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TÉCNICAS DE CONTEO

Integrantes:• Daniel Alvarado• Andrés Alvarado• Elmer Romero

Nivel:

7mo Nivel

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Técnicas de conteo.

El principio fundamental del conteo:

Si un evento pude suceder o realizarse de n1 maneras diferentes, y si continuando el procedimiento un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes y así sucesivamente entonces el numero de maneras en que los eventos puede realizarse en el orden indicado es el producto: n1.n2.n3.n4….

Ejemplo:6.2.6 = 72 (numero de maneras)26.26.26.10.10.10.10 = 175’ 760.000 (numero de placas)24.26.26.10.10.10.10 = 162’ 240.000

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Notación factorial:El producto de números enteros positivos desde 1 hasta n inclusive se emplea con mucha frecuencia en matemática y lo demostraremos por el símbolo especial n! (se lee n factorial).

Ejemplo:5! = 1.2.3.4.5 = 1208! = 1.2.3.4.5.6.7.8 = 40 320n! = 1.2.3.4…..n0! = 1

Permutaciones:Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama permutación de los objetos (tomados todos la vez). Una ordenación de un numero r de dichos objetos (r<=n), en un orden dado se llama una permutación r ó permutación de los n objetos tomados r a la vez P (n, r).

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Ejemplo:S = {a, b, c}

P(n,r) = n (n-1) (n-2)….(n-r+1)=

P (4,1)= 4 P (4,2)=12 P (4,3) = 24 P (4,4) = 24

a ab ba abc abd acd bcd abcd b c d

b ac ca acb ___ ___ ___ abdc ___ ___ ___

c ad da bac ___ ___ ___ acbd ___ ___ ___

d bc cb bca ___ ___ ___ acdb ___ ___ ___

 

bd db cab ___ ___ ___ adbc ___ ___ ___

cd dc cba ___ ___ ___ adcb ___ ___ ___

r)!-(n

r)!-(n 1)r-.(n2)-(n 1)-(nn

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Fórmula:

r = n

ESTADISTICAS

!),( nnnP )!(

!),(

rn

nrnP

!1

!

!0

!),( n

nnnnP

!2!.2!.2!.3

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Combinación

Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos tomados r a la vez, es un subconjunto de r elementos. En otras palabras una combinación es una colección de r o n objetos donde el orden no se tiene en cuenta.

Notación

C(n,r) , nCr

Fórmula

C(n,r) =n!

(n - r)! r !

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Ejercicios

Un restaurante tiene 6 postres diferentes. Encuentre el número de formas en las que un cliente puede escoger 2 de los postres.

n 6postres

r 2formas

C (6,2)=6!

(6 - 2)! 2 !

=

C(n,r) =n!

(n - r)! r !

4! 2!

6!

=720

24 x 2= 15 //

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Ejercicios

Un estudiante debe responder 10 de 13 preguntas.

a)Cuántas elecciones hay C (13,10)=13!

3! 10 != 286 //

b)Cuántas habrá si el estudiante debe responder las 2 primeras preguntas

C (11,8)=11!

3! 8 != 165 //

c)Cuántas si el estudiante debe responder la primero o la segunda ¿Pero no ambas?

C (11,9)=11!

2! 9 != 55 P1

P2 C (11,9)=11!

2! 9 != 55

P1+P2=110//

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EjerciciosEl alfabeto inglés tiene 26 letras de los cuales 5 son vocales.

1. Cuántas palabras de 5 letras formadas por 3 consonantes diferentes y 2 vocales diferentes se pueden formar.

26 letras 21 consonantes

5 vocales5 letras

3 consonantes

2 vocales

C (21,3) C(5,2). 5!= 1330x10x120=1'596.000//

2. Cuántas de estas contienen la letra b.

C (20,2) C(5,2). 5!= 190x10x120=228.000//

3. Cuántas contienen la b y la c.

C (19,1) C(5,2). 5!= 19x10x120=22.800//

4. Cuántas empiezan con b y terminan en c

C (19,1) C(5,2). 3!= 19x10x6=1140//

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Ejercicios

5. Cuántas empiezan en b y contienen c.

C (19,1) C(5,2). 4!= 19x10x24=4.560//

6. Cuántas contienen las letras a y b.

C (20,2) C(4,1). 5!= 190x4x120=91.200//

7. Cuántas empiezan en a y contienen b.

C (20,2) C(4,1). 4!= 190x4x24=18.240//

8. Cuántas contienen las letras a,b y c.

C (19,1) C(4,1). 5!= 19x4x120=9120//

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Ejercicios

Adriana tiene tiempo para jugar a la ruleta como máximos 5 veces. En cada juego ella gana o pierde 1 dólar. Ella empieza con 1 dólar y dejará de jugar antes de 5 juegos si pierde todo el dinero.

a) Encuentre el # de formas como puede ocurrir las apuestas.

b) En cuantas de ellas se detendrá entes de jugar 5 veces.

c) Cuántas de ellas le dejará sin dinero.

1

2

3

4 2

2

0

5 3

6 4 4 2

3 1

4 2 2 0

1

02

3 1

4 2 2 0

a) 14 formasb) 2 vecesc) 4 veces

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Introducción a la Probabilidad

Espacio muestral y eventos El Conjunto “S” de todos los resultados posibles de un experimento se llama espaciomuestral “e.m.”. Un resultado particular, es un elemento del espacio muestral sellama puerto muestral. Un evento A es un subconjunto el espacio muestral S, elconjunto vacío y el espacio muestral S de por si, son eventos.Podemos combinar eventos para formar nuevos eventos, utilizando las diferentesoperaciones entre conjuntos.

Es el conjunto que sucede si y solo si A o B o ambos suceden. Es el conjunto que sucede si y solo si A o B suceden simultáneamente. Complemento de A.- Es el evento que sucede si y solo si A no sucede.

2 eventos se llaman mutuamente exclusivos si son disjuntos, es decir, enotras palabras 2 eventos son mutuamente exclusivos si no pueden sucedersimultáneamente.

BA

BACA

...________#

________#)(

Smeeventoelsucederpuedequemanerasde

AeventoelsucederpuedequemanerasdeAP

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Axiomas de Probabilidad

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