FUNCIONES EXPONENCIALES
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Objetivos
Evaluación
Tutorial
Introducción
Instrucciones
Propósito
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Carta al Estudiante
Presiona el encima de la destrezas que deseas estudiar.
Funciones Exponenciales
Definición de Función Exponencial
Ejemplos de Funciones Exponenciales
Propiedades de las Funciones Exponenciales
Gráfica de la Función Exponencial
Aplicaciones de las Funciones Exponenciales
Resolver Ecuaciones Exponenciales
Para ir al principio presiona aquí
Ejercicios de Práctica
Función Exponencial base natural e
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Definición
La función exponencial con base a define y se denota:
f(x) = a x
donde a>0, a≠1 y X es cualquier número real.
Constante
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Ejemplos de Funciones Exponenciales
“Estas funciones se conocen como funciones exponenciales porque el exponente es variable.”
1. ( ) 32. ( ) 4
23. ( )
34. ( ) 55. ( ) 10
x
x
x
x
x
f xf x
f x
f xf x −
==
= ==
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Propiedades de las Funciones Exponenciales
1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1).
5. El dominio es el conjunto de los números reales.
4. El eje de x es una asíntota horizontal.
2. Si a (base) < 0 la función es decreciente.
3. Si a (base) > 0 la función es creciente.
7. Las funciones exponenciales son uno a uno.
6. El alcance es el conjunto de números reales positivos.
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Trazar la Gráfica de una Función Exponencial
x f(x)
Podemos trazar la gráfica usando :
Tabla de Valores Calculadora Gráfica
Escoge entre tabla de valores
y calculadora gráfica haciendo un click encima
del que deseas.
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Para completar la tabla de valores debes evaluar varios valores para x en la función exponencial.
Ejemplos: X=0
F(0) = 30
F(0) = 1 X=1
F(1) =31
F(1) = 3 Una tabla de valores para esta función podría
ser la que se encuentra a la izquierda.
Trazar la Gráfica de una Función Exponencial
Tabla de Valores
x f(x)
0 1
1 3
2 9
-1 1/3
-2 1/9
Presiona aquí para continuar
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Trazar la Gráfica de una Función Exponencial
Tabla de Valores
x f(x)
0 1
1 3
2 9
-1 1/3
-2 1/9
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
Presiona aquí para continuar
Haz click en el plano
para ver la ubicación
de los puntos y haz un
último click para ver la
gráfica completa.
Análisis de la Gráfica
Dominio: (-∞,∞)
Campo de Valores: : (0,∞)
Creciente: : (-∞,∞)
Asíntota Horizontal: y = 0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
Volver al índice
Escoger calculadora gráfica Presiona aquí para continuar
Usando la Calculadora Gráfica
Presionar
Escribirla función
Presiona aquí para continuar
Gráfica de f(x) = 3x
Presiona
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Resolver Ecuaciones Exponenciales igualando bases
Las funciones exponenciales son funciones uno a uno, por lo tanto si y solo si x = y .
Esta propiedad nos permite resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases. O sea si las bases son iguales entonces los exponentes son iguales.
x ya a=
Presiona aquí para continuar
Resolviendo
Recordatorio:
Las funciones exponenciales son uno a uno por lo que si las bases son iguales, los exponentes son iguales.
32
6
2
2
62
283
283
=
=
=−=−−=−
x
x
x
xx
xx Igualamos los exponentes
Términos semejantes
Despejamos para x
Solución
283 22 −− = xxVolver al índice
32
6
2
2
62
283
283
=
=
=−=−−=−
x
x
x
xx
xx
Presiona aquí para continuar
Práctica: Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
34x-6 = 3-x
27x = 3x+1
4x2+2x=2x2+5
(1/2) 4x-2=2x-2
Solución
Solución
Solución
Solución
Presiona aquí para continuar
Práctica: Construye la grafica de las siguientes Funciones Exponenciales
f(x) = 2x
f(x) = (½)x
f(x) = (2/3)x
f(x) = 10-x
Solución
Solución
Solución
Solución
Presiona aquí para continuar
Resolver 34x-6 = 3-x
5
65
6
5
5
65
64
64
=
=
==+−=−
x
x
x
xx
xx Igualamos los exponentes
Términos semejantes
Despejamos para x
Solución
Volver al índice
Regresar a la Practica
Resolver 27x = 3x+1
( )
2
12
1
2
2
12
13
13
33
33
327
13
13
1
=
=
==−+=
==
=
+
+
+
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
