1 • La probabilidad es una medición numérica de la posibilidad de que un evento ocurra. • La probabilidad es importante en la toma de decisiones, pues brinda una forma de medir, expresar y analizar el grado de incertumbre asociada a eventos futuros • Definimos como “experimento” a cualquier proceso que genere resultados bien definidos. En cualquier experimento ocurrirá solo uno de los resultados experimentales posibles. • La probabilidad de un experimento debe satisfacer : a) Los valores de probabilidad asignado a cada PROBABILIDAD No es probable que ocurra el evento Es seguro que ocurra el evento
Transcript
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• La probabilidad es una medición numérica de la posibilidad de que un evento ocurra.
• La probabilidad es importante en la toma de decisiones, pues brinda una forma de medir, expresar y analizar el grado de incertumbre asociada a eventos futuros
• Definimos como “experimento” a cualquier proceso que genere resultados bien definidos. En cualquier experimento ocurrirá solo uno de los resultados experimentales posibles.
• La probabilidad de un experimento debe satisfacer :
a) Los valores de probabilidad asignado a cada resultado deben ser 0 ≤ P(Ej) ≤ 1
b) La suma de todas las probabilidades de resultado experimental es P(E1) + P(E2) + …. + P(En) = 1
PROBABILIDAD
No es probable que ocurra el evento Es seguro que ocurra el evento
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Experimento Resultados posibles
Lanzar una moneda Cara, Cruz
Seleccionar una pieza para inspección Defectuosa, no defectuosa
Llevar a cabo una visita para venta Venta , no venta
Tirar un dado 1, 2, 3, 4, 5, 6
Jugar un partido Ganar, perder, empatar
Ejemplos
Existen diferentes métodos para asignar valores probabilísticos para cada resultado experimental. Entre estos tenemos:
a) Método Clásico
Originalmente se desarrollo para analizar problemas de juego de azar en los que a menudo es razonable suponer resultados con igual posibilidad. Si un experimento tiene n resultados posibles, el método clásico asignará una probabilidad de 1/n a cada resultado experimental. Por Ejemplo
• Un experimento de lanzar una moneda al aire
• Un experimento de tirar un dado
n1
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b) Método de Frecuencia Relativa
Cuando no es posible aplicar igual probabilidad a todos los resultados experimentales. Por ejemplo: Una empresa esta evaluando introducir un nuevo producto en el mercado, según encuestas anteriores se contacto a 400 clientes potenciales, de los cuales se tiene el siguiente resultado:
c) Método Subjetivo
Cuando los resultados experimentales no tienen igual probabilidad y no hay datos disponibles sobre frecuencia relativas. Por ejemplo:
• Cual es la probabilidad de que Perú gane un campeonato?
• Cual es la probabilidad de que Mis Perú gane el certamen mundial?
El método Subjetivo usa nuestra experiencia e intuición, expresa el grado de creencia de que ocurra un resultado experimental
Frec. Relativa
100 compraron el producto 100/400 = 0.25
300 no compraron el producto 300/400 = 0.75
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EVENTOS Y SUS PROBABILIDADES
• Un evento es un conjunto de resultados experimentales.
• La probabilidad de un evento es igual a la suma de las probabilidades de los puntos muéstrales de dicho evento. Por ejemplo:
Evento A : El numero de puntos que aparece en la cara superior es par
Experimento : Lanzar un dado1 23 45 6
Resultado Experimental S
Entonces A = 2, 4, 6
Prob. Del evento A: P(A)= P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½
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OPERACIONES BASICAS CON EVENTOS
1. Complemento de un evento (Ac)Ac = todos lo elementos que no están en A
Evento A
AcP(A) + P(Ac) = 1
Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del espacio muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos.
