Módulo IX - mathematike.org · Volumen de Poliedros y Cilindros Prismas Un prisma es una figura...

MathematikéUna Forma Integral, Inteligente y

Creativa de Aprender Matemáticas

Diplomado MathematikéCertificación de Profesores de Matemáticas

Módulo IX

Volumen de Figuras Sólidas

2017-2018

Material de Trabajo

AritméticaTercer Año

MORENO

MTK

MTK

Módulo 9 5

Figuras SólidasDefinición y Clasificación

Las figuras sólidas son aquellas que tienen volumen, es decir, en las cuales podemos medir ancho, largo y alto.

Las figuras sólidas están formadas de caras, aristas, vértices.

Las caras son las superficies planas de una figura sólida.Las aristas son las rectas en donde se unen las caras.Los vértices son los puntos en los cuales se unen dos o más aristas.

AB

CD

E

FG

H

Vértice

Arista

Cara

Caras: ABCD, AFGB, AFED, BGHC, EFGH, CDEH.

Aristas: AB, AD, AF, BC, BG, CD, CH, GF, GH, ED, EF, EH.

Vértices: A, B, C, D, E, F, G, H.

A

C B

D

Vértice

Arista

CaraCaras: ABC, ACD, ABD, BCD.

Aristas: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Vértices: A, B, C, D.

6 Volumen de Figuras Sólidas

PoliedrosTodas sus caras son polígonos

Figuras Sólidas

PoliedrosRegulares

PoliedrosIrregulares

Poliedros Irregulares

CilindrosTienen dos bases

circulares y paralelas.

ConosTienen una base

circular.

EsferasTodos los puntos de la

superficie están a la mismadistancia del centro.

Todas Sus Caras Son IgualesSolamente existen cinco poliedros regulares.

Una o Varias Caras Son Diferentes

PrismasAl menos dos de sus caras

son iguales y paralelas.

PirámidesSólo tienen una base

y sus caras son triángulares.

Prismas Rectos Prismas Oblicuos Pirámides Regulares Pirámides Rectas Pirámides Oblicuas

La altura es la aristaque une sus bases.

La altura no esuna las aristas.

El vértice estádirectamente encimadel centro de la base.

La altura es una delas aristas.

El vértice no estádirectamente encimadel centro de la base.

Altura AlturaAltura Altura

TetraedroOcho Caras Doce Caras Veinte CarasSeis CarasCuatro Caras

Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Altura

Módulo 9 7

Resumen de la Clasificación de las Figuras Sólidas

Árbol Genealógico de las Figuras Sólidas

Figuras Sólidas

Poliedros RegularesTodas sus caras son iguales.

Poliedros IrregularesUna o varias caras son diferentes.

Prismas PirámidesAl menos dos de sus caras

son iguales y paralelas.Sólo tienen una base

y sus caras son triángulares.

PrismasRectos

PrismasOblicuos

PirámidesRegulares

PirámidesRectas

PirámidesOblicuas

La alturaes la arista

que unesus bases.

La alturano es una

de lasaristas.

El vérticeencima

del centrode la base.

La alturaes unade las

aristas.

El vérticeno encimadel centrode la base.

Poliedros Cilindros Conos EsferasTodas sus carasson polígonos

Tienen dos basescirculares y paralelas.

Tienen una basecircular.

Todos los puntos de lasuperficie están a la misma

distancia del centro.

Poliedros

Figuras Sólidas

Regulares

Irregulares

Cilindros

Conos

Esferas

Prismas

Pirámides

Rectos

Oblicuos

Regulares

Rectas

Oblicuas


Volumen de Figuras SólidasDefinición y Fórmula

El volumen de un cuerpo sólido es la cantidad de espacio que hay dentro de él.

Si usamos el decímetro, tenemos un decímetro cúbico: dm3. Con el centímetro y el milímetro, creamos centímetros cúbicos: cm3 y milímetros cúbicos: mm3.

La unidad para medir el volumen es un cubo, ya que debemos medir largo, ancho y altura. Porque es un cubo lo que usamos, le llamamos unidad cúbica, y la representamos con el exponente 3.

Para crear la unidad cúbica, podemos utilizar metros, decíme-tros, centímetros o milímetros.

Si utilizamos el metro, crea-mos un metro cúbico, que se representa como m3.

1 m 1 m

1 m

m3 = m × m × m

1 dm3

1 cm31 mm3

1 m3

VolumenMathematiké

Módulo 9 9

Volumen de U

n

Poliedro.

Primer Paso.

Primer Paso

El volumen de un cubo, se calcula multiplicando el área de la base por su altura. Esta fórmula, la representamos en lenguaje matemático, de la siguiente forma:

Ejercicio Con el Material Didáctico.

Si la longitud del largo, ancho y alto del cubo la representamos con la le-tra a, entonces, el volumen se puede representar de la siguiente manera:

El volumen del cubo es siempre el mismo, sin importar cuál cara utilizamos para calcular el área, que luego multiplicamos por la altura correspondiente.

