UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN
AREQUIPA
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS
“FUNDAMENTO MATEMÁTICO DE MÉTODOS
GEOESTADÍSTICOS Y SU APLICACIÓN EN LA
ESTIMACIÓN DE YACIMIENTOS MINEROS”
Tesis presentada por:
BACH. EDGAR MICHEL MARÍN BALLÓN
Para optar el Título Profesional de:
Licenciado en Matemáticas
AREQUIPA – PERÚ
- 2016 -
ASESOR:
MSC. MARTÍN MEDINA VILCA
MIEMBROS DEL JURADO:
Dr. Octavio Roque Roque
Presidente
Mg. Sergio Aquise Escobedo
Integrante
Lic. Luis Guerra Jordan
Secretario
PRESENTACIÓN
SEÑOR DECANO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES
SEÑOR DIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS
SEÑORES MIEMBROS DEL JURADO
En cumplimiento con las disposiciones del Reglamento de Grados y Títulos
Profesionales de la Escuela Profesional de Matemáticas, me permito poner a vuestra
disposición y juicio el presente trabajo de tesis titulado “Fundamento Matemático de
Métodos Geoestadísticos y su Aplicación en la Estimación de Yacimientos Mineros”, que
previa autorización de ustedes me permitirá optar el Título Profesional de Licenciado en
Matemáticas.
Mediante el presente trabajo de tesis se introduce el estudio de la Teoría de
Variables Regionalizadas o Geoestadística desde un punto de vista matemático,
analizando aquellos conceptos y proposiciones que constituyen el fundamento
matemático de los métodos de estimación geoestadísticos usados en la resolución de
problemas de la ingeniería y aplicando este estudio en un aspecto tan importante para el
Perú como es la estimación de recursos de yacimientos mineros.
Arequipa, 4 de Agosto de 2016
________________________________
Bach. Edgar Michel Marín Ballón
CENTRO GEOESTADÍSTICO PERUANO
Bach. Michel Marín Ballón y Dr. Alfredo Marín Suárez
A mi tío, Dr. Alfredo Marín.
A mis padres, Amparo y Edgar.
A mi hermano, Gerson.
AGRADECIMIENTOS
A Dios, por cuidarme en este camino y estar siempre presente.
Agradezco a mi tío, Sr. Alfredo Marín Suárez, Docteur Ingénieur en Ciencias y
Técnicas Mineras Opción Geoestadística de la Ecole National Superieure des Mines de
Paris, por ser mi padre intelectual y guiarme en la aplicación de la matemática a la
ingeniería y por darme la oportunidad de ser su asistente en sus investigaciones y diversos
trabajos para empresas mineras.
Al Dr. Georges Matheron, quien creó la genial Teoría de las Variables
Regionalizadas.
A los docentes de la Escuela Profesional de Matemáticas de la Universidad Nacional
de San Agustín, quienes me brindaron los conocimientos necesarios para realizar esta tesis
de licenciatura. Agradezco particularmente al Msc. Martín Medina Vilca, ejemplar
catedrático quien brindó el invaluable asesoramiento en la realización de esta tesis de
licenciatura.
Agradezco a los señores catedráticos Dr. Octavio Roque Roque, Mg. Sergio Aquise
Escobedo y Lic. Luis Guerra Jordán, quienes conforman el jurado examinador y a través de
sus sugerencias y observaciones, ayudaron a elevar el nivel del contenido de esta tesis de
licenciatura de matemáticas.
También agradezco infinitamente a mis padres, Sra. Amparo Ballón de Marín y
Mayor del Ejército del Perú (r) Benjamín Marín Suárez, por su constante apoyo y
comprensión en todas las etapas de mi vida. Gracias mamá y papá por el cariño y la
disciplina militar con la que me criaron. Agradezco a mi hermano, Gerson Marín Ballón,
por compartir conmigo sus alegrías.
Al profesor Walter Torres, por crear el Seminario de Matemáticas, la biblioteca
especializada en matemáticas en la que estudie durante mi preparación universitaria.
Finalmente agradezco a todos los que colaboraron en la realización de esta tesis,
particularmente a la Bach. Fiorella Romero, quien me acompañó y apoyo en mis horas de
estudio. Espero que esta tesis de licenciatura contribuya a la formación de una nueva visión
de la aplicación de la matemática a la solución de problemas de la ingeniería.
ÍNDICE
Listado de Ilustraciones .................................................................................................. 11
Listado de Tablas ............................................................................................................ 14
Introducción .................................................................................................................... 15
Resumen .......................................................................................................................... 19
Capítulo 1: ASPECTOS GENERALES ......................................................................... 21
1.1 Reseña Histórica 21
1.2 Conceptos y Propiedades Fundamentales 24
1.2.1 Definiciones del Análisis Funcional 27
1.2.2 El espacio 2( , , )A P 29
1.2.3 Técnicas Estadísticas del Análisis Exploratorio de Datos 46
Capítulo 2: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES REGIONALIZADAS
........................................................................................................................................ 59
2.1 La Geoestadística 59
2.2 Variable Regionalizada 59
2.2.1 Funciones Aleatorias 60
2.2.2 Convergencia y Continuidad en Media Cuadrática 74
2.3 Hipótesis de Trabajo de la Geoestadística 78
2.3.1 Hipótesis Estacionaria 78
2.3.2 Hipótesis Estacionaria de Orden 2 79
2.3.3 Hipótesis Intrínseca 81
2.4 Análisis Estructural 83
2.4.1 Covarianza 83
2.4.2 Variograma 85
2.4.3 Ajuste con variogramas teóricos 96
2.4.4 Diferencia Básica entre el Tratamiento Estadístico Descriptivo y el
Geoestadístico 97
2.4.5 Variograma Promedio 102
2.4.6 Variograma Cruzado 105
Capítulo 3: MÉTODOS DE ESTIMACIÓN GEOESTADÍSTICOS ........................... 108
3.1 Métodos de Estimación Tradicionales 109
3.1.1 Método de la Media Aritmética 109
3.1.2 Método de los Polígonos 109
3.1.3 Método del Inverso de la Distancia 111
3.2 El Kriging de Matheron 113
3.2.1 Fundamento Teórico 114
3.2.2 Ejemplo del Cálculo por el método de Kriging en 3D 124
Capítulo 4: METODOLOGÍA DE LA APLICACIÓN EN YACIMIENTOS MINEROS
...................................................................................................................................... 127
4.1 Aspectos Previos 127
4.1.1 Mina Pachapaqui 127
4.1.2 Sobre el Software Datamine 128
4.3 Diagrama de Burbujas de la Metodología Propuesta de Estimación del Yacimiento
129
4.3.1 Generación de Archivo de taladros 130
4.3.2 Aplicación de valor capping 140
4.3.3 Compositación de las muestras 141
4.3.4 Creación de Modelo Geológico 142
4.3.5 Determinación del Soporte Geométrico a Estimar 143
4.3.6 Construcción de Variogramas Experimentales 144
4.3.7 Modelación con Variogramas Teóricos 148
4.3.8 Creación de Elipsoide de Influencias 151
4.3.9 Estimación con Krigring de Matheron 152
4.3.10 Curva Tonelaje – Ley de Corte 154
4.3.11 Emisión de Planos y Secciones 156
Conclusiones y Recomendaciones ................................................................................ 161
Anexos .......................................................................................................................... 162
A.1 Teorema Central del Límite 162
A.2 Método de Multiplicadores de Lagrange 164
A.3 Glosario de términos 167
Listado de Ilustraciones
Ilustración 1: Ejemplo de función no nula y de norma cero 34
Ilustración 2: Compósito de longitud “c” 47
Ilustración 3: Histograma de la selección de longitud de compósito 48
Ilustración 4: Histograma Experimental de la Variable Zinc sin capping 49
Ilustración 5: Histograma Experimental de la Variable Zinc con capping 50
Ilustración 6: Distribución lognormal de la Variable Oro 51
Ilustración 7: Distribución Lognormal del Oro y distribución de sus logaritmos 57
Ilustración 8: Representación de la variable regionalizada en el espacio 67
Ilustración 9: Línea de muestreo para calcular la covarianza 69
Ilustración 10: Gráfica de la función covarianza 71
Ilustración 11: La Ley de Distribución es Invariante por traslación 79
Ilustración 12: Relación entre Variograma y Covarianza 81
Ilustración 13: Dominios de las hipótesis intrínseca y estacionaria de orden 2 83
Ilustración 14: Representación gráfica del alcance, pepita y meseta 88
Ilustración 15: Elipsoide de Influencias determinado por tres alcances 90
Ilustración 16: Elipsoide de Influencias centrado en un bloque por estimar 91
Ilustración 17: Tolerancias angulares y en distancia 92
Ilustración 18: Gráfica del modelo lineal 93
Ilustración 19: Gráfica del modelo esférico o de Matheron 94
Ilustración 20: Gráfica del modelo exponencial o de Formery 94
Ilustración 21: Gráfica del modelo “trou” o de efecto hole 95
Ilustración 22: Gráfica del modelo gaussiano 95
Ilustración 23: Ajuste de variograma en un software de la industria minera 96
Ilustración 24: Línea de muestreo A 97
Ilustración 25: Histograma de la línea de muestreo A 98
Ilustración 26: Línea de muestreo B 98
Ilustración 27: Histograma de la línea de muestreo B 99
Ilustración 28: Análisis con variogramas de la línea de muestreo A 99
Ilustración 29: Variograma de la línea de muestreo A 100
Ilustración 30: Análisis con variogramas de la línea de muestreo B 100
Ilustración 31: Variograma de la línea de muestreo B 101
Ilustración 32: Análisis con variogramas de muestras en una malla 102
Ilustración 33: Gráfica del variograma promedio 104
Ilustración 34: Línea de muestreo A con leyes de Ag y Au 105
Ilustración 35: Variograma cruzado de línea de muestreo A 106
Ilustración 36: Línea de muestreo B con leyes de Ag y Au 106
Ilustración 37: Variograma cruzado de línea de muestreo B 107
Ilustración 38: Leyes minerales en las muestras con sus pesos para estimar la ley mineral
de un bloque V 108
Ilustración 39: Formación de Polígonos de influencia 1 110
Ilustración 40: Formación de Polígonos de influencia 2 110
Ilustración 41: Formación de polígonos en una zona de muestreo en 2D 111
Ilustración 42: Estimación con método de Kriging en el centro de un bloque 125
Ilustración 43: Diagrama de Burbujas correspondiente a la estimación por Método de
Kriging de Matheron 129
Ilustración 44: Vista en planta de taladros 136
Ilustración 45: Taladros en vista vertical 136
Ilustración 46: Taladros en vista tridimensional con topografía incluida 136
Ilustración 47: Histograma de la variable Zinc de las muestras 139
Ilustración 48: Histograma de la variable Zinc con capping 2750 ppm en muestras 140
Ilustración 49: Distribución del logaritmo de las leyes de la variable Zinc 141
Ilustración 50: Histograma de la longitud de las muestras 142
Ilustración 51: Modelo geológico con taladros y topografía 143
Ilustración 52: Banco de una mina a tajo abierto 144
Ilustración 53: Modelo de bloques sin estimar y taladros 144
Ilustración 54: Variogramas en direcciones dadas y el variograma omnidireccional 146
Ilustración 55: Variograma Omnidireccional 146
Ilustración 56: Variograma en la dirección azimut 0º dip 0º 147
Ilustración 57: Variograma en la dirección azimut 90º dip 0º 147
Ilustración 58: Variograma en la dirección azimut 0º dip 90º 148
Ilustración 59: Variograma de Azimut 90º y Dip 0º 149
Ilustración 60: Variograma de Azimut 0º y Dip 0º 149
Ilustración 61: Variograma de Azimut 0º y Dip 90º 150
Ilustración 62: Representación gráfica del elipsoide de influencias con taladros 151
Ilustración 63: Representación gráfica del elipsoide de influencias y del modelo geológico
en 3D 151
Ilustración 64: Modelo de bloques estimado en 3D 152
Ilustración 65: Curva Tonelaje – Ley de corte 156
Ilustración 66: Vista de modelo de bloques estimado con taladros 156
Ilustración 67: Sección del modelo de bloques con leyes de zinc 157
Ilustración 68: Vista en sección del modelo de bloques estimado 157
Ilustración 69: Corte en sección del modelo de bloques 1 158
Ilustración 70: Corte en sección del modelo de bloques 2 158
Ilustración 71: Vista en 3D del modelo de bloques con recursos medido, indicado e
inferido 159
Ilustración 72: Vista en sección del modelo de bloques con recurso medido, indicado e
inferido 159
Ilustración 73: Histograma de la varianza de kriging 160
Listado de Tablas
Tabla 1: Archivo header de la data de la mina Pachapaqui .......................................... 132
Tabla 2: Porción ilustrativa del archivo Survey ............................................................ 133
Tabla 3: Porción ilustrativa de datos del archivo Assay ............................................... 135
Tabla 4: Porción ilustrativa del archivo de taladros ..................................................... 138
Tabla 5: Análisis con estadísticas descriptivas del archivo de taladros ........................ 139
Tabla 6: Estadísticas de la variable Zinc con capping .................................................. 141
Tabla 7: Parámetros a introducir para la elaboración de variogramas .......................... 145
Tabla 8: Direcciones de los variogramas ...................................................................... 145
Tabla 9: Porción ilustrativa de la tabla de resultados de estimación ............................ 153
Tabla 10: Tabla de modelo de bloques estimado .......................................................... 155
Tabla 11: Tabla tonelaje – ley de corte ......................................................................... 155
Introducción
El estudio de fenómenos que caracterizan a las ciencias de la tierra y que son motivo de
análisis en la actualidad, exige el uso de modelos matemáticos y definiciones que
permitan axiomatizar la realidad del fenómeno.
Uno de estos fenómenos es el de la presencia de yacimientos mineros, que se formaron
en gran parte por la solidificación de magma líquido en fracturas o fallas geológicas. Este
fenómeno se manifiesta en muchas regiones de la tierra, en particular en el Perú. Su
riqueza mineral, la disponibilidad de información geológica, la oferta de proveedores de
primer nivel y el marco jurídico promotor de la inversión privada en el país, convierten
al Perú en un destino mundialmente atractivo para la inversión minera.
A nivel mundial, Perú se ubica entre los primeros productores de diversos metales
preciosos, tales como oro, plata, cobre, plomo, zinc, entre otros; la presencia de la
Cordillera de los Andes a lo largo del territorio nacional, constituye nuestra principal
fuente de recursos minerales.
Debido a esta característica, es necesario el desarrollo de métodos, técnicas, conceptos y
modelos que permitan revelar la existencia de posibles yacimientos y proporcionen la
información necesaria para evaluar la posibilidad de extraer minerales y garantizar la
rentabilidad.
Los métodos de estimación de recursos, que implícitamente están presentes en los
softwares mineros, estiman la cantidad aproximada de minerales en un determinado
yacimiento. Pero esta aproximación necesita de un soporte matemático para una buena
axiomatización de la realidad, con lo cual se podrá realizar una estimación óptima y
desarrollar proyectos más rentables.
Considerando este problema, el matemático francés Georges Matheron crea la Teoría de
Variables Regionalizadas denominada Geoestadística, a la que define como “La
aplicación del formalismo de las Funciones Aleatorias al reconocimiento y a la estimación
de fenómenos naturales”.
La Geoestadística proporciona herramientas muy útiles y eficaces para el proceso de
estimación de recursos minerales y para la resolución de muchos otros problemas de la
ingeniería, fundamentándose en conceptos y definiciones importantes de la matemática.
Estas razones motivaron la realización de esta tesis de licenciatura en matemáticas.
El presente trabajo de tesis de licenciatura es fruto de la labor durante dos años como
asistente del Dr. Alfredo Marín Suárez, Docteur Ingénieur en Ciencias y Técnicas
Mineras Opción Geoestadística de la Ecole National Superieure des Mines de Paris, quien
previamente realizó estudios de especialización en el Departamento de Ingeniería
Matemática de la Universidad de Chile, 1973-1975 y actualmente es profesor principal
de la Universidad Nacional de Ingeniería y profesor de la Maestría de Geología de la
Universidad Nacional de San Agustín. Se desarrolló la labor de asistente del Dr. Marín
en el Centro Geoestadístico Peruano en Lima, colaborando en las investigaciones de
geoestadística y en los servicios de consultoría especializada a varias empresas mineras
nacionales e internacionales. Se realizó el aprendizaje de manejo de softwares de la
industria minera: DATAMINE, MINESIGHT, GEMCOM, SGEMS, y se comprendieron
los fundamentos de la Geoestadística.
Es así que se presenta este trabajo de tesis, presentando los conocimientos obtenidos como
asistente en el Centro Geoestadístico Peruano y siguiendo los lineamientos de los estudios
hechos por Matheron en Francia, con el objetivo de mostrar que la Geoestadística está
fundamentada en conceptos esenciales e importantes de la matemática y exhibir su
aplicación en la estimación de yacimientos mineros, haciendo uso de un software de la
industria minera.
Se realizan los siguientes aportes:
Se enuncian los conceptos y proposiciones que constituyen la base matemática de
la Geoestadística en la cual se fundamenta para sus múltiples aplicaciones.
Se analiza el fundamento matemático de los métodos geoestadísticos,
principalmente del método de Kriging de Matheron que es el método más eficaz
para la etapa de estimación de recursos.
Se introduce el estudio desde un punto de vista matemático de la Teoría de
Variables Regionalizadas o Geoestadística, que tiene muchas aplicaciones en
diversas áreas de estudio en la ingeniería, particularmente en el estudio de
recursos mineros.
Se explica la metodología de aplicación de estos métodos a partir de un software
industrial y usando data de una mina real. Esta metodología puede ser usada para
el estudio de recursos de cualquier mina y usando cualquier software de la
industria minera.
En la presente tesis de licenciatura se realizan trece demostraciones matemáticas
de teoremas, corolarios y proposiciones de la teoría de la Geoestadística,
elaboradas personalmente para este trabajo y que se presentan en los capítulos I,
II y III. Estas demostraciones son las siguientes:
1. La función del modelo de distribución Log normal es en efecto una
función de densidad.
2. 2X E X , con X variable aleatoria, es una seminorma.
3. 2X E X es norma en 2( , , )L A P .
4. ,X Y E X Y , con ,X Y variables aleatorias, es producto interno.
5. El espacio 2( , , )L A P es completo con la norma 2X E X .
6. El producto interno ,Z x Z y E Z x Z y y su norma inducida
2( ) ( )Z x E Z x , con ,Z x Z y variables aleatorias, verifican la
desigualdad de Cauchy-Schwarz y las desigualdades triangulares.
7. La esperanza del producto de dos funciones aleatorias convergentes,
converge a la esperanza del producto de las funciones de convergencia.
8. Si una función aleatoria ( )Z x es convergente, entonces su función
covarianza es convergente en todo su dominio.
9. Demostración de la igualdad ( ) (0) ( )C h C h , nh .
10. Demostración de las propiedades de la función covarianza.
11. Demostración de las propiedades de la función variograma.
12. Demostración de la formulación del sistema de Kriging de Matheron.
13. Demostración de la condición de universalidad del sistema de Kriging de
Matheron.
Resumen
La Teoría de Variables Regionalizadas, también llamada Geoestadística, proporciona
herramientas para la caracterización de fenómenos geológicos tales como la presencia de
recursos minerales en una determinada zona, y para la estimación de leyes minerales (del
oro, plata, cobre, zinc, plomo, entre otros) mediante el uso de las variables regionalizadas,
que son realizaciones de variables aleatorias en las que se considera su posición en el
espacio. Se debe tener en cuenta que cuando se hace mención a ley mineral, se está
refiriendo al tenor metálico que constituye el valor de la variable regionalizada.
