SOLUCIONARIO DEL CAPITULO VII – BLOQUE TEMATICO III
[Respuestas de algunos ejercicios propuestos en el T.B.O.]
Sección 4. Tabla de las derivadas fundamentales. Página 141
1) y = 6 x2 - 10 x + 3
2) 1
11
nxn
y
3) 4 23 2 4
1
3
1
2
1
xxxy
4) x
)xsin()xcos(y1
1
5) alogx
alogaey xx 1
6) 4
133
log.xlogy x
7) x
xeey xx 1
8) 52 x)xlog(.xy
9) xx exxey 22
10) xx exexy 323
11) 2
3
xy
12) 2x
exey
xx
13) xsin
y2
1
14) 2xlogy se puede expresar mediante un conveniente cambio de base: xlog
logy
2
Recuerde fórmula de cambio de base: alog
xlogxlog
b
ba
Luego, 2
2
xlogx
logy
15) 2
2
2
2
1
2
1
12
x
xx
x
xxxy
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
2
16) 22
2
22
22
1
1
1
21
x
x
x
xxy
Sección 5. Recta tangente a la gráfica de una función. Derivada a izquierda y derecha.
Página 143
1) a) 1xy b) 1xy c) xy d) 12xy e) 23xy
2) xy es una función asignada por distinción de trazos y equivale a: 0
0
x six
x sixxy
Luego, la función derivada es 0x si)x(f
0x si)x(fy
1
1 , y en x = 0 resulta:
10
10
)(f
)(fy .
En x = 0 la función no tiene derivada, pero tiene derivadas laterales distintas y finitas, por lo tanto en x
= 0 hay un punto anguloso. Observe atentamente y tome nota que la función no es derivable en x = 0.
3) Si 3
2
3 2 xxy entonces la función derivada es 33
2
xy . Luego la derivada en x = 0 resulta:
)(f 0 y )(f 0 se obtienen derivadas laterales infinitas distintas, las rectas tangentes
resultan verticales superpuestas, en consecuencia en x = 0 hay un punto cúspide. Observe atenta-
mente y tome nota que la función no es derivable en x = 0.
4) La recta 104 yx se puede escribir 104xy .
Si la recta 104xy es tangente a la curva 683 xxy entonces la pendiente m = 4 de la recta
es igual a la derivada primera de la curva y en un determinado punto. Simbólicamente se puede ex-
presar:
4y
483 2x
A continuación resuelve la ecuación y obtiene x = -2 o x = 2.
Si x = 2 entonces y = -14 , y si x = -2 entonces y = 2.
Seguidamente verifique si los puntos encontrados: (2,-14) y (-2,2) satisfacen la ecuación de la recta
tangente.
Luego resulta: 10242 )( , lo cual indica que el punto (-2,2) es el punto de contacto buscado.
Sección 6. Diferencial de una función. Páginas 146 y 147
2) Deducir la fórmula de aproximación lineal 000 xx)x(f)x(f)x(f .
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
3
Se conoce el incremento de una función )x(f)x(ff 0 y el diferencial x).x(fdf . Además
usted sabe que f es una aproximación de df en un punto x0 cuando x tiende a 0.
Si dff , entonces x).x(f)x(f)x(f 0 , pero 0xxx
Luego resulta: 00 xx).x(f)x(f)x(f 00 xx).x(f)x(f)x(f .
3) a) x)xsin( en (0,0).
)x).(cos()sin(xsin 000
x)xsin(
)x.()xsin( 01
xcosxsin
100
)cos(xcosx
00x
xsin
b) 000 x).sen(cosxcos )x.(xcos 001
1xcos
xsinxcos
00 )sin(
10 )cos(
4) a) 00xene x
000 x.eee x
)x.(e x 011
xe x 1
xx ee
10
0ee
x
x
b) )xlog(1 en x0 = 0
)x()log()xlog( 001
1011
x
)xlog(1
11
5) 00000
000
2
1
xxabaxbaxbaxbaxxfxfxf
xx.ax.xfxdfbax)x(fSi
De (1) y (2) se concluye que fdf .
Se interpreta gráficamente que la recta y = ax + b y la recta tangente a la recta dada en cualquier
punto (x0,y0) coinciden.
Sección 7. Derivación de funciones compuestas. Páginas 149 y 150
1) 16 2xxy
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
4
2) )x()xx(y 345326 52
3) 12
2
xy
4)3
1
xy
5) x
y51
5
6) )(x
y 12
1
7) xcotxsin
xcosy
8) )xcos()x(siny 2
9) xsin)x(cosy . 3 2
10) 22 .xcosy
11) xsiny 33
12) 3332 .)x(cos.)x(siny
13) 12x
xy
14) 122
12
1
.)x(y
15) 2x4
xy
16) )()x(y 112
12
1
17) xcos.xsiny103
10
7
18) )x(log
x.)x(log)x(log.
x
x
y1
1
111
1
2
2
2
2
19) 2
11
1
1
xlog
x).xlog()xlog(.
xy * Para derivar debe realizar un conveniente cambio de base.