Espacio muestral S
Experimento: Lanzar un dado S = 1,2,3,4,5,6Evento A : El numero de puntos que aparece en la cara superior es parEntonces A = 2, 4, 6 y Ac =1, 3, 5P(A) = P(2)+P(4)+P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 P(Ac) = 1 - 0.5 = 0.5
P(Ac) = 1 - P(A)
P(S)=1
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2. Unión de 2 Eventos. P(AB)
Ejemplo.- Se lanza un dado y una moneda Ω = 1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c N(Ω) = 12A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el número 2 o 3 con sol.B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan números pares con sol. A = 2s, 3s , N(A) = 2 B = 2s, 4s, 6s N(B) = 3 A B = 2s N(A B ) = 1 P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 2/12 + 3/12 – 1/12 = 4/12 = 1/3
A B
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Para dos eventos A y B, la unión de los eventos A y B es aquel que contiene todos los puntos muéstrales existentes en A o en B o en ambos.
Útil cuando tenemos dos elementos y estamos interesados en conocer la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de los dos eventos
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3. Intersección de 2 Eventos. P(AB)
A BA
B
Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A B)=0A B
P(A B) = P(A)*P(B)
Para dos eventos A y B, la intersección de 2 eventos A y B es aquel que contiene todos los puntos muéstrales existentes tanto en A como en B.
P(A B) = P(A) * P(B/A)
Ley de la multiplicación
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4. Probabilidad Condicional. P(A|B)
En muchas situaciones es importante determinar la probabilidad de un evento “A” cuando se sabe que ha ocurrido otros evento “B”.
Suponga que tenemos un evento A, de una probabilidad P(A), y que obtenemos nueva información o ha ocurrido otro evento B. Si A esta relacionado con B, desearemos aprovechar esta nueva información para calcular una probabilidad nueva o revisada para el evento A
Esta nueva probabilidad del evento A se escribe P(A/B) y se lee probabilidad del evento A dado el evento B
)()(
)|(APBAP
ABP
)()(
)|(BPBAP
BAP
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4. Probabilidad Condicional. P(A|B)
No confundir probabilidad condicionada con intersección. Si A y B son independientes, entonces P(A|B) = P(A) La probabilidad del denominador no puede ser 0 En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…
• En P(A∩B) con respecto a P(E)=1• En P(A|B) con respecto a P(B)
)(
)()|(
BP
BAPBAP
A
E espacio muestral
B
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4. Probabilidad Condicional. P(A|B)
La probabilidad condicional se puede utilizar para encontrar la probabilidad de una intersección de dos eventos P(AB), cuando son conocidos las probabilidades de P(A), P(B), P(A/B) o P(B/A)
)()(
)|(APBAP
ABP
)()(
)|(BPBAP
BAP )|()()( BAPBPBAP
)|()()( ABPAPBAP
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Ejemplo.-
En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista estudia la situación de empleo, elige al azar una persona. Si la población total es de 8000 personas, ¿ Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea ?:
a).- Mujerb).- Hombrec).- Mujer dado que está empleadod).- Desempleado dado que es hombree).- Empleado dado que es mujerf).- Es mujer dado que esta desempleadog).- Es hombre dado que esta desempleado
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Desempleados D
Empleados E
Total
Mujeres M
800 3200 4000
Hombres H
200 3800 4000
Total 1000 7000 8000
Sean los eventos:M: Que sea MujerH: Que sea HombreD: Que sea desempleadoE: Que sea Empleado
Dado que uno de estos valores nos da la probabilidad de la intersección de los eventos estas probabilidades se llaman PROBABILIDADES CONJUNTAS
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D E Total
M 800/8000 = 0.10 3200/8000= 0.40 4000/8000= 0.5
H 200/8000= .025 3800/8000= .475 4000/8000= 0.5
Total 1000/8000= 0.125 7000/8000= .875 8000/8000= 1
a) P(M) = .50 b) P(H) = .50 P(E) = .875 P(D) = .125
Una empresa renta automóviles en tres agencias:El 60% de los autos son rentados en la agencia 1El 30% de los autos son rentados en la agencia 2El 10% de los autos son rentados en la agencia 3.Si el 9% de los vehículos rentados en la agencia 1 necesitan afinación, el 20% de las unidades en la agencia 2 necesitan afinación y el 6% de los autos de la agencia 3 necesitan afinación,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil sea rentado por la agencia 1 y necesite afinación
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil rentado necesita afinación?
