hace.
“Hacer bien las cuentas” es sólo una condición para que la capacidad de demostrar teoremas, de resolver problemas, de proponer problemas que puedan ser matemáticamente resueltos, de encontrar significado personal en lo que se hace se manifieste, de entender el mundo y de participar efectivamente en él se reflejen.
Veamos en este tema el papel que juegan las pruebas estandarizadas de evaluación para cambiar esta perspectiva.
Estamos inmersos en la cultura de la evaluación, la certificación y la rendición de cuentas. En tal contexto los maestros, las instituciones y los alumnos tienen que aprender cómo navegar exitosamente en sus aguas.
PISA y ENLACE siendo los exponentes máximos de esta nueva cultura dentro de la vida nacional, se han convertido en un punto de debate sobre su impacto pedagógico.
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Al profesor Ramiro le gustaría saber qué aspecto de PISA o ENLACE puede impactar en su quehacer
educativo con el fin de lograr un aprendizaje significativo en sus alumnos. Sabe que es un tema de
debate y por lo mismo ha escuchado de sus compañeros los siguientes comentarios:
¿Nuestro diplomado a qué escenario crees que se enfoque?
Al segundo escenario por supuesto. Veamos en el siguiente tema lo que es el Aprendizaje significativo.
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Tema 2. Qué es un aprendizaje significativo
Iniciemos presentando una serie de rasgos definitorios de este tipo de aprendizaje.
Un alumno aprende significativamente las matemáticas cuando se da alguna de estas situaciones.
Iniciemos presentando una serie de rasgos definitorios de este tipo de aprendizaje. Un alumno aprende significativamente las matemáticas cuando se da alguna de estas situaciones.
1. Construye el conocimiento lógicamente en todas sus partes integrantes.
Si el alumno construye el conocimiento lógicamente en todas sus partes integrantes, entonces puede establecer una secuencia causa-efecto de por qué una forma conduce a la otra.
Veamos el ejemplo de resolver ecuaciones.
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Resolver ecuaciones no es simplemente asunto de pasar restando al miembro derecho de la ecuación un término de la que estaba sumando en el miembro izquierdo.
Un alumno que entiende lógicamente los procedimientos de solución de las ecuaciones sabe que esto se debe a un principio de equivalencia de la igualdad.
Ha entendido que una igualdad se mantiene si se realizan las mismas operaciones en ambos miembros de la ecuación.
Así “pasar al otro lado con signo contrario” es simplemente una receta para indicar que se usa un inverso aditivo en ambos lados de la ecuación, que el inverso aditivo produce cero, en un miembro de la ecuación y que el término permanece en el otro lado de la ecuación con signo contrario.
Un alumno que comprende el porqué de los procedimientos matemáticos tiene más probabilidades de lograr un aprendizaje significativo.
2. Logra “fluidez” en el uso de procedimientos y conceptos.
El lenguaje matemático demanda fluidez en su uso ya que de otra manera no podrá manifestarse con todo su poder, y si un alumno es fluido significa que puede usar información relevante a voluntad con un mínimo de esfuerzo cognitivo. No podemos pedir que un alumno resuelva ecuaciones eficientemente cuando no ha automatizado ciertas rutinas de cálculo mental básico.
Veamos esta característica de fluidez con otro ejemplo.
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Por ejemplo, utilizando el ejemplo de hablar una lengua extranjera, fluidez significa hablar sin consultar el diccionario cada dos o tres palabras. Sería casi imposible lograr algo significativo en el uso de la lengua como encontrar un lugar, mantener una conversación agradable, resolver los pequeños problemas de la vida cotidiana si no se tiene cierta automaticidad en el uso de cierto vocabulario básico.
Un aprendizaje de las matemáticas que no ha logrado dominar aspectos fundamentales de la disciplina en forma totalmente automática difícilmente podrá ser significativo para el alumno.
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3. Es capaz de desarrollar a través del conocimiento una narrativa que favorezca la comunicación efectiva con otros.