Puedes repetir este experimento con cubos de diferentes tamaños.

Volumen de Un Poliedro

VolumenCubo = ÁreaBase x Altura

aa

aaa

aaa a

aaa ÁreaBase = a x a

Volumen = ÁreaBase x Altura

Volumen = a x a x a = a3

Construye el Cubo del material didáctico.Usando el metro del material didáctico, demuestra la fórmula, utilizando diferentes caras del cubo para calcular el área de la

base.

ÁreaBase = a × a = a2

Volumen = Área Base × Altura

Volumen = a2 × a = a3

a


Segundo PasoEl volumen de cualquier prisma se calcula multiplicando el área de la base por la altura.

La fórmula es la misma que la que utilizamos para el cubo. No importa cuál cara utilicemos para calcular el área, que luego multiplicamos por la altura correspondiente, el volumen es siempre el mismo.

Las diferentes formas en las cuales puedes acomodar los prismas, para hacer la demostración, se muestran en la siguiente figura. Usa el metro del material didáctico, para conocer las dimensiones de las aristas.


Utilizando lenguaje matemático, la fórmula se escribe la siguiente forma:

VolumenPrisma = ÁreaBase x Altura

Utilizando las cartulinas Prisma Rectangular Recto 1, 2 y 3 del mate-rial didáctico, construye los tres prismas, con los cuales debes demos-trar que el volumen de cualquier prisma, sin importar cuál de las caras escogemos como base, se calcula multiplicando el área de la base por la

altura.

Volumen de UnPoliedro.Segundo Paso.

ÁreaBase 1 = 14 × 4 = 56 m2

Volumen = 56 × 6 = 336 m3

ÁreaBase 3 = 14 × 6 = 84 m2

Volumen = 84 × 4 = 336 m3

ÁreaBase 2 = 6 × 4 = 24 m2

Volumen = 24 × 14 = 336 m3

14 m

6 m4 m

14 m

6 m

6 m4 m

4 m

14 m

Módulo 9 11

Calcula el volumen de los prismas, de la forma que se indica.

Base2

Base3

19 dm

12 dm 16 dmBase1

14 cm

20 cm

Base3

Base2

Base1

18 cm

VPrisma = ÁreaBase 1 x Altura =






Volumen de U

n

Poliedro.

Tercer Paso.

VolumenPoliedro = VPrisma 1 + VPrisma 2 + VPrisma 3

VPrisma 1 = ÁreaBase 1 × Altura 1



Base 1

Base 2Base 3Altura 1 Altura 2

Altura 3

Prism

a 1

Prism

a 2

Prism

a 3

Tercer Paso

Cuando el poliedro está formado de prismas de base rectangular, lo descom-ponemos y calculamos el volumen de cada uno de los prismas que lo forman.


Con las cartulinas 1, 2 y 3 del Poliedro Irregular del material didáctico, arma el poliedro irregular. Antes de armarlo, lee las

instrucciones que aparecen en este apéndice.

Poliedro

Irregular

Módulo 9 13

Prisma R

ecto

Rectan

gular

Prisma R

ecto

Rectan

gular

Prisma R

ecto

Rectan

gular

Prisma 1 Prisma 2 Prisma 3

Prisma R

ecto

Rectan

gular

Prisma R

ecto

Rectan

gular

Prisma R

ecto

Rectan

gular

Para conocer el volumen total de este poliedro, lo dividimos en prismas de base rectangular. Las cartulinas 1, 2 y 3 Prisma Recto de Base Rectan-gular del material didáctico contienen estos prismas. Ármalos siguiendo las indicaciones de las instrucciones.

El volumen del poliedro, es la suma del volumen de cada uno de los prismas.


Utilizando el metro del material didáctico, mide las dimensiones de las aristas de los prismas y calcula sus volúmenes.




VPoliedro =

Módulo 9 15

AritméticaCuarto Año

MORENO

Módulo 9 17

Volumen de Poliedros y Cilindros

PrismasUn prisma es una figura sólida en la cual todos sus lados son polígonos y tiene dos caras paralelas a las que llamamos las bases. El nombre del prisma depende del tipo de polígono que forma su base. Por ejemplo, si es un triángulo le llamamos prisma triangular, si es un rectángulo es un prisma rectangular.

Prisma Rectangular Prisma Rectangular

Prisma Hexagonal

Prisma Triangular

Prisma Octagonal

Prisma Cuadrangular

Base

Base

Base Base

Base

Base

Base

Base

Base Base

Base

Base

En la figura anterior podemos observar que las bases son paralelas.

Los prismas están formados de: CarasPolígonos que forman el prisma.LadosLas rectas que unen las caras que forman el prisma.VérticesLos puntos en los cuales se unen los lados del prisma.

VérticeArista

Cara

CaraVértice

Vértice

Arista

AristaCara

Cara

Arista

Vértice

Los prismas se clasifican en: Prismas RectosLos lados de las caras son perpendiculares a las bases del prisma.Prismas OblicuosLos lados de las caras no son perpendiculares a las bases del prisma.

