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TEORÍA DE CONSOLIDACIÓN
TEORÍA DE CONSOLIDACIÓN
ECUACIONES DEL ESTUDIO DE CONSOLIDACIÓN.
Terzagui (1925), propuso la primera teoría para considerar la
consolidación unidimensional en suelos arcillosos. Se basa en
las siguientes suposiciones:
1.- El sistema arcilla agua es homogéneo.
2.- La saturación es completa.
3.- La compresibilidad del agua es despreciable.
4.- La compresibilidad de los granos de suelo es despreciable.
5.- El flujo de agua es solo en una dirección.
6.- La Ley de Darcy es válida.
wgdudh=
dx
y
x
z
dy
dz
Qz , Vz
st
Se toma un elemento de suelo que se este consolidando para
deducir una expresión matemática que refleje el proceso de
consolidación.
www ggg dudhdhduhu ===
),( tzfu =
varCaudal de salida Caudal de entrada iación del
del agua del agua caudal
=
Entonces:
zV Voldxdydz
z t
=
Aplicando la Ley de Darcy:
z
hKiKV zz
== como
WW z
ui
uh
gg
1
=
=
sale entra
VolQ Q Q
t
= =
(1)…
t
VoldxdyVdxdydz
z
VV z
zz
=
1
W
uK
z Voldxdydz
z t
g
=
2
2
vVK u Vdxdydz
t tzwg
= =
(2)…
sV VVV =
sv
s
v eVVV
Ve ==
sV
1 11
Vs
s s s
VV V Ve V
V V V e= = =
Como:
2 2
2 2
.ss
V eK u K u edxdydz dxdydz V
t tz zw wg g
= =
También:
t
e
ez
uK
=
1
12
2
wg………. (3)
Definiendo av = coeficiente de compresibilidad
=
eav
t
u
e
a
z
uK v
=
12
2
wg
t
u
z
u
a
eK
v
=
2
21
wg
),( tzfu =
; pendiente en la curva de compresibilidad
sustituyendo en (3)
quedando la expresión como:
……. Ecuación diferencial del proceso de
consolidación unidimensional con flujo vertical(4)
=
=
=
=
==
ta
t
e
ta
t
e
t
e
t
e
tt
tpara
v
v
t
'
'
' 00
(4) se pudiera expresar como:
mv : coeficiente del cambio volumétrico = e
av
1
t
u
z
u
m
K
v
=
2
2
wg
Definiendo el coeficiente de consolidación
ww gg vv
vm
K
a
eKC =
=
1…. Queda la ecuación:
t
u
z
uCv
=
2
2
u: exceso de presión sobre la presión hidrostática
en función de la profundidad y del tiempo
Para resolver la ecuación se plantean las condiciones de borde
2H 0 0 2
0 2 0
t z H u P
t z H u
= =
= =
Solución: (aplicando Series de Fourier)
=
=
0
1
4
12
2
2
12
12
4
n
ta
eK
H
n
v
H
znsen
nPu wg
Para simplificar se supone que
2 2 2
1v v
v vv
K e C CtT t T t
a H H Hwg
= = = H: máx. altura de recorrido.
P
Quedando: vTzfu ,=
=
=
0
4
12
2
12
12
4
n
Tn
v
H
znsen
nPu
Quedando: vTzfu ,=
se define:
Grado de consolidación a una profundidad z y un tiempo t; como:
2H
ΔP
z
ΔP-u u
'Diagrama de
1001100%
=
=
P
u
P
uPuz
Grado medio de consolidación:
2H
ΔP
2
0% 1002
H
P u
u dzP H
=
Resolviendo la ecuación queda:
10012
81%
0
4
12
22
22
=
=
n
Tn
v
nu
= )(% vTfu Relación Teórica
%u = Porcentaje promedio de consolidación
Tv = Factor tiempo
%u Tv
0 0.000
10 0.008
20 0.031
30 0.071
40 0.126
50 0.197
60 0.287
%u Tv
70 0.405
80 0.565
90 0.848
100 ∞
Tv (E log)
%u (E nat)
(E nat)
%u (E nat)
vT
Se desarrollaron ecuaciones empíricas para %u en función de Tv
2
100
%
4%60%
=
uTu v
uTu v %100log933.0781.1%60% =
Relaciones Teóricas: vs TVu%
(E nat)
%u (E nat)
90%
60% 1.5 x
0%
50%
100%
Tv 50
Tv (E log)
%u (E nat)
Parábola
Casagrande Taylor
vT
METODO DE CASAGRANDE:
- Papel semi-logarítmico.
- Se define el 0%, el 100% y el 50 %
de consolidación.
100%
0%
y
y
tt/4
50%
t (E. Log.)
L. ext (E.N.)
METODO DE TAYLOR:
- Raiz del tiempo .
- Se define el 90% de consolidación.
90%
0%
L. ext (E.N.)
x
15% de x
t
CURVAS DE CONSOLIDACIÓN REAL
Se ajusta la curva de consolidación real a la teórica para obtener Cv por
cualquiera de las dos metodologías (Taylor o Casagrande)
“Taylor” obtenemos Tv90 ; t90
902902t
H
CTt
H
CT v
v
v
v ==
“Casagrande” obtenemos t50
502502t
H
CTt
H
CT v
v
v
v ==
Tv50 y Tv90 los tomamos de la teoría de consolidación.