El lenguaje matemático como cualquier otro lenguaje es una herramienta de comunicación. Es parte de nuestra naturaleza humana sentirnos bien, eficaces, competentes, apreciados, útiles, cuando comunicamos adecuadamente. Es dentro de esta característica que el poder del aprendizaje colaborativo se manifiesta claramente.
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Este ser capaz de “decirles a los otros” es lo que se llama una narrativa. Si el alumno no sabe cómo hacer
su conocimiento social, si no sabe exponerlo, si no sabe dialogar con él se verá a sí mismo como una
persona con dinero que no sabe dónde gastarlo. El conocimiento matemático se vuelve significativo
cuando lo ponemos en el mercado de libre intercambio de significados, si esta capacidad queda
limitada, igualmente quedará limitado el potencial de significatividad de tal conocimiento.
4. Aplica el conocimiento activamente a problemas significativos en su campo de experiencia.
Las matemáticas son una herramienta de pensamiento para llevar a cabo procesos mentales de alta complejidad que serían imposibles sin ella. Resolver un problema de álgebra bastante simple, puede resultar formidable si no se tiene la herramienta matemática.
Gracias al desarrollo de las matemáticas y su exacta terminología, cualquier alumno de secundaria puede resolver problemas que hubieran sido un auténtico reto para el gran Arquímedes.
¿Qué hace la diferencia?
Ciertamente no podemos pensar que un buen alumno de secundaria tenga mayor talento matemático que el gran científico griego. Simplemente tiene a su disposición una herramienta para la solución de problemas que ha tomado siglos desarrollarla.
Tal herramienta da un poder para, por ejemplo:
Levantar edificios Construir estaciones espaciales Estimar el poder gravitorio de
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impresionantes hoyos negros.
Quienes comprenden tal poder práctico tienden a sentir las matemáticas como aprendizajes significativos.
5. Desarrolla intencionalmente a través del conocimiento un sentimiento de autoeficacia y autoestima.
Vivimos en un mundo que ha sido construido con ideas, con pensamiento lógico, con observaciones precisas, con herramientas exactas.
Aquellos que manejan ideas, pensamiento lógico, que son capaces de observaciones precisas y usan herramientas exactas serán apreciados. Quien aprende matemáticas será observado en el mundo adulto con respeto.
El mensaje que ese mundo cultural enviará frecuentemente a aquellos que poseen ese conocimiento es de aprecio y con ello su conocimiento se vuelve significativo, ya que para él significa un incremento de su auto-estima y su auto-eficacia.
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6. Logra una posición social a través de su dominio del conocimiento.
Relacionado a la idea anterior observamos que muchas distinciones sociales en el mundo moderno aparecen a raíz de un conocimiento matemático; buenos trabajos y buenos salarios como resultado.
En la escuela en ocasiones se llevan a cabo dos situaciones:
Premiar nuestros primeros logros Y castigar nuestros primeros fracasos
Ello hace que el aprendizaje de las matemáticas adquiera lugares especiales en la vida de algunos estudiantes. La implicación de esto es que las matemáticas son también significativas porque ocupan un lugar especial en la escala de empleabilidad en el mundo globalizado.
7. Satisface con el conocimiento adquirido una curiosidad auténtica.
Finalmente, las matemáticas son interesantes en sí mismas.
Tienen sus enigmas y sus misterios que aquel que dedica su pensamiento a ellas se siente recompensado cuando es capaz de resolverlos.
Las matemáticas son significativas por su misma naturaleza lógica, porque tienen una belleza intrínseca, porque hay orden, porque hay reglas, porque da la apertura suficiente para encontrar respuestas interesantes por diferentes caminos.
Quien descubre esta significatividad en las matemáticas, descubre una inclinación natural, intuitiva e inexplicable como aquel que tiene una inclinación por la música. Para algunos no hace falta explicar por qué las matemáticas son significativas, sólo se sabe que se siente bien pensar en ellas.
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Tema 3. ¿Cómo PISA Y ENLACE promueven un aprendizaje significativo de las matemáticas?
El maestro Ramiro en ocasiones ha visto en su práctica y en la de otros maestros, que ocurren dos situaciones típicas con los exámenes estandarizados:
Se preparan a los alumnos para promover mecanización, sin comprensión de conceptos.