Prisma RectangularOblicuo

Prisma RectangularRecto

Prisma CuadrangularRecto

Prisma CuadrangularOblicuo

AlturaAltura

AlturaAltura

PoliedroUn poliedro es una figura sólida cuya superficie está formada de polígonos. Todos los polígonos que lo forman pueden ser diferentes o iguales, o algunos de ellos pueden ser iguales.

Al igual que los prismas, los poliedros es-tán formados de:

CarasPolígonos que forman el poliedro.LadosLas rectas que unen las caras que forman al poliedro.VérticesLos puntos en los cuales se unen los lados del prisma.

Ejemplo.Calcular el volumen de un cilindro de 8 centímetros de diámetro y una altura de 10.4 centímetros.

8 cm

10.4 cm

4

d = 8 r = 4 r2 = 4 × 4 = 16 cm2

ÁreaBase = π × r2

ÁreaBase = 3.14 × 16 ÁreaBase = 50.24 cm2

VolumenCilindro = ÁreaBase × Altura

VolumenCilindro = 50.24 × 10.4

VolumenCilindro = 522. 49 cm3

EjercicioCalcula el volumen de los prismas y cilindros.

VolPrisma =

ÁreaBase =

VolPrisma =

ÁreaBase =

VolPrisma =

ÁreaBase =

VolPrisma =

ÁreaBase =

VolCilindro =

ÁreaBase =

11 cm7 cm

12 cm

9.2 m

15 dm8 dm

6.7 m

6 dm

5.8 cm

8 cm10 cm

8 m

13 cm

8 cm

EjemploCalcular el volumen del prisma irregular.

24 cm

24 cm

24 cm

8 cm

16 cm

4614

Para dividir el prisma en varios prismas, primero dividimos la base en un rectángulo y dos triángulos. Calculamos el área de cada uno de ellos.

8 cm

16 cm

24 cm

14 468 cm

16 cm

24 cm

14 4

ÁreaRectángulo = 24 × 16 = 384 cm2

ÁreaTriángulo 1 = = 38.5 cm211 × 72

ÁreaTriángulo 2 = = 16 cm24 × 82

Ahora, dividimos el prisma en tres prismas y calculamos el volumen de cada uno de ellos.

VolPrisma rectangular = 384 × 24 = 9,216 cm3

VolPrisma = ÁreaBase × Altura

VolPrisma triangular 1 = 38.5 × 24 = 924 cm3

VolPrisma triangular 2 = 16 × 24 = 384 cm3

24 cm24 cm 24 cm

El volumen del prisma irregular es la suma del volumen del prisma rectangular más el volumen de los prismas triangu-lares.

VolumenPrisma = 9,216 + 924 + 384 = 10,524 cm3

Módulo 9 21

Ejercicios con el Material DidácticoArma el prisma de base irregular de las cartulinas 16 y 17 del material didáctico. Ármalos siguiendo las instrucciones. Para calcular su volumen, debemos dividirlos en un prisma rectangular y dos prismas triangulares. Arma estos prisma, utilizando las cartulinas 18, 19, 20 y 21 del material didáctico. Usando una regla, mide sus dimensiones y calcula el volu-men de cada uno de los prismas y el volumen total del prisma de base irregular.

Volumen PrismaRectangular =

Volumen PrismaTriangular 1 =

Volumen PrismaTriangular 2 =

Volumen PrismaBase irregular =

Módulo 9 23

MORENO

Módulo 9 25

Prisma rectangularoblicuo

Prisma rectangularrecto

Altura Altura

PirámidesUna pirámide es un sólido formado de un polígono que es su base, y una serie de triángulos con un vértice común, que son sus caras. Al igual que los prismas, el nombre de la pirámide depende de la forma de su base.

Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Pirámide octagonal Pirámide pentagonal

Vértice

Arista

Base

Vértice Vértice

Arista AristaArista

Base Base

Vértice

Base

Clasificación de las pirámidesLas pirámides se clasifican en:

Pirámides rectasUna de sus aristas, es perpendicular a la base.Pirámides oblicuasNinguna de sus aristas, es perpendicular a la base.

Altura de una pirámideLa altura de una pirámide es la distancia perpendicular de la base de la pirámide a su vértice.

Para medir la altura debemos usar una escuadra colocándola en la base de la pirámide.

Pirámide oblicua Pirámide recta

Pirámide oblicua Pirámide oblicua

Altura Altura

AlturaAltura


ConosUn cono es una figura sólida en forma de pirámide formada de un círculo que es su base, y una superficie plana que forma su cara. El vértice es el punto en el cual se une la superficie que forma la cara del cono.

Cono

Vértice

Base

Cara

Cono

Vértice

Cara

Clasificación de los conosLas conos se clasifican en:

Conos rectosEl vértice del cono se encuentra en una línea perpendicular a la base que pasa por el centro del círculo.Conos oblicuosEl vértice del cono se encuentra en una línea perpendicular a la base que no pasa por el centro del círculo.

