Métodos Numéricos• ITZEL JOSELINN FLORES LUNA

• JONATHAN ZAMARRIPA GURROLA

Método de Bisección

El método de bisección consiste en dividir el intervalo en 2 subintervalos de igual magnitud, reteniendo el subintervalo en donde f cambia de signo, para conservar al menos una raíz o cero, y repetir el proceso varias veces.

Procedimiento de Bisección

Suponga que f tiene un cero en el intervalo [a,b].

Primero se calcula el punto medio del intervalo

Después se averigua sí f(a)f(c)<0. Si lo es, entonces f tiene un cero en [a,c].

Si f(a)f(c)>0 , entonces f(c)f(b)<0 y en este caso se renombra a c como a.

En ambos casos se ha generado un nuevo intervalo que contiene un cero de f, y el proceso puede repetirse.

Ejemplo de Bisecciónfx= 2x3+3x2-3x-5

Estos son los resultado según la función y nos damos cuenta que el signo con respecto a “y” cambia entre 1 y 2 . Quiere decir que ahí se encuentra el resultado.

Entonces aplicaremos el método de Bisección obteniendo lo siguiente:

Método de Secante

El método de la secante, es otro método para aproximar el cero de una función en el que en cada iteración se evalúa la función y no la derivada.

Este método utiliza la siguiente fórmula:

Después despejamos “m” obteniendo:

Luego el resultado se iguala a cero para obtener el valor de “xs”

𝑚=𝑦 2− 𝑦 1𝑥 2−𝑥 1

𝑦− 𝑦 1=𝑚(𝑥−𝑥1)

Ejemplo de la SecanteY = 2x3+3x2-3x-5

𝑚=𝑦 2− 𝑦 1𝑥 2−𝑥 1

𝑚=17−(−3)2−1

𝑦− 𝑦 1=𝑚(𝑥−𝑥1)

𝑦−(−3)=20 (𝑥−1)

𝑦+3=20 𝑥−20

𝑦=20 𝑥−23

𝑚=20

20 𝑥−23=0

20 𝑥=23

𝑥=23 /20

𝑥 𝑠=1.15

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-10

-5

0

5

10

15

20

Método de Secante

Método De Newton Raphson

El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permite aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x) = 0. Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula:

Procedimiento De Newton Raphson

Por ejemplo, consideremos la ecuación:

Para aplicar el método de Newton-Raphson, seguimos los siguientes pasos:

1. Expresamos la ecuación en la forma f(x) = 0, e identificamos la función f. En el ejemplo es:

2. Calculamos la derivada:

3. Construimos la fórmula de recurrencia:

Tomamos una estimación inicial de la solución. En este caso podemos tomar por ejemplo x0 = 1.0, y calculamos las siguientes aproximaciones. Desde el punto de vista práctico, si deseamos aproximar la solución con 6 decimales, podemos detener los cálculos cuando dos aproximaciones consecutivas coincidan hasta el decimal 8. En nuestro caso, obtendríamos:

X0 = 1.0

X1 =

X2 =

 

X3 = 0.56714258

X4 = 0.56714329

X5 = 0.56714329

5. Podemos, entonces, tomar como solución x = 0.567143.