TEORÍA DE CONJUNTOS

Haydeé Carrero Silva

Cristhian Garbanzo Méndez

Guillermo Brenes Soto

TEORÍA DE CONJUNTOS

Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos.

Una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos.

La pertenencia de un elemento “a” a un conjunto A se indica como a A.∈

Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B A.⊆

CONJUNTO N (NÚMEROS NATURALES)

Expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas.

Los números naturales van de uno en uno desde el 0.

Solamente expresan valores positivos.

N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ... ...}

CONJUNTO Z (NÚMEROS ENTEROS)

El conjunto de los números enteros es ilimitado en sentido de los negativos y los positivos.

Z={... ... ... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ... ... ...}

CONJUNTO Q (NÚMEROS RACIONALES)

Está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es “a”, es un número entero y el denominador “b”, es un número entero distinto de cero.

Q = { a / b tal que a y b Z; y b 0 }

Ejemplo: Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

CONJUNTO R (NÚMEROS REALES)

Incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes y algebraicos)

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas

CONJUNTO C (NÚMEROS COMPLEJOS)

Extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene.

Designa como C, siendo R el conjunto de los reales se cumple que RСC .

CARDINALIDAD

Es el número de elementos que pertenecen a un conjunto. Se denota por el símbolo n, aunque también se utilizar el símbolo #.

1. Número Cardinal: Nos referimos al número de elementos que tiene un conjunto

2. Numero Ordinal: Nos referimos al número natural que corresponde a cada uno de los elementos del conjunto al contarlos

CARDINALIDAD

SE DETERMINAN DE DOS FORMAS:

Por Extensión.

Cada elemento del conjunto es nombrado individualmente.

Por Comprensión.

Es cuando los elementos que forman el conjunto, enuncian una propiedad que los caracteriza a todos.

CONJUNTO FINITO.

Es aquel cuyo elemento se puede contar en forma usual desde primero hasta el último.

Un conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con un conjunto del tipo {1, 2, 3, ..., n}, donde n es un número natural

Ej:

A= {El número computadoras del salón de clase}

B= {275 páginas del libro}

C= {números impares de 5 al 21}

CONJUNTO INFINITO.

Es aquel cuyo elemento al contarlos no se llega a un último elemento del conjunto

Propiedades

La unión de dos o más (incluso una cantidad infinita) de conjuntos infinitos es un conjunto infinito.

Cualquier conjunto que contenga un conjunto infinito es infinito a su vez.

El conjunto potencia de un conjunto infinito es infinito a su vez.

A= {x E Z; x >2}

B= {x/x Es un número real}

CONJUNTO UNIVERSO

Contiene todos los elementos posibles para un problema particular en consideración.

Se denota con el símbolo U.

Si A es el conjunto de los presidente de Costa Rica, podemos definir como U el conjunto de todos los costarricense.

CONJUNTO VACÍO

No posee elementos y se denota con el símbolo Ø

Se da porque la condición que se pone sobre elementos no es satisfecha por ningún elemento del universo predefinido.

Ejemplo.

Sea U el conjunto de todos los seres humanos. Definamos como A el conjunto de todas las personas con 6 piernas y 3 ojos, entonces A= Ø.

SUBCONJUNTOS.

En conjuntos notamos que existen conjuntos grandes y pequeños y es necesario establecer algún tipo de jerarquía entre ellos.

Decimos que A es un subconjunto B si todo elemento de A( x Є A) también pertenece a B(x Є B), y escribimos A С B.

CONJUNTO POTENCIA

Dado un conjunto A, al conjunto de todos los subconjuntos de A se le llama conjunto de partes de A o el conjunto de potencia de A, y se denota como P(A).

Sea A= {x,1}, entonces P(A)={Ø, {x}, {1}, A}.

"Las Matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la Filosofía."

Isócrates