Altura de un conoLa altura de un cono es la distancia perpendicular de la base del cono a su vértice.

Para medir la altura de un cono recto u oblicuo, colocamos una escuadra sobre la base del cono.

Cono recto

Altura Altura Altura

Cono oblicuo Cono oblicuo

Figuras geométricas sólidas

Figuras geométricas solidas

TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedro

Prismas

Poliedros

Oblicuos

Rectos

PrismasOblicuos

Rectos

PirámidesOblicuas

Rectas

ConosOblicuos

Rectos

Irregulares

Regulares

Módulo 9 27

Volumen de pirámidesEl volumen de cualquier pirámide recta se calcula multiplicando el área de la base por la altura y dividiendo el resultado entre tres.

VolumenPirámide

=Área

Base × Altura

3

Demostración del volumen de una pirámide rectaRecorta las cartulinas 14, 15 y 16 del material didáctico complemento del libro. Arma las tres pirámides y utilizando las lengüetas y ranuras únelas para formar un cubo.

VolumenCubo

= ÁreaBase

× Altura

Pirámide

Rec

ta

Base C

uadr

ada

Pirámide Recta

Base Cuadrada

Pirámide RectaBase Cuadrada

Pirá

mid

e R

ecta

Bas

e C

uadr

ada


Pirámide R

ectaB

ase Cuadrada

Pirámide

Rec

ta

Base C

uadr

ada

Pirámide Recta

Base Cuadrada


Pirá

mid

e R

ecta

Bas

e C

uadr

ada


Pirámide R

ectaB

ase Cuadrada

Para demostrar que el volumen de cada una de las pirámides es un tercio del volumen del cubo, debemos verificar que el área de la base y la altura de las pirámides es la misma.

VolumenPirámide

=Área

Base × Altura

3VolumenCubo

= ÁreaBase

× Altura


Pirá

mid

e R

ecta

Bas

e C

uadr

ada


Pirá

mid

e R

ecta

Bas

e C

uadr

ada


Pirámide R

ecta

Base C

uadrada

Pirámide

Rec

ta

Base C

uadr

ada

Pirámide Recta

Base CuadradaPirámide RectaBase Cuadrada

Pirá

mid

e R

ecta

Bas

e C

uadr

ada


Pirámide R

ectaB

ase Cuadrada

EjemploCalcular el volumen de la pirámide triangular.

ÁreaBase =10 × 14

2

VolumenPirámide =

VolumenPirámide = 420 m3

ÁreaBase × Altura3

10 m

18 m

14 m

= 70 m2

70 × 183

=


Volumen de pirámidesEl volumen de cualquier pirámide recta se calcula multiplicando el área de la base por la altura y dividiendo el resultado entre tres.

VolumenPirámide

=Área

Base × Altura

3

Demostración del volumen de una pirámide rectaRecorta las cartulinas 14, 15 y 16 del material didáctico complemento del libro. Arma las tres pirámides y utilizando las lengüetas y ranuras únelas para formar un cubo.

VolumenCubo

= ÁreaBase

× Altura

Pirámide

Rec

ta

Base C

uadr

ada

Pirámide Recta

Base Cuadrada


Pirá

mid

e R

ecta

Bas

e C

uadr

ada


Pirámide R

ectaB

ase Cuadrada

Pirámide

Rec

ta

Base C

uadr

ada

Pirámide Recta

Base Cuadrada


Pirá

mid

e R

ecta

Bas

e C

uadr

ada


Pirámide R

ectaB

ase Cuadrada

Para demostrar que el volumen de cada una de las pirámides es un tercio del volumen del cubo, debemos verificar que el área de la base y la altura de las pirámides es la misma.

VolumenPirámide

=Área

Base × Altura

3VolumenCubo

= ÁreaBase

× Altura


Pirá

mid

e R

ecta

Bas

e C

uadr

ada


Pirá

mid

e R

ecta

Bas

e C

uadr

ada


Pirámide R

ecta

Base C

uadrada

Pirámide

Rec

ta

Base C

uadr

ada

Pirámide Recta

Base Cuadrada


Pirá

mid

e R

ecta

Bas

e C

uadr

ada


Pirámide R

ectaB

ase Cuadrada

EjemploCalcular el volumen de la pirámide triangular.

ÁreaBase =10 × 14

2

VolumenPirámide =

VolumenPirámide = 420 m3


10 m

18 m

14 m

= 70 m2

70 × 183

=

Módulo 9 29

El volumen de cualquier pirámide es un tercio del volumen del área de la base por la altura. En el sexto nivel de abstracción, haremos la misma demostración utilizando pirámides oblicuas.

EjemploCalcular el volumen de la pirámide rectangular.

ÁreaBase = 18 × 9 = 162 cm2

VolumenPirámide =

VolumenPirámide = 810 cm3


9 cm

15 cm

18 cm

162 × 153

=

EjemploCalcular el volumen de la pirámide de base irregular.