Los alumnos aprenden cómo tomar el examen efectivamente, más que un aprendizaje sobre los conceptos y habilidades que sus preguntas demandan.
Una de las implicaciones más negativas de estas herramientas estandarizadas es que para muchos maestros y alumnos la meta es buscar la manera más efectiva de sacar una calificación alta en el examen anulando con tales estrategias el propósito formativo detrás de tales instrumentos.
Entonces, ¿para qué están diseñados estos exámenes estandarizados?
Estos exámenes fueron creados para proveer información de importancia para la toma de decisiones y es natural que todos los participantes luchen por obtener resultados que los distingan de los otros, pero tales logros deben colocarse en un segundo plano al ser comparados con el objetivo primordial de evaluar para mejorar.
¿Qué debes hacer para que tus alumnos logren aprender significativamente en exámenes estandarizados?
1. Evitar que la meta del trabajo académico sea simplemente buscar la manera de sacar calificaciones más altas en estos exámenes. Si esto sucede la motivación para lograr un aprendizaje significativo de las matemáticas puede verse seriamente afectada.
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2. Utilizar las herramientas para incrementar las probabilidades que nuestros alumnos aprendan significativamente, a través de:
a) Utilizar reactivos tal como fueron publicados, para la generación de actividades de aprendizaje y actividades evaluativas en la clase.
b) Utilizando sus reactivos cómo fuente de ideas para la generación de actividades de aprendizaje y actividades evaluativas en la clase.
c) Utilizando sus resultados como diagnósticos de desempeño.
Los reactivos ENLACE y PISA han sido creados para que ocurran los siguientes procesos:
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En tales exámenes la memoria tiene un lugar de importancia al igual que la habilidad de operar automáticamente con las matemáticas, pero el recuerdo y el conocimiento procedimental son simplemente condiciones necesarias no suficientes para tener éxito en tales exámenes.
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¿Qué se requiere para tener éxito en un examen tipo PISA o ENLACE?
Ser capaz de:
Recordar ciertos conocimientos. Seguir los procedimientos matemáticos adecuadamente, pero no porque un alumno muestre
tales características automáticamente se puede suponer que tendrá éxito en el examen. Pensar estratégicamente. Elegir la respuesta adecuada entre varias opciones. Hacer cálculos mentales y estimaciones de resultados. Aplicar su conocimiento a situaciones que probablemente nunca había confrontado
anteriormente conectando y reflexionando con el conocimiento.
Ante esto, el profesor Ramiro se queda pensando en qué podría hacer él en su salón de clases para que sus alumnos tengan éxito como estudiantes de matemáticas.
Según las características del aprendizaje significativo, deberá realizar lo siguiente:
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¿Cómo lograr tales cosas será el propósito y el motivo de este diplomado?
Para complementar esta información, te invitamos a realizar dos actividades, que implican la lectura de los documentos de PISA y ENLACE.
Actividad 3. Familiarización
con la prueba enlace Actividad 4. Familiarización
con PISA
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Tema 4. El proceso de matematización
Es importante que como profesor reconozcas que esta tendencia promueve:
Situaciones de enseñanza-aprendizaje en las cuales se viva un proceso de comprensión-aplicación de las ideas matemáticas.
Dentro de tales experiencias el conocimiento se construye y se acomoda de manera más o menos permanente dentro de la cognición, la emoción y la motivación del alumno.
Aprender matemáticas no es simplemente saber cómo se llaman las entidades del mundo matemático o saber combinar sus símbolos de diferentes maneras con relativa facilidad, aprender matemáticas en el mundo moderno es vivir el proceso de matematización de aquella parte del mundo que es susceptible de ser entendida por medio del pensamiento matemático.
Veamos qué es el proceso de matematización.
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Para comprender el proceso de matematización, te invitamos a leer los siguientes ejercicios.
Explicación del ejercicio "Contando dulces"
A continuación explicaremos cómo se resolvió a través del proceso de matematización el problema
“Estimar la cantidad de frijolitos que hay en un recipiente”.