20) 2112 22
.e)(e)x(ey xxxx
21) xsen
.xcot.ey xcot
2
12
2
para calcular la derivada de la cotx, recuerde que xsin
xcosxcot .
22) )xsin(.log.y xcos 22
23) .x
.logy.
x2
3
1
3
122
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
5
24) )xsin(.xcos
y1
25) x
).xlog(x
.xlog
y1
211
26) )xsin(xsin)x(cos)x(cos)x(sin.y 223
1
27) 11
)xlog(.xx
.x)xlog(.ey xxlog x
28) 22
1 1
xx
xlogxy x
29) x
)xlog(..xx
).x()xlog(..ey xxlog x 122
1122 1212
30) xsin
xcos.xxsinlog.x)xsin(y x
21
21
2
1
31) x
).xsin()xlog().xcos(xy xsin 1
32)1
21
11
1
21
12
22
2
212
x
x).xlog()xlog(.
x.x
x
x).xlog()xlog(.
x.ey
xlogxlogxlog
33) 1
21
11
2
22
x
x).xlog(xlog
x.xy
xlog
34) ).log.)t(
(.))t(log()t(f 121
113
2
12
1
2
35) 1
11
1 2 t.tt
)t(t.
t
tx
36) )t
.)t(loglog.)t(
tlog.t(.tx
)t(log 11
21
2 222
122
37) 2
2212
1
21121
2
t
t.ttlog.t.tx
t
38) )(.e.e
x t
t1
1
1
39) 211
1
12
1
21log.t
.tlog
x
40) )1.1t
1.tlog)1t(log.
t
1(.)1t(x tlog
41) tx
log.x
x
t4
14
14
42) )(.e)e( tt 222
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
6
43) t
)ttan()tlog().t(sec.tt
)ttan()ttan(
2222 2
44) )))t((.tt
.t)tt(log.(.)tt())tt(( tt 21
12
11
1
11111
45) u.log.u
.
ulog
x 2211
1
12
122
21
46) 22
11
3
2
3
21
11
3
21
1
3
21
3
21
)u(.
u
.uu
log.u
.uu
uu
47) 2
22
1
21
11
y
y).ylog(ylog.
y.y)y(f
)ylog(
48) xsin.xcos
.x
)xcos(log.x
.)xcos())xcos(( xx
2
112
122
2
11
49) x
x)xlog(
x.xx xx
2
1
50) )x(.e)e( xx 222
51)
xx
xlog.
xx.
x
.xx
log.x
y
xx
11
111
11
1
11
111
11
2
52) 22
22222
22
2
2
22 222
)e(
.e.)xsinx(e.))x.xcos(x(.
xsinx
e
e
xsinxlog
x
xxx
x
53) 2
44
4
2
2
x
xee
xx
54) x
.xxlog..)x(log)xlog xx 11
55) xxxxxx eexxe.e.xxeex 222222222 2222121
56) 1x
x2.)1x(.2
1.x1x.1
1x
x2
2
1
22
2
57) 3
2
2
121
21
1121
x
.xsin.xcos
.xcoslogxcoslog
58) ))(.e.xe.(.)e.x(.)e.x( xxxx 113
1 113
2
13 1
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
7
Cálculo de diferenciales: Recuerde que df = f´(x). dx
59) dxx
df2
1
61) dxx
.log.df x
2
133
62) dx.df 1
63) dx.xsin.edf xcos
64) dxx
)xlogdf
1
15 4
66) a)
)x(x 02
111
xx2
111
xx
12
11
2
1
12
1
0xx y 11
0xx
Sección 8. Los conceptos medio y marginal. Página 152
1) Resuelto en la ADDENDA Nº 3 - Como plantear y resolver problemas del Bloque Temático III.
2) Dado el costo medio 42
1x)x(C calcule el costo marginal hallando primero la función costo:
xxx.x)x(C 42
14
2
1 2 .
Para encontrar el costo marginal sólo basta derivar la función costo:
4422
1xx.)x(C
El costo aproximado de la décima unidad es 13499 )()(C
3) Si xx
)x(I 1002
2
entonces el ingreso medio es: 1002
x
x
)x(I)x(I y el ingreso marginal
100x)x(I .
4) El ingreso aproximado por la venta del artículo número 41 es 601004040)(I .
El ingreso exacto es )(I)(I 4041 3259,5-3200=59,5
5) a) La función demanda es 236 xp , cuyo dominio de definición es Dom p= [0,6] y el conjunto
imagen Im p =[0,6] .
b) La función ingreso es 236 xx)x(I , la función ingreso medio: 236 x)x(I ; y la función
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
8
ingreso marginal resulta 2
22
36
36
x
xx)x(I .
c) Si es cierto. Pues px
xp
x
)x(I)x(I .