Reescribir para obtener las bases iguales
Utilizamos las leyes de exponentes
Igualamos los exponentes
Términos semejantes
Despejamos para x
Solución
Volver al índice
Regresar a la Practica
Resolver 4x2+2x=2x2+5Regresar a la Practica
Volver al índice
( )2
222 5 2 2x x x+ +=
2 22 4 5x x x+ = +2 22 4 5 0x x x− + − =
2 4 5 0x x+ − =( ) ( )5 1 0x x+ − =
5 0 1 0x x+ = − =5 1x x= − =
52 22
24 ++ = xxx
Reescribir para obtener las bases iguales y utilizamos las leyes de exponentes
Igualamos los exponentes
Términos semejantes
Factorizar
Despejamos para x
Solución
Resolver (1/2) 4x-2=2x-2
224
22
1 −−
=
x
x
( ) 4 21 22 2x x−− −=
4 2 22 2x x− + −=4 2 2x x− + = −
5 4x− = −4
5x =
Reescribir para obtener las bases iguales
Utilizamos las leyes de exponentes
Igualamos los exponentes
Términos semejantes y Despejamos para x
Solución
Presiona aquí para continuar
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Solución: Gráfica de una Función Exponencial
Tabla de Valores
x f(x)
0 1
1 2
2 4
3 8
-1 ½
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
Regresar a la Practica
Solución: Gráfica de una Función Exponencial
Tabla de Valores
x f(x)
0 1
1 ½
2 ¼
-1 2
-2 4
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
Regresar a la Practica
Solución: Gráfica de una Función Exponencial
Tabla de Valores
x f(x)
0 1
1 2/3
2 4/9
-1 3/2
-2 9/4
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Regresar a la Practica
Solución: Gráfica de una Función Exponencial
Tabla de Valores
x f(x)0 1
1 1/10
2 1/100
-1 10
-2 100
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Presiona aquí para continuar
Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones en ciencias, matemáticas, comercio y en otras disciplinas. Veremos aquí algunas de esas aplicaciones.
Aplicaciones de las Funciones Exponenciales
Presiona aquí para continuar
Fórmula del Interés Compuesto
1
es la cantidad acumulada o valor futuro es el principal de la inversión
es la tasa de interés anual es el número de periódos de tiempo por año es el número años
ntrA P
m
APrnt
= +
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Interés Compuesto
Una suma de $13,600.00 se ha invertido en un fondo de inversión que paga un interés compuesto semestral de un 12%. Determine que cantidad de dinero se tendrá al pasar 25 años.
nt
n
rPA
+= 1
)25(2
2
12.1600,13
+=A
250,514.10 $
nt
n
rPA
+= 1
P = $13,600.00
r = 12% = .12t = 25 años
Semestral: n = 2
Tenemos que:
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Crecimiento Poblacional
P=P02t/d
donde P = población en el tiempo tP0 = población en el tiempo t=0
d = tiempo de duplicación
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Crecimiento Poblacional P=P02t/d
México tiene una población aproximada de 100 millones de personas y se estima que habrá aumentado al doble en 21 años. Si sigue creciendo a la misma tasa, ¿Cuál será la población en 15 años a partir de ahora?
Sustituyendo P0= 100, d=21y t = 15, se obtiene
P= 100(215/21)P≈164 millones de personas
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Decaimiento Radiactivo
A= A0(1/2)t/h
Donde A= cantidad al tiempo tA0= cantidad al tiempo t=0h= Vida media
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El isotopo radiactivo de galio 67 usado en el diagnostico de tumores malignos, tiene una media vida de 46.5 horas. Si se empieza con 100 miligramos de isotopo, ¿cuántos miligramos quedarán después de 24 horas?
Usa el modelo de decaimiento de la vida media:
A= A0(1/2)t/h Tomando A0 =100, h=46.5, y t=24 horas se obtiene
A= 100(1/2)24/46.5 A= 69.9 miligramos
Decaimiento Radiactivo A= A0(1/2)t/h
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Más aplicaciones
Presiona aquí para continuar
Fórmula del Interés Continuo
es la cantidad acumulada o valor futuro es el principal de la inversión
es el interés anual es el número de años de la inversión
itA Pe
APit
=
Presiona aquí para continuar
Fórmula de crecimiento o decaimiento exponencial
( ) 0
0
es la cantidad acumulada luego de un tiempo t es la cantidad inicial
es la constante de crecimiento o decaimiento, es el tiempo
Si 0 hay crecimiento o aumento en el valor de ,
ktA t A eAAkt
k A
=
>si 0 elvalor de decae o decrece.k A<
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Pre-prueba
Haz click aquí para comenzar
1) ¿Cuál de las siguientes es una Función Exponencial?