ÁreaBase = 12.5 + 25 = 37.5 m2

ÁreaBase Cuadrado = 5 × 5 = 25 m2

ÁreaBase Triángulo =

VolumenPirámide =

VolumenPirámide = 112.5 m3


5 m5 m

5 m

9 m10 m

10 m

37.5 × 93

5 × 52

=

= 12.5 m2

Volumen de conosEl cono es una pirámide de base circular, por lo tanto, el volumen del cono también es el área de la base por la altura.

VolumenCono

=Área

Base × Altura

3

EjemploCalcular el volumen del cono.

VolumenCono =ÁreaBase × Altura

3

ÁreaBase = � × r2 = 3.14 × (6)2 = 3.14 × 36 = 113.04 cm2

VolumenCono = 452.16 cm3

12 cm 113.04 × 123

=


Ejercicios con el material didácticoRecorta las cartulinas 17 y 18. Arma la pirámide de base triangular y la pirámide de base pentagonal. Utiliza una regla para medir las dimensiones de la base y la altura. Calcula el volumen aproximado de las pirámides. Los cuatro lados de la pirámide triangular son iguales, por eso le llamamos tetraedro, que es un poliedro de base regular.

ÁreaBase

=

Altura =

VolumenPirámide

=

ÁreaBase

=

Altura =

VolumenPirámide

=

Poliedro Regularde Cuatro Caras

Tetraedro

Pirámide

Base Pentagonal

Pirá

mid

eB

ase

Pent

agon

al

Pirámide

Base Pentagonal

Volumen de poliedrosPara calcular el volumen de un poliedro, lo dividimos en prismas y pirámides cuyos volúme-nes podemos calcular fácilmente.

EjemploCalcular el volumen del poliedro.

16 cm

12 cm

8 cm

4 cm

5 cm8 cm

8 cm

5 cm

Dividimos el volumen en un prisma y tres pirámides.

Módulo 9 31

12 cm

8 cm

4 cm

5 cm

8 cm

8 cm

12 cm

4 cm

4 cm

ÁreaBase Rectángulo 2 = 4 × 12 = 48 cm2

ÁreaBase Triángulo 1 =

VolumenPirámide 1 = = 26.66 cm3

VolumenPrisma = ÁreaBase × Altura VolumenPirámide =ÁreaBase × Altura

3

16 × 53

4 × 82

= 16 cm2

VolumenPirámide 2 =

VolumenPirámide 2 = 128 cm3

48 × 83

ÁreaBase Rectángulo = 4 × 8 = 32 cm2

VolumenPrisma = 32 × 12

VolumenPrisma = 384 cm3

ÁreaBase Rectángulo 3 = 5 × 8 = 40 cm2

VolumenPirámide 3 =

VolumenPirámide 3 = 106.66 cm3

40 × 83

8 cm

8 cm

5 cm

El volumen del poliedro es la suma del volumen del prisma y las tres pirámides.

VolumenPoliedro = VolumenPrisma + VolumenPirámide 1 + VolumenPirámide 2 + VolumenPirámide 3

VolumenPoliedro = 384 + 26.66 + 128 + 106.66

VolumenPoliedro = 645.32 cm3

Ejercicios con el material didácticoRecorta las cartulinas 19 y 20. Sigue las instrucciones para armar el poliedro irregular. Imagínate en cuáles pris-mas y pirámides debes dividir el poliedro para poder calcular su volumen.

Recorta las cartulinas 21, 22, 23 y 24. Sigue las instrucciones para armar un prisma y tres pirámides. Haciendo coincidir los números de las ranuras y las lengüetas arma el poliedro. Utilizando una regla mide las dimensiones de la base y la altura del prisma y las pirámides. Calcula el volumen aproximado de cada uno de ellos. Suma sus volúmenes para conocer el volumen aproximado del poliedro.


Prisma TriangularRecto

2

1

Volumen = ÁreaBase × Altura

Pirámide RectaBase Triangular

Pirámide Recta Base Triangular


3

Poliedro Irregular


ÁreaBase Pirámide 2

=

VolumenPirámide 2

=


=

VolumenPirámide 3

=


=

VolumenPirámide 1

=

ÁreaBase Prisma

=

VolumenPrisma

=

VolumenPoliedro

= + + +

VolumenPoliedro

=

MatemáticasIntegración del Conocimiento

GeométricoSéptimo Nivel de Abstracción

MORENO

Módulo 9 35

Estrategia 8Descomponer un poliedro irregular que contiene pris-mas y pirámides rectas y oblicuas en prismas y pirá-mides cuyo volumen podemos calcular fácilmente.

Podemos calcular el volumen de cualquier prisma irre-gular. Debemos buscar la mejor forma de descompo-nerlo en prismas y pirámides, rectos u oblicuos cuyo volumen podemos calcular.