En el presente trabajo de tesis, se desarrollan los siguientes capítulos:
En el capítulo I, Aspectos Generales, se presenta un breve resumen histórico sobre la
creación y desarrollo de la Teoría de las Variables Regionalizadas por el Dr. Georges
Matheron y sus colaboradores en Francia, y sobre el impacto de estos conceptos en
América del Sur y la acogida que tuvo en sus inicios. Así mismo, se hace un repaso de
los conceptos del análisis funcional, de la teoría de la medida y de la estadística
descriptiva que serán usados en el desarrollo del trabajo.
En el capítulo II, Introducción a la Teoría de las Variables Regionalizadas, se define la
variable regionalizada en base a los conceptos de Función Aleatoria y Variable Aleatoria,
esto sobre el conjunto de funciones 2( , , )L A P . Así mismo, se definen los conceptos de
continuidad y convergencia en media cuadrática, y se enuncian las hipótesis de trabajo
que se consideran para el proceso de estimación de yacimientos mineros. En este capítulo
también se presentan los conceptos de covarianza y variograma. El variograma constituye
la herramienta fundamental de la aplicación de la geoestadística a la solución de
problemas geológicos, por ello se analizan sus propiedades y se enuncian las
características de la gráfica de la función variograma. Además, se indican las tolerancias
que se deben tener en cuenta para que el variograma considere todas las muestras en la
dirección de estudio planteada con los conceptos de Azimut y Dip. Se presentan los
modelos de variogramas teóricos, usados para el ajuste de variogramas experimentales.
Adicionalmente se presenta el variograma cruzado y el variograma promedio.
En el capítulo III, Métodos de Estimación, se presentan los métodos tradicionales de
estimación de recursos que son usados en el ámbito minero, y se indican algunas de sus
ventajas o desventajas. También se estudia en este capítulo el Kriging de Matheron, que
es el método de estimación desarrollado por el matemático francés Georges Matheron; se
demuestra el sistema de kriging y la varianza de kriging, minimizando el error de
estimación mediante el uso del método de Lagrange. Este capítulo culmina con un cálculo
numérico del kriging de Matheron en 3D.
En el capítulo IV, Metodología de la Aplicación en Yacimientos Mineros, se presenta un
resumen del procedimiento que se sigue para aplicar el kriging de Matheron en la
estimación de una mina real, mediante el uso de un software de la industria minera.
Finalmente, se presentan las conclusiones obtenidas después de haber estudiado los
distintos métodos de estimación y haber analizado el fundamento matemático sobre el
cual se desarrolla el método del kriging de Matheron, así como también se hacen
recomendaciones para su aplicación.
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TEMA DE TESIS FUNDAMENTO MATEMÁTICO DE MÉTODOS GEOESTADÍSTICOS Y
SU APLICACIÓN EN LA ESTIMACIÓN DE YACIMIENTOS MINEROS
Bach. Edgar Michel Marín Ballón Escuela Profesional de Matemáticas – Universidad Nacional de San Agustín
Capítulo 1
ASPECTOS GENERALES
En este capítulo se presenta una reseña histórica de la creación y desarrollo de la
Geoestadística, y su acogida en Latino América. Así mismo, se hace un repaso de las
definiciones y proposiciones del Análisis Funcional, la Teoría de la Medida y de la
Estadística Descriptiva que serán necesarias en los capítulos siguientes, y que
proporcionan la base matemática en la cual se fundamenta la Geoestadística.
1.1 Reseña Histórica
La Teoría de Variables Regionalizadas fue creada por el matemático y geólogo francés,
Dr. Georges Matheron, quien sentó las bases matemático-probabilísticas de su
revolucionaria teoría, fundamentándose en su trabajo para el Servicio Geológico Francés
en el estudio de yacimientos minerales de Argelia, desde 1954 hasta 1963. Dado que las
primeras aplicaciones de la teoría de variables regionalizadas se desarrollaron en las
ciencias de la tierra, se optó por llamarla también por el nombre de Geoestadística.
Georges Matheron publicó su teoría en su libro: Traité de Géostatistique Appliquée.
Anteriormente hubo algunos trabajos de campo del ingeniero Daniel Krige de Sudáfrica,
usando métodos de la estadística descriptiva para modelar la variabilidad de la ley del oro
en Sudáfrica en los años 50’s.
A finales de la década de los 60’s, el gobierno francés fue informado de los trabajos de
Georges Matheron y creó el “Centre de Morphologie Mathématique” (CMM) en la École
Nationale Supérieure Des Mines de Paris, en Fontainebleau, y Georges Matheron fue
asignado como su primer director, donde continuó con sus trabajos de investigación y
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TEMA DE TESIS FUNDAMENTO MATEMÁTICO DE MÉTODOS GEOESTADÍSTICOS Y
SU APLICACIÓN EN LA ESTIMACIÓN DE YACIMIENTOS MINEROS
Bach. Edgar Michel Marín Ballón Escuela Profesional de Matemáticas – Universidad Nacional de San Agustín
desarrollo de técnicas con aplicaciones en los procesos naturales, hasta su fallecimiento
en agosto del año 2000.
El Centre de Morphologie Mathématique necesitaba validar sus métodos y aplicar los
conceptos desarrollados de la Geoestadística en yacimientos minerales. Inicialmente se
tuvo como objetivo realizar estos trabajos en Perú, pero no se logró concretar debido a
los trámites del gobierno peruano. Entonces fueron a Chile, donde la propuesta del Centre
de Morphologie Mathématique tuvo acogida.
A continuación, se presenta el resumen de lo expuesto en la conferencia plenaria
denominada The Boletin de Geoestadística (1972-73): A First Journal Devoted to
Geostatistics, presentada por Michel Dagbert y Alain Marechal, publicado en el Octavo
Congreso Internacional de Geoestadística, GEOSTATS 2008, realizado en Santiago de
Chile en el año 2008:
“En los años 70’s se desarrollan los primeros trabajos de la aplicación de la Geoestadística
en Chile. En la Universidad de Chile se estableció un grupo específico de investigación
dedicado enteramente a la Geoestadística. Este grupo inició la publicación de la primera
revista de Geoestadística, llamada The Boletin de Geoestadística.
En 1972 se crea el Centro de Geoestadística del Departamento de Minas de la Facultad
de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile, organizado en: un grupo
de cuatro investigadores (Alain Marechal, Isaac Ugarte, Jorge Walton y Marco Alfaro)
para trabajar en los proyectos de la Corporación del Cobre de Chile (CODELCO), un
grupo de investigadores de Métodos Numéricos Geoestadísticos para el desarrollo de
Software encabezado por Alfredo Marín con tres egresados del Departamento de Minas,
y un grupo de Investigación de Operaciones (Jorge Mas y Hernan Büchi con tres
egresados). Entiéndase por Métodos Numéricos Geoestadísticos como metodologías
mediante las cuales se obtiene la solución de problemas de la ingeniería realizando
cálculos y haciendo uso de los conceptos de la Geoestadística.
A causa del golpe de Pinochet en Setiembre de 1973, el Centro de Geoestadística del
Departamento de Minas empezó a desintegrarse. La mayoría de sus integrantes salieron
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TEMA DE TESIS FUNDAMENTO MATEMÁTICO DE MÉTODOS GEOESTADÍSTICOS Y
SU APLICACIÓN EN LA ESTIMACIÓN DE YACIMIENTOS MINEROS
Bach. Edgar Michel Marín Ballón Escuela Profesional de Matemáticas – Universidad Nacional de San Agustín
del país, quedando: R. Segovia, Alfredo Marín, H. Büchi, quienes se encargaron de la
cátedra de Geoestadística en la Universidad de Chile, desde el año 1973 hasta 1976.
La investigación de métodos Geoestadísticos continuó a pesar del golpe de estado, pero
los cambios en la administración consecuentes causaron la pérdida del apoyo financiero
y acuerdos con las compañías mineras involucradas en las investigaciones.
A pesar del golpe de estado, la coordinación con el Centre de Morphologie Mathématique
de Francia continuó. Así, Alfredo Marín Suárez viajó al Centre de Morphologie
Mathématique en Fontainebleau, Francia, con una beca de la École Nationale Supérieure
des Mines de Paris. Alfredo Marín logra alcanzar el doctorado en diciembre de 1978, con
la tesis “Méthodologie de L’Estimation et Simulation Multivariable des Grands
Gisements Tridimensionnels”, teniendo como jurado al Dr. Georges Matheron. Se
convierte en el primer graduado de doctor en Geoestadística (Docteur Ingénieur) del
grupo de investigación de Chile, y por lo tanto el primero de toda Latino América y
América”.
El Dr. Georges Matheron desarrolló la aplicación a partir de los años 70s’ con su equipo
de colaboradores, dentro los cuales citamos algunos: Jean Serra, Andre Journel, Alain
Marechal, J. Chiles, Pierre Chauvet, J. Deraisme, R. Dumay, D. Guibal, Alfredo Marín,
M. Alfaro, quienes serían los que introducirían la teoría de la Geoestadística en las
diferentes áreas profesionales, como es el caso de la geología minera y petrolera.
Las primeras aplicaciones de la Geoestadística en Perú tuvieron como personalidades
resaltantes a Edmundo Tulcanaza de Chile y Daniel Guibal de Francia, quienes
presentaron trabajos en congresos geológicos y mineros.
En la actualidad, la Geoestadística es ampliamente usada como herramienta indispensable
en la etapa de exploración de yacimientos mineros. Así, el Dr. Alfredo Marín Suárez,
quien dirige el Centro Geoestadístico Peruano en Lima, brinda asesorías para el proceso
de estimación de recursos mineros y realiza charlas, conferencias y cursos dirigidos a
ingenieros de empresas mineras con el fin de difundir el uso de la Geoestadística para
realizar estimaciones óptimas y desarrollar proyectos rentables, además de ser asesor de
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TEMA DE TESIS FUNDAMENTO MATEMÁTICO DE MÉTODOS GEOESTADÍSTICOS Y
SU APLICACIÓN EN LA ESTIMACIÓN DE YACIMIENTOS MINEROS
Bach. Edgar Michel Marín Ballón Escuela Profesional de Matemáticas – Universidad Nacional de San Agustín
tesis en temas de Probabilidad y Teoría de la Medida Aplicada, para optar el título
profesional de Licenciado en Matemática de la Facultad de Ciencias de la Universidad
Nacional de Ingeniería, Lima.
1.2 Conceptos y Propiedades Fundamentales
Definición 1.2.1 (Producto Interno):
Sea E un espacio vectorial sobre . Un producto interno en E es una aplicación
: , , ,E E x y x y ,
tal que para cualesquiera 1 2, , ,x x x y E y :
p1) 1 2 1 2, , ,x x y x y x y
p2) , ,x y x y
p3) , ,x y y x
p4) 0, ,x x x es un número real estrictamente positivo.
Definición 1.2.2 (Norma):
Sea E un espacio vectorial. Una función
: E
es una norma si las siguientes propiedades estuvieran satisfechas:
N1) 0x para todo x E
N2) 0 0x x
N3) ax a x para todo escalar a y todo x E
N4) x y x y para cualesquiera ,x y E (desigualdad triangular)
25
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Ejemplo:
La norma Euclidiana es una función : n
E tal que para 1 2, ,..., n
nx x x x
12
2
1
n
iEi
x x
Corolario 1.2.3:
E es en efecto una norma.
Demostración:
Debemos mostrar que E
satisface las cuatro propiedades de la definición 1.2.2. Sean
1 2, ,..., nx x x x y 1 2, ,..., ny y y y elementos de n y .
N1)
12
2
1
0n
iEi
x x
N2) ) Si
12
2
1
0n
iEi
x x
, entonces
2
1
0n
i
i
x
, lo cual implica 0ix ,
1,...,i n . Es decir: 0x .
) Supongamos que 0x , entonces 2
1
0n
i
i
x
. Luego
12
2
1
0n
iEi
x x
.
N3)
1 1 12 2 2
2 2 22
1 1 1
n n n
i i iE Ei i i
x x x x x
N4) Mostremos que se cumple la desigualdad triangular:
Calculemos 2
Ex y
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2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
1
2 2
1 1
2 ... 2
2 ...
n
i i n n n nEi
n nE E
x y x y x y x y x y x y
x y x y x y
Aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
2 2 2 2
1 1 1 1... ... ...n n n nx y x y x x y y
Con lo que se obtiene:
22 2 2 2
1 12 ... 2n nE E E E E E E Ex y x y x y x y x y x y
Es decir
22
E E Ex y x y
E E Ex y x y
Por lo tanto
12
2
1
n
iEi
x x
es una norma. ■
Definición 1.2.4 (Seminorma):
Una seminorma en el espacio vectorial E es una función :p E que satisface las
siguientes condiciones:
S1) ( ) 0p x para todo x E
S2) ( ) ( )p ax a p x para todos a y x E
S3) ( ) ( ) ( )p x y p x p y para cualesquiera ,x y E
Es de notar que el nombre “seminorma” se debe a que a esta función le falta la propiedad
N2 de la definición 1.2.2 para convertirse en norma.
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1.2.1 Definiciones del Análisis Funcional
Definición 1.2.5 ( -Álgebra):
Sea X un conjunto arbitrario. Una colección de subconjuntos de X es un -álgebra
en X si
a) X ,
b) Para cada conjunto A , el conjunto cA pertenece a ,
c) Para cada sucesión infinita iA de conjuntos que pertenecen a , el conjunto
1
i
i
A
pertenece a .
Los elementos del -álgebra son llamados conjuntos medibles.
Ejemplo:
Un importante ejemplo de -álgebras es la -álgebra de los borelianos en , que es
generada por la colección de subconjuntos abiertos de , y es denotada por .
Los elementos de son de la forma:
, , , , , , ,a b b a b a b
En el presente trabajo de tesis se trabajará con el conjunto , llamado espacio muestral,
y haremos uso de la -álgebra del espacio muestral , a la que llamaremos -
álgebra de eventos de .
Definición 1.2.6 (Espacio Medible):
Llamaremos espacio medible al par ,X , donde X es un conjunto y es -álgebra
de X .
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Definición 1.2.7 (Medida):
Una medida en el -álgebra del conjunto X es una función : 0, que
satisface
a) 0
b) 11
i i
ii
A A
La propiedad b) indica que la función es contablemente aditiva.
Definición 1.2.8 (Probabilidad):
La medida de probabilidad, función de probabilidad o simplemente probabilidad P , es
una medida que asigna a cada A perteneciente al -álgebra del espacio muestral
, un número real P A , llamado probabilidad del evento A , tal que:
i. 0P A , para todo A ,
ii. 1P
iii. Si nA es una sucesión de eventos incompatibles (conjuntos disjuntos),
entonces:
11
n n
nn
P A P A
Definición 1.2.9 (Función Medible):
Sean ,X y ,Y espacios medibles. Una función :f X Y es medible con
respecto a y si para cada C , el conjunto 1f C .
29
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Definición 1.2.10 (Espacio Vectorial Normado):
Un espacio vectorial equipado con una norma será llamado espacio vectorial normado, o
simplemente espacio normado.
Definición 1.2.11 (Sucesión de Cauchy):
Sea E un espacio vectorial normado. Una sucesión ns de elementos de E es una
sucesión de Cauchy si para cada número positivo , existe un entero positivo N tal que
m ns s siempre que m N y n N .
Definición 1.2.12 (Espacio Completo):
Decimos que un espacio vectorial normado E es completo cuando toda sucesión de
Cauchy en E converge a un punto en E .
Definición 1.2.13 (Espacio de Hilbert):
Un espacio con producto interno es llamado espacio de Hilbert cuando es completo con
la norma inducida por el producto interno.
1.2.2 El espacio 2( , , )A P
Definición 1.2.14 (Espacio de Probabilidad):
Llamaremos Espacio de Probabilidad a la terna , , P , donde es espacio muestral,
es la sigma álgebra de subconjuntos de , y P es la medida de Probabilidad.
Definición 1.2.15 (2( , , )A P ):
Sea , , P un espacio de probabilidad. El conjunto de todas las funciones medibles
de en tales que
30
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1
pp
pf f dP
será denotado por ( , , )p P .
Así podemos definir este espacio como:
1
( , , ) :p
pp
pP f f f dP
O lo que es lo mismo:
( , , ) :pp P f f dP
Particularmente para 2p :
1
22
2f f dP
Con la norma 2
se define el espacio:
22 ( , , ) :P f f dP
Verbalmente, se define el espacio 2( , , )P como el espacio de variables aleatorias
sobre ( , , )P .
31
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Teorema 1.2.16 (Desigualdad de Hölder):
Sea , , P un espacio de probabilidad, y sean p y q que satisfacen 1 p ,
1 q , y 1 1 1p q . Si ( , , )pf P y ( , , )qg P , entonces fg
pertenece a 1( , , )P y satisface p q
fg dP f g
Demostración:
El teorema se verifica en el caso en que 0p
f o 0q
g .
Supongamos 0p
f y 0q
g .
Primero es conveniente mostrar que para cualesquiera a ,b positivos, se cumple que:
1 1
p q a ba b
p q
Consideremos la función : 0,f f , dada por f t t t , con 0 1 .
f t tiene un máximo en 1t . Entonces: 1t t
1 1 1f t f t t
1t t
Haciendo a
tb
y 1
p , se obtiene la desigualdad
1 1
p q a ba b
p q .
Reemplazando ( )
p
p
p
f xa
f y
( )q
q
q
g xb
g , se obtiene la desigualdad deseada. ■
Teorema 1.2.17 (Desigualdad de Minkowski):
Sea , , P un espacio de probabilidad, y sea p que satisface 1 p . Si f y g
pertenecen a ( , , )p P , entonces p p p
f g f g .
Demostración:
32
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Sean , ( , , )pf g A P . Si 1p o 0p
f g , se cumple la desigualdad:
1 1 11p f g f g dP f dP g dP f g
Podemos suponer 0p
f g y 1p . Entonces, x
( ) ( ) ( ) ( ) 2max ( ) , ( )
2 max ( ) , ( ) 2 ( ) ( )
ppp
p p pp p
f x g x f x g x f x g x
f x g x f x g x
Luego
2p p p pp
pf g f g dP f dP g dP
( , , )pf g P .
Por otro lado, x se cumple que:
1
1
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p p
p
p p
f x g x f x g x f x g x
f x g x f x g x
f x f x g x g x f x g x
=
Tomando 1q con 1 1
1 1 1p q
p q pp q pq
1
( , , )p
p qqf g f g P
En efecto,
qp p
q p pq q
pq
f g f g dP f g dP f g
Aplicando la desigualdad de Hölder en los sumandos del lado derecho de la desigualdad
( ) :
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1 1
1 ( 1)
1 1
1 ( 1)
p qp p p q
p qp p p q
f f g dP f dP f g dP
g f g dP g dP f g dP
Sumando ambas desigualdades:
1 1
1 1
1 1 1 1
p p p
p p
p q p qp p p p
f g dP f f g g f g dP
f f g dP g f g dP
f dP f g dP g dP f g dP
Dividiendo ambos lados por
1q
pf g dP
:
1 1
1
1 1 1 11
p
p pp p
qp
p p pqp p p p
f g dP
f dP g dP
f g dP
f g dP f g dP f dP g dP
p p pf g f g ■
Proposición 1.2.18:
2
2: ( , , )P es una seminorma.
Demostración:
Sea 2( , , )f P y
34
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1) 2
f es positivo, pues 2
0f y por lo tanto
1
22
0f dP
.
2)
1 1 1
2 2 22 2 2 2
2 2f f dP f dP f dP f
.
3) La desigualdad triangular se verifica de manera inmediata con la desigualdad de
Minkowski: 2 2 2
f g f g . ■
2 no es norma, pues
20x no necesariamente implica 0x .
Contraejemplo:
Consideremos la función 2( , , )f P definida por:
1,( )
0,
x af x
x a
con a elemento fijo del dominio. Se puede representar gráficamente como:
Ilustración 1: Ejemplo de función no nula y de norma cero
La función 2
aplicada a 2( , , )f P da como resultado cero, pero f no es la
función nula.
35
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Proposición 1.2.19:
El espacio 2( , , )P es un espacio vectorial.