Sección 9. Invariancia de la diferencial. Derivación de funciones implícitas. Página 157
1) 322 yx 022 yyx y
xy
2) 012 xyyx 02 2 yxyyxxy xx
yxyy
2
2
3) 222 yxy 022 2 yxxyyy 22
2
xy
xyy
4) 0523 yx 0023 y 2
3y
5) 43 3223 yxyyxx 036323 2222 yyyxyyyxxyx
22
22
36
323
yxyx
yxyxy
6) )xycos()xysin(x yxy).xysin(yxy).xycos(x)xysin(
)xysin(x)xycos(x
)xysin()xycos(xy)xysin(yy
2
7) yxye x 3 yyye x 13 2 1
31 3
xe
yy
8) 032 2 )yxlog(yx 01
62yx
yyy
yxy
yxy
16
12
9) 211
yx 0
122 y
y
x
2
2
x
yy
10) 23122
yx 03212 yyx 3
1
y
xy
11) 22
1xy
Sección 10. Derivadas y diferenciales sucesivas. Página 159
1) xe.xy xx xeey xxxxx xeexeeey 2
2) xe.xy 2 xx exxey 22 242 xxey x
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
9
4) )xlog(.xy 1)xlog(y x
y1
5) )xlog(siny xsin
xcosy
)x(siny
2
1
Calcular las derivadas sucesivas:
6) f(x)= ex; f (x)= ex; f (x) = ex; f ´ (x) = ex; ……..; f n (x)= ex
8) f(x) = sinx; f (x) = cosx; f (x) = -sinx; f ´ (x) = - cosx; f iv(x) = sinx …..
Sección 12. En busca del máximo y del mínimo absoluto. Página 164
1) 11232 23 xxxy en 20,
1º) Calcular el valor de la función en los extremos del intervalo:
10 )(y e 52 )(y
Antes de seguir avanzando es conveniente hallar la derivada primera:
1266 2 xxy
2º) Hallar los eventuales puntos interiores del intervalo donde la derivada primera es cero:
2 ó 112
186
12
288366012660 2 xxxxxxy
Se considera solamente x =1 porque pertenece a 20, , en cambio x =-2 se descarta.
61)(y
3º) Hallar los eventuales puntos interiores del intervalo donde la función no es derivable.
La función no tiene puntos no derivables en el intervalo daddo, pues se y por lo tanto es deri-
vable en todo su Dominio de Definición.
De 1º, 2º y 3º) se concluye:
Máximo es 5 y se alcanza en x = 2 (punto de máximo).
Mínimo es -6 y se alcanza en x = 1 (punto de mínimo).
2) Máximo es log 2 y se alcanza en x = 0, Mínimo es 0 y se alcanza en x = 1 y x = -1 (puntos de míni-
mos). Resuelto en la ADDENDA Nº 3 - Como plantear y resolver problemas del Bloque Temático III.
3) Máximo es 2e y se alcanza en x = 0 (punto de máximo)
Mínimo es 1 y se alcanza en x = 2 y x = -2 (puntos de mínimos).
4) Máximo es 2
1 y se alcanza en x =
2
1 (punto de máximo).
Mínimo es -1 y se alcanza en x = 0 (punto de mínimo).
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
10
11) Beneficio máximo: 44000.
Nivel de producción que hace máximo el beneficio: 150. (Tenga en cuenta que el beneficio máximo se
alcanza en x = 150).
13) Las gráficas solicitadas son:
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7
20
40
60
80
I(x)
C(x)
a) x =2 . Resulta B(x) = 0 (beneficio es nulo). Punto de no ganancia no pérdida.
b) x = 6. Resulta B(x) = 0 (beneficio es nulo). Punto de no ganancia no pérdida
c) 0 < x < 2. Resulta B(x) < 0, se produce pérdida, pues el costo de producción es superior a los ingre-
sos percibidos por la venta de las unidades producidas.
d) 2 < x < 6. Resulta B(x) > 0, reditúa ganancia, porque los ingresos percibidos superan los costos de
producción.
e) 6 < x < 10. Resulta B(x) < 0, se produce pérdida, pues el costo de producción es superior a los in-
gresos percibidos por la venta de la unidades producidas.
f) x = 4. La comercialización de 4 unidades reditúa ganancia, el ingreso percibido ($24) supera los
costos de producción de las cuatro unidades ($20).
14) 922 xx)x(C
a) x
x)x(C9
2 en ,0 .
1º) x
xlímx
92
0 y
xxlímx
92
2º) 09
102x
)x(C 399
1 2
2xx
x3x o 3x (se descarta porque no
pertenece al dominio establecido). Luego, solo halla el valor 4)3(C .