Utilizando las cartulinas 1 y 2 del material didáctico Volumen de un Poliedro Irregular Oblicuo, arma el poliedro irregular oblicuo. Para encontrar el volumen debemos dividir el poliedro en prismas y pirámide cuyo volumen podemos calcular. Arma los tres primas y las tres pirámides de las cartulinas 3, 4, 5 y 6.Mide sus dimensiones y calcula el volumen de cada una de ellas. En una de las pirámides debes utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar su altura. Sobre la base está marcado el punto de la perpendicular al vértice superior. Suma sus volúmenes para conocer el volumen total del poliedro.

Ejercicio Con el Material Didáctico

Prisma Irregular

Prisma Irregular

d

b = p = � × d

a a

18 cm

126

b = p = � × 12

Área de la superficie de un cilindroLa longitud de la base del rectángulo que forma la cara circular del cilindro es el perímetro del círculo.

Perímetro del Círculo

Área de Cada Uno de los Círculos

Área de la Cara Circular del Cilindrop = π × d

ACírculo = π × r2

ACara Circular = b × aACara Circular = p × aACara Circular = π × d × a



Área de la Superficie del Cilindro

Área de la Cara Circular del Cilindrop = π × d = 3.14 × 12 = 37.68 cm

ACírculo = π × r2 = 3.14 × (6)2 = 113 cm2

ACilindro = 678.24 + 2 × 113 = 904.24 cm2

ACara Circular = b × a = p × aACara Circular = 37.68 × 18 = 678.24 cm2

EjemploEncontrar el área total de la superficie del cilindro.


Área de la superficie de un conoCuando desarrollamos la cara de la superficie del cono, generamos una figura que parece un abanico. La longitud de la base del abanico es el perímetro del círculo.

La longitud de sus lados es la distancia del vértice a cualquier punto que está sobre el círculo. El área de la superficie del cono es un pedazo de círculo cuyo radio es la longitud del lado del abanico.

Para conocer el valor del área de la superficie del abanico, aplicamos una de las estrategias que uti-lizamos para calcular el área de un círculo. Divi-dimos el área en pequeños triángulos y los acomo-damos formando un rectángulo.

La base del rectángulo es la longitud l que gene-ra la superficie del cono (distancia del vértice a la base). Al armar el rectángulo descubrimos que su altura es π × r. Donde r es el radio del círculo que forma la base del cono. El área de la superficie de un cono es igual al área del rectángulo.

Área de la superficie de un cono = π × r × l



Área de la Superficie del Cilindro

Área de la Cara Circular del Cilindrop = π × d = 3.14 × 8 = 25.12 dm

ACírculo = π × r2 = 3.14 × (4)2 = 50.24 dm2

ACilindro = 301.44 + 2 × 50.24 = 401.92 dm2

ACara Circular = b × a = p × aACara Circular = 25.12 × 12 = 301.44 dm2

EjemploEncontrar el área total de la superficie del cilindro.

EjemploEncontrar el área total de la superficie del cilindro oblicuo.

12 dm

84

b = p = � × 8

d

d

p

ll

p = � × d

r

l

� × r

l

6 cm

l = 9 cm

r

a

Altura del Cono

Área de la Base del Cono

Área de la Superficie del Cono

Área Total del Cono

Volumen del Cono

ASuperficie = π × r × l

ATotal = ASuperficie + ABase

ASuperficie = 3.14 × 3 × 9 = 84.78 cm2

ATotal = 84.78 + 28.26 = 113.04 cm2

( ) ( )= − =a 9 3 8.48 cm2 2

=×

= × =VA a3

28.26 8.483

79.88 cmConoBase 3

Módulo 9 37

La esfera

Área de la superficie de una esfera

Volumen de una esfera

Una esfera se genera rotando un círculo al rededor de un eje que pasa por el centro.El radio r de la esfera, es el radio del círcu-lo que la generó.

La esfera, al igual que el círculo, tiene unas características que la hacen un cuerpo geométrico maravilloso. Tiene una superficie cubierta por cuatro áreas iguales al área del círcu-lo que la genera.

Si colocamos una esfera dentro de un cilindro cuyo diáme-tro y altura son iguales al diámetro de la esfera, el volumen

de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro.

Es decir, el área de la superficie de la esfera es cuatro veces el área del círculo que la genera.

Para encontrar el área y el volumen de una esfera necesita-mos usar las herramientas del cálculo diferencial e integral. Utilizando el material didáctico encontramos el número � que nos permite conocer el perímetro y el área de un círculo.

El número � también juega un papel muy importante en la esfera.

r r

Área delcírculo quegenera la

esfera r

AreaCírculo = � × r2 A Esfera = ACírculo = � × r214

Área delcírculo quegenera la

esfera r = 10 cm

d

d

d

r

Área del Círculo que Genera la Esfera

Área de la Superficie de la Esfera

ÁreaCírculo = π × r2 = 3.14 × (10)2 = 314 cm2

ÁreaEsfera = 4 × AreaCírculo

ÁreaEsfera = 4 × 314 = 1,256 cm2

Área de la Superficie de la Esfera

ÁreaEsfera = 4 × ÁreaCírculo

ÁreaEsfera = 4 × π × r2

EjemploCalcular el área de la superficie de la esfera.

Volumen del Cilindro

Volumen de la Esfera

VolumenCilindro = ÁreaBase × Altura = π × r2 × d

π

π

= ×

= × × ×

= × × ×

r d

r d

Volumen 23Volumen

Volumen 23

Volumen 23

Esfera Cilindro

Esfera2

Esfera

2


Ésta es una manera muy fácil de recordar el volumen de una esfera, ya que primero calculamos el volumen del cilindro cuyo diámetro y altura son iguales al diámetro de la esfera y este resultado lo multiplicamos por 2 y lo dividimos entre 3.

También podemos desarrollar una fórmula para el volumen de una esfera recordando que el radio es la mitad del diáme-tro y haciendo algunas multiplicaciones de fracciones.

EjemploCalcular el volumen de la esfera.

π

π π

π

π

= × = × ×

= × × × = × ×

= × = × × ×

= × ×

r d

r r r

r

r

Volumen Área Altura

Volumen 2 2

Volumen 23Volumen 2

32

Volumen 43

d

Cilindro Base2

Cilindro2 3

Esfera Cilindro3

Esfera

3

20

d = 20 cm

r = 10

10

Volumen del Cilindro

Volumen de la Esfera

Volumen de la Esfera Usando la Fórmula

VolumenCilindro = ÁreaBase × Altura = π × r2 × dVolumenCilindro = 3.14 × (10)2 × 20 = 6,280 cm3

= × = ×

=

Volumen 23Volumen 2

36,280

Volumen 4,186.66 cm

Esfera Cilindro

Esfera3

π ( )= × × =

× ×

=

rVolumen 43

4 3.14 103

Volumen 4,186.66 cm

Esfera

33

Esfera3

Serie de Ejercicios 6Calcula el área de la superficie y el volumen de las esferas si r es el radio y d el diámetro:

1. r = 5 cm 2. d = 8 mm 3. d = 10.2 m 4. r = 5.1 m 5. d = 12 m 6. r = 5.4 dm7. r = 2.8 cm 8. d = 4.6 m 9. d = 12 cm 10. r = 15 mm 11. d = 6 m 12. d = 20 m

13. r = 2.4 dm 14. d = 36 m 15. r = 9 mm 16. d = 3.3 cm 17. r = 11 mm 18. d = 4 dm

Material Didáctico

Módulo 9 41El Cubo

Volumen = ÁreaBase × Altura

Volumen = a2 × a = a3

Áre

a Bas

e = a

× a

= a

2Área

Base = a × a = a

2ÁreaBase = a × a = a2

a

a

12

3 4

5

55

Módulo 9 43Prisma Rectangular Recto

Cartulina 1

12

34

5

55


Cartulina 2

12

34

5

55


Cartulina 3

12

34

5

55

Módulo 9 49Poliedro Irregular

Cartulina 1

3

5

4

6

78

1

12


Cartulina 2

9

11

17

18

2

1

20


Cartulina 3

1413

15

16

Polie

dro

Irre

gula

r

19

20 20

10

2

Módulo 9 55

1

2

3

45

55

1

Prism

a Re

cto

deBa

se R

ecta

ngul

ar

Poliedro IrregularPrisma Recto de Base Rectangular. Cartulina 1


Prisma Recto de Base Rectangular. Cartulina 2

1

2

3

4

5

55

2

Prisma Recto de

Base Rectangular


Prisma Recto de Base Rectangular. Cartulina 3

1 2

3 4

5

55

1

2

Prisma Recto deBase Rectangular

Módulo 9 61Volumen de un Prisma Irregular

Cartulina 1

1

5

6

7

8

Prisma Recto de BaseIrregular

Volu

men

= Á

rea B

ase ×

Altu

ra

Volumen = Á

reaB

ase × Altura

Altura Altura


Cartulina 2

Volu

men

= Á

rea B

ase ×

Altu

ra

Volumen = Á

reaB

ase × Altura

Altura Altura2

4

8

3

8

Prisma Recto de BaseIrregular

1


Cartulina 3

Pris

ma

Rec

tang

ular

Rec

to

6 3

Volumen = Á

reaB

ase × Altura

Altura

1 2

1


Cartulina 4

1

6

5

1

2

4

4

4

4

Volumen = Á

reaB

ase × Altura

Altura

Pris

ma

Rec

tang

ular

Rec

to



6

1


Cartulina 5

1

2

3

Volumen = Á

reaB

ase × Altura

Altura

Volu

men

= Á

rea B

ase ×

Altu

ra

Altura


Cartulina 6

2

Volumen = Á

reaB

ase × Altura

Altura

Volu

men

= Á

rea B

ase ×

Altu

ra

Altura



3

3 2

13

Módulo 9 73

1

1

3

3

2

2Pirámide Recta

Base Cuadrada

Pirámide Recta

Base Cuadrada

Volumen

=ÁreaBas

e × A

ltura

3

Volumen de una pirámide rectaCartulina 1

Módulo 9 75

1

1

3

3

3

2

Pirámide Recta

Base Cuadrada

Pirámide Recta

Base Cuadrada

Volumen

=ÁreaBas

e × A

ltura

3


Módulo 9 77

1

3

3

3

2

2

Pirámide Recta

Base Cuadrada

Pirámide Recta

Base Cuadrada

Volumen

=ÁreaBas

e × A

ltura

3


Módulo 9 79

21

2

Volumen =Área Base

× Altura

3

Poliedro Regular

de Cuatro Caras

Tetraedro

Polie

dro

Reg

ular

de C

uatr

o C

aras

Tetr

aedr

o

Poliedro Regular

de Cuatro Caras

Tetraedro

Volumen de una pirámide triangularCartulina 1

Módulo 9 81

4

3

2

1

4Volumen =

Área Base × Altura

3

Pirá

mid

e

Base P

enta

gona

l

Pirá

mid

e

Base P

enta

gona

l

Pirámide

Base Pentagonal

Pirámide

Base Pentagonal

PirámideBase Pentagonal

Volumen de una pirámide pentagonalCartulina 1

Módulo 9 83

Polie

dro

Irre

gula

r

2

5

6

66

Volumen de un poliedro irregularCartulina 1

Módulo 9 85

1

45

3

Poliedro Irregular


Módulo 9 87

3

4

4

4

Volum

en = Área

Base × A

lturaPr

ism

a T

rian

gula

rR

ecto

Prisma T

riangularR

ecto3

2


Módulo 9 89Volumen = ÁreaBase × Altura

Prisma Triangular

Recto

1

2

1

1

2

2

Vol

umen

=Á

rea B

ase ×

Altu

ra3

Pirámide

Rec

ta Base

Triang

ular Pirám

ide Recta B

ase Triangular

2



Módulo 9 91

1

2

2

Pirámide Recta

Base TriangularPirámide Recta

Base Triangular

Volumen =ÁreaBase × Altura

3

3


Módulo 9 93

1

2

2

1



Vol

umen

=Á

rea B

ase ×

Altu

ra

3

Volu

men

de

un p

olie

dro

irre

gular

Cart

ulina

6

Módulo 9 95

1

Prisma Triangular

Oblicuo

Prisma Triangular

Oblicuo

1

2

3

3

3

Volu

men

de

un P

rism

a Tr

iang

ular

Obl

icuo

Car

tulin

a 1

Módulo 9 97

1

2

3

3

3

Prisma TriangularOblicuo

Prisma Triangular

Oblicuo

1

2

Volu

men

de

un P

rism

a Tr

iang

ular

Obl

icuo

Car

tulin

a 2

Módulo 9 99Volumen de un Prisma Triangular Oblicuo

Cartulina 3

1

3

3

3

2


2

Módulo 9 101

Volu

men

de

una

Pirá

mid

e O

blic

ua

Car

tulin

a 1

1

2

3

3

3

Pirámide O

blicua

Pirámide OblicuaPirám

ide Oblicua

2

Módulo 9 103

2

33

1

1

3

Pirámide O

blicua Pirámide O

blicua

Pirámide Oblicua

Volu

men

de

una

Pirá

mid

e O

blic

ua

Car

tulin

a 2

Módulo 9 105

3

2

3

1

2

1

Pirámide O

blicua

Pirámide O

blicua

Pirámide Oblicua

Volu

men

de

una

Pirá

mid

e O

blic

ua

Car

tulin

a 3

Módulo 9 107Volumen de un Poliedro Irregular Oblicuo

Cartulina 1

Prisma Irregular OblicuoPrisma Irregular

Oblicuo

12

8

7

3

4

1

5

119

10

6

Módulo 9 109

1

13

13

2

5

Prisma Irregular OblicuoPrisma Irregular

Oblicuo

Prisma IrregularOblicuo

Volumen de un Poliedro Irregular Oblicuo

Cartulina 2

Módulo 9 111

3

3

Prisma Rectangular Recto


2

3

1

2

1

3


Pris

ma

Rect

angu

lar R

ecto

5

5

1

4

2 43

5

1


Cartulina 3

Módulo 9 113

3

Pirámide Oblicua



Pirámide Oblicua

1

2

133

2

3

3

2

3


Cartulina 4

Módulo 9 115

1

22

Pirámide TriangularOblicua

Pirám

ide Tr

iangular

Oblicua

Pirámide Triangular

Oblicua

5

Vértice


Cartulina 5

Módulo 9 117

12

2

Pirámide Triangular

Oblicua

Pirámide Triangular Oblicua

5

4


Cartulina 6

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Módulo IX - mathematike.org · Volumen de Poliedros y Cilindros Prismas Un prisma es una figura...

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