Demostración:
2( , , )P es un subconjunto del espacio de funciones con valores reales, que es un
espacio vectorial. Entonces basta mostrar que si 2, ( , , )f g P y , entonces
2, ( , , )f g f P .
Sean 2, ( , , )f g P y x .
2
f dP
y 2
g dP
Si ( ) ( ) 0f x g x , entonces se tiene que 2( , , )f g P , pues
2 2
20f g f g dP
.
Supongamos que ( ) ( ) 0f x g x :
22
2
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
max ( ) , ( ) max ( ) , ( )
2max ( ) , ( ) 4 max ( ) , ( )
4 ( ) ( ) ,
f x g x f x g x
f x g x f x g x
f x g x f x g x
f x g x x
2 2 2 2
2
2 2
4
4 4
f g f g dP f g dP
f dP g dP
Así, 2( , , )f g P .
Sea 2( , , )f P , y x .
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Si 0f , entonces 2( , , )f P , pues
20f dP
.
Supongamos que 0f :
2 2 2 22 2
2f f dP f dP f dP
2( , , )f P
Así, 2( , , )P es un espacio vectorial. ■
Definición 1.2.20 (Casi Ciertamente):
Sea ( , , )P un espacio de probabilidad. Se dice que una propiedad de los elementos
de se cumple casi ciertamente (c.c.) si el conjunto de puntos de en los cuáles la
propiedad falla es P -nulo.
En otros términos, una propiedad se cumple casi ciertamente si existe un conjunto
N que satisface 0P N , y que contiene todo elemento en el cual la propiedad no
se cumple.
Definición 1.2.21:
Sean ,f g elementos del espacio 2( , , )P , definamos la relación:
fRg si y sólo si f g c.c.
Corolario 1.2.22:
La relación fRg si y sólo si f g c.c. es relación de equivalencia.
Demostración:
Sean , ,f g h elementos de 2( , , )P , mostremos que es una relación reflexiva,
simétrica y transitiva:
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i. f f en todo punto, entonces f f c.c., lo que implica fRf .
ii. fRg f g c.c. g f c.c. gRf
iii. fRg f g c.c. N A tal que ( ) 0P N y ( ) ( ),f x g x x N
gRh g h c.c. 'N A tal que ( ') 0P N y ( ) ( ), 'g x h x x N
Entonces 'M N N A tal que
( ) ( ') ( ) ( ') ( ') 0P M P N N P N P N P N N
Y, además:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x h x , x M
( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x h x , Cx M
( ) ( )f x h x , Cx M
( ) ( )f x h x , x M
Es decir fRh .
Por lo tanto, la relación es en efecto una relación de equivalencia. ■
Con esta relación de equivalencia podemos definir el espacio 2( , , )L P .
Definición 1.2.23 (2( , , )L P ):
Se define el espacio 2( , , )L P como:
2 2 2( , , ) ( , , ) / : ( , , )L P P R f f P
Dónde 2( , , ) :f g P gRf .
El conjunto 2( , , )L P constituye el espacio de trabajo de la teoría de variables
regionalizadas y es rico en propiedades que se verán más adelante.
Corolario 1.2.24:
Sean 2, ( , , )f g L P y . Las operaciones:
38
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f g f g y f f
están bien definidas.
Demostración:
Debemos mostrar que la suma de clases de equivalencia no depende de la elección del
representante de cada clase de equivalencia. Sean 'f f y 'g g . Entonces
'f f y 'g g .
' ' ' 'f g f g f g f g
Así, la suma es la misma sin importar la elección del representante. Similarmente con el
producto por un escalar. Sea y 'f f :
' 'f f f f ■
Estas operaciones hacen que 2( , , )L P sea un espacio vectorial:
Proposición 1.2.25:
2( , , )L P es espacio vectorial.
Demostración:
Sean 2, ( , , )f g L P
f y g son elementos de 2( , , )P
2
f y 2
g
Aplicando la desigualdad de Minkowski (Teorema 1.2.17)
2 2 2
f g f g
39
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2( , , )f g P
2( , , )f g f g L P
Sea 2( , , )f L P y
2( , , )f P
2f
2 2
f f
2( , , )f f L P
Así, 2( , , )L P es espacio vectorial. ■
Podemos definir una función en 2( , , )L P , denotada por
2 y en términos de la
fórmula 22
f f .
Proposición 1.2.26:
2 es norma sobre
2( , , )L P .
Demostración:
Mostremos que la función 2
2: ( , , )L P satisface las propiedades dadas en la
definición 1.2.2. Sean 2, ( , , )f g L P y .
22
0f f
2 22 2 2
f f f f f
2 2 22 2 2 2
f g f g f g f g f g
2
0 0f f :
22 2 2
0 0 0 0f f f f
0f c.c. 0f
40
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22 2
0 0 0f
Lo cual comprueba que 2
es norma sobre 2( , , )L P . ■
A continuación, se definen la convergencia monótona, convergencia dominada y
convergencia absoluta. Estos conceptos se usarán para demostrar que el espacio
2( , , )L P es completo.
Definición 1.2.27 (Serie Convergente y Absolutamente Convergente):
Sea V un espacio vectorial normado, y sea 1
k
k
v
una serie infinita con términos en V .
Decimos que
1
k
k
v
es convergente si 1
lim kn
k
v
existe
1
k
k
v
es absolutamente convergente si la serie 1
k
k
v
de números reales es
convergente.
Teorema 1.2.28 (Teorema de la convergencia monótona):
Sea ( , , )X A un espacio de probabilidad, y sean f y 1 2, , ...f f funciones A -medibles
en X con valores en 0, . Suponga que las relaciones
1. 1 2 ...f x f x
2. lim nn
f x f x
se cumplen en casi todo punto x X . Entonces lim nn
fd f d .
41
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Teorema 1.2.29 (Teorema de la convergencia dominada):
Sea ( , , )X A un espacio de medida, g una función integrable en X con valores en
0, , y sean f y 1 2, , ...f f funciones A -medibles en X con valores en , tales
que las relaciones
1. lim nn
f x f x
2. ( ), 1,2,...nf x g x n
se cumplen en casi todo punto x X . Entonces f y 1 2, , ...f f son integrables y
lim nn
fd f d .
Teorema 1.2.30:
Un espacio V es completo si y sólo si toda serie absolutamente convergente en V es
convergente.
Corolario 1.2.31:
Toda serie absolutamente convergente de número reales es convergente.
Con estos teoremas y definiciones, se procede a enunciar y demostrar el siguiente
teorema:
Proposición 1.2.32:
El espacio 2( , , )L P es completo con la norma
2 .
Demostración:
Supongamos que kf es una sucesión de funciones que pertenecen a 2( , , )P y
satisfacen 2k
k
f .
42
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Definamos : 0,g por:
2
1
( ) ( )k
k
g x f x
Aplicando la desigualdad de Minkowski:
12 2
21 1 12
n n n
k k k
k k k
f dP f f
Luego, del Teorema de la convergencia monótona sigue que:
22 2
21 1 1
lim lim limn n n
k k kn n n
k k k
gdP f dP f dP f
Entonces g es integrable. En consecuencia ( )g x es finito c.c. y la serie k
k
f x es
absolutamente convergente, y dado que toda serie absolutamente convergente de números
reales es convergente, se tiene que k
k
f x es convergente c.c.
Definamos una función f en por:
1
( ), ( )( )
0 ,
k
k
f x si g xf x
en otro caso
Entonces f es medible y satisface 2
f g , y 2( , , )f P .
Desde que las relaciones 1
lim ( ) ( ) 0n
kn
k
f x f x
y
2
1
( ) ( ) ( )n
k
k
f x f x g x
se cumplen
c.c., el teorema de la convergencia dominada implica que 1 2
lim 0n
kn
k
f f
.
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Es decir, la serie 1
n
k
k
f
absolutamente convergente es también convergente. Entonces,
por el teorema 1.2.29, 2( , , )L P es completo. ■
Definición 1.2.33 (Función Indicadora):
Sea E un conjunto. La función indicadora de un conjunto A E , denotada por AI , se
define como:
1,
0,A
x AI x
x A
Se definió al espacio 2( , , )P como el espacio de las variables aleatorias. Denotemos
X como un elemento de 2( , , )P . A continuación, se presenta el concepto
matemático de la variable aleatoria.
Definición 1.2.34 (Variable Aleatoria):
Una variable aleatoria X sobre el espacio medible ( , ) es una aplicación
:X
medible por las -algebras y (Borelianos):
1,B X B
Definición 1.2.35 (Momento y Función Generadora de Momentos):
El momento n - ésimo alrededor de la variable aleatoria X es:
( )n nE X x f x dx
Donde ( )f x es la función de distribución de una variable aleatoria X .
44
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Así mismo se define la función generadora de momentos de la variable aleatoria
X como:
( ) ( )tX tx
XM t E e e f x dx
Se denomina función generadora de momentos porque los momentos de X , nE X ,
pueden ser obtenidos derivando esta función y evaluando la derivada en 0t , como
establece el siguiente teorema.
Teorema 1.2.36:
Sea X una variable aleatoria para la cual existe la función generadora de momentos
( )XM t , entonces:
0
( )n
n
Xn
t
E X M tt
La demostración de este teorema se basa en el siguiente lema del cálculo diferencial e
integral:
Lema 1.2.37:
Si la función ( )g t definida por:
( ) ( )txg t e f x dx
Converge para todo ,t h h , para algún 0h , entonces existen las derivadas parciales
de orden n de ( )g t , para todo ,t h h y para todo n entero positivo y se obtienen
como:
45
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( )( )
n n tx
n n
g t ef x dx
t t
Demostración del Teorema 1.2.36:
Si la función generadora de momentos existe para todo ,t h h para algún 0h ,
aplicando el lema
( )( ) ( )
n n txn txX
n n
M t ef x dx x e f x dx
t t
Evaluando esta derivada en 0t
0
( )( )
nn nX
n
t
M tx f x dx E X
t
■
Veamos una aplicación de la obtención de momentos mediante el uso de la función
generadora de momentos:
Ejemplo:
Sea X una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro , o sea con
densidad
(0, )( ) ( )xf x e I x
Donde
(0, )
1, 0,( )
0, 0,
xI x
x
es la función indicadora.
Entonces
( )
0 0
( ) tX tx x t x
XM t E e e e dx e dx
46
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0
t xt e dx
t t
Siempre que t .
Calculemos ahora E X y V X :
2
0 0 0
( ) 1
( )
X
t t t
M tE X
t t t t
Como 22 ( )V X E X E X , calculemos 2E X :
22
2 42 2
0 00
2( ) 2X
t tt
tM tE X
t t t t
Entonces 2 2 2
2 1 1V X
.
1.2.3 Técnicas Estadísticas del Análisis Exploratorio de Datos
En el estudio de recursos de yacimientos mineros, se ubica una zona geográfica en la cual
se considera que existen minerales económicos y se toman muestras diversas. Así, se
perfora usando taladros para obtener muestras de la zona. Las muestras extraídas con los
taladros son llevadas a un laboratorio para ser analizadas y detectar los minerales de mena.
Esta información es dispuesta en una base de datos y es analizada.
Para poder iniciar el proceso de estimación de recursos de un yacimiento mineral, es
necesario hacer un estudio previo de los datos proporcionados usando algunas
herramientas de la estadística descriptiva. Esto con el fin de poder realizar una estimación
segura y confiable.
La estadística proporciona herramientas para estudiar a las variables aleatorias y para
analizar el comportamiento de sus realizaciones.
47
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A continuación, se hace un breve repaso de los conceptos de la estadística descriptiva que
se usan para analizar la información de la base de datos y se explica cómo se aplican estos
conceptos.
1.2.3.1 Histogramas
En el análisis estadístico de datos, el histograma es de importancia para caracterizar la
distribución de la variable en estudio.
El histograma se describe como una representación gráfica de la distribución de
mediciones reunidas en forma de una muestra. Exhibe la frecuencia o la cantidad de
observaciones de determinado valor, o dentro de cierto grupo.
Así, haremos uso de histogramas para:
1) Determinar el tamaño de compósito de los taladros, esto con el fin de lograr que
las variables en estudio sean aditivas. Se define la longitud de compósito como la
longitud que regulariza el tamaño de las muestras, de manera que tengan longitud
constante, que se traduce en un mismo soporte geométrico.
Se suele escoger como longitud de compósito a la longitud más frecuente que
presentan las muestras.
Ilustración 2: Compósito de longitud “c”
48
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Las muestras del taladro tienen longitudes 1 2 3, ,l l l y
4l . Los tamaños de las
muestras se uniformizan usando un compósito de longitud c .
Ejemplo: Histograma de la longitud de 23107 muestras tomadas con taladros:
Ilustración 3: Histograma de la selección de longitud de compósito
En este gráfico se observa que la moda es de 1.5 metros, la cual constituirá la
longitud de compósito.
2) Con frecuencia ocurre que se filtran valores muy altos o bajos de leyes de mineral
en comparación con la mayor parte de valores. Una de las aplicaciones de los
histogramas experimentales es para identificar valores altos, llamados valores
erráticos. La presencia de valores erráticos se puede deber a varias razones, entre
las cuales están que los valores pertenezcan a un evento geológico posterior, o
posibles errores que se hayan filtrado en los datos pese a un estudio previo de
control de calidad QA-QC (Técnicas estadísticas que permiten tener una data
representativa y confiable).
Fre
cuen
cia
Longitud
𝑓(𝑥)
𝑥
49
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Se determina el valor capping para la ley en estudio. El “capping” separa a los valores
erráticos de los demás valores de la zona en estudio.
Ejemplo: Histograma de la variable Zinc en partes por millón (ppm) de 5526 datos:
Ilustración 4: Histograma Experimental de la Variable Zinc sin capping
En la ilustración se aprecia que la variable Zinc tiene una distribución lognormal, pero
con una población adicional de valores altos mostrados en la “cola” del histograma
experimental.
Después de separar o eliminar los valores erráticos, usando un valor capping de 3000 ppm
(partes por millón), tenemos:
Fre
cuen
cia
Zinc (en ppm) 𝑥
𝑓(𝑥)
50
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Ilustración 5: Histograma Experimental de la Variable Zinc con capping
Así, se hacen estudios sólo con los valores de la variable que son menores que 3000 ppm.
3) Determinar el tipo de distribución de probabilidad que siguen las leyes minerales
en estudio. Las leyes de distribución más comunes en la práctica minera
corresponden a las distribuciones Lognormal y pocas veces a una distribucion
Normal.
Zinc (en ppm)
Fre
cuen
cia
𝑥
𝑓(𝑥)
51
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Ilustración 6: Distribución lognormal de la Variable Oro
Definición 1.2.38 (Función de Distribución):
La función de distribución para una variable aleatoria X denotada por ( )XF t , es una
función de una variable t tal que
1. El dominio de definición de XF es la línea completa de los reales
2. Para todo t , ( )XF t P X t
Así mismo, se define la función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria
continua X .
Fre
cuen
cia
Leyes de Oro 𝑥
𝑓(𝑥)
52
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Definición 1.2.39 (Función de Densidad):
La función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua X denotada
por ( )Xf x , es una función de una variable real x tal que
( )
t
X XF t f x dx
Y verifica
1. ( ) 0Xf x , para todo x
2. 1Xf x dx
En el estudio de yacimientos mineros, las leyes minerales presentan leyes de distribución
de probabilidad distintas, siendo la más frecuente la distribución lognormal. Las
distribuciones de probabilidad proporcionan indicios para la prospección geológica.
Modelos Teóricos de Distribución
Modelo de Distribución Log Normal
Ecuación de la función de densidad Log Normal:
2
2
1 (ln )
21( ) , 0
2
x
f x e xx
Dónde:
Media aritmética de los logaritmos
de las leyes de mineral
2 Varianza de los logaritmos de las leyes de mineral
Modelo de Distribución Normal
Ecuación de la función de densidad Normal o Gaussiano:
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2
2
( )1
21( ) , 0
2
y
y
y
y
f y e y
Dónde:
y Media aritmética de las leyes de mineral
2
y Varianza de las leyes de mineral
Distribución que está sustentada por el teorema del límite central.
A continuación, se procede a demostrar que la función en el modelo de distribución
normal es una función de densidad de probabilidad.
Teorema 1.2.40:
La función
2
2
( )1
21( ) , 0
2
y
y
y
y
f y e y
es en efecto una función de densidad de probabilidad.
Demostración:
Para que la función ( )f y sea función de densidad debe verificar:
1. ( ) 0f y , lo cual se deduce de la propia definición.
2. ( ) 1f y dy
.
En efecto, calculemos:
2
2
( )1
21
2
y
y
y
y
e dy
54
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Haciendo el cambio de variable:
y
y
yt
, y
y
dydt dy dt
Entonces queda:
2
2 2 22
( )11 1 1
22 2 2
0
1 1 1 2
2 2 2 2
y
y
y
t t t
y
e dy e dt e dt e dt
Llamemos 21
2
0
t
I e dt
. Calculemos 2I :
2 2 2 21 1 1
2 2 2 2
0 0 0 0
t s t s
I e dt e ds e dtds
Realizando un cambio a coordenadas polares:
coss r t rsen 0, 0,2
r
,
cos
cos
ds dr rsen d
dt sen dr r d
Donde:
cos
cos
rsenJ r
sen r
Entonces:
2 21 12 22 2 2
0 0 0 0
r r
I re drd d re dr
Haciendo el siguiente cambio de variable:
21
2r d rdr
212 2 2
2 2
0 0 0 00
12
r
I d e d d e d
55
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Con lo cual se tiene 2
2 2I
. Por lo tanto:
2
2
( )1
21 2 2 21
22 2 2
y
y
y
y
e dy I
Con lo que se verifica que la función
2
2
( )1
21( ) , 0
2
y
y
y
y
f y e y
en el modelo de distribución normal es una función de densidad de probabilidad. ■
Similarmente se procede a demostrar que la función en el modelo de distribución
lognormal es una función de densidad de probabilidad.
Teorema 1.2.41:
La función
2
2
1 (ln )
21( ) , 0
2
x
f x e xx
es en efecto una función de densidad de probabilidad.
Demostración:
1. ( ) 0f x se deduce de la propia definición.
2. ( ) 1f x dx
.
En efecto, calculemos:
2
2
1 (ln )
21
2
x
e dxx
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Haciendo el cambio de variable:
ln 1xt dt dx
x
Entonces queda:
2
2 2 22
1 (ln ) 1 1 12 2 2 2
0
1 1 1 2
2 2 2 2
xt t t
e dx e dt e dt e dtx
Llamemos 21
2
0
t
I e dt
. Calculemos 2I :
2 2 2 21 1 1
2 2 2 2
0 0 0 0
t s t s
I e dt e ds e dtds
Realizando un cambio a coordenadas polares:
coss r t rsen 0, 0,2
r
,
cos
cos
ds dr rsen d
dt sen dr r d
Donde:
cos
cos
rsenJ r
sen r
Entonces:
2 21 12 22 2 2
0 0 0 0
r r
I re drd d re dr
Haciendo el siguiente cambio de variable:
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21
2r d rdr
212 2 2
2 2
0 0 0 00
12
r
I d e d d e d
Con lo cual se tiene 2
2 2I
. Por lo tanto:
2
2
1 (ln )
21 2 2 21
22 2 2
x
e dx Ix
■
Se puede obtener una distribución normal aplicando el logaritmo natural a los valores de
una variable aleatoria que sigue una distribución lognormal.
Ejemplo:
Ilustración 7: Distribución Lognormal del Oro y distribución de sus logaritmos
7.a 7.b
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
𝑥 𝑥
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La variable Oro presenta una distribución Log Normal (7.a). Después de aplicar logaritmo
natural a sus valores, se obtiene una distribución normal (7.b), como en una gran mayoría
de variables correspondientes a las leyes de mineral.
Definición 1.2.42 (Correlaciones):
Mide la relación que existe entre variables en estudio, auxiliado por la construcción de
nubes de correlación. También se determina el coeficiente de Correlación r , definido
como una medida de la asociación entre las variables estadísticas. Se expresa como:
2 2
X Y
X Y
X Yr
X Y
Donde X y Y son las medias aritméticas de las variables aleatorias X e Y
respectivamente.