9)( += xxf
33
2)( += xxf
3)( xxf =
34)( += xxf
A
D
C
B
NO, lo sientoNO, lo siento
WOW, Muy Bien
Incorrecto
LO SIENTO
2) La gráfica de f(x)=4x es…
A
D
C
B
NO, lo sientoNO, lo siento
WOW, Muy Bien
Incorrecto
LO SIENTO
La gráfica de f(x)=(1/2)x es…
A
D
C
B
NO, lo sientoNO, lo siento
WOW, Muy Bien
Incorrecto
LO SIENTO
La solución de 4x-3=8 es…
2
9=x9
2=x
4=x9−=x
A
D
C
B
NO, lo sientoNO, lo siento
WOW, Muy Bien
Incorrecto
LO SIENTO
La solución de es… 283 22 −− = xx
5−=x 6=x
4=x9−=x
A
D
C
B
NO, lo sientoNO, lo siento
WOW, Muy Bien
Incorrecto
LO SIENTO
Aplicaciones
La cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria de cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por N=N0e
1.386t donde N es el número de bacterias presentes después de t horas y N0 es el número de bacterias presentes cuando t=0. Si se empieza con una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá en 5 horas?
100=N 1020=N
3010=N120=N
A
D
C
B
NO, lo sientoNO, lo siento
WOW, Muy Bien
Incorrecto
LO SIENTO
Presiona en el dibujo para continuar
Hasta aquí la pre-prueba
Post-prueba
Haz click aquí para comenzar
1) ¿Cuál de las siguientes es una Función Exponencial?
9)( += xxf
33
2)( += xxf
3)( xxf =
34)( += xxf
A
D
C
B
NO, lo sientoNO, lo siento
WOW, Muy Bien
Incorrecto
LO SIENTO
2) La gráfica de f(x)=4x es…
A
D
C
B
NO, lo sientoNO, lo siento
WOW, Muy Bien
Incorrecto
LO SIENTO
La gráfica de f(x)=(1/2)x es…
A
D
C
B
NO, lo sientoNO, lo siento
WOW, Muy Bien
Incorrecto
LO SIENTO
La solución de 4x-3=8 es…
2
9=x9
2=x
4=x9−=x
A
D
C
B
NO, lo sientoNO, lo siento
WOW, Muy Bien
Incorrecto
LO SIENTO
La solución de es… 283 22 −− = xx
5−=x 6=x
4=x9−=x
A
D
C
B
NO, lo sientoNO, lo siento
WOW, Muy Bien
Incorrecto
LO SIENTO
Aplicaciones
La cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria de cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por N=N0e
1.386t donde N es el número de bacterias presentes después de t horas y N0 es el número de bacterias presentes cuando t=0. Si se empieza con una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá en 5 horas?
100=N 1020=N
3010=N120=N
A
D
C
B
NO, lo sientoNO, lo siento
WOW, Muy Bien
Incorrecto
LO SIENTO
La Función Exponencial de base natural e
Al igual que p, e es un número irracional donde e = 2.71828...
La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).
Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex
define a la función exponencial de base e.
Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.
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Gráfica de f(x)=ex
El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.
La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a continuación.
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Instrucciones
Lee cuidadosamente cada una de las plantillas presentadas. Encontrarás una pre-prueba que deberás contestar, luego está la lección que estudiarás cuidadosamente para que puedas hacer los ejercicios de práctica. Y por último hallarás una post-prueba donde podrás comprobar lo que aprendiste.
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Propósito
El siguiente módulo tiene como propósito el presentar los conceptos básicos sobre el tema de los polígonos.
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Objetivos
Al finalizar el tema se espera que usted pueda: Evaluar una función exponencial Trazar la gráfica de una función exponencial Trazar la gráfica de una función exponencial
naturalComparar gráficas de funciones exponencialesResolver problemas aplicados
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Introducción
Las funciones exponenciales son una de las familia de funciones más importantes en las matemáticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. En la Administración de Empresas se usan para interés compuesto, anualidades y planes de ahorro entre otras. En las ciencias naturales las aplicaciones son innumerables incluyendo modelos de crecimiento en biología, reacciones de primer orden en química orbitales moleculares en química física, etc.. En este módulo veremos los conceptos básicos de construcción de gráficas, solución de ecuaciones exponenciales y algunas aplicaciones de las funciones exponenciales.
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Carta al Estudiante
¡Querido estudiante!La siguiente unidad te ayudará a aprender conceptos fundamentales de la geometría. En este caso aprenderás un poquito sobre los polígonos. Te exhorto a que te animes a completar el módulo, leyéndolo en todas sus partes y realizando todos los ejercicios. El módulo es uno sencillo y te resultará divertido realizarlo. ¡Adelante y Éxito!
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¡¡FELICIDADES!FELICIDADES!
Has completado el módulo de Funciones Exponenciales, espero te haya ayudado a aprender un poco más
sobre el tema.
Presiona aquí
Haz click en el perrito para continuar!!
Hasta aquí la post-prueba
Evaluación
Lo más que me gusto del modulo fue…
Lo que menos me gusto fue…
Pueden mejorar en …
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