3º) La función es derivable en todos los puntos del dominio establecido. (Advierta que la fun-
ción no es derivable en x = 0, pero 0 no pertenece la dominio.)
Respuesta: De 1º, 2º y 3º) se concluye que el menor costo promedio es 4 cuando x = 3.
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
11
b) 22x)x(C , luego resulta 43)(C .
15) Como se observa en el problema precedente el costo promedio mínimo se alcanza en x = 3, don-
de la derivada de la función costo promedio es cero, es decir: 0)x(C , pero usted sabe que
x
)x(C)x(C .
Seguidamente,
)x(C)x(C
x
)x(C)x(C
)x(Cx).x(C
)x(Cx).x(C
x
)x(Cx).x(C
x
)x(C
0
0
0
2
16)
a) Si 2003
1xp entonces la función ingreso es xxx.p)x(I 200
3
1 2 .
Luego la función ingreso marginal: 2003
2x)x(I .
b) El máximo ingreso se debe determinar en el dominio: ,0
1º) 00 )(I )x(Ilimx
2º) 30002003
20 xx)x(I 30000300)(I
3º) No hay puntos no derivables.
De 1, 2 y 3) el ingreso máximo es 30000 cuando se venden 300 unidades.
Sección 13. La elasticidad. Páginas 167 y 168
2) E(2) = 13
4 Indica que producir un artículo adicional cuesta más que el costo medio de los ya fa-
bricados.
E(8) = 133
64 (la misma interpretación).
3) Dada la función costo promedio 209
1 2 xx)x(C se puede hallar la función costo:
xxx)x(C 209
1 23
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
12
La elasticidad de costo es: )x(C
)x(C)x(E y además se sabe que 1)x(E , luego resulta:
019
2
09
2
209
1202
3
1
1
209
1
2023
1
1
2
22
2
2
xx
xx
xxxx
xx
xx
)x(C
)x(C
0x (se descarta porque la función costo promedio no está definida en x = 0), o bien, 2
9x .
Respuesta: Cuando x = 2
9 la elasticidad de costo es unitaria.
4) a) La ecuación de la demanda es 270900 ppx para el precio p = 40
La elasticidad de la demanda es: p
p
p
)p(x
)p(x)p(
70900
270 , en consecuencia cuando el precio
es p = 40 resulta: 3
4
300
400
16002800900
4010
407040
900
807040
.)( Elasticidad de la demanda.
Para finalizar, el valor absoluto 13
4
3
440 )( indica que se trata de una curva de demanda
elástica.
b) 225 px p = 4
Si procede de la misma forma que en el inciso a), así resulta:
2
2
2
2
2525
252
2
p
p
p
p
p
p
)p( ; 9
16
1625
164 )( ; 1
9
16
9
164 )( demanda elástica
c) En primer lugar, escriba la demanda en función del precio, es decir,
3600
3
600
px
xp y la elasticidad de la demanda resulta:
p)p(
3600
600 (1)
Si x = 50 entonces p = 11,32
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
13
reemplace el valor p en (1) 0519633600
6003211 ,
,),(
y se determina 10510513211 ,,),( demanda elástica.
5) 250102510
1pxxp
Si la demanda es unitaria entonces 1)p(η , y resulta:
125010
101
25010
10
p
p
p
25010
10
p
p =1 (se descarta porque la elasticidad de la demanda siempre es negativa) o 25010
10
p
p = -1
512
25020
2501010
125010
10
,p
p
pp
p
p
Si p = 12,5 entonces 12525051210 ),(x
Respuesta: x = 125
Demanda Unitaria: Una disminución en el precio provoca un aumento porcentualmente igual a la can-
tidad demandada.
6) Está resuelto en ADDENDA Nº 3 - Como plantear y resolver problemas del Bloque Temático III.
Sección 16. El Teorema de L Hospital.. Página 177
1)2
1
2
1
20
010020
x
xsinim
x
xsinim
x
xcosim xx
*
x
2) 11
1
1
0
020
2
00xcos
imxcosimx
xtanim xx
*
x
3) 5
1
12
32
0
0
6
2322
2
2x
xim
xx
xxim x
*
x
4) 31
33
0
01300 log
logim
xim
x
x
*x
x
5)30
1
x
xlogim
x
6) 05x
xlogim
x
BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII
14
7) 03 x
eim
x
x
8)
x
x
e
)xlog(im
10
1
9) 01
1
0
0
10
0
2
000xlim
x
xlim
x
xloglim.xlogxim
xx
*
xx
10) 00 xlog.ximx
11) 022
02
2
xxxx
*
xxx
xe
ime
xim
e
xim.exim
12) eelim
x
xe
lim
x
elim.xelim x
x
x
x
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