Supongamos que:
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SoluciónSoluciónSea A el evento de que el automóvil necesita afinación.
Y sea Bi evento de que el automóvil pertenece a la agencia i=1,2,3 entonces tenemos P(B1)=0.60, P(B2)=0.30 y P(B3)=0.10; P(A/B1)=0.09; P(A/B2)=0.20 y P(A/B3)=0.06
Ahora supongamos que si un automóvil rentado a la empresa necesita afinación.(evento A) ¿Cuál es la probabilidad de que este vehiculo provino de la empresa 2? (Evento B2)
Solución
5.012.0
060.0)06.0)(10.0()20.0)(30.0()09.0)(60.0(
)20.0)(30.0()/( 2
ABP
Observe que a pesar de que solo el 30% de los automóviles rentados a la empresa proviene de la agencia 2, el 50% (o la mitad de ellos) requieren afinación
B1
B2
B3
A
A
A
P(B1)=0.60
P(B2)=0.30
P(B3)=0.10
P(A/B1)=0.09
P(A/B2)=0.20
P(A/B3)=0.06
=
=
=
P(B1).P(A/B1) = 0.60 * 0.09 = 0.054
P(B2).P(A/B2) = 0.30 * 0.20 = 0.060
P(B3).P(A/B3) = 0.10 * 0.06 = 0.006
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Con frecuencia empezamos un análisis con estimaciones iniciales (probabilidades a priori) para eventos específicos. Después provenientes de fuentes como muestreo, informes especiales, ensayos de productos, obtenemos información adicional de ese evento, Con esta nueva información modificamos los valores de las probabilidades a priori mediante el calculo de probabilidades actualizadas a las que llamamos probabilidades posteriori. El teorema de Bayes proporciona un método para calcular estas probabilidades
Probabilidadesa priori
Informaciónnueva
Aplicación delTeorema Bayes
ProbabilidadesPosteriori
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Una Empresa manufacturera recibe piezas de dos proveedores. Entonces hagamos A1 el evento de que una pieza es del proveedor 1, y A2 es el evento de que una pieza es del proveedor 2.
Actualmente el 65% de las piezas adquiridas por la empresa proviene de la empresa 1 y el 35% restantes proviene de la empresa 2.
Con base a los datos históricos de la empresa, las probabilidades de recibir piezas buenas y malas de ambos proveedores son:
P(B/Prov1) = 0.98 P(M/Prov1) = 0.02
P(B/Prov2) = 0.95 P(M/Prov2) = 0.05
Ejemplo 1
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Prov.1
Prov.2
B
M
B
M
Paso 1Proveedor
(a priori)
Paso 2Condición
ResultadoExperimental
Bov 1.Pr
Mov 1.Pr
Bov 2.Pr
Mov 2.Pr
P(Prov.1)=0.65
P(Prov.2)=0.35
P(B/Prov.1)=0.98
P(B/Prov.2)=0.95
0.02
0.05
P(Prov.1B)=0.637
P(Prov.1M)=0.013
P(Prov.2B)=0.3325
P(Prov.2M)=0.0175
Ahora suponga que las piezas de los 2 proveedores se usan en la producción de la empresa, y que una pieza mala paraliza la maquina. ¿Cuál es la probabilidad de que dicha pieza mala provenga del proveedor 1 y del proveedor 2
+
+
+
Suma = 1
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%62.424262.00305.0013.0
0175.0013.0013.0
P(M)M)P(Prov.1
)P(Prov.1/M
%38.575738.00305.00175.0
0175.0013.00175.0
P(M)M)P(Prov.2
)P(Prov.2/M
DISCUSIÓN
Observe que empezamos con un probabilidad de 0.65 de que una pieza seleccionada provenga 1. Sin embargo dada la información de que la pieza es mala, determinamos la probabilidad de que dicha pieza provenga del proveedor 1 se reduce de 0.65 a 0.4262
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Este teorema es de gran utilidad para evaluar una probabilidad a posteriori partiendo de probabilidades simples, y así poder revisar la estimación de la probabilidad a priori de un evento que se encuentra de un estado o en otro.
TEOREMA DE BAYES
Definición
El Teorema de Bayes, proporciona la distribución de probabilidad condicional de un evento "A" dado otro evento "B" P(A/B) (probabilidad posteriori), en función de la distribución de probabilidad condicional del evento "B" dado "A" P(B/A) y de la distribución de probabilidad marginal del evento "A" (probabilidad simple o apriori).
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TEOREMA DE BAYES
La característica necesaria es que los eventos A1,A2, ... An sean eventos mutuamente excluyentes o independientes. Entonces la probabilidad de que ocurra cualquier evento dado que ha ocurrido el evento “B” se calculará por la siguiente fórmula:
Partiendo de las fórmulas de probabilidad condicional y probabilidad conjunta
para eventos estadísticamente dependientes se procederá a definir el Teorema de Bayes.
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Recordando Probabilidad Conjunta
)/(*)()( ABPAPBAP
)()(
)/(APBiAP
ABiPTeorema de Bayes
Recordando Probabilidad Total
)/().(...)2/().2()1/().1()( BiAPBiPBAPBPBAPBPAP
n
i
BiAPBiPAP1
)/().()(
Reemplazando
tenemos:
)/().(
)/().()(
)()/(
BiAPBiP
BiAPBiPAPBiAP
ABiP
TEOREMA DE BAYES
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NOTASNOTAS El Teorema de Bayes se usa mucho en análisis de
decisiones. Con frecuencia, las probabilidades a priori son las estimaciones subjetivas de un administrador. Se obtiene información de una muestra y se calculan las probabilidades posteriores para emplearlas en la toma de la mejor decisión
Un evento y su complemento son mutuamente excluyentes, y su unión es todo el espacio muestral, por lo que el teorema de Bayes es aplicable siempre es para el calculo de probabilidades posteriores de un evento y su complemento
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Ejemplos aplicados
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El gerente de una empresa de Supermercados estima que la proporción de sus tiendas que alcanzarán su meta de una venta anual, basándose en experiencias anteriores estima que hay una probabilidad de 0.20 que el 60% de las tiendas alcanzaran su meta de ventas; una probabilidad de 0.50 que alcancen el 70% y finalmente una probabilidad de 0.30 de que el 80% alcancen la meta. Se selecciona al azar una tienda.
a) Cual es la probabilidad que este haya alcanzado la meta considerada?b) Dado que este negocio alcanzo la meta. ¿Cuál es la probabilidad que el 80% de las tiendas hayan alcanzado sus metas
SOLUCIONSOLUCION
Sea el evento A : Obtener una tienda que alcanza la meta fijada
Las diferentes formas de obtener un negocio que alcanza las metas fijadas, se observa mejor en un diagrama del árbol.
Ejemplo 1
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x
y
z
A
Ac
A
Ac
A
Ac
0.20
0.50
0.30
P(A/x) = 0.60
P(A/y) = 0.70
P(A/z) = 0.80
a) Cual es la probabilidad que este haya alcanzado la meta considerada?
P(x).P(A/x) = (0.60*0.20) = 0.12
P(y).P(A/y) = (0.50*0.70) = 0.35
P(z).P(A/z) = (0.30*0.80) = 0.24
P(A) = 0.71
b) Dado que este negocio alcanzo la meta. ¿Cuál es la probabilidad que el 80% de las tiendas hayan alcanzado sus metas
338.071.0
)80.0*30.0()(
)/().()/(
APzAPzP
AzP
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Ejemplo 2
Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso
a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?
b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?
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Solución:Para resolver este problema nos ayudaremos con un
diagrama de árbol;
A
B
C
D
ND
D
ND
D
ND
43%
31%
26%
8%
2%
1.6%
Definiremos los eventos;D = evento de que el producto seleccionado sea defectuoso (evento que condiciona)
A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A
B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B
C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C
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)/().()/().()/().()/().(
)()(
)/(CDPCPBDPBPADPAP
BDPBPDPDBP
DBP
%67.11116697.004456.00052.0
)/(
)016.0*26.0()02.0*26.0()08.0*43.0()02.0*26.0(
)/(
DBP
DBP
b. ND = evento de que el producto seleccionado no sea defectuoso (evento que condiciona)A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina AB = evento de que el producto sea fabricado por la máquina BC = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C
%93.3131927.095544.030504.0
)/(
)984.0*31.0()98.0*26.0()92.0*43.0()984.0*31.0(
)/(
)/().()/().()/().()/().(
)()(
)/(
NDCP
NDCP
CNDPCPBNDPBPANDPAPCNDPCP
NDPNDCP
NDCP
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Ejemplo 3
Considera una fábrica de botellas que cuenta con dos máquinas para producir sus botellas. En esa fábrica se producen 10,000 botellas al día. La máquina A produce 6,500 botellas diarias de las cuales el 2% son defectuosas. La máquina B produce 3,500 botellas cada día de las cuales el 1% son defectuosas.
Pregunta
Se selecciona una botella al azar y encuentra que está defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la botella haya sido producida por la máquina A?
Sea A el evento de que la botella seleccionada haya sido producida por la máquina A y Sea B el evento de que haya sido producida por la máquina B. El evento de que la botella seleccionada sea defectuosa se denota por D, su complemento Dc representa una botella que no es defectuosa.
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La probabilidad de que una botella haya sido producida por la máquina A es .65, pues de las 10,000 producidas, 6,500 son producidas por A. Nos interesa calcular P(A | D), la cual no se puede obtener de forma directa. Para esto recurrimos directamente a la definición de probabilidad condicional: P( A | D) = P(AnD) / P(D)
Para que una botella seleccionada al azar sea una defectuosa producida por la máquina A, debemos seleccionar primero la máquina A y de las botellas producidas allí seleccionar una defectuosa. Tenemos que
P(AnD) = P(A) P( D | A), lo que equivale a hacer la travesía en el árbol desde su raíz hasta la hoja donde obtenemos el resultado AnD. Así P(AnD) = (0.65)*(0.02.)
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Para encontrar P(D) debemos darnos cuenta que una botella defectuosa puede ser producida de la máquina A o de la B. Si examinamos las hojas del árbol, vemos que hay dos lugares donde obtenemos una botella defectuosa, AnD o BnD. Esto equivale a hacer una travesía por uno de caminos en el árbol. Estos caminos son mutuamente excluyentes, pues si caminamos por uno no podemos estar caminando por el otro. Según se muestra en la figura de al lado, el evento D = (AnD) È (BnD) y su probabilidad es entonces
calculada P(D) = P(AnD) + P(BnD).
El primero de estos términos P(AnD) ya había sido calculado. El segundo se obtiene de forma similar. Obtenemos entonces que
P( BnD) = P(B) P(D | B).
Uniendo estos resultados tenemos que P(D) = P(A) P( D | A) + P(B) P(D | B). Finalmente podemos calcular la probabilidad deseada:
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Esto quiere decir que una vez sabemos que una botella seleccionada al azar está defectuosa, la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A es .788. Dicho de otra manera, de todas las botellas defectuosas producidas, aproximadamente el 79% son producidas por la máquina A.
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¿Cómo se puede explicar que la máquina A produzca el 79% de las botellas defectuosas?
Este hecho se debe a dos factores. El primero es que la máquina A produce casi el doble de botellas que la máquina B. Aún si la tasa de botellas defectuosas fuera la misma para ambas máquinas, por el mero hecho de producir un mayor número de botellas, la máquina A produciría casi el doble de defectuosas de la máquina B. El segundo factor es que la tasa de producción de defectuosas de la máquina A es el doble de la correspondiente de la máquina B. En este caso, aún si ambas máquinas produjeran la misma cantidad de botellas, las producidas por la máquina A contendrían el doble de botellas defectuosas que las que vienen de la máquina B.
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DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES
DISTRIBUCION BINOMIAL
DISTRIBUCION POISSON
DISTRIBUCION NORMAL
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VARIABLES ALEATORIAS
La clase pasada, definimos un experimento como cualquier proceso que genere resultados bien definidos. Ahora deseamos asignar valores numéricos a esos resultados.
Para cualquier experimento en particular, se puede definir una variable aleatoria de manera que cada resultado experimental posible, genere exactamente un valor numérico para dicha variable.
Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento.
Una variable aleatoria puede clasificarse como:a) Variable Aleatoria Discreta: Solo toma una secuencia valores
b) Variable Aleatoria Continua: Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo o varios intervalos
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VARIABLES ALEATORIASDado un experimento aleatorio y su correspondiente espacio muestral se denomina variable aleatoria a la función que asigna a cada elemento del espacio muestral un número real. X: S Є RX
Ejemplo: Si se define la variable aleatoria X = número de caras obtenidas al arrojar dos monedas
¿Que valores puede tomar x?
X(SS) = 0
X(CS) = X(SC) = 1
X(CC) = 2
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VARIABLES ALEATORIASVARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Cuando toma un número contable de valores y entre dos valores consecutivos de una v.a. discreta no hay ningún número que pertenezca al recorrido de la variable
Rx = X1;X2;...,Xn,... donde cada Xi es un valor de la v.a.
Para caracterizar una variable aleatoria discreta es necesario conocer el conjunto de valores que puede tomar la variable y la probabilidad de cada elemento
Sigamos con el ejemplo X = Cantidad de caras al tirar dos monedas
P(X = 0) = P(SS) = ¼
P(X = 1) = P(SC;CS) = ½
P(X = 2) = P(CC) = ¼
Propiedades
1) P(Xi) ≥ 0 para todo Xi
2) P(xi) = 1
Función de distribución de probabilidad
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
X=0 X=1 X=2
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VARIABLES ALEATORIASVARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable es continua en un intervalo cuando puede tomar cualquier valor perteneciente al intervalo.
En general definiremos variables aleatorias continuas cuando las experiencias consistan en medir peso, altura, longitud, tiempo, temperatura, etc.
En este caso se define (en lugar de la función de distribución) una función de densidad de probabilidad que tiene las siguientes propiedades
Operar un restaurante Nro. De clientes que entran en un día
0,1,2, ….. Discreta
Discreta
Valor esperado o Esperanza Matemática E(x) = µ = x f(x)
Varianza Var(x) = 2 = (x-µ)2f(x)
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DISTRIBUCION BINOMIAL
Se debe cumplir las siguientes condiciones
1. El experimento consiste en una repetición de “n” intentos o ensayos idénticos
2. En cada ensayo es posible solo 2 resultados: Éxito y Fracaso
3. La probabilidad de éxito (p), no cambia de un ensayo a otro
4. Los intentos o ensayos son independientes
Se aplica en casos donde se quiere: el numero de éxitos o aciertos observados en los “n” intentos repetitivos.
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DISTRIBUCION BINOMIAL
La formula matemática para calcular la probabilidad de cualquier valor de una distribución binomial esta dado por:
xnx ppxnx
nxf
)1(
)!(!!
)(
Donde:n = numero de intentosp = probabilidad de éxito en cualquier intentox = numero de aciertos en n intentosf(x) = probabilidad de x acierto en n intentos
Distribución de
Probabilidad Binomial
)1()(
)(2 pnpxVar
npxE
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DISTRIBUCION BINOMIAL B(n,p)Tres clientes entran a una tienda de ropa. Con base en su experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que cualquier cliente compre es de 30%. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los tres clientes hagan una compra?.
Condiciones
a) El experimento es una sucesión de tres intentos idénticos, uno para cada uno de los tres clientes que entran a la tienda
b) En cada experimento es posible 2 resultados: Éxito : si el cliente hace una compraFracaso : Si el cliente no hace una compra
c) La probabilidad de que el cliente haga una compra es 0.30 o que no lo haga es 0.70, se supone igual para todos los clientes.
d) La decisión de compra para cada cliente es independiente de la decisión de los demás clientes.
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DISTRIBUCION BINOMIAL B(n,p)Tres clientes entran a una tienda de ropa. Con base en su experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que cualquier cliente compre es de 30%. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los tres clientes hagan una compra?.
C
NC
C
NC
C
NC
C
NC
C
NC
C
NC
1º Cliente 2º Cliente 3º ClienteValor de x
3
2
2
1
2
1
1
0
0.30
0.70
0.30
0.70
C
NC
0.30
0.70
P(x)
0.063
0.063
0.063
0.189
xx
xxxf
3)70.0()30.0(
)!3(!!3
)(
x f(x)
0
1
2
3
343.0)70.0()30.0()!3(!0
!3)0( 30 f
441.0)70.0()30.0()!2(!1
!3)1( 21 f
189.0)70.0()30.0()!1(!2
!3)2( 12 f
027.0)70.0()30.0()!0(!3
!3)3( 03 f
47
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
X=0 X=1 X=2 X=3
Numero de clientes que efectúan una compra
DISTRIBUCION BINOMIAL B(n,p)
Cual es el valor esperado del numero de clientes que efectúan una compra
Suponga que durante el mes siguiente la tienda de ropa espera que entren a la tienda 1000 clientes. ¿Cuál es el numero esperado de clientes que efectúen una compra?
= np = 1000(0.30) = 300
2 = np(1-p) = 3(0.30)(0.70) = 0.63
= 0.79
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DISTRIBUCION PROBABILIDAD POISSON
Se usa para estimar el numero de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo o espacio especificado.
Con frecuencia se usa para el modelado de tasas de llegadas en cola
Condiciones:
1. La probabilidad de ocurrencia de un evento es la misma para cualquier intervalos de igual valor o longitud
2. La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo
Función de probabilidad
!)(
xe
xfx
f(x) : probabilidad de x ocurrencias en un intervaloµ : valor esperado o promedio de ocurrenciase = 2.71828
x = 1,2,3, …...
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DISTRIBUCION PROBABILIDAD POISSONEjemplo involucrando intervalos de tiempo
Numero de llegadas al cajero automático durante un periodo de 15 minutos. Si suponemos que la probabilidad de que llegue un automóvil es la misma para cualquier periodos de tiempo de igual duración y que la llegada o no llegada de un automóvil en un periodo de tiempo es independiente de la llegada o no llegada en cualquier otro periodo de tiempo.
Ejemplo que involucra longitud o distancias
Suponga que un mes después de haber reasaltado, estamos preocupados con la ocurrencia de defectos en una sección de autopista.Suponemos que la prob. de un defectos es la misma para cualquiera de 2 intervalos de igual longitud y que la ocurrencia y no ocurrencia de un defectos en cualquiera de los intervalos es independiente de la ocurrencia y no ocurrencia en cualquier otro de los intervalos, por lo que es aplicable la distribución de Poisson
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DISTRIBUCION PROBABILIDAD POISSON
Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas.
Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la llegada de autos a un túnel de lavado, etc. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativos enteros.
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DISTRIBUCION PROBABILIDAD NORMAL Distribución de probabilidad mas importante para describir una V.A Continua
Es aplicable en gran cantidad de situaciones de problemas prácticos
Se usa con frecuencia cuando la cantidad de datos es > 30
2
2
1
2
1)(
x
exf
Observaciones:1. Las distribuciones de prob. Normales se diferencia por su media µ y su desviación estándar 2. La media, mediana y moda de la distribución son iguales y se localizan en el pico3. La Distribución de probabilidad normal es simétrica respecto a su media, las colas se prolongan al infinito y nunca tocan el eje horizontal.4. Las probabilidades para la V.A. normal están dada por el área bajo la curva.
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DISTRIBUCION PROBABILIDAD NORMAL Una distribución de probabilidad normal estándar (z) es cuando tiene µ=0 y =1
Para convertir cualquier V.A normal x con media µ y desviacion estandar a una distrib. normal estándar se usa la formula:
