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UNIDAD 4CALCULO DIFERENCIAL
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S en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo
sustituimos por x tenemos que la definicin queda
En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, la definicin
nos queda de la siguiente forma!
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Funcin dei!"d"."ada la funcin f#x$ contin%a en el intervaloabierto &o denominamos funcin derivada a!
S en lugar de considerar h el incremento de la variable
independiente x lo sustituimos por x tenemos que la definicin
queda!
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4.2 LA INTERPRETACIN GEO!TRICA DE LADERI"ADA.
La derivadade una funcin en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente enLa pendiente est" dada porla tangente del "ngulo #ue forma la recta tangente a la curva (funcin) con el e$e de las abscisas, e
La derivada de una funcin mide el coeficiente de variacin de dica funcin! %s decir, provee u
matem"tica de la nocin delcoeficiente de cambio!
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Respecto del eje
de un plno c!tes"no de dos d"#ens"ones$ %o! eje#plo s" to##os l&eloc"dd de l'o( sucoe)c"ente es l cele!c"*n(
La cual mide cu"nto cambia la velocidad en un tiempo
dado!
%l coeficiente de cambio indica lo r"pido #ue crece (o decrece) una funcin en un punto
(ra&n de cambio promedio)
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4.# Concepto de diferencia$. Interpretacin %eo&'trica de$a( diferencia$e(.
La forma en #ue emos abordado el concepto de derivada, aun#ue existen varios conceptos, fu
larelacin de la pendiente de la l'nea recta *f (x) #ue era tangente a la funcin! +ara un punto
podemos llegar a la definicin de la derivada f (x) vimos #ue f (x-) es la pendiente de la re
la curva en x*x-!
%l diferencial se puede tomar en el sentido geom.trico como la elevacin de la tangente desde
#ue
se toma el diferencial!
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/ecu.rdese #ue la derivada de la funcin en el punto es la pendiente de la recta tangente
punto,
como sabemos #ue la tangente de un "ngulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (i
cateto contiguo (incremento de x) de un ipot.tico tri"ngulo rect"ngulo, slo a #ue des
#ue
e#uivale a nuestro diferencial!
+"st 'eo#,t!"c#ente( l ele&c"*n se p!oduce &e!t"cl#ente p!t"! del punto eEl "nc!e#ento
-ue se to#e !ep!esent! el lej#"ento o!"ontl -ue ' desde el punto en
As l ele&c"*n de l tn'ente -ue se o3ten' co#o !esultdo depende! del puntoo!"ontl -ue se to#en( -ue en l .o!#uls #te#t"cs estn de)n"dos !espect"&
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4.4 PROPIEDADE) DE LA DERI"ADA
+ropiedades de las Derivadas
Las derivadas forman una parte importante del c"lculo!
0ablando en t.rminos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variacin de la salida
una funcin as'
como var'a la entrada de la funcin!%n base a la definicin anterior est" claro #ue la salida de la funcin es una funcin de la entr
de la funcin!
Las derivadas tienen algunas propiedades especiales #ue son importantes estudiar antes de sa
lleno en el tema!
+uesto #ue estas propiedades resuelven los problemas de una manera me$or m"s convenien
con un me$or
enfo#ue acia el tema!1lgunas de las propiedades m"s importantes son las siguientes:
-! 2i la funcin f(x): 3 4 5 es diferenciable en un punto +, entonces se
puede concluir #ue la funcin f(x) es
continua en el punto p!
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6! La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las do
individualmente! La misma regla aplica tambi.n para la resta de dos derivadas! %sta reg
por el nombre de la regla de la linealidad!
'( )a derivada de la multiplicacin de una cantidad escalar con una funcin es igual a cuan
escalar
se multiplica a la derivada de la misma funcin(
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*( )a derivada de un n%mero constante es siempre igual a cero(
( )a diferenciacin de una variable con respecto a si misma producir uno(
( )a derivada de la multiplicacin de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicac
funcin con la derivada de la segunda funcin la multiplicacin de la segunda funcin cprimera funcin( Esta regla se conoce ms com%nmente con el nombre de la regla del p
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.( )a derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la
derivada de la misma
variable elevada a una potencia reducida por uno( Esta regla es me/or conocida
regla de la
potencia( Es esencial que n sea un n%mero real para que la propiedad anterior s
0( )a derivada de la divisin de una funcin con alguna otra funcin es lo mismo que la
multiplicacin de la primera funcin con la derivada de la segunda funcin la multiplic
funcin con la derivada de la primera funcin con el cuadrado de la segunda funcin( 1
no debera ser igual a cero( Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente
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2( )a regla de la cadena es una propiedad bastante comple/a se utili3a para fu
compuestas4 es decir
una funcin que es impuesta sobre cualquier otra funcin( "e dos funciones dife
f#x$ que haa
en una funcin compuesta h#x$ se define como,
h#x$ = g#f#x$$ = #g 5 f$#x$
6ara la funcin anterior h#x$ la derivada puede ser calculada usando la regla de
siguiente forma,
)a 7egla de la cadena slo puede ser usada cuando existen dependencias en c
funcin, en otraspalabras, para funciones compuestas( 8bserve un e/emplo resuelto con la regla
d#x*$9dx = :d#x*$9dx;
= #*x*
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4.# Re$%" de %" c"den".
Esta propiedad asegura que si y = f(x)es una funcin derivable en un cierto intervalo &
z = g(y)es otra funcin derivable definida en otro intervalo que contiene a todos los valores #im
entonces la funcin compuesta
definida por #g o f$ #x$ = g:f#x$;, es derivable en todo puntoxde I se obtiene
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7egla de la cadena para la funcin potencial
Se sabe que la derivada de una funcin f(x) = xmes f'(x) = m xm - (
Si en lugar dexse tuviese una funcin u(x), la derivada de u(x)m
aplicando la regla de la cadena, ser!
:u(x)m;?= m u(x)m - u'(x)
6ara simplificar la notacin, a partir de ahora, se escribir simplemente uen lu
1s,
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@alcular la derivada de f(x) = (x> +)'.
Resolucin:
Si u = x> + ,u'= >x
En este caso m= '
f'(x) = ' #x>+ $>A >x= x#x>+ $>
Eje#plo
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Re$%" de %" c"den" &"" %"'(unci)ne' *i$)n)+,*ic"'
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C"%cu%" %" dei!"d" de f(x) = sen(sen x)
Resolucin:
Si u = sen x, u' = cos x
f'(x) = (sen(sen x))' = u' cos u = cos x cos(sen x)
-"%%" %" dei!"d" de g(x) = sec (x / 10
Resolucin:
u = x> - 4u' = >x
g'(x) = (sec(x> - ))' = u' sec u tg u = >x sec(x> - ) tg(x
6@alcular la derivada de h(x) = sen'x>
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4.* +R,LA) DE DERI"ACIN - +R,LA) DE DI+ERENCIAC
Fo!#uls de De!"&c"*nI dc 0
L de!"&d de un constnte es ce!oII d8 1L de!"&d de un &!"3le con !especto s" #"s# es l un"dd$III d 9 u : & ; < = du : d& > d