Ponte a prueba:
1. Observa cuidadosamente la siguiente fotografía: Foto de frijolitos. (ver en página) 2. Intenta resolver el problema: estima la cantidad de frijolitos en el recipiente. 3. Recuerda que se requiere una respuesta aproximada.
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Haz tu mejor esfuerzo. Mantente en la actividad por al menos una hora si es que no pudo resolverlo de
inmediato. Cualquiera que haya sido tu método de estimación trata de encontrar la manera de
justificarlo y defender que tu estimación estará correcta en un rango de ±15%
4. ¿Pudiste dar una aproximación al problema? ¿Estás seguro de tu respuesta? ¿Qué te hace sentir tal seguridad?
5. Ahora analiza la resolución del problema. Se muestran dos soluciones.
Resolución #1
Paso 1. Identificación de un aspecto de la realidad que puede ser tratado como un problema
matemático.
Es claro que esa realidad concreta representada en la fotografía (un recipiente cilíndrico lleno de dulces)
es sujeta a un análisis matemático. Observamos unidades (los dulces) que pueden ser contadas,
observamos un recipiente cilíndrico, que puede ser analizado en sus propiedades geométricas.
Observamos además que todos los frijolitos de dulce tienen las mismas proporciones, observamos
aleatoriedad en la manera en que están estos frijoles colocados dentro de él. El mundo real es
claramente sujeto a un análisis matemático.
Paso 2: Identificación del conocimiento matemático pertinente para la solución del problema.
Una vez formulado el problema, iniciamos con la solución propiamente dicha. Hay muchos caminos por
seguir.
¿Contaron el número de frijolitos en la base para estimar la longitud de una semicircunferencia
tomando como unidad de medida la longitud de cada frijolito?
¿Tomaron una regla y midieron las dimensiones de un frijolito que mostrara claramente su
forma en la fotografía?
¿Midieron con una regla las dimensiones del recipiente y calcularon el volumen?
¿Hicieron la suposición de que cada frijolito era un pequeño cilindro y calcularon su volumen?
Ya que el volumen de un frijolito, dada la forma de éste, es menor que el volumen del cilindro
que lo contiene ¿establecieron un factor de corrección? Se supuso que el volumen total estaba
formado por una multitud de “cilindritos”.
En resumen, medición y volumen de un cilindro parecen ser los conocimientos matemáticos
fundamentales.
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Paso 3: Abstracción progresiva de la realidad que conlleve a la formulación de un modelo matemático
que represente fielmente el problema
Llamemos al volumen total ocupado por los frijoles VT.
El volumen ocupado por los frijoles será VF.
La suma de volúmenes vacios entre frijol y frijol será VV.
Tenemos entonces VT = VF + VV
Vamos a estimar el espacio vacío como un 20% del volumen total aproximadamente (tal dato puede
comprobarse en la cocina usando frijoles reales y una tasa de medir).
VV = 0.2 VT
VT = π rT2 hT
En esta expresión el rT y hT representan radio y la altura del recipiente cilíndrico.
VF = *volumen de un frijol+ *número de frijoles+ = *π rF2 hF] [NF]
Aquí estamos considerando los frijoles como pequeños “cilindritos” de cierta longitud (hF) y cierto
diámetro (2rF).
Tenemos entonces:
π rT2 hT = [π rF
2 hF] [NF] + 0.2 [π rT2 hT ]
Moviendo términos:
π rT2 hT - 0.2 [π rT
2 hT ] = [π rF2 hF] [NF]
0.8 π rT2 hT = [π rF
2 hF] [NF]
Eliminando π:
0.8 rT2 hT = [ rF
2 hF] [NF]
Despejando NF :
Este es el modelo matemático del problema.
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Paso 4: Uso de procedimientos algorítmicos para la obtención de la solución del problema.
Tomando una regla se puede medir fácilmente el diámetro del recipiente y su altura:
DT = 9.7 cm, por lo tanto rT = 4.9 cm.
hT = 22.2 cm.
Midiendo los frijoles que muestran claramente sus dimensiones:
DF = 0.6 cm, por lo tanto rF = 0.3 cm.
hF = 1.0 cm.
NF = 4695
Paso 5: Interpretación de la solución en el mundo real.
Esto que parece ser un juego de entretenimiento mental tiene aplicaciones de gran importancia en la
estimación de una gran variedad de resultados desde calcular el número de de afinadores de pianos en
Chicago, hasta encontrar la probabilidad de encontrar vida inteligente en la galaxia, calcular el número
de toneladas de TNT equivalentes en poder destructivo a una bomba atómica, estimar la cantidad de
gasolina consumida por autos desde la invención del automóvil, el número de átomos en una proteína,
etc. Parecería que tales afirmaciones desafían una base lógica pero gracias a procedimientos llamados
“estimaciones de Fermi”, se puede demostrar la racionalidad de tales predicciones. Este ejercicio fue
una muestra sobre tales métodos. El lector interesado puede ir a la siguiente liga:
http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Fermi
Aquí tenemos material para pensar también en otras posibilidades matemáticas. Al considerar a los
frijolitos como cilindros estamos sobre-estimando el volumen pues dada la forma del frijol habrá
espacios libres dentro del cilindro.
¿Cómo afectaría el resultado si consideramos que por ejemplo el volumen de un frijol es un 95%
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¿Cómo se podría comprobar empíricamente si tal suposición es correcta?
Si hacemos estimaciones de las dimensiones del recipiente basados en conteos de frijoles,
¿deberíamos encontrar promedios en nuestras mediciones?
Por ejemplo para estimar cuántos frijoles dan la altura del recipiente ¿deberíamos contar el
número de frijoles en al menos cinco mediciones de la altura y sacar un promedio?
Muchas preguntas quedan abiertas entonces a consideración y dar una solución al problema abre tan
solo una ventana para mirarlo desde una perspectiva en particular.
Resolución #2
El problema anterior se basó en medición directa de las dimensiones de cada frijol y las dimensiones del
recipiente según se observa en la fotografía.
Sin embargo hay una manera alternativa en la cual no se tiene que medir, sino que se usa como unidad
de medida el mismo frijolito de la siguiente manera:
1. Cuenta el número de dulces de la parte externa del fondo del recipiente. Empieza con el dulce que está es un extremo tratando de contar los dulces que están en una sola fila tan exacto como sea posible. Este número puede ser considerado como la mitad de la circunferencia del recipiente, medido en número de dulces. Al multiplicarlo por dos encontrarás un aproximado para la circunferencia del recipiente. De la imagen podemos contar aproximadamente 16 dulces, por dos serán 32 dulces de circunferencia.
2. Usa la fórmula para la circunferencia de un círculo para encontrar el radio en unidades de dulces:
09.52
32
232
2
r
r
rC
3. Encuentra el área del fondo del recipiente en unidades de dulces:
5.81)09.5( 2
2
A
rA
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4. Cuenta cuántas capas de dulces hay en el recipiente. Empieza con un dulce en el fondo y cuenta hacia arriba en una línea recta. Por lo tanto la altura del recipiente es de aproximadamente 39 dulces.
5. Usa la fórmula para el volumen del cilindro para estimar la cantidad de dulces en el recipiente:
179,3)39)(5.81(
2
V
hrV
Por lo tanto la cantidad aproximada de dulces es de 3,179.
Explicación de ejercicio "Las manecillas del reloj"
A continuación explicaremos cómo se resolvió a través del proceso de matematización el problema “Las
manecillas del reloj”.
Ponte a prueba
1. Lee cuidadosamente el siguiente párrafo: Se dice que Albert Einstein fue a visitar al hospital a un amigo, como él, versado en matemáticas.
Después de los saludos tradicionales de cortesía la plática decayó. El famoso científico miró al
reloj y notó que eran las 12 en punto. De inmediato se le iluminó la cara con un problema e
interpeló a su amigo: “Son las 12 p.m., la manecilla de las horas y el minutero están exactamente
uno sobre el otro, ¿A qué horas exactamente estarán de nuevo ambas manecillas una sobre la
otra?”
2. Intenta resolver el problema. 3. Recuerda que se requiere una respuesta aproximada.
Haz tu mejor esfuerzo. Mantente en la actividad por al menos una hora si es que no pudiste resolverlo
de inmediato.
4. ¿Pudiste resolver el problema de manera exacta? ¿Está seguro de tu respuesta? ¿Qué te hace sentir tal seguridad?
5. Ahora analiza la resolución del problema. Se muestran tres soluciones.
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Resolución # 1
Paso 1: Identificación de un aspecto de la realidad que puede ser tratado como un problema
matemático.
Esto ya lo hizo Einstein por nosotros. Observa que tal identificación implica ya cierto rasgo de
creatividad que generalmente no la hacemos accesible en nuestras experiencias académicas. Nuestros
libros de texto ya tienen los problemas diseñados para los alumnos, PISA y ENLACE obviamente ya han
pensando en las situaciones que serían interesantes para los alumnos, los maestros llevamos problemas
que creemos útiles etc. El alumno pocas veces tiene la oportunidad de mostrar su creatividad en esta
área y es el primer paso del proceso de matematización. Podemos decir con convicción que en la
mayoría de los estudiantes y de sus maestros (quienes fueron por supuesto en su momento
estudiantes), el proceso de matematización se ha quedado trunco en esta parte. El problema es
entonces:
En un reloj análogo cuando es mediodía, las dos manecillas están exactamente en la misma
posición.
¿Qué hora exacta marcará el reloj la siguiente vez que las manecillas estén juntas en la misma
posición?
Paso 2: Identificación del conocimiento matemático pertinente para la solución del problema.
Este es un problema que trata de movimiento, por lo tanto es claro que el concepto de velocidad estará
presente. Aun más, se trata de velocidad angular uniforme pues las manecillas de un reloj tienen que
moverse siempre a velocidad constante. Por supuesto que hay una gran cantidad de conocimiento
matemático que no podemos hacer explícito en este momento. ¿Usaremos ecuaciones cuadráticas?
¿Sistemas de ecuaciones? Podemos anticipar que las cuatro operaciones estarán involucradas y que
dado que estamos hablando de velocidad habrá fracciones. Es un movimiento angular, ¿Qué tanto
tendremos que usar de las propiedades geométricas del círculo? Etc. etc. Nada de esto podemos
contestar todavía. El conocimiento matemático pertinente se irá generando conforme vamos buscando
la solución. Si sabemos que el punto clave es el concepto de razón de cambio de una cantidad con
respecto a otra todos los otros conocimientos serán accesorios.
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Paso 3: Abstracción progresiva de la realidad que conlleve a la formulación de un modelo matemático
que represente fielmente el problema.
Análisis del minutero:
El minutero da una vuelta completa en 60 minutos.
Una vuelta en el reloj queda representada por 2πr
Por lo tanto la velocidad del minutero es:
60
2 rM
Para llegar a la posición donde el minutero pueda encontrarse otra vez con la manecilla de las
horas tendrá que recorrer una vuelta completa y un poco más, o sea, recorrerá una distancia
“2πr + d” en un tiempo “t” que deseamos determinar. O sea que su velocidad será:
t
drM
2
Por lo tanto podemos crear una ecuación con las dos anteriores:
60
22 r
t
drM
Simplificando:
drtr
230 …… (1) (El tiempo expresado en minutos)
Análisis del horario:
El horario da una vuelta completa en 12 horas.
12
2 rH
y expresado esto en minutos: )12)(60(
2 rH
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El horario necesita recorrer una distancia “d” en un tiempo “t” para encontrarse con el minutero
de nuevo.
t
dH
De estas dos últimas expresiones podemos sacar una nueva ecuación:
t
drH
)12)(60(
2
Simplificando:
dtr
360 …… (2) (El tiempo expresado en minutos)
Modelo matemático:
De estas dos últimas expresiones podemos sacar una nueva ecuación:
Sustituyendo (2) en (1):
Este es el modelo matemático.
Obsérvese que la obtención de este modelo matemático ha implicado una abstracción progresiva de la
realidad. Hemos dejado de trabajar con un reloj concreto y sus manecillas moviéndose como agujas
sobre el reloj para considerar “puntos” (la punta de la manecilla) que se mueven circularmente y que
siendo uno más rápido que el otro eventualmente lo alcanzará en algún momento. Trabajamos con un
círculo y su perímetro, pero veremos al final que para nada importa considerar el término “πr” pues
éste cancelará en la ecuación. Conforme se vaya avanzando en el cuarto paso, el modelo se hará cada
vez más simple hasta llegar a una situación de mínima simplicidad en la cual el modelo nos dará la
respuesta al problema.
Paso 4: Uso de procedimientos algorítmicos para la obtención de la solución del problema.
Eliminando “πr” y multiplicando por 360 toda la ecuación:
3602
30
trr
tr
3602
30
trr
tr
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3602
30
tt
(Se dividió toda la ecuación por “πr”)
tt 72012 (Se multiplicó toda la ecuación por 360)
Resolviendo para “t” y expresando la fracción como número mixto:
12t- t = 720
11t = 720
min11
565
11
720t
Horario y minutero vuelven a coincidir en 1 hora, 5 minutos y 5/11 de minuto. Esta fracción de
minuto corresponde a:
11
327
11
)60(5
11
5
27 segundos con 3/11 de segundo.
Por lo tanto el tiempo en horas, minutos y segundos sería 1:05:27
Paso 5: Interpretación de la solución en el mundo real.
El mundo real ha adquirido nuevas características debido al trabajo matemático que hemos hecho sobre
él. Podemos pensar en otras cosas y otras posibilidades.
¿A qué horas se volverán a juntar las manecillas después de las1:05:27?
¿Se podrá obtener un modelo matemático que nos describa todos los puntos de encuentro de
las manecillas en su recorrido sobre la cara del reloj?
¿Este problema es similar a un problema de alcance de ciclistas en un velódromo?
¿Podemos conectar esta idea con mecanismos medidores de tiempo en los cuales una vuelta
completa de un engrane representa solo una fracción de vuelta de la otra?
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En fin una realidad seca, no analizada, como la hemos vivido infinidad de veces en la práctica cotidiana
al observar miles de relojes sin pensar en ellos, ha resultado que está llena de ideas y posibilidades
después de haber experimentado a través de ella un proceso de matematización.
Resolución # 2
Después de haber vivido el proceso de matematización con este problema podemos observar que las
matemáticas poco tienen de “cuadradas” como algunos de sus detractores piensan. Un mismo
problema puede tener una infinidad de caminos que conducen al mismo resultado. Son las reglas
matemáticas, rigurosamente aplicadas, el pensamiento lógico para movernos de una situación a otra la
que hace que todos los matemáticos independientemente del camino que sigan se unifiquen en sus
conclusiones. Veamos otras dos formas de solución para ejemplificar esto:
La manecilla del horario y la del minutero coinciden a las 12:00
M es la fracción de revolución que describe el minutero.
M es la velocidad angular del minutero en revolución/minuto.
min60
1 revM
El minutero empieza cada revolución en la posición.
Para cada hora, la posición del minutero va a ser:
60
tM
H es la fracción de revolución que describe el horario.
H es la velocidad angular del horario en revolución/minuto.
min)60)(12(
1 revH
Cuando el minutero completa una revolución el horario avanza 12
1 de revolución.
25 D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2009
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Al avanzar el minutero, también avanza el horario pero más lento. En algún momento entre las 1:05 y las
1:10 van a volver a coincidir
Entre las 1:05 y las 1:10 el horario va a estar en:
)60)(12(12
1 tH
Queremos saber en qué momento vuelven a coincidir.
Al inicio de la segunda revolución tenemos:
60
tM
y )60)(12(12
1 tH
Cuando vuelven a coincidir
HM
Sustituimos las expresiones
)60)(12(12
1
60
tt
tt 6012
Despejamos tiempo, t
6011t
min11
60t
min4545.5t
.4545 minutos son 27.27 segundos
Las manecillas vuelven a coincidir a las 1:05:27
26 D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2009
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Resolución # 3
Si determinamos el número de grados por minuto que recorre cada una de las manecillas obtenemos
que:
El horario recorre 360° cada 12 horas, por lo que se mueve 30° por hora, si dividimos por 60
para convertirlo a minutos será de ½ ° por minuto.
El minutero recorre 360° cada 60 minutos, por lo que será 6° por minuto.
La separación entre las manecillas es de 6 – ½ = 5.5° por minuto.
Las manecillas coincidirán cuando estén separadas 360°(es decir, después de una vuelta
completa se vuelven a encontrar), por lo que dividimos 360° por 5.5° para encontrar los minutos
360/5.5
= 720/11
= 65 5/11
Por lo tanto en 1 hora, 5 minutos y 5/11 de min las manecillas coincidirán.
Como 5/11 de minuto es igual a 27.27 segundos la hora de encuentro será 1:05:27
Al terminar de ver estos ejercicios, ahora será tu turno para elegir un problema que te sea interesante y usarlo como ejercicio para tus alumnos. Lo vas a describir en términos del proceso de matematización.
Actividades del módulo
Te invitamos a realizar las siguientes actividades.
Actividad 5. Proceso de
matematización Actividad 6. Reactivos de
ENLACE y PISA
Al terminar de leer esta información, ve a la conclusión del módulo. Revisa la sección de Actividades.
27 D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2009
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Conclusión
En esta unidad introductoria del diplomado hemos visto varios aspectos del quehacer matemático que se relacionan entre sí. La cultura de exámenes estandarizados abre una nueva era en la educación en la cual se espera que la competencia matemática del estudiante se demuestre a través de su desempeño al aplicársele tales instrumentos. Estos desempeños van a demandar que de una u otra forma el alumno encuentre significado en las matemáticas que está aprendiendo.
Si tal cosa no sucede el alumno tendrá menos posibilidades de desempeñarse adecuadamente. Ciertamente es posible pensar que a través de trabajo duro y estudio “machetero” el alumno pueda lograr resultados aceptables, pero el proceso estará plagado de dificultades y producirá un conocimiento endeble y estéril que difícilmente podrá desarrollarse más allá de lo que el examen demanda. PISA y ENLACE son fríos instrumentos, cuidadosamente analizados para proveer una serie de “estímulos” para el alumno en los cuales este pueda demostrar su competencia en asuntos que se consideran básicos en el aprendizaje de las matemáticas.
PISA y ENLACE no tienen como fin crear un aprendizaje significativo de las matemáticas sino medir el desempeño. Es el maestro quien puede favorecer a través de un uso pedagógico de los reactivos de estos exámenes un aprendizaje significativo de los alumnos.
PISA y ENLACE son poderosos aliados del maestro. A través de sus reactivos están constantemente dando señales a los docentes sobre los temas y situaciones que parecen ser problemáticas en el aprendizaje de los alumnos. Un maestro que conozca bien estos resultados, que entienda para sí mismo las dificultades inherentes a los reactivos podrá dosificar las actividades matemáticas dentro de su plan de trabajo en el ciclo escolar para lograr que sus alumnos puedan capturar el conocimiento entendiéndolo, aplicándolo, narrándolo, fluyendo con su terminología y sus procedimientos, satisfaciendo una curiosidad autentica y desarrollando a través de estos logros un sentimiento de auto-eficacia y auto-estima.
En fin, un buen uso de estos reactivos tan concienzudamente trabajados por grupos de expertos nacionales e internacionales puede promover un aprendizaje significativo en las manos de un maestro comprometido con el aprendizaje de sus alumnos.
Nuestro curso desarrollará problemas PISA y ENLACE en tal forma que tengan mayor probabilidad de ser significativos para los alumnos. Este diplomado tratará también de mostrar cómo estos problemas están atados a un proceso de matematización que se conecta con muchos puntos del currículo. Los ejemplos anteriores nos da una idea sobre cómo se puede hacer y estaremos utilizando reactivos PISA y ENLACE durante el diplomado para ir ilustrando estos procesos.
Finalmente obsérvese que el proceso de matematización no es para dar respuestas contundentes sobre cómo resolver problemas sino una manera de estimular la creatividad matemática y los proceso de análisis y de síntesis usando el lenguaje formal de las matemáticas. Cierto es que la verdad matemática es única pero nunca olviden que se puede llegar a ella por muchos caminos diferentes.