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Capítulo 2
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA
DE VARIABLES
REGIONALIZADAS
En este capítulo se definen los principales conceptos de la Teoría de Variables
Regionalizadas, se presentan las hipótesis de trabajo y se enfocan estas definiciones a la
aplicación en la estimación de yacimientos mineros.
2.1 La Geoestadística
La Teoría de Variables Regionalizadas o Geoestadística es una ciencia desarrollada por
el matemático francés Georges Matheron en 1950. Se define como “la aplicación del
formalismo de las Funciones Aleatorias al reconocimiento y a la estimación de fenómenos
naturales”.
Estudia todo aquel fenómeno en el que se considere la ubicación de los datos en el
espacio. Proporciona herramientas matemáticas útiles en diversas áreas de estudio. Es
aplicada en ciencias tales como la oceanografía, la geoquímica, la geología del petróleo,
la hidrogeología, la geometalurgia, la agricultura, entre otros. Debido a que es
ampliamente usada en ciencias de la tierra, recibe el nombre de Geoestadística.
2.2 Variable Regionalizada
De manera general, diremos que un fenómeno es regionalizado cuando se considera la
posición del dato en el espacio, manifestando una cierta estructura. Tal característica es
considerada por las variables regionalizadas.
60
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Para definir a la variable regionalizada, debemos considerar dos características
importantes:
El carácter aleatorio.
El carácter estructural de la regionalización.
El lenguaje probabilístico de las funciones aleatorias permite considerar este doble
aspecto aleatorio.
2.2.1 Funciones Aleatorias
Se definió el espacio 2( , , )A P como:
22 ( , , ) : :A P f f dP
el cuál es un espacio vectorial (Teorema 1.2.19).
Podemos adicionar una función a este espacio. Sea la función 2: ( , , )A P , a la
que definiremos por 2X E X .
Proposición 2.2.1:
2X E X es una seminorma.
Demostración:
Sean 2, ( , , )X Y A P y
a) 2 0X E X
b) 2 2 2 2X E X E X X
c) Desigualdad triangular:
2 2 2 2E X Y E X E Y E XY
61
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Por otro lado:
2 2 2 2 2 0E X Y E X E Y E XY
De acuerdo a la teoría de ecuaciones el discriminante no puede ser positivo, es
decir:
2 2 22 4 0E XY E Y E X
2 2 2 0E XY E Y E X
2 2E XY E X E Y
Entonces:
2 2 2 2 2 2
22 2
2 2E X E Y E XY E X E Y E X E Y
E X E Y
=
Comparando los extremos
22 2 2
2 2 2
E X Y E X E Y
E X Y E X E Y
X Y X Y
■
. no es norma, pues 0X no implica 0X . Esto resulta de la desigualdad de
Tchebychev, que será enunciada y demostrada a continuación.
Teorema 2.2.2 (Desigualdad de Tchebychev):
Si X es una variable aleatoria con momento de orden 2 finito y c una constante real,
entonces para cada número real 0 se cumple
62
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2
2
E X cP X c
Demostración:
Se sabe que
( )X
x c
P X c f x dx
donde Xf es la función de distribución. En la región de integración se verifica que
2 2
2
21
x c x c
x c
y por ello
2
2
2 2
1( ) ( )X X
x c
x cP X c f x dx x c f x dx
Dado que por hipótesis existe el momento de orden 2 de X , la integral impropia es
2
E X c
, con lo que queda demostrado el teorema. ■
Si se escoge 0c en el teorema anterior, se tiene que
2
2
E XP X
Asumiendo que 0X , entonces 2 0E X , con lo que se tendría:
0 0 0P X P X
Esto no necesariamente implica 0X . Basta escoger una variable aleatoria que asuma
valores menores al número . Con este teorema se verifica que . no es norma.
63
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Se definió el espacio 2( , , )L A P como:
2 2 2( , , ) ( , , ) / : ( , , )L A P A P R f f A P
Dónde la relación “ R ” está dada por:
XRY si y sólo si X Y c.c. (casi ciertamente).
Se mostró que 2( , , )L A P es espacio vectorial.
Podemos definir una función en 2( , , )L A P , denotada por y en términos de la
fórmula X X .
Proposición 2.2.3:
2X E X es norma en 2( , , )L A P .
Demostración:
Ya se demostraron las propiedades N1, N3 y N4 de la definición 1.2.2 de la norma X
en la proposición 2.2.1. Solo falta mostrar que se cumple la propiedad N2:
) 0 0 0 0
0 . . 0
X X X X
X c c X
) 0 0 0 0X X
Así, 2X E X verifica la propiedad 0 0X X . Por lo tanto,
2X E X es norma en 2( , , )L A P . ■
Además, la norma 2X E X está definida por el producto interno
,X Y E X Y .
64
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Lema 2.2.4:
Sean 2, ( , , )X Y A P . ,X Y E X Y es producto interno.
Demostración:
Sean 2
1 2, , , ( , , )X X X Y A P y
p1) 1 2 1 2 1 2,X X Y E X X Y E X Y X Y
1 2 1 2, ,E X Y E X Y X Y X Y
p2) , ,X Y E XY E XY X Y
p3) , ,X Y E XY E YX Y X
p4) 2, 0X X E X , si 0X
,X Y E X Y verifica las cuatro propiedades de la definición 1.2.1, con lo cual es un
producto interno. ■
En el marco de la teoría de la medida, la definición general de esperanza matemática de
una variable aleatoria :X es:
E X XdP
Con lo que se obtiene
12
22E X X dP
La cual es la norma 2
dada en la definición 1.2.15. Es decir que las normas
2X E X y
1
22
2f f dP
65
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definidas en el espacio 2( , , )L A P , son iguales.
Además, en la proposición 1.2.32 se mostró que 2( , , )L A P es completo con la norma
2. Entonces también es completo con la norma 2X E X , y dado que esta
norma proviene del producto interno definido como ,X Y E X Y , se tiene que
2( , , )L A P es un espacio Hilbert con la norma 2X E X .
Definición 2.2.5 (Función Aleatoria):
Llamaremos Función Aleatoria (F.A.) a un conjunto infinito de variables aleatorias
pertenecientes al conjunto 2( , , )A P y que en general son no independientes.
Observación 2.2.6:
Consideremos la ley de cobre ( ) 1.8%ix Z , con 3
ix . Decimos que 1.8% de cobre
es una realización particular de una cierta variable aleatoria ( )Z x en el punto 3
ix .
Así, el conjunto de leyes ( )xZ , con 3x , es una realización particular del conjunto de
todas las variables aleatorias ( )Z x , 3x . Este conjunto infinito de variables aleatorias
es llamado función aleatoria y será denotado por ( )Z x .
La expresión “Función Aleatoria” contiene el doble aspecto aleatorio y estructural al cuál
se hizo mención al inicio de esta sección:
- Cada uno de los elementos de la función aleatoria es una variable aleatoria.
- Dos variables aleatorias ( )iZ x y ( )iZ x h de una función aleatoria ( )Z x están
ligadas por correlaciones.
Así, considerando 2( , , )L A P como un espacio de Hilbert de clases de equivalencia de
variables aleatorias, llamaremos Función Aleatoria 2( ) ( , , )Z x L A P a una función
cuyos valores para cada x son variables aleatorias.
66
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Se procede a definir a la variable regionalizada.
Definición 2.2.7 (Variable Regionalizada):
La Geoestadística define a la variable regionalizada ( )xZ como una realización
particular de una cierta variable aleatoria en la cual se considera su regionalización.
Una regionalización es el desplazamiento en el espacio de un cierto fenómeno que puede
caracterizarse por magnitudes.
Ejemplos de variables regionalizadas:
El grado de absorción del dióxido de carbono (2CO ) de los árboles de una
determinada zona.
El grado de salinidad del mar peruano.
La porosidad de la tierra, factor importante en la extracción de petróleo.
La precipitación fluvial en regiones de la tierra.
Las leyes minerales, que se definen como el tenor metálico que constituye el valor
de la variable regionalizada en la estimación de recursos mineros.
El ancho de la copa de los árboles, que esta correlacionada positivamente con el
ancho del tronco, esto para la estimación de recursos forestales.
Las estaciones de monitoreo de medio ambiente a nivel de ríos miden la presencia
de contaminantes como arsénico, plomo y cadmio en el agua del río. En este caso
no se trabaja en el espacio sino en el tiempo.
La presencia de plomo y otros contaminantes para medir la calidad del aire.
Entre muchos otros.
Podemos ilustrar la observación 2.2.6 en el siguiente gráfico:
67
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Ilustración 8: Representación de la variable regionalizada en el espacio
Donde:
- h es un vector de distancia.
- 1( )xZ ,
2( )xZ , … ,3( )xZ son las variables regionalizadas que representan a
la característica observada, como la ley de un mineral.
- 1( )Z x ,
2( )Z x , …, ( )nZ x son variables aleatorias
- ( )Z x representa a la función aleatoria (F.A.).
Remarcando: La Geoestadística considera a la Variable Regionalizada en estudio ( )xZ
como una realización particular de una cierta variable aleatoria perteneciente al espacio
vectorial 2( , , )A P , y el conjunto de variables aleatorias constituye la función aleatoria
( )Z x que pertenece al espacio de Hilbert 2( , , )L A P .
68
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Así, la norma de ( )Z x es 2( ) ( )Z x E Z x , que está definida por el producto interno:
( ), ( ) ( ) ( )Z x Z y E Z x Z y .
Para una variable aleatoria ( )Z x , tenemos:
Para cada nx , la media aritmética:
( ) ( )m x E Z x
La varianza:
2 ( )x 2 2( ) ( )E Z x m x
Definición 2.2.8 (Covarianza):
La covarianza de dos variables aleatorias 1( )Z x y 2( )Z x , con 1 2, nx x se define como:
1 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( )C x x E Z x m x Z x m x
Proposición 2.2.9:
La covarianza también puede ser calculada mediante la siguiente expresión:
1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( )C x x E Z x Z x m x m x , 1 2, nx x
Demostración:
Desarrollando la igualdad 1 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( )C x x E Z x m x Z x m x :
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
E Z x m x Z x m x
E Z x Z x Z x m x m x Z x m x m x
69
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1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
E Z x Z x E Z x m x E m x Z x E m x m x
E Z x Z x m x m x m x m x m x m x
E Z x Z x m x m x
Con lo que se tiene otra formulación de la función covarianza:
1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( )C x x E Z x Z x m x m x ■
Denotemos ( )C h como la covarianza de la variable aleatoria ( )Z x en dos puntos
separados por un vector nh :
( )
( ) ( )
C h E Z x m x Z x h m x h
E Z x Z x h m x m x h
Si consideramos 0h en la fórmula de la covarianza ( )C h , tendremos
2 2
(0)C E Z x m x Z x m x
E Z x m x
La cual es la fórmula de la varianza de la variable aleatoria Z x .
Ejemplo:
Supongamos que se tiene la siguiente línea de muestreo de la variable regionalizada ley
de mineral de cobre, en la que la distancia entre las muestras es h .
Ilustración 9: Línea de muestreo para calcular la covarianza
( )C h E Z x m x Z x h m x h
70
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Para 0h :
1 2 3 4 6 53.5
6
1 2 3 4 6 50 3.5
6
E Z x
E Z x
2 2 2 2 2 21 3.5 2 3.5 3 3.5 4 3.5 6 3.5 5 3.5
0 3.56 1
C
Para h :
1 2 3 4 6
3.25
E Z x
2 3 4 6 5
45
E Z x h
1 3.2 2 4 2 3.2 3 4 3 3.2 4 4 4 3.2 6 4 6 3.2 5 4
2.55 1
C h
Para 2h :
1 2 3 42.5
4
3 4 6 52 4.5
4
E Z x
E Z x h
1 2.5 3 4.5 2 2.5 4 4.5 3 2.5 6 4.5 4 2.5 5 4.5
2 1.334 1
C h
De manera similar se calculan 3C h y 4C h , obteniéndose la siguiente gráfica:
71
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Ilustración 10: Gráfica de la función covarianza
En la práctica, la media m x , nx , de las leyes minerales en el yacimiento en estudio
es desconocida. Debido a esto, en adelante anularemos la esperanza matemática m x en
la fórmula de la covarianza, con lo cual se obtiene la fórmula de la covarianza no centrada:
( ) ( ) ( )C h E Z x Z x h , nh
Usaremos esta igualdad para trabajar con la covarianza.
Corolario 2.2.10:
Sean , nx y . Además de cumplir con las propiedades correspondientes a la norma,
2( ) ( )Z x E Z x también verifica:
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
Co
vari
anza
h
Gráfica de la función Covarianza
72
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1. ( ), ( ) ( ) ( ) Desigualdad de Cauchy - Schwarz.
2. ( ) ( ) ( ) ( ) Desigualdades triangulares
3. ( ) ( ) ( ) ( )
Z x Z y Z x Z y
Z x Z y Z x Z y
Z x Z y Z x Z y
Demostración:
1. Sean las variables aleatorias ( ), ( )Z x Z y , con , nx y .
Para cualquier t , las variables aleatorias satisfacen
2
( ) ( ) 0tZ x Z y
Esto implica que
2
( ) ( ) 0E tZ x Z y
Y de esta desigualdad se sigue
2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0E Z x t E Z x Z y t E Z y
Por lo que la ecuación de segundo grado correspondiente, en la variable t ,
tiene sólo una raíz real doble o dos raíces complejas conjugadas. De acuerdo a la
teoría de ecuaciones, el discriminante no puede ser positivo, es decir
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 2.1
( ) ( ) ( ) ( )
( ), ( ) ( ) ( )
E Z x Z y E Z x E Z y
E Z x Z y E Z x E Z y
E Z x Z y E Z x E Z y
E Z x Z y E Z x E Z y
Z x Z y Z x Z y
2. Sean las variables aleatorias ( ), ( )Z x Z y
73
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Se verifica que
2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2.2E Z x Z y E Z x E Z y E Z x Z y
Por otro lado, analizando el término 2 ( ) ( )E Z x Z y y aplicando la desigualdad
(2.1):
2 2 2
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
E Z x Z y E Z x E Z y
E Z x Z y E Z x Z y E Z x E Z y
E Z x Z y E Z x E Z y
Reemplazando en (2.2)
2 2 2 2 2
22 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
E Z x Z y E Z x E Z y E Z x E Z y
E Z x Z y E Z x E Z y
E Z x Z y E Z x E Z y
Z x Z y Z x Z y
3. Sean las variables aleatorias ( ), ( )Z x Z y
Se verifica que
2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )E Z x Z y E Z x E Z y E Z x Z y
Por la desigualdad 2.1
2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )E Z x Z y E Z x E Z y E Z x E Z y
Luego
74
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22 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
E Z x Z y E Z x E Z y
E Z x Z y E Z x E Z y
Z x Z y Z x Z y
Con lo cual queda demostrada la proposición. ■
2.2.2 Convergencia y Continuidad en Media Cuadrática
Se presentan los conceptos de convergencia y continuidad en media cuadrática.
Definición 2.2.11 (Convergencia en Media Cuadrática):
Se dice que una función aleatoria ( )Z x converge en media cuadrática (m.c.) hacia una
F.A. ( )Z x cuando tiende a 0 si:
0
lim ( ) ( ) 0Z x Z x
, nx
Definición 2.2.12 (Continuidad en Media Cuadrática):
Una F.A. ( )Z x es continua en media cuadrática si:
( ) ( ) 0Z x h Z x cuando 0h
Teorema 2.2.13:
Sean , ' nx x . Si se cumple que
0
0
. .
. .
' ' '
( ) ( )
( ') ( ')
m c
m c
Z x Z x
Y x Y x
75
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Entonces '( ) ( ')E Z x Y x converge en media cuadrática hacia ( ) ( ')E Z x Y x cuando
0 y 0' ' .
Demostración:
'
' '
' '
( ) ( ') ( ) ( ')
( ) ( ) ( ') ( ') ( ) ( ') ( ) ( ') 2 ( ) ( ')
( ) ( ) ( ') ( ') ( ') ( ) ( ) ( ) ( ') ( ')
Z x Y x Z x Y x
Z x Z x Y x Y x Z x Y x Z x Y x Z x Y x
Z x Z x Y x Y x Y x Z x Z x Z x Y x Y x
=
Entonces:
'
' '
( ) ( ') ( ) ( ')
( ) ( ) ( ') ( ') ( ') ( ) ( ) ( ) ( ') ( ')
E Z x Y x Z x Y x
E Z x Z x Y x Y x E Y x Z x Z x E Z x Y x Y x
Luego,
'
' '
' '
'
( ) ( ') ( ) ( ')
( ) ( ) ( ') ( ') ( ') ( ) ( ) ( ) ( ') ( ')
( ) ( ), ( ') ( ') ( '), ( ) ( ) ( ), ( ') ( ')
( ) ( ) ( ') ( ') ( ') ( )
E Z x Y x Z x Y x
E Z x Z x Y x Y x E Y x Z x Z x E Z x Y x Y x
Z x Z x Y x Y x Y x Z x Z x Z x Y x Y x
Z x Z x Y x Y x Y x Z x Z
=
'( ) ( ) ( ') ( ')x Z x Y x Y x
'
' '
( ) ( ') ( ) ( ')
( ) ( ) ( ') ( ') ( ') ( ) ( ) ( ) ( ') ( ')
E Z x Y x Z x Y x
Z x Z x Y x Y x Y x Z x Z x Z x Y x Y x
Aplicando las hipótesis del teorema:
00
. .( ) ( ) ( ) ( ) 0m cZ x Z x Z x Z x lim
00
. .
' '' ' ' '( ') ( ') ( ') ( ') 0m cY x Y x Y x Y x
lim
Entonces:
0
0
'
' '
0 lim ( ) ( ') ( ) ( ') 0E Z x Y x Z x Y x
76
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0
0
'
' '
lim ( ) ( ') ( ) ( ')E Z x Y x E Z x Y x
■
Teorema 2.2.14:
Si la función aleatoria ( )Z x es continua en media cuadrática, entonces la función
covarianza ( )C h es continua en 0.h Más aún ( )C h será continua en todo su dominio.
Demostración:
2 2 2
2
0 0 2
2 0
E Z x h Z x E Z x h E Z x E Z x h Z x
C C C h
C C h
Entonces
21
02
E Z x h Z x C C h
Por hipótesis ( )Z x es continua:
2
00
hZ x h Z x E Z x h Z x
Entonces
2
0lim 0h
E Z x h Z x
Esto implica:
0
lim 0h
C h C
lo cual muestra que C h es continua en 0h .
Mostremos ahora que C h es continua nh :
77
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Por hipótesis la función aleatoria Z x es continua en media cuadrática, entonces dado
0
. .
0
m c
Z x h Z x h
Además
. .m c
Z x Z x
Aplicando el teorema 2.2.13
. .
0
m c
E Z x Z x h E Z x Z x h
O lo que es lo mismo:
. .
0
m c
C h C h
Lo que comprueba que C h es continua nh . ■
En la estimación de yacimientos mineros, se toman muestras de una zona de exploración
para identificar los recursos minerales existentes. Con la información obtenida de las
muestras, se desea conocer la ley de distribución de las leyes minerales y la ley media.
El conocimiento de una única realización ( )xZ de la función aleatoria ( )Z x , limitada a
un número de muestras ix del espacio muestral , no permite conocer la ley de
distribución, ni la ley media de todas las leyes minerales de la zona en estudio. Es
necesario conocer varias realizaciones 1( )xZ ,
2( )xZ ,…, ( )kxZ de nuestra función
aleatoria ( )Z x para reconstituir la ley de distribución; Esto supone lograr que la inferencia
estadística sea posible.
Entonces, se deben introducir hipótesis sobre la función aleatoria, a fin de hacer posible
la inferencia de los valores de la variable regionalizada.
78
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2.3 Hipótesis de Trabajo de la Geoestadística
(Marín, Apuntes de Curso de Post-Grado de Geoestadística Aplicada en Maestría de
Geología de UNSA, 2014) Para aplicar la modelación por medio de las funciones
aleatorias, se hace necesario establecer las siguientes hipótesis:
2.3.1 Hipótesis Estacionaria
Una función aleatoria ( )Z x , nx , es denominada estacionaria o estacionaria estricta o
que satisface la hipótesis estacionaria si su ley de distribución es invariante por traslación.
Así se tiene que la media y la covarianza satisfacen:
( ) ( )m x m x h m constante
1 2 1 2( , ) ( , )C x x C x h x h , con 1 2, , nx x h
De aquí resulta que la media ( )m x es una constante y que la covarianza 1 2( , )C x x depende
de la diferencia 2 1x x .
Definición 2.3.1 (Función Aleatoria Estacionaria):
Se dice que una F.A. ( )Z x es estacionaria si siendo 1 2, ,..., nx x x n puntos arbitrarios y
nh un vector cualquiera, las n variables regionalizadas 1( )xZ ,
2( )xZ ,…, ( )nxZ
tienen la misma ley de distribución que las n variables regionalizadas 1( )x hZ ,
2( )x hZ ,…, ( )nx hZ .
Gráficamente:
79
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Ilustración 11: La Ley de Distribución es Invariante por traslación
El carácter estacionario implica la homogeneidad de la función aleatoria ( )Z x en el
espacio, y significa que el fenómeno representado por ( )Z x se repite indefinidamente en
el espacio, y esta repetición hace posible la inferencia estadística.
La condición anterior es muy estricta, pues resulta difícil aceptar que las variables
aleatorias que conforman la función aleatoria tengan la misma función de distribución de
probabilidad. Normalmente la función de distribución varía a medida que nos movemos
en el espacio. A continuación, se presenta una hipótesis menos estricta.
2.3.2 Hipótesis Estacionaria de Orden 2
Definición 2.3.2 (Función Aleatoria Estacionaria de Orden 2):
Decimos que una F.A. es estacionaria de orden 2 si la variable aleatoria ( )Z x admite una
esperanza matemática m independiente del punto nx :
( )E Z x m
Fre
cuen
cia
F
recu
encia
80
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y si para todo vector nh , la covarianza:
( ) ( ) ( )C h E Z x Z x h
existe y es independiente de x , nx .
Aplicándose en esta hipótesis una función de gran trascendencia en la geoestadística, que
el profesor Matheron denominó Variograma, cuya expresión es la siguiente:
2
2 ( ) ( ) ( ) , , nh E Z x Z x h x h
La función variograma será definida formalmente al inicio de la siguiente sección.
Proposición 2.3.3:
Con la hipótesis estacionaria de orden 2, se cumple la relación:
( ) (0) ( ), nC h C h h
Demostración:
En efecto
( ) ( ) ( ) ( ) 0E Z x h Z x E Z x h E Z x
2 2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
2 0 2
E Z x h Z x E Z x h Z x Z x h Z x
E Z x h E Z x E Z x h Z x
C C h
=
Luego se tiene:
( ) (0) ( )h C C h
Acomodando los términos:
( ) (0) ( )C h C h ■
81
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Gráficamente:
Ilustración 12: Relación entre Variograma y Covarianza
En esta hipótesis también se presenta el variograma cruzado:
2 ( ) ( ) ( ) ( ) , , n
AB A A B Bh E Z x Z x h Z Z x h x h
Entre dos variables A y B.
El variograma cruzado será definido y ejemplificado en la subsección 2.4.6.
La Geoestadística se interesa en los valores de los incrementos ( ) ( )x x h Z Z de la
variable regionalizada ( )xZ , y postula la estacionaridad de estos incrementos:
2.3.3 Hipótesis Intrínseca
La hipótesis intrínseca es más débil que la hipótesis estacionaria de orden 2, dado que la
estacionaridad se limita a los puntos donde
( ) ( ), nE Z x m x x
Es decir que la media depende de x . En esta hipótesis también se aplica la función
variograma
82
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2
2 ( ) ( ) ( ) , nh E Z x Z x h x
Georges Matheron, en su obra “Cours de Géostatistique”, define la hipótesis intrínseca
de la siguiente manera:
Definición 2.3.4 (Función Aleatoria Intrínseca):
“Se dice que una función aleatoria ( )Z x sobre n satisface la hipótesis intrínseca o que
es una F.A. intrínseca si para todo nh , la F.A.:
( ) ( )Z x h Z x
es una F.A. estacionaria sobre n y la esperanza de la F.A. ( )Z x depende de x ”.
Así dos parejas de datos ( ) ( )i iZ x Z x h y ( ) ( )j jZ x Z x h separados por el
mismo vector h se consideran como dos realizaciones diferentes del mismo incremento
( ) ( )Z x Z x h .
( ) ( )E Z x m x , nx
( ) ( )E Z x h Z x m h
2
2 ( ) ( ) ( )h E Z x h Z x , nx
Es decir, la hipótesis intrínseca se presenta cuando la función crece o decrece
rápidamente.
Gráficamente, los dominios de aplicación de la hipótesis estacionaria de orden 2 y de la
hipótesis intrínseca pueden ser ilustrados de la siguiente manera:
83
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Ilustración 13: Dominios de las hipótesis intrínseca y estacionaria de orden 2
Donde:
2D : Dominio de la zona estacionaria de orden 2. Las variables regionalizadas
presentan estacionaridad, es decir las leyes oscilan alrededor de la ley promedio.
1D y 3D : Dominio de la zona intrínseca. Hay aumento y descenso en las
variables regionalizadas. Se presenta estacionaridad en los incrementos.
Bajo esta hipótesis intrínseca, los datos disponibles ( ) :i ix x Z permiten la
estimación del momento de orden dos de los incrementos, es decir la estimación de la
función variograma.
2.4 Análisis Estructural
2.4.1 Covarianza
Retomamos el concepto de la función covarianza, pero considerando que se cumple la
hipótesis estacionaria de orden 2.
84
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Definición 2.4.1 (Covarianza):
Consideremos dos puntos 0x y 0x h en n . La covarianza de las dos variables
aleatorias 0( )Z x y 0( )Z x h fue definida como: 0 0( ) ( )E Z x Z x h y depende del punto
0
nx y del vector nh : 0( , )C x h . Si consideramos que se verifica la hipótesis
estacionaria de orden 2, tenemos que la covarianza depende únicamente del vector nh
: ( )C h .
( ) ( ) ( )C h E Z x Z x h , nh
Proposición 2.4.2:
Sean , nx h . La covarianza verifica las propiedades:
1. ( ) ( )C h C h
2. 2(0) ( ) 0C E Z x
3. ( ) (0)C h C (desigualdad de Cauchy-Schwarz)
Demostración:
Se procede a verificar las propiedades:
1. Se sabe que ( ) ( ) ( )C h E Z x Z x h . Por la hipótesis estacionaria de orden 2, la
covarianza es independiente de nx . Entonces podemos aplicar ( )C h en el
punto x h :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
C h E Z x h Z x h h
E Z x h Z x
E Z x Z x h
=
=
85
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Lo cual verifica que ( ) ( )C h C h .
2. 2
(0) ( ) ( ) ( ) 0C E Z x Z x E Z x
3. Demostraremos que ( ) (0)C h C por contradicción:
Supongamos ( ) (0),C h C h . Entonces esta desigualdad se cumple en
particular para 0h : (0) (0)C C .
Por otro lado 2
(0) ( ) 0C E Z x , lo cual implica (0) (0)C C .
Contradicción a la hipótesis (0) (0)C C .
Por lo tanto ( ) (0)C h C . ■
Si consideramos 0h , 2(0) ( )C E Z x , que es la varianza (no centrada) de la variable
aleatoria ( )Z x .
2.4.2 Variograma
La función Variograma es un gran aporte teórico y práctico de la Geoestadística. Tiene
aplicaciones en las ciencias de la tierra y múltiples aplicaciones en otras disciplinas.
Definición 2.4.3 (Variograma):
Sean x y x h dos puntos en el espacio n y ( )Z x una función aleatoria. La función
variograma : n de la función aleatoria ( )Z x se define como:
21
( ) ( ) ( ) ,2
nh E Z x h Z x x
Que en su forma discreta está definida por:
86
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( )
2
1
( ) ( )
( )2 ( )
n h
i i
i
Z x Z x h
hn h
, nx
Y en su forma continua:
21
( )2
V
h Z x h Z x dx
Con V dominio en donde se estima la variable.
Dónde nh es un vector que señalará la dirección en la que estamos analizando las
muestras. ( )n h representa al número de parejas de muestras con las que se hacen cálculos
que en la práctica depende de h .
En rigor, la formulación debería ser Eh , donde
Eh denota a la norma euclidiana
del vector h , pero para simplificar la notación se asume que h representa a su norma.
En la práctica, podemos dar el siguiente concepto práctico de variograma:
𝛾(ℎ) =1
2∗ 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜{(𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠)2 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ℎ 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎}
Proposición 2.4.4:
( )h verifica las siguientes propiedades:
1. (0) 0
2. ( ) 0, nh h
3. ( ) ( ), nh h h
87
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Demostración:
1. 21 1
(0) ( ) ( ) 0 02 2
E Z x Z x E
2. Dado que 2
( ) ( ) 0Z x h Z x , se tiene que ( ) 0,h h .
3. Se sabe que 21
( ) ( ) ( )2
h E Z x h Z x
, que como se ve es independiente de
nx . Entonces podemos aplicar ( )h en el punto x h :
2
2
2
1( ) ( ) ( )
2
1( )
2
1( ) ( ) ( )
2
h E Z x h h Z x h
E Z x Z x h
E Z x h Z x h
=
=
Lo cual verifica que ( ) ( ), nh h h . ■
La última relación indica que ( )h es una función par. Esto proviene del hecho que si
dos variables regionalizadas 1( )xZ y 2( )xZ en dos puntos 1x y 2x están separados una
distancia h , entonces 2 2
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )x x x x Z Z Z Z .
Es de notar que de la igualdad ( ) (0) ( )h C C h y del teorema 2.2.14, se tiene que la
función variograma ( )h es una función continua.
Se debe resaltar que el variograma nos permite dar cuenta del aspecto estructural del
fenómeno estudiado, aspecto estructural no contemplado por la estadística descriptiva.
En la subsección 2.4.4 se presentan dos ejemplos del cálculo de variogramas, pero antes
se presentan algunas definiciones importantes.
88
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En la práctica, se hacen variogramas siguiendo varias direcciones para estudiar la
estructura del fenómeno en estudio y se analizan los parámetros que se presentan en la
siguiente definición.
Definición 2.4.5 (El Variograma Experimental):
Es el variograma que se obtiene en la aplicación práctica. Los parámetros deducidos del
variograma experimental son los siguientes:
a) Pepita ( oc ): Cuantifica el error de muestreo, de laboratorio y la erraticidad propia
de la variable. Entiéndase por erraticidad como una medida empírica que
cuantifica la fluctuación de los valores de las variables regionalizadas. En la
gráfica de la función variograma, se obtiene de extrapolar la curva experimental
hacia el eje vertical.
b) Alcance ( a ): Indica la distancia hasta la cual las muestras guardan relación entre
ellas. En la gráfica de la función variograma, el alcance se reconoce por ser la
interdistancia h a partir de la cual el variograma cambia de pendiente y toma un
valor constante. Es decir, la función que lo modela deja de tener una tendencia
monótona creciente.
c) Meseta (C ): Valor constante que toma el variograma cuando h a .
Ilustración 14: Representación gráfica del alcance, pepita y meseta
0c
a
( )h
C
89
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De la ilustración 14, los puntos azules representan a las realizaciones de la función ( )h
y la curva roja es la gráfica de un modelo teórico que se ajusta al variograma experimental.
Se presentarán estos modelos en la definición 2.4.10.
Es de notar que el error de muestreo y error de laboratorio son lo que en QA-QC se conoce
como error fundamental, también llamado “ruido”.
En el proceso de estimación de recursos de yacimientos mineros, se calcula el valor
aproximado de la ley mineral en aquellos puntos o en volúmenes de bloques donde no se
ha muestreado o se desea estimar, haciendo uso de los valores de las leyes minerales
(variables regionalizadas) en las muestras, que frecuentemente en la exploración de
recursos mineros, fueron tomadas con taladros.
Para determinar qué muestras deben ser consideradas para calcular la ley mineral en un
determinado punto o volumen de un bloque del espacio, se hace uso del elipsoide de
influencias.
Definición 2.4.6 (Elipsoide de Influencias):
El elipsoide de influencias se usa para seleccionar las muestras que van a intervenir en la
estimación de la variable en estudio.
Sus tres semiejes están dados por los dos mayores alcances de los variogramas con
direcciones perpendiculares entre sí, y el alcance del variograma cuya dirección es el
producto vectorial de las dos direcciones anteriores, de manera que todas las direcciones
son perpendiculares entre sí.
90
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Ilustración 15: Elipsoide de Influencias determinado por tres alcances
Donde 1a ,
2a y 3a son los alcances en direcciones perpendiculares correspondientes a
una variable en estudio.
La ecuación del elipsoide es entonces
2 2 2
1 2 32 2 2
1 2 3
1, , , 0x y z
a a aa a a
El modelo de bloques del mineral del yacimiento en estudio es subdividido en bloques
cuyas dimensiones son fijadas por restricciones operacionales. Se coloca el elipsoide de
influencias en el centro de cada bloque unitario para seleccionar las muestras con las
cuáles se calculará el valor aproximado de la ley mineral en el bloque, como se ilustra en
el siguiente gráfico:
91
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Ilustración 16: Elipsoide de Influencias centrado en un bloque por estimar
Las líneas verdes, rojas y amarillas representan a las muestras tomadas con taladros.
Definición 2.4.7 (Isotropía y Anisotropía):
La Isotropía y la Anisotropía son características del fenómeno en estudio. Así decimos
que el fenómeno tiene:
Isotropía si el variograma es el mismo, en alcance y meseta, en todas las
direcciones.
Anisotropía si la variable en estudio presenta alcances de magnitudes diferentes
en las distintas direcciones. Tenemos dos tipos:
Anisotropía geométrica, si en las diferentes direcciones solo varía el
alcance mas no la meseta de los variogramas.
Anisotropía Zonal cuando además del alcance, también varía la meseta en
las diferentes direcciones.
Es de notar que la pepita 0c se mantiene constante cuando se modeliza el variograma, en
el fenómeno isótropo y anisótropo.
92
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Definición 2.4.8 (Azimut y Dip):
La dirección en la que se construye un variograma queda definida en términos
topográficos por un ángulo horizontal llamado Azimut y un ángulo vertical llamado
Inclinación (Dip).
Azimut: Ángulo horizontal con respecto al norte, medido en sentido horario, que
cubre las direcciones de interés dentro de los 360°.
Dip: Ángulo con respecto al horizonte, con valores de elevación angular positivos
y negativos.
Definición 2.4.9 (Tolerancias):
En general las muestras no están exactamente alineadas en la dirección de interés dada
por los ángulos de azimut y dip, y/o no están separadas exactamente entre sí por una
distancia E
h . Para superar esta situación se dan tolerancias angulares para el azimut y el
dip y tolerancias en distancias o tolerancias de paso.
Adicionalmente se suele considerar un ancho de banda para restringir la selección de las
muestras en una dirección dada.
Ilustración 17: Tolerancias angulares y en distancia
93
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Definición 2.4.10 (Modelos de Variogramas):
En la geoestadística existen modelos de variogramas llamados variogramas teóricos que
se ajustan a los variogramas experimentales, los cuales son los obtenidos en la práctica.
A continuación, se definirán cinco modelos teóricos (Marín, Apuntes de Curso de Post-
Grado de Geoestadística Aplicada en Maestría de Geología de UNSA, 2014):
El modelo lineal: Es un modelo básico que consiste en un efecto pepita puro.
0( ) , 0h c h
Ilustración 18: Gráfica del modelo lineal
El modelo esférico o modelo de Matheron: Es uno de los modelos más
importantes. Corresponde a un crecimiento gradual del variograma experimental
hasta llegar a la meseta. Su modelo es:
3
3
3 1
( ) , 0,2 2
,
h hC
h h aa a
C h a
Donde C es la meseta. Recordemos que h denota a su norma euclidiana.
Modelo lineal
94
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Ilustración 19: Gráfica del modelo esférico o de Matheron
El modelo exponencial o modelo de Formery: Crece más lentamente que el
modelo esférico y tiene por ecuación:
3
( ) 1 , 0h
ah C e h
Ilustración 20: Gráfica del modelo exponencial o de Formery
El modelo de “Trou”: Sirve para representar el efecto de hoyo, que se da cuando
el variograma presenta máximos y mínimos locales; su ecuación es:
C
95
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( )( ) 1 , 0
sen ahh h
ah
Ilustración 21: Gráfica del modelo “trou” o de efecto hole
El modelo gaussiano: Tiene un comportamiento parabólico en el origen; su
ecuación es:
2
2
( ) 1 , 0
h
ah C e h
Ilustración 22: Gráfica del modelo gaussiano
96
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Se debe tener en cuenta que la función variograma asume el valor de 0 cuando 0h en
cada uno de los modelos presentados anteriormente.
2.4.3 Ajuste con variogramas teóricos
El variograma experimental se modela aplicando modelos teóricos como los presentados
anteriormente. En forma heurística, se determina el efecto pepita, luego se ensaya que
modelo o modelos logran representar al variograma experimental. Esta operación suele
hacerse en forma interactiva con la ayuda de un software.
Ilustración 23: Ajuste de variograma en un software de la industria minera
La ilustración corresponde al ajuste con un modelo esférico y un modelo lineal de un
variograma experimental en la dirección azimut 90º dip 30º, considerando que el
fenómeno en estudio es anisótropo.
El modelo teórico de variograma es el siguiente:
3
3
3 11.30 5.06
( ) , 0,17.82 17.8 2 17.8
6.36, 17.8
h h
h h
h
97
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Este ajuste fue realizado haciendo uso del software industrial DATAMINE V. 3.2. En el
capítulo 4 se tratará más sobre este software.
2.4.4 Diferencia Básica entre el Tratamiento Estadístico Descriptivo y el
Geoestadístico
A continuación, se presenta una forma para demostrar en forma práctica-numérica la
diferencia entre la estadística y la geoestadística.
Ejemplo:
En una línea de muestreo de una zona A, tenemos los siguientes valores de la variable
regionalizada plomo en ppm (partes por millón):
Ilustración 24: Línea de muestreo A
Realizamos un análisis estadístico básico.
a) Media aritmética:
6.35
42615
x
b) La varianza:
2 2 2 2 2
25 3.6 1 3.6 6 3.6 2 3.6 4 3.6
5 1
2 4.3
c) El coeficiente de variación:
4.30.58
3.6cv
x
98
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d) Histograma
Ilustración 25: Histograma de la línea de muestreo A
En otra línea de muestreo en una zona B, tenemos los mismos valores de la variable
regionalizada plomo en ppm, pero dispuesto de la siguiente forma;
Ilustración 26: Línea de muestreo B
es decir, un fenómeno estructuralmente muy diferente, a pesar de tener los mismos valores
de leyes.
Obtenemos la media aritmética, la varianza, el coeficiente de variación y el histograma
para esta línea de muestreo:
a) Media aritmética:
6 5 4 2 13.6
5x
b) La varianza:
2 2 2 2 2
26 3.6 5 3.6 4 3.6 2 3.6 1 3.6
5 1
99
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2 4.3
c) El coeficiente de variación:
4.30.58
3.6cv
x
d) Histograma
Ilustración 27: Histograma de la línea de muestreo B
Vemos que se obtienen los mismos resultados que los obtenidos en la Zona A. Es decir,
con esta estadística descriptiva no logramos diferenciar dos fenómenos totalmente
diferentes.
Ahora procedemos a construir los Variogramas de la Zona A y B
- Graficando el variograma para la zona A.
Ilustración 28: Análisis con variogramas de la línea de muestreo A
100
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Ilustración 29: Variograma de la línea de muestreo A
- Graficando el variograma para la zona B.
Ilustración 30: Análisis con variogramas de la línea de muestreo B
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
5 1 1 6 6 2 2 4( ) 7.625
4 2
5 6 1 2 6 4(2 ) 1.000
3 2
5 2 1 4(3 ) 4.500
2 2
5 4(4 ) 0.500
1 2
hx
hx
hx
hx
)(h
h
101
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Ilustración 31: Variograma de la línea de muestreo B
Al realizar el análisis estadístico descriptivo tradicional de las líneas de muestreo de la
Zona A y la Zona B, correspondientes a la variable regionalizada plomo, obtenemos los
mismos resultados estadísticos, es decir que este análisis estadístico descriptivo no nos
ayuda a dar cuenta del aspecto estructural de estos dos fenómenos totalmente diferentes.
En tanto, al aplicar la función Variograma vemos que esta herramienta sí representa el
aspecto estructural del fenómeno en estudio y además permite hacer una distinción entre
las líneas de muestreo, por lo que constituye una herramienta de gran utilidad en el
tratamiento de variables regionalizadas. Esta comparación fue extraída de (Marín,
Apuntes de Curso de Post-Grado de Geoestadística Aplicada en Maestría de Geología de
UNSA, 2014).
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
6 5 5 4 4 2 2 1( ) 0.875
4 2
6 4 5 2 4 1(2 ) 3.667
3 2
6 2 5 1(3 ) 8.000
2 2
6 1(4 ) 12.500
1 2
hx
hx
hx
hx
)(h
)(h
102
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2.4.5 Variograma Promedio
Es el resultado de promediar los valores que asume el variograma experimental en una
dirección, y eventualmente en todas las direcciones (llamado Omnidireccional). Veamos
la metodología de aplicación del variograma promedio:
Ejemplo:
Supongamos que se toman muestras en una malla de 50m x 50m, en la cual se estudia
una determinada variable (por ejemplo, molibdeno en partes por millón). Para hacer
variogramas, se toma por ejemplo la dirección dada por azimut 135y dip 0 .
Así se tienen las líneas de muestreo A, B, C, D, E, F y G:
Ilustración 32: Análisis con variogramas de muestras en una malla
En la línea A, no hay muestras, por lo que no se puede hacer un variograma.
En la línea B, hay dos muestras, entonces se hace un variograma considerando
una interdistancia h :
E D C B A
G
F 1
4
6
4
3
5
8
6
2
7 4
5
2 1
50 m
50 m
N
3
103
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22 4
21 2
h
Línea C:
2 2 25 7 7 5 5 1
43 2
h
2 25 5 7 1
2 92 2
h
25 1
3 81 2
h
En la línea D, no se puede calcular h ni 2h pues las muestras están muy
separadas, pero sí se puede hallar 3h :
24 2
3 21 2
h
Línea E:
2 21 6 6 8
7.252 2
h
2 21 8 8 3
2 18.52 2
h
26 3
3 4.51 2
h
21 3
4 21 2
h
En la línea F no se puede hacer un variograma pues solo hay una muestra.
Línea G:
24 3
0.51 2
h
104
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Para calcular el variograma promedio, se deben promediar los valores de h , 2h ,
3h y 4h , considerando como peso el número de parejas con el que fueron
calculados:
2 1 4 3 7.25 2 0.5 1
4.141 3 2 1
p h
9 2 18.5 2
2 13.754
p h
8 1 2 1 4.5 1
3 4.833
p h
2 1
4 21
p h
Graficando el variograma promedio, se obtiene:
Ilustración 33: Gráfica del variograma promedio
El variograma promedio proporciona una perspectiva general sobre el fenómeno en
estudio. El variograma promedio es usado en los algoritmos de los softwares mineros.
105
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2.4.6 Variograma Cruzado
Sea nh . El variograma cruzado de dos variables aleatorias AZ x y BZ x , con
nx , se define como:
2 AB A A B Bh E Z x Z x h Z x Z x h , nx
Ejemplo:
Para visualizar esta función, consideremos un ejemplo de una zona de terreno explorado
del cual hemos obtenido valores geoquímicos del Oro y Plata y deseamos estudiar la
relación entre los dos valores.
a. Para este efecto aplicaremos el variograma cruzado.
Ilustración 34: Línea de muestreo A con leyes de Ag y Au
Calculamos el coeficiente de correlación entre las variables plata y oro en la línea
de muestreo A usando la fórmula de la definición 1.2.42, obteniendo 0.993r .
Aplicando la fórmula del variograma cruzado:
32 ( ) ( ) ( ) ( ) ,AB A A B Bh E Z x Z x h Z Z x h x
106
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Graficando:
Ilustración 35: Variograma cruzado de línea de muestreo A
Observamos que cuando hay una correlación positiva alta entre las variables, el
variograma cruzado tiende a tomar valores positivos altos.
b. Ahora veamos que pasa en otra zona, donde los valores geoquímicos de la Plata
toman otros valores:
Ilustración 36: Línea de muestreo B con leyes de Ag y Au
5 1 7 2 1 6 2 8 6 2 8 3 2 4 3 5( ) 9.25
4 2
5 6 7 8 1 2 2 3 6 4 8 5(2 ) 1.33
3 2
5 2 7 3 1 4 2 5(3 ) 5.25
2 2
5 4 7 5(4 ) 1.00
1 2
AuAg
AuAg
AuAg
AuAg
hx
hx
hx
hx
)(h
)(hAuAg
107
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El coeficiente de correlación entre las variables plata y oro en la línea de muestreo
B es 0.874r .
Aplicando la fórmula, se tiene:
Con su gráfica:
Ilustración 37: Variograma cruzado de línea de muestreo B
Observamos que cuando hay una correlación negativa alta entre las variables, el
variograma cruzado tiende a tomar valores negativos altos.
Así, el variograma cruzado complementa el análisis de la correlación entre dos variables
en estudio.
5 1 1 6 1 6 6 2 6 2 2 5 2 4 5 1( ) 7.63
4 2
5 6 1 2 1 2 6 5 6 4 2 1(2 ) 0.33
3 2
5 2 1 5 1 4 6 1(3 ) 6.75
2 2
5 4 1 1(4 ) 0.00
1 2
AuAg
AuAg
AuAg
AuAg
hx
hx
hx
hx
)(h
)(hAuAg
108
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Capítulo 3
MÉTODOS DE ESTIMACIÓN
GEOESTADÍSTICOS
Estimaremos el valor verdadero de la variable regionalizada en todo punto donde no se
tenga una muestra haciendo uso de una combinación lineal pesada de las muestras
disponibles (Marín, Apuntes de Curso de Post-Grado de Geoestadística Aplicada en
Maestría de Geología de UNSA, 2014):
*
1
n
i i
i
Z x Z x
, 3, ix x (3.1)
Donde la información considerada está constituida por un conjunto discreto de n
elementos : 1,...,iZ x i n y los coeficientes i son los ponderadores.
Ilustración 38: Leyes minerales en las muestras con sus pesos para estimar la ley
mineral de un bloque V
Existen métodos de estimación tradicionales que siguen la formulación (3.1) y que se
diferencian en la forma de asignar un peso a cada muestra.
V
109
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3.1 Métodos de Estimación Tradicionales
A continuación, estudiaremos los métodos de estimación tradicionales usados en la
estimación de yacimientos mineros.
3.1.1 Método de la Media Aritmética
Consiste en promediar las leyes de mineral de los datos dentro de un área (o volumen) V
para tener la ley media de V . Así, la fórmula es:
* 1
( )n
i
iV
Z x
Zn
, 3
ix
Donde *
VZ es el valor estimado de la variable en el centro de un volumen V y n es el
número de muestras del que se disponen.
Este método hace que todas las muestras tengan el mismo peso de ponderación 1
n.
3.1.2 Método de los Polígonos
Es un método geométrico que consiste en estimar la ley media de un volumen V ,
ponderando las leyes de los datos ( )iZ x por el volumen de influencia iV de cada muestra.
Estos volúmenes se calculan a partir de polígonos formados por el siguiente
procedimiento:
1. En el plano, se une una muestra con otra muestra mediante una recta, para luego
trazar una perpendicular desde el punto medio de la recta.
110
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Ilustración 39: Formación de Polígonos de influencia 1
2. Se repite este procedimiento con cada par de muestras formándose polígonos con
las rectas perpendiculares, tal como se muestra en la figura siguiente:
Ilustración 40: Formación de Polígonos de influencia 2
Determinando ahora el volumen que le corresponde a cada muestra a partir de la altura
del bloque en el punto ix y su área.
Luego, la ley media de la zona a estimar está dada por:
* 1
1
( )n
i i
iV n
i
i
V Z x
Z
V
, 3
ix
111
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donde iV es el volumen de influencia de la muestra ix .
Por ejemplo, la siguiente ilustración muestra los polígonos que se forman haciendo uso
del procedimiento anterior en una zona de muestreo en 2D. (Edward H. Isaaks, 1989)
Ilustración 41: Formación de polígonos en una zona de muestreo en 2D
Este método da una mejor aproximación que la media aritmética.
Se aprecia que el método de los polígonos asigna pesos adecuados a cada muestra, aun
habiendo presencia de conglomeraciones de datos.
3.1.3 Método del Inverso de la Distancia
Consiste en asignar mayor peso a las muestras cercanas y menor peso a las muestras
alejadas del punto en el que se desea estimar el valor de la variable. Esto se consigue al
112
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ponderar las leyes por 1
id , donde 1 y id es la distancia entre la i -ésima muestra
y el centro de gravedad del volumen V en el que se estima el valor de la variable.
La fórmula de este método es:
1*
1
( )
1
ni
i iV n
i i
Z x
dZ
d
, 3
ix
Casos Particulares:
1 : Exponente que produce un valor estimado similar al método de la media
aritmética
2 : Exponente usado en la práctica, sobre todo cuando se estima por primera
vez.
Este método es fácil de aplicar y tiene una formulación sencilla, pero asigna el mayor
peso de ponderación a las muestras cercanas al punto en el que se desea estimar el valor
de la variable.
Este método estima o sobrestima de acuerdo al valor de la variable más cercana. Así, si
el valor más cercano es muy alto, entonces sobrestima la ley del bloque.
No tiene en cuenta la disposición geométrica de los valores de las leyes en torno a la
ubicación de la ley a estimarse.
Es de notar que los métodos presentados anteriormente no tienen el fundamento
matemático necesario para ser usados en el proceso de estimación de recursos en forma
óptima, pues además de tener carencias y desventajas, no consideran la estructura del
fenómeno en estudio, entre otros aspectos que vamos a considerar.
113
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3.2 El Kriging de Matheron
Los trabajos empíricos aplicando la estadística descriptiva para caracterizar la varianza
de las leyes de mineral, por el ingeniero Daniel Krige de Sudáfrica, fueron superados en
la década de 1960 por el matemático francés Georges Matheron, formalizando la Teoría
de Variables Regionalizadas que originó el desarrollo de la geoestadística como tal. El
nombre de krigeage es el nombre que el profesor Matheron le dio a su técnica de
estimación para compensar los esfuerzos empíricos de Daniel Krige y hacer que la técnica
sea conocida en el mundo anglosajón minero. Más tarde devino este nombre en Kriging,
siendo el autor real el profesor Matheron, es que le denominamos Kriging de Matheron.
En términos simples, el kriging consiste en encontrar la mejor estimación lineal insesgada
de una variable en un bloque V, considerando la información disponible, es decir muestras
interiores del elipsoide de influencia en torno al bloque V.
Esta estimación del valor verdadero de la variable regionalizada se realiza usando una
combinación lineal pesada de las muestras como en los métodos anteriores:
*
1
n
i i
i
Z x Z x
, , n
ix x (3.1)
La principal característica de este método consiste en que determina los pesos i de
manera que se minimice la varianza de estimación, que como se verá está dada por:
2
2
1
( ) ( ) ,n
n
E i i V
i
E Z x Z x x
En donde:
- Los i son los pesos o ponderadores
- ( )iZ x es el valor de la variable en cada una de las muestras ix
114
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- ( )VZ x es el valor verdadero no conocido de la variable en el bloque V
3.2.1 Fundamento Teórico
Como se mencionó en el capítulo 2, estamos considerando que todos los valores obtenidos
con las muestras son realizaciones de variables aleatorias, y considerando su ubicación
en el espacio, son variables regionalizadas.
La combinación lineal pesada *Z x , nx , es también una variable aleatoria, por ser
combinación lineal de variables aleatorias (recordemos que por el teorema 1.2.19,
2( , , )A P es espacio vectorial) y el valor obtenido será una variable regionalizada.
(Edward H. Isaaks, 1989) El error de estimación R x que se define como la diferencia
entre el valor estimado *Z x y el valor verdadero VZ x
*
VR x Z x Z x , nx (3.2)
es también una variable aleatoria.
Si reemplazamos la igualdad (3.1) en (3.2), se tiene:
1
n
i i V
i
R x Z x Z x
, nx (3.3)
Así decimos que el error que se comete cuando estimamos el valor desconocido en el
punto nx es el resultado de la variable aleatoria R x .
3.2.1.1 Condición de Universalidad
Definición 3.1:
El sesgo de un estimador se define como la diferencia entre la esperanza del valor
estimado y el valor verdadero de la variable en estudio. Decimos que el estimador es
115
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insesgado cuando la esperanza matemática de la diferencia entre el valor estimado y el
valor verdadero es cero (De la Fuente Fernández, 2015).
Se espera que el error cometido en cualquier punto nx dado por la fórmula (3.3) sea
cero. Aplicando la esperanza matemática a ambos lados de la ecuación (3.3), se tiene:
1
0n
i i V
i
E R x E Z x Z x
(3.4)
1
1
0
n
i i V
i
n
i i V
i
E R x E Z x E Z x
E Z x E Z x
Consideremos que la función aleatoria Z x es estacionaria de orden 2. Entonces Z x
verifica:
- ( )E Z x m
- ( ) ( ) ( )E Z x h Z x C h
- 2
( ) ( ) 2 ( )E Z x h Z x h
Aplicando esta hipótesis, todos los datos tienen por esperanza una constante m :
E Z x m , nx , con lo cual se tiene:
1 1
n n
i i V i
i i
E Z x E Z x m m
1
1n
i
i
(3.5)
Esta última igualdad es llamada “condición de universalidad” y es la condición necesaria
para que el estimador del método de kriging sea insesgado. Será usada más adelante.
116
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3.2.1.2 Desarrollo de la varianza de estimación
La varianza del error R x de un conjunto de n estimaciones es escrita como:
2
2
1
( ) ( ) ,n
n
E i i V
i
E Z x Z x x
(3.6)
Desarrollando esta ecuación:
2 22 * *
2 2* *
* * *
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ,
( ) ( ) 2 ( ) ( )
( ), ( ) ( ), ( ) 2 ( ), ( )
n
E V V
V V
V V V
E Z x Z x Z x Z x x
E Z x E Z x E Z x Z x
C Z x Z x C Z x Z x C Z x Z x
Desarrollemos cada uno de los términos de esta última igualdad:
El primer término de la última igualdad: * *( ), ( )C Z x Z x , es la covarianza de la variable
aleatoria *( )Z x consigo misma:
* *
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
( ), ( ) ,
,
n n n n
i i i i i i i i
i i i i
n n n n
i j i j i j i j
i j i j
n n
i j i j
i j
C Z x Z x C Z x Z x E Z x Z x
E Z x Z x E Z x Z x
C Z x Z x
Haremos uso de la notación ,i j ijC Z x Z x C . Entonces el primer término queda:
* *
1 1
( ), ( )n n
i j ij
i j
C Z x Z x C
El segundo término de la igualdad: ( ), ( )V VC Z x Z x , es la covarianza de la variable
aleatoria ( )VZ x consigo misma. Usaremos la notación:
117
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( ), ( )V V VVC Z x Z x C
El tercer término: *2 ( ), ( )VC Z x Z x , puede ser escrito como:
*
1 1
1 1
2 ( ), ( ) 2 , ( ) 2 ( )
2 ( ) 2 , ( )
n n
V i i V i i V
i i
n n
i i V i i V
i i
C Z x Z x C Z x Z x E Z x Z x
E Z x Z x C Z x Z x
Usando la notación: , ( )i V iVC Z x Z x C , se obtiene:
*
1
2 ( ), ( ) 2n
V i iV
i
C Z x Z x C
Por lo tanto:
2
1 1 1
2n n n
E i j ij VV i iV
i j i
C C C
(3.7)
La igualdad (3.7) proporciona una expresión para la varianza de estimación como una
función de n variables, las cuáles son los pesos 1, ... , n .
Se desea minimizar la varianza de estimación dada en la fórmula 3.7.
Usualmente, la minimización de esta función 2
E de n variables es realizada igualando
las primeras n derivadas parciales a cero. Así, tendríamos un sistema de n ecuaciones
con n incógnitas. Sin embargo, debemos tener en cuenta que hemos agregado una
restricción a nuestra solución, la condición de universalidad, con el fin de lograr que la
estimación sea insesgada. Esto implica que no podemos utilizar cualquier conjunto de n
pesos i como solución. Se debe minimizar la función 2
E con la restricción 1
1n
i
i
.
Este problema de minimización con una restricción puede ser resuelto usando el método
de Lagrange.
118
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3.2.1.3 Minimización de la varianza de estimación con el método de multiplicadores
de Lagrange
El método de multiplicadores de Lagrange, que se presenta en el apéndice A.2, es usado
para convertir problemas de minimización con restricciones a problemas sin restricciones.
Usaremos este método para minimizar la función
2
1 1 1
2n n n
E i j ij VV i iV
i j i
C C C
sujeta a la restricción: 1
1n
i
i
.
Si igualamos las n primeras derivadas parciales a cero y contando la restricción,
tendríamos un sistema de n incógnitas y 1n ecuaciones, con lo que habría múltiples
soluciones. Para evitar este inconveniente añadimos una nueva variable llamada
parámetro de Lagrange, usando la condición de universalidad:
1 1
1
1
1 1 0
1 0
2 1 0
n n
i i
i i
n
i
i
n
i
i
Agregamos esta igualdad a la varianza de estimación de la siguiente manera:
2
1 1 1 1
2 2 1n n n n
E i j ij VV i iV i
i j i i
C C C
(3.8)
Si igualamos ahora las 1n primeras derivadas parciales a cero, tendremos un sistema
de 1n incógnitas con 1n ecuaciones.
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Iniciemos calculando la derivada parcial con respecto de :
21 1 1 1
1
2 2 1
2 1
n n n n
i j ij VV i iV i
i j i iE
n
i
i
C C C
Igualando a cero:
2
1
1
2 1 0
1 0
nE
i
i
n
i
i
La cual es la condición de universalidad. Esto nos indica que la solución del sistema de
1n ecuaciones dará como resultado un conjunto de pesos : 1,...i i n con la
restricción que la suma de los pesos será 1, garantizando una estimación insesgada.
Ahora calculamos la derivada parcial de 2
E con respecto de 1 . La derivada parcial con
respecto de las demás variables se calcula de manera similar.
2
1 1 1 1
1 1
2 2 1n n n n
i j ij VV i iV i
i j i iE
C C C
2
1 1 11
1 1 1 1 1
1
2 2
n n nn
i j ij ii iVi j iVV iE
C CC
(3.9)
Procedemos a desarrollar cada uno de los términos de la ecuación (3.9).
Desarrollo del primer término:
120
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1 1
1 1 1 11 1 1
1 2 1 11
n n
i j ij n n n ni j
i i j j i i j j
i j i j
C
C C C C C
Dado que 1 1i iC C :
1 1
1
11
2
n n
i j ij ni j
i i
i
C
C
El segundo término no depende de 1 , por lo que
1
0VVC
Desarrollo del tercer término:
1
1
1
2 2
n
i iV
i
V
C
C
El último término también depende de 1 :
1 1
1 1
1 1
2 2 2
n n
i i
i i
Reemplazando estos términos en (3.9):
2
1 1
11
2 2 2n
Ei i V
i
C C
Igualando a cero, se obtiene:
1 1
1
2 2 2 0n
i i V
i
C C
121
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1 1
1
n
i i V
i
C C
De igual forma se obtienen ecuaciones derivando con respecto a los demás pesos i :
2
1 1 1 1
1 11
2
2 2 2 2
1 12
2
1 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
n nE
i i V i i V
i i
n nE
i i V i i V
i i
n nE
i ni nV i ni nV
i in
C C C C
C C C C
C C C C
A estas ecuaciones, se agrega la condición de insesgado, con la que se obtiene el sistema
de Kriging de Matheron.
3.2.1.4 Sistema de Kriging de Matheron
Está dado por el siguiente sistema de 1n ecuaciones y 1n incógnitas:
1
1
, 1,...,
1
n
i ji jV
i
n
i
i
C C j n
Con el sistema de Kriging se obtienen los pesos i y el parámetro . Los pesos son
reemplazados en la siguiente ecuación:
*
1
n
i i
i
Z x Z x
La cual dará como resultado el valor estimado de la variable en el punto x .
122
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También podemos hallar el valor de la varianza de estimación reemplazando los pesos i
en la ecuación:
2
1 1 1
2n n n
E i j ij VV i iV
i j i
C C C
Pero se puede obtener una fórmula más sencilla para hallar 2
E haciendo los siguientes
cálculos:
Multiplicamos la primera ecuación del sistema de kriging por j :
1
1
, 1,...,
, 1,...,
n
j i ji j jV
i
n
j i ji j j jV
i
C C j n
C C j n
Sumando estas n ecuaciones, se obtiene:
1 1 1 1
1 1 1
n n n n
j i ji j j jV
j i j j
n n n
i j ij j jV
i j j
C C
C C
Reemplazando en la ecuación de la varianza de estimación:
2
1 1 1
1 1
1
2
2
n n n
E i j ij VV i iV
i j i
n n
j jV VV i iV
j i
n
VV i iV
i
C C C
C C C
C C
La varianza de estimación por el método de kriging es conocida también como varianza
de kriging, por lo que es denotada por 2
K :
123
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2
1
n
K VV i iV
i
C C
(3.10)
Usaremos la ecuación (3.10) para hallar la varianza de Kriging.
3.2.1.5 Sistema de Kriging en términos de la función Variograma
También podemos escribir el sistema de Kriging usando la función variograma. Usaremos
la notación: 21
, ( ) ( ) ,2
n
ij i j i jZ x Z x E Z x Z x x
.
2
22
1( ) ( )
2
1 1( ) ( )
2 2
1 1
2 2
ij i j
i j i j
ii jj ij
E Z x Z x
E Z x E Z x E Z x Z x
C C C
Por la hipótesis estacionaria de orden 2 la covarianza depende únicamente del vector h .
Entonces: ii jj VVC C C
Además, aplicando la igualdad de Krige:
ij VV ij ij VV ijC C C C y jV VV jVC C
Reemplazando en la primera ecuación del sistema de Kriging:
1
1
1 1
1
1
, 1,...,
, 1,...,
n
i ji jV
i
n
i VV ij VV jV
i
n n
i VV i ij VV jV
i i
n
VV i ij VV jV
i
n
i ij jV
i
C C j n
C C
C C
C C
j n
124
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Con lo que se obtiene el sistema de kriging en términos de la función variograma:
1
1
, 1,...,
1
n
i ij jV
i
n
i
i
j n
Los pesos i son reemplazados en:
*
1
n
i i
i
Z x Z x
Similarmente se puede obtener la varianza de kriging en términos de la función
variograma.
Si usamos la igualdad: 0C h C h en la ecuación (3.10), se obtiene
2
1
n
K i iV VV
i
Con lo cual calculamos la varianza de estimación o varianza de kriging usando el
variograma.
3.2.2 Ejemplo del Cálculo por el método de Kriging en 3D
Se desea estimar la ley mineral del Zinc en el centro de un bloque dado:
125
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1( ) 4%Z x
2( ) 2%Z x
3( ) 10%Z x
Ilustración 42: Estimación con método de Kriging en el centro de un bloque
Se deben calcular pesos i para obtener un estimador lineal. Supongamos que tenemos
el elipsoide de influencias hallado con los alcances de los variogramas realizados.
Consideremos que el variograma experimental que representa a la variable en estudio
sigue un modelo esférico o de Matheron.
3
0 1 3
0 1
3 1, 0,
2 2
,
0, 0
h hc c h a
a a
c c h a
h
En donde: 0 0.2c , 1 0.8c , 70a
Calculando las distancias: 1 2( , ) 18.03d x x m , 1 3( , ) 25d x x m , 2 3( , ) 22.36d x x m .
3
3
3 10.2 0.8 , 0,70
2 70 2 70
1, 70
0, 0
h hh
h
h
( )h
( )h
(0,0,20)
(0,15,0)
(10,0,0)
126
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10
20
30
15 0.45
10 0.37
20 0.53
12
13
23
18.03 0.50
25 0.61
22.36 0.57
Además, se tiene que: 11 22 33 0 0 .
Luego, reemplazando en el sistema de Kriging de Matheron:
2 3
1 3
1 2
1 2 3
0.50 0.61 0.45
0.50 0.57 0.37
0.61 0.57 0.53
1
De donde resulta: 1 2 30.31, 0.45, 0.24, 0.08 .
Calculando el valor estimado:
Así, el valor estimado de la variable Zinc en el centro del bloque V es: 4.54% .
Podemos calcular el valor de la varianza de Kriging, que da una medida de la disposición
geométrica de los datos, del tamaño del soporte geométrico de la variable a estimar, y de
la naturaleza del variograma involucrado:
2
1 10 2 20 3 30K VV
2 0.31 0.45 0.45 0.37 0.24 0.53 0.08 0 0.5132K
Es de notar que 00VV . Esto se debe a que sólo se está estimando la ley del Zinc en el
punto 0x correspondiente al centro del bloque V . Precisando entonces que se ha
efectuado un Kriging Puntual (Marín, Apuntes de Curso de Post-Grado de Geoestadística
Aplicada en Maestría de Geología de UNSA, 2014).
0 1 1 2 2 3 3ˆ( ) ( ) ( ) ( )Z x Z x Z x Z x
0ˆ( ) 0.31 4 0.45 2 0.24 10 4.54Z x
127
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Capítulo 4
METODOLOGÍA DE LA
APLICACIÓN EN
YACIMIENTOS MINEROS
En este último capítulo se muestra la metodología a seguir para aplicar las definiciones y
herramientas de la Geoestadística presentadas. La metodología desarrollada es el aporte
de la aplicación de los conceptos presentados en este trabajo de tesis. Para ello, haremos
uso de la data de la mina Pachapaqui. Procesaremos los datos haciendo uso del software
SPSS 20 y del software de estimación avanzada DATAMINE, aplicado en varias
empresas de la industria minera mundial.
4.1 Aspectos Previos
4.1.1 Mina Pachapaqui
Pachapaqui es una mina polimetálica (zinc, cobre, plomo, plata y oro) que está ubicada
en el distrito de Aquia, en la provincia de Bolognesi, región Áncash, en la zona central
minera de Perú, a 3900 m.s.n.m.
ICM Pachapaqui S.A.C., de la compañía minera Korean Zinc Company, es dueña de la
mina Pachapaqui.
Los datos obtenidos del análisis de las muestras revelan que se trata de una zona de
sulfuros, donde el elemento químico de interés es el zinc, emplazado en caliza.
128
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4.1.2 Sobre el Software Datamine
Haremos uso del software minero DATAMINE versión 3.2.
DATAMINE es una compañía de Software Integrado para la industria de recursos
mineros. Es usado para el análisis de la información, exploración, estudio geológico,
geoquímico, análisis de rocas, Topografía, modelamiento geológico, diseño de mina a
Cielo Abierto y Subterráneo.
La metodología que seguiremos para aplicar los conceptos presentados de geoestadística
en el estudio de yacimientos mineros será desarrollada haciendo uso del software
DATAMINE, pero también puede ser desarrollada en cualquier otro software minero que
tenga las herramientas necesarias.
129
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4.3 Diagrama de Burbujas de la Metodología Propuesta de
Estimación del Yacimiento
Ilustración 43: Diagrama de Burbujas correspondiente a la estimación por Método de
Kriging de Matheron
Tamaño de
compósito
Header Assay Survey
Taladros
Elipsoide de
Influencias
Parámetros de
Variogramas
Estimación con Kriging
de Matheron
Modelo de
Bloques
Modelo de Bloques
estimado
Taladros
Compositados
Interdistancia, ángulos
azimut y dip, tolerancias
Variografía
Variogramas
Experimentales
Ajuste de Variogramas
Modelo
Geológico
Compositación
130
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A continuación, se procederá a explicar la metodología de aplicación del Kriging de
Matheron para la estimación de una mina real, haciendo uso de variogramas:
4.3.1 Generación de Archivo de taladros
En la práctica se toman muestras de la zona de exploración para identificar los recursos
minerales existentes.
Las muestras son llevadas al laboratorio donde se identifica la composición de las
mismas. Para su estudio, estas son dispuestas en tres archivos de tipo .csv (Excel) o .txt,
llamados: Header, Survey y Assay.
1) Header (Cabecera): Contiene la identificación de los taladros o sondajes con los
que se tomaron las muestras, así como sus coordenadas de origen en UTM
(sistema de coordenadas Universal Transverse Mercator) y la longitud que
alcanzan. El archivo header tiene 76 datos que representan a los taladros.
Nº BHID XCOLLAR YCOLLAR ZCOLLAR ENDDEPTH
1 PAM-001 347099.77 8820068.65 4328.059 326.2
2 PAM-002 347184.2 8820197.22 4341.502 344.8
3 PAM-003 347211.43 8820157.89 4346.472 346.5
4 PAM-004 347144.69 8820384.65 4317.601 326
5 PAM-005 347568.445 8820208.4 4327.313 401.8
6 PAM-006 347143.14 8820386.74 4317.528 501
7 PAM-007 347566.59 8820207.193 4327.076 369.8
8 PAM-008 347143 8820386.93 4317.618 512.3
9 PAM-009 347368.26 8820371.05 4323.459 531.2
10 PAM-010 347072.28 8820470.35 4306.041 523.2
11 PAM-011 346963.71 8820516.76 4295.695 525.6
12 PAM-012 347071.59 8820469.63 4305.442 525
13 PAM-013 346960.67 8820513.7 4295.716 97.6
14 PAM-013B 346960.67 8820513.95 4295.568 514.6
15 PAM-014 347365.37 8820371.9 4323.564 512.5
16 PAM-015 347069.43 8820474.16 4305.349 94
17 PAM-015A 347070.66 8820476.35 4305.002 87.8
131
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18 PAM-016 347248.31 8820609.62 4300.891 502.3
19 PAM-017 347390.1 8820694.42 4303.254 139
20 PAM-017A 347381.95 8820684.27 4304.031 926.1
21 PAM-018 347116.59 8820720.07 4288.313 273.4
22 PAM-018A 347117.18 8820719.7 4288.435 221.7
23 PAM-019 347248.97 8820609.81 4300.638 137
24 PAM-019A 347247.96 8820603.27 4301.058 554.3
25 PAM-020 347552 8820965.73 4293.829 100.1
26 PAM-020A 347551.42 8820965.55 4293.948 502.1
27 PAM-021 347078.03 8821348.27 4275.602 572.3
28 PAM-022 346962.16 8821205.17 4277.414 485.2
29 PAM-023 347115.33 8820719.9 4288.724 99
30 PAM-023A 347157.9 8820706.31 4290.132 1051.8
31 PAM-024 347222.06 8820867.03 4283.59 968.9
32 PAM-025 347081.75 8821344.83 4275.779 570.5
33 PAM-026 346887.21 8820668.03 4284.595 74
34 PAM-026A 346886.53 8820668.57 4284.994 248.3
35 PAM-027D 347226.97 8820869.61 4283.677 321.5
36 PAM-027 347226.968 8820869.645 4283.792 990.65
37 PAM-028 346888.82 8820669.33 4284.973 944.3
38 PAM-029 347074.1 8820478.41 4304.968 1089.1
39 PAM-030 347146.811 8820390.322 4317.127 946.9
40 PAM-031 346956.323 8820514.075 4295.819 689.6
41 PAM-032 346886.579 8820667.947 4284.689 839.1
42 PAM-033 347370.787 8820366.624 4322.849 1003.6
43 PAM-034 346993.163 8820839.931 4279.41 1019.5
44 PAM-035 347063.92 8820549.03 4298.474 131.1
45 PAM-035A 347065.493 8820545.945 4298.53 108
46 PAM-036 347143.649 8820540.226 4302.567 1016.1
47 PAM-037 346824.583 8820404.132 4296.409 834
48 PAM-038 346755.32 8820487.023 4289.576 674.3
49 PAM-039 347204.86 8820591.047 4299.935 104.2
50 PAM-039A 347208.861 8820582.727 4300.772 782.2
51 PAM-040 347133.754 8820659.984 4292.394 1031.2
52 PAM-041 347119.916 8820497.564 4304.971 653.2
53 PAM-042 346901.55 8820462.687 4296.424 1010.2
132
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SU APLICACIÓN EN LA ESTIMACIÓN DE YACIMIENTOS MINEROS
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54 PAM-043 347012.422 8820429.932 4305.01 674.4
55 PAM-044 347295.191 8820665.276 4296.744 1040.2
56 PAM-045 347188.309 8820509.306 4306.751 689
57 PAM-046 347268.081 8820577.991 4302.738 851.2
58 PAM-047 347279.302 8820718.727 4293.153 1019.3
59 PAM-048 347187.737 8820508.917 4306.336 1010
60 PAM-049 347085.877 8820557.621 4298.049 123.2
61 PAM-049A 347092.819 8820561.473 4298.098 650.5
62 PAM-050 347202.614 8820654.533 4294.495 683.3
63 PAM-051 347024.379 8820557.458 4296.263 800
64 PAM-052 347026.762 8820508.23 4299.879 755.2
65 PAM-053 347349.324 8820570.314 4308.131 677.1
66 PAM-054 347208.546 8820387.958 4320.825 680.2
67 PAM-055 346973.703 8820460.601 4299.902 127.1
68 PAM-055A 346976.23 8820467.119 4299.703 1007.2
69 PAM-056 347230.427 8820744.077 4288.379 698.2
70 PAM-057 347061.28 8820667.37 4290.405 778.7
71 PAM-058A 347349.519 8820570.397 4307.398 233.8
72 PAM-059 347000.683 8820489.025 4300.267 761.2
73 PAM-060 347178.139 8820610.145 4297.873 907.5
74 PAM-061 347458.612 8820737.067 4299.448 642.4
75 PAM-062 347320.433 8820732.752 4295.999 586.8
76 PAM-063 347054.713 8820595.09 4295.214 973
Tabla 1: Archivo header de la data de la mina Pachapaqui
2) Survey (Inspección): Indican el azimuth y dip de las muestras que los taladros
toman; en consecuencia, informan sobre el desvío ocasionado en los taladros
durante la perforación. El archivo survey de la data en estudio contiene 1144
datos.
En la siguiente tabla se presentan datos de 14 de los 76 taladros:
133
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SU APLICACIÓN EN LA ESTIMACIÓN DE YACIMIENTOS MINEROS
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BHID AT BRG DIP
PAM-001 0 74.055 59.579
PAM-001 326.2 74.055 59.579
PAM-002 0 244.78 60.968
PAM-002 344.8 244.78 60.968
PAM-003 0 79.236 63.83
PAM-003 346.5 79.236 63.83
PAM-004 0 78.751 58.995
PAM-004 326 78.751 58.995
PAM-005 0 40.821 60.499
PAM-005 401.8 40.821 60.499
PAM-006 0 36.949 59.677
PAM-006 501 36.949 59.677
PAM-007 0 270.92 58.002
PAM-007 369.8 270.92 58.002
PAM-008 0 1.104 59.575
PAM-008 512.3 1.104 59.575
PAM-009 0 303.028 57.976
PAM-009 531.2 303.028 57.976
PAM-010 0 38.673 62.108
PAM-010 523.2 38.673 62.108
PAM-011 0 38.161 61.359
PAM-011 525.6 38.161 61.359
PAM-012 0 161.158 60.919
PAM-012 525 161.158 60.919
PAM-013 0 179.643 59.744
PAM-013 97.6 179.643 59.744
PAM-013B 0 178.829 70.436
PAM-013B 35 179.9 70.9
PAM-013B 65 181.4 70.6
PAM-013B 95 182.1 70.6
PAM-013B 125 182.3 70.7
PAM-013B 155 183.2 71.3
PAM-013B 185 184.8 71
PAM-013B 215 186.7 70.5
PAM-013B 245 187.6 70.5
PAM-013B 275 187.5 70.4
PAM-013B 305 187.7 70.9
PAM-013B 335 188.5 71.4
PAM-013B 365 187.5 70.3
PAM-013B 395 186.7 69.9
PAM-013B 425 187.2 69.8
PAM-013B 455 186.8 69.9
PAM-013B 485 187 70
PAM-013B 514.6 186.9 70.2
Tabla 2: Porción ilustrativa del archivo Survey
134
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SU APLICACIÓN EN LA ESTIMACIÓN DE YACIMIENTOS MINEROS
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La columna AT indica la profundidad a la cual fueron tomadas las muestras y
BRG denota al azimut. Esta parte de los datos de la tabla survey indica que los
taladros desde PAM-001 hasta PAM-013 no presentan desviaciones, mientras que
el taladro PAM-013B sí los presenta.
3) Assay (Análisis): Proporcionan información sobre las leyes minerales detectadas
en cada una de las muestras (Au, Ag, Cu, entre otras variables), e indica la
distancia a la cual fueron tomadas, medida desde el inicio del taladro. El archivo
assay contiene 23159 filas de datos.
Con el fin de ilustrar, se presentan parte de los datos del archivo assay
correspondientes al taladro PAM-006:
135
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BHID FROM TO N° SAMPL Au_ppm Ag_ppm Cu_% Zn_ppm Mo_ppm As_ppm Sb_ppm Pb_ppm
PAM-006 0 36 - - - - - - - -
PAM-006 36 37.9 PPA – 001328 0.068 0.9 0.03 17.7 38 171 10 213
PAM-006 37.9 39.9 PPA – 001329 0.06 1 0.032 13.8 44 265 6 203
PAM-006 39.9 41.65 PPA – 001330 0.127 1.6 0.019 19.2 42 174 9 35
PAM-006 41.65 43.4 PPA – 001331 0.123 1.2 0.029 105 62 243 15 45
PAM-006 43.4 45.35 PPA – 001332 0.072 1.1 0.026 18.3 82 243 2.5 51
PAM-006 45.35 47.3 PPA – 001333 0.064 1.2 0.027 17.4 53 279 2.5 81
PAM-006 47.3 49.35 PPA – 001334 0.085 0.6 0.03 29.5 69 360 21 50
PAM-006 49.35 50.1 PPA – 001335 0.064 0.7 0.016 25.3 51 149 2.5 73
PAM-006 50.1 51.5 PPA – 001336 0.115 0.6 0.047 26.7 50 484 8 198
PAM-006 51.5 52.5 PPA – 001337 0.135 0.3 0.037 26.8 79 917 2.5 101
PAM-006 52.5 53.9 PPA – 001338 0.128 1.2 0.089 31 57 199 2.5 179
PAM-006 53.9 55.4 PPA – 001339 0.198 0.5 0.023 46.6 37 167 2.5 214
PAM-006 55.4 57.1 PPA – 001340 0.14 1.4 0.137 58.7 82 327 5 89
PAM-006 57.1 58.6 PPA – 001341 0.126 0.6 0.332 112 48 196 2.5 65
PAM-006 58.6 60.2 PPA – 001342 0.119 0.8 0.03 78.5 57 615 17 294
PAM-006 60.2 61.85 PPA – 001343 0.181 4.2 0.047 67.9 83 545 10 116
PAM-006 61.85 63.85 PPA – 001344 0.126 0.8 0.453 87.1 38 43 2.5 39
PAM-006 63.85 65.9 PPA – 001345 0.014 0.5 0.012 6.9 2 17 2.5 41
PAM-006 65.9 67.7 PPA – 001346 0.149 1.5 0.022 54.1 59 205 8 204
Tabla 3: Porción ilustrativa de datos del archivo Assay
136
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SU APLICACIÓN EN LA ESTIMACIÓN DE YACIMIENTOS MINEROS
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Con estos tres archivos se forma un archivo de taladros en DATAMINE. El nombre que
se le dio a este archivo es holes_tesis, que tiene 23242 filas de datos.
Ilustración 44: Vista en planta de taladros
En este archivo cada muestra está identificada por su localización (X, Y, Z), tamaño, su
dirección (azimut y dip) en el espacio y su código. En cada muestra se presentan las leyes
minerales encontradas por análisis en el laboratorio.
Ilustración 45: Taladros en vista vertical
Ilustración 46: Taladros en vista tridimensional con topografía incluida
137
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SU APLICACIÓN EN LA ESTIMACIÓN DE YACIMIENTOS MINEROS
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En la siguiente tabla se muestran parte de los datos correspondientes al taladro PAM-006
del archivo de taladros:
138
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YACIMIENTOS MINEROS
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BHID X Y Z LENGTH A0 B0 FROM TO ENDDEPTH N° SAMPL Au_ppm Ag_ppm Cu_% Zn_ppm Mo_ppm As_ppm Sb_ppm Pb_ppm
PAM-006 347148,6 8820394 4301,991 36 36,949 59,677 0 36 501 - - - - - - - -
PAM-006 347154,35 8820401,65 4285,633 1,9 36,949 59,677 36 37,9 501 PPA - 001328 0,068 0,9 0,03 17,7 38 171 10 213
PAM-006 347154,95 8820402,44 4283,95 2 36,949 59,677 37,9 39,9 501 PPA - 001329 0,06 1 0,032 13,8 44 265 6 203
PAM-006 347155,51 8820403,19 4282,331 1,75 36,949 59,677 39,9 41,65 501 PPA - 001330 0,127 1,6 0,019 19,2 42 174 9 35
PAM-006 347156,05 8820403,9 4280,821 1,75 36,949 59,677 41,65 43,4 501 PPA - 001331 0,123 1,2 0,029 105 62 243 15 45
PAM-006 347156,61 8820404,64 4279,224 1,95 36,949 59,677 43,4 45,35 501 PPA - 001332 0,072 1,1 0,026 18,3 82 243 2,5 51
PAM-006 347157,2 8820405,43 4277,541 1,95 36,949 59,677 45,35 47,3 501 PPA - 001333 0,064 1,2 0,027 17,4 53 279 2,5 81
PAM-006 347157,81 8820406,24 4275,814 2,05 36,949 59,677 47,3 49,35 501 PPA - 001334 0,085 0,6 0,03 29,5 69 360 21 50
PAM-006 347158,23 8820406,8 4274,606 0,75 36,949 59,677 49,35 50,1 501 PPA - 001335 0,064 0,7 0,016 25,3 51 149 2,5 73
PAM-006 347158,56 8820407,24 4273,678 1,4 36,949 59,677 50,1 51,5 501 PPA - 001336 0,115 0,6 0,047 26,7 50 484 8 198
PAM-006 347158,92 8820407,72 4272,642 1 36,949 59,677 51,5 52,5 501 PPA - 001337 0,135 0,3 0,037 26,8 79 917 2,5 101
PAM-006 347159,29 8820408,21 4271,606 1,4 36,949 59,677 52,5 53,9 501 PPA - 001338 0,128 1,2 0,089 31 57 199 2,5 179
PAM-006 347159,73 8820408,79 4270,355 1,5 36,949 59,677 53,9 55,4 501 PPA - 001339 0,198 0,5 0,023 46,6 37 167 2,5 214
PAM-006 347160,21 8820409,44 4268,973 1,7 36,949 59,677 55,4 57,1 501 PPA - 001340 0,14 1,4 0,137 58,7 82 327 5 89
PAM-006 347160,7 8820410,08 4267,592 1,5 36,949 59,677 57,1 58,6 501 PPA - 001341 0,126 0,6 0,332 112 48 196 2,5 65
PAM-006 347161,17 8820410,71 4266,254 1,6 36,949 59,677 58,6 60,2 501 PPA - 001342 0,119 0,8 0,03 78,5 57 615 17 294
PAM-006 347161,66 8820411,36 4264,852 1,65 36,949 59,677 60,2 61,85 501 PPA - 001343 0,181 4,2 0,047 67,9 83 545 10 116
PAM-006 347162,21 8820412,1 4263,276 2 36,949 59,677 61,85 63,85 501 PPA - 001344 0,126 0,8 0,453 87,1 38 43 2,5 39
PAM-006 347162,83 8820412,92 4261,528 2,05 36,949 59,677 63,85 65,9 501 PPA - 001345 0,014 0,5 0,012 6,9 2 17 2,5 41
Tabla 4: Porción ilustrativa del archivo de taladros
139
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SU APLICACIÓN EN LA ESTIMACIÓN DE YACIMIENTOS MINEROS
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Analizamos el archivo holes_tesis en SPSS con estadísticas descriptivas. Se obtiene el
siguiente cuadro de las leyes minerales:
Estadísticos descriptivos
N Mínimo Máximo Media Desv. típ.
Au_ppm 23104 .00 16.69 .1460 .21792
Ag_ppm 5526 .00 432.00 1.5564 6.82905
Cu 23104 .00 4.63 .1991 .18521
Zn_ppm 5526 2.50 10,002.00 388.7184 768.16976
Mo_ppm 21886 .00 9.00 3.2002 2.28251
As_ppm 4549 1.00 9.00 2.8857 2.44925
Sb_ppm 4549 1.00 9.00 2.7540 1.93256
Pb_ppm 4549 1.00 9.00 2.8729 2.12093
Tabla 5: Análisis con estadísticas descriptivas del archivo de taladros
El estudio de la información de las leyes de laboratorio revela que existen leyes de oro,
plata, cobre, molibdeno, arsénico, antimonio y plomo, que acompañan a la presencia de
zinc, pero por sus valores bajos en el yacimiento y de bajo valor económico de acuerdo
al precio de los metales no se les consideró en este estudio.
Ilustración 47: Histograma de la variable Zinc de las muestras
Zinc (en ppm)
Fre
cuen
cia
𝑥
𝑓(𝑥)
140
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4.3.2 Aplicación de valor capping
En el software SPSS se identifican los valores capping para cada una de las variables, de
manera que si la ley de una de estas variables tiene un valor que está fuera de la ley de
distribución que modela la variable (valor errático), se cambia este valor por el capping o
algunas veces se le saca de acuerdo a la interpretación realizada. Este cambio se realiza
con el software.
El histograma presentado en la ilustración 47 revela la existencia de valores erráticos de
la variable Zinc, por lo que aplicaremos un valor capping de 2750 ppm. Con este capping
se obtiene el siguiente histograma:
Ilustración 48: Histograma de la variable Zinc con capping 2750 ppm en muestras
Aplicamos este valor capping en los datos del archivo de taladros en el software y
llamaremos a este nuevo archivo: holes_tesis_cap, que tiene 23242 datos.
Zinc (en ppm)
Fre
cuen
cia
𝑥
𝑓(𝑥)
141
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Estadísticos descriptivos
N Mínimo Máximo Media Desv. típ.
Zn_ppm 5526 2.5000 2,750.0000 356.795060 550.5912367
N válido 5526
Tabla 6: Estadísticas de la variable Zinc con capping
Se puede apreciar que el histograma de la variable Zinc presenta una distribución
lognormal (ilustración 48). Podemos aplicar la función logaritmo natural a los valores de
la variable Zinc, obteniendo una distribución de aspecto normal:
Ilustración 49: Distribución del logaritmo de las leyes de la variable Zinc
4.3.3 Compositación de las muestras
Para poder realizar estimaciones con los datos proporcionados por el muestreo, es
necesario que las variables en estudio sean aditivas; esto se logra haciendo que el tamaño
Logaritmo de la variable Zinc
Fre
cuen
cia
𝑥
𝑓(𝑥)
142
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de las muestras sea el mismo. Para ello se elabora un histograma de frecuencias de las
longitudes de las muestras, para escoger la más frecuente y usarla como longitud de
compósito.
Procedemos a determinar la longitud de compósito del archivo holes_tesis_cap:
Ilustración 50: Histograma de la longitud de las muestras
Por lo que se escoge 1.5 metros como longitud de compósito. Compositamos el archivo
de taladros y lo llamaremos: holes_tesis_cap_comp, que tiene 27259 datos y en el cual
todas las muestras tienen una longitud de 1.5 metros.
4.3.4 Creación de Modelo Geológico
Para proseguir con la estimación, es necesario tener un modelo geológico que represente
a las zonas mineralizadas con presencia de zinc. Este modelo es elaborado usando
herramientas del software DATAMINE
Longitud
Fre
cuen
cia
𝑥
𝑓(𝑥)
143
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Ilustración 51: Modelo geológico con taladros y topografía
Este dominio, o modelo geológico o wireframe es fijado en coordinación con el ingeniero
geólogo.
4.3.5 Determinación del Soporte Geométrico a Estimar
Teniendo el modelo geológico, se procede a crear un modelo de bloques. Esto se hace
llenando el modelo geológico con bloques o paralelepípedos.
El tamaño de bloques se fija por restricciones operacionales y tipo de roca. Así, por
ejemplo, si la explotación va a ser por tajo abierto, se hace corresponder la altura del
bloque con la altura del banco, tal es el caso de las minas de Cerro Verde, Toquepala,
Chuquicamata, pues usan como altura de banco 15 metros, entonces el bloque unitario
puede tener, de largo, ancho y altura 15 metros.
144
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Ilustración 52: Banco de una mina a tajo abierto
En la minería subterránea, se considera también restricciones operacionales y tipo de roca,
así por ejemplo bloques unitarios de 1 a 1.5 metros de largo, ancho y altura.
Para la estimación de esta mina, se escogió rellenar el modelo geológico con bloques de
60m x 60m x 10m, considerando que tiene objetivo estimar a nivel de recursos.
Ilustración 53: Modelo de bloques sin estimar y taladros
4.3.6 Construcción de Variogramas Experimentales
Procedemos a construir variogramas con la variable Zinc del archivo
holes_tesis_cap_comp. Se deben introducir parámetros en el software que den la
dirección de los variogramas, la tolerancia en las direcciones y la distancia.
145
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Se escogió las direcciones Azimut 0 Dip 0, Azimut 90 Dip 0, Azimut 0 Dip 90, con
tolerancia horizontal de 22.5º, tolerancia vertical de 15º, con un paso de variograma de
50 metros y tolerancia de 20 metros.
Parámetros
Interdistancia (h) 50
Tolerancia en interdistancia 20
Número de interdistancias 10
Azimut 0
Tolerancia horizontal 22.5
Incremento horizontal 90
Número de horizontales 2
Dip 0
Tolerancia vertical 15
Incremento vertical 90
Número de verticales 2
Tabla 7: Parámetros a introducir para la elaboración de variogramas
El archivo con variogramas es guardado con el nombre vgram_tesis.
Nº Azimut Dip
1 0 0
2 90 0
3 0 90
4 - -
Tabla 8: Direcciones de los variogramas
146
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Ilustración 54: Variogramas en direcciones dadas y el variograma omnidireccional
Se obtienen cuatro variogramas, de los cuales tres están dados en las direcciones indicadas
anteriormente y el cuarto es llamado Variograma Omnidireccional, que es un variograma
promedio de las direcciones calculadas. El variograma Omnidireccional proporciona
información general sobre la estructura del fenómeno.
Procedemos a graficar los variogramas experimentales individualmente:
Ilustración 55: Variograma Omnidireccional
h
h
h
h
147
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Ilustración 56: Variograma en la dirección azimut 0º dip 0º
Ilustración 57: Variograma en la dirección azimut 90º dip 0º
h
h
h
h
148
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Ilustración 58: Variograma en la dirección azimut 0º dip 90º
Se debe considerar que los variogramas mostrados en las cuatro últimas ilustraciones son
variogramas promedio calculados como en el ejemplo de la subsección 2.4.5.
4.3.7 Modelación con Variogramas Teóricos
Se ven cuatro variogramas, cada uno de ellos con su respectiva leyenda que indica el
azimut y dip. Se procede a ajustar un modelo teórico a cada variograma promedio por
dirección. Haremos uso del modelo lineal y del modelo esférico o de Matheron:
3
0 3
0
3 1
( ) , 0,2 2
,
h hc c
h h aa a
c c h a
Donde la suma 0c c es igual a la meseta C .
h
h
149
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Ilustración 59: Variograma de Azimut 90º y Dip 0º
La fórmula que modela al variograma en la dirección azimut 90 y dip 0 es:
3
3
3 10.3 0.45
( ) , 0,2412 241 2 241
0.75, 241
h h
h h
h
Ilustración 60: Variograma de Azimut 0º y Dip 0º
h
h
h
h
150
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La fórmula que modela al variograma en la dirección azimut 0 y dip 0 es:
3
3
3 10.3 0.5
( ) , 0,2052 205 2 205
0.8, 205
h h
h h
h
Ilustración 61: Variograma de Azimut 0º y Dip 90º
La fórmula que modela al variograma en la dirección azimut 0 y dip 90 es:
3
3
3 10.3 0.43
( ) , 0,2402 240 2 240
0.73, 240
h h
h h
h
Para cada variograma experimental se usaron dos modelos teóricos: El modelo lineal o
de efecto pepita puro y el modelo esférico o de Matheron, usando una pepita de 0.3. De
estos datos, se puede ver que el mayor alcance es 241 metros, que corresponde a la
dirección azimut 90º y dip 0º. Esto indica que la mineralización provino probablemente
h
h
151
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de esa dirección. Generalmente se usan más variogramas para determinar con más
exactitud la dirección de procedencia del mineral. Se identifican dos direcciones
principales siendo una la de mayor alcance, y se obtiene una tercera dirección que resulta
del producto vectorial de las anteriores direcciones.
4.3.8 Creación de Elipsoide de Influencias
Teniendo los valores de los alcances en las tres direcciones, se precede a construir el
elipsoide de influencias al que llamaremos wf_zn.
Ilustración 62: Representación gráfica del elipsoide de influencias con taladros
Ilustración 63: Representación gráfica del elipsoide de influencias y del modelo
geológico en 3D
152
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En el proceso de estimación ocurre que hay bloques que se desean estimar, pero las
muestras están muy alejadas y no son consideradas con el elipsoide de influencias.
Entonces, se multiplican los alcances que constituyen el elipsoide por un factor de
expansión, de modo que con esta expansión sí se consideran muestras que están alejadas
del centro del bloque por estimar, pero con una categoría inferior de estimación.
Así, se definen:
Recurso Medido: Suele calcularse usando la mitad del alcance del variograma.
Recurso Indicado: Usa el alcance del variograma como radio de búsqueda.
Recurso Inferido: Usa como radio de búsqueda un valor mayor que el alcance.
Recurso es el mineral con su tonelaje in situ que eventualmente se puede transformar en
reserva si se justifica su explotación.
4.3.9 Estimación con Krigring de Matheron
Teniendo el elipsoide de influencias y el modelo de variograma teórico, se procede a
realizar la estimación usando el método de Kriging de Matheron, denominado en los
softwares comerciales como Kriging Ordinario. Los resultados se ilustran a continuación:
Ilustración 64: Modelo de bloques estimado en 3D
153
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Tabla 9: Porción ilustrativa de la tabla de resultados de estimación
154
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El modelo de bloques estimado tiene un total de 8023 bloques, donde:
Las columnas XC, YC y ZC corresponden a coordenadas de identificación de los
bloques estimados.
Las columnas XINC, YINC y ZINC son las dimensiones de cada bloque.
La columna ZONE se usa para diferenciar zonas, pero no se está usando.
N_MUE es el número de muestras que se usaron para estimar la ley mineral en
cada bloque.
La columna S_VOLUM identifica los recursos medido (1), indicado (2) e inferido
(3).
La columna VK es la varianza de Kriging.
4.3.10 Curva Tonelaje – Ley de Corte
Como parte de los resultados obtenidos se presenta la curva tonelaje-ley de corte, que
informa del tonelaje total a diferentes valores cut-off de la ley del mineral, es decir la
cantidad de toneladas y la ley de mineral, que corresponden a aquellos bloques cuya ley
mineral es mayor a un valor llamado cut-off.
El procedimiento para obtener la curva tonelaje ley de corte se ilustra a continuación, así
si disponemos de los siguientes resultados de estimación ordenados de menor a mayor de
acuerdo a la ley mineral:
155
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Nº de
Bloque X (m) Y (m) Z (m) Zn (ppm) VOLUMEN Densidad Tonelaje
1 60 60 7.915018 0 28494.0661 2.6 74084.5719
2 60 60 10 0 36000 2.6 93600
3 60 60 10 0 36000 2.6 93600
4 60 60 10 0 36000 2.6 93600
5 60 60 10 0 36000 2.6 93600 …
…
…
…
…
…
…
…
99 60 60 10 15.2634409 36000 2.6 93600
100 60 60 10 15.3459143 36000 2.6 93600
101 60 60 10 15.8018999 36000 2.6 93600
102 60 60 6.243644 15.8722785 22477.1183 2.6 58440.5076
103 60 60 10 15.8744613 36000 2.6 93600
104 60 60 3.328536 15.9103536 11982.7286 2.6 31155.0944 …
…
…
…
…
…
…
…
8021 60 60 8.318437 5380.62793 29946.372 2.6 77860.5672
8022 60 60 10 5422.20771 36000 2.6 93600
8023 60 60 10 5425.16576 36000 2.6 93600
Tabla 10: Tabla de modelo de bloques estimado
Nº de Bloques que
Ingresan
Cut-Off Zn
(ppm) TONELAJE
LEY
MEDIA Zn
(ppm)
8023 >=0 733496366.85 310.1397
1326 >=500 121233558 1023.82238
441 >=1000 40343530 1703.21074
205 >=1500 18723849.2 2240.18862
84 >=2000 7771396.01 2967.67121
50 >=2500 4628862.31 3481.36907
32 >=3000 2944062.31 3951.46921
20 >=3500 1820862.31 4371.76139
11 >=4000 1013860.57 4930.36547
7 >=4500 639460.567 5243.44026
7 >=5000 639460.567 5243.44026
Tabla 11: Tabla tonelaje – ley de corte
Se puede incluir la curva tonelaje-ley de corte:
156
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Ilustración 65: Curva Tonelaje – Ley de corte
4.3.11 Emisión de Planos y Secciones
Después de haber realizado la estimación, se procede a ilustrar los resultados.
Ilustración 66: Vista de modelo de bloques estimado con taladros
0
100000000
200000000
300000000
400000000
500000000
600000000
700000000
800000000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
TON
ELA
JE
LEY DE CORTE
TONELAJE vs. LEY DE CORTE
157
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Ilustración 67: Sección del modelo de bloques con leyes de zinc
Ilustración 68: Vista en sección del modelo de bloques estimado
158
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Ilustración 69: Corte en sección del modelo de bloques 1
Ilustración 70: Corte en sección del modelo de bloques 2
159
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Ilustración 71: Vista en 3D del modelo de bloques con recursos medido, indicado e
inferido
Ilustración 72: Vista en sección del modelo de bloques con recurso medido, indicado e
inferido
En esta vista de un corte vertical se representa la proporción de bloques que pertenecen a
los recursos medidos (rojo), indicados (azul) e inferidos (amarillo) de la zona estimada.
160
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Se puede apreciar que los bloques que están cerca a los taladros corresponden al recurso