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7/24/2019 sesin03-140116082302-phpapp01
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CLCULO 3
Departamento de Ciencias
Juan Carlos Broncano Torres
Derivada Parcial, Direccional, Plano Tangente
y Gradiente
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Qu direccin debe tomar el esquiador siquiere bajar la montaa rpidamente?
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En 1696el matemticoJohannBernoullianunci a lacomunidad matemtica lasolucin al problema de la
braquistocrona(curva quesigue el descenso ms rpidocuando existe gravedad quees ob!eto de estudio en elclculo de variaciones"#mostrando que la solucin era
una cicloide$ %eibni 'eton#Ja)ob Bernoulli *uillaume del+,-pital# encontraron lasolucin del problemaenunciado por Bernoulli$
s posible ncontrar una direccin de descenso mas rpido sobreuna
super!cie ?
Cur"a #ara"illosa$ %raquistcrona
.n cur"a braquistcrona# o curva del descenso ms rpido# es la curvaentre dos puntos que es recorrida en menor tiempo# por un cuerpo quecomien&a en el punto inicial con velocidad cero# que debe despla&arse a lo
largo de la curva hasta llegar al segundo punto# ba!o accin de una /uer&a degravedadconstante suponiendo que no existe /riccin$
0icloide generada por una circun/erencia$
0omparacin entre una traectoria braquistcrona# otras dostraectorias posibles$
http://es.wikipedia.org/wiki/1696http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_braquistocronahttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_braquistocronahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_variacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l'H%C3%B4pitalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l'H%C3%B4pitalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fricci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fricci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l'H%C3%B4pitalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l'H%C3%B4pitalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_variacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_braquistocronahttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_braquistocronahttp://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/16967/24/2019 sesin03-140116082302-phpapp01
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ogros de la sesin:
l 2nali&ar la sesin# el estudiante resuel"e
problemas vinculados a la gestin e ingenier3a apartir de la derivada parcial direccional usando elclculo de la gradiente# e interpretando su resultadocon las propiedades /3sicas que el tiene$
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&'()*&*+ ,*'C(*L+
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-O.*C(/- & L*+ &'()*&*+ ,*'C(*L+
jemplo
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&'()*&*+ & O'&- +U,'(O'
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,L*-O .*-0-.
4e llamaplano tangentea una super2cie en un punto Pde lamisma# al plano que contiene todas las tangentes a las curvastra&adas sobre la super2cie por el punto P$
U*C(/- &L ,L*-O .*-0-.
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jemplo,allar la ecuacin del plano tangente al paraboloideen el punto
'C.* -O'#*L
4e llama recta normala una super2cie a la recta que pasa por unpunto P es perpendicularal plano tangente$
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L* 0'*&(-.
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,'O,(&*&+ & L* 0'*&(-.
jemplo
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5etermine la ecuacin del plano tangente la recta normalal hiperboloide de dos mantosen el punto
+olucin,aciendo
tenemos que
r tanto# la ecuacin del plano tangente es7or otro lado# la ecuacin de la recta normal es
jemplo
1),,( 222 = yxzzyxF
6
2
1
2
42
22
=
=
=
=
==
==
zz
yy
xx
zF
yF
xF
062 =+ zyx
626
42
21
tz
ty
tx
=
+=
=
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jemplo,allar el o los puntos de la
es/eraen los cuales el plan
tangente es paralelo al plano
+olucin 4ea uno de estos puntos# entonces por estar en las/era
7or otro lado# por ser el plano tangente a la es/era enel puntoparalelos# sus vectores normales son paralelos# es decir: el plano
Entonces se obtiene el siguiente sistema deecuaciones5e donde obtenemos que los puntos que buscamosson
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jemplo8En qu punto de la super2cie la recta normal es paralela al vecto
:
+olucin4ea el punto que buscamos$ 4i la recta normal es
lela al vectorentonces su vector director tambin es paralelo a ;con lo cual, si:
entonces
Evaluando en esta sobre la super2cie# por lo que satis/ace suecuacin
;btenemos el siguiente sistema
< as3# el punto buscado es
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&'()*&* &('CC(O-*L
%a deri"ada direccionalde 1en la direccin dada por el vectorunitario u
est dada por
si el l3mite existe$
s
y)f(x,-)suy,sux(flimy)f(x, 21
0s
++=
u
D
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.eorema$4i / tiene sus primeras derivadasparciales continuas entonces tiene derivada
direccional en la direccin de cualquier vectorunitario u se cumple
2y1x uy)(x,fuy)(x,fy)f(x, +=
u
D
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2 C/&(0
O *U.O' ..ULO
&(.O'(*L
1=1=$>>7.?0
7.?0E%%#E5@A' J$
0lculo5i/erencial E
Antegral
7earsonEducacin
4 =1=4E@CDFF
4E@?# JDE4
0lculoDultivariable
0uarta
edicin#Dexico FF1#Edit$
homson
3
=1=
,;GGC0FF6
,;GGD''#
%.?E'0E5$
0lculo plicado7ara
dministracin#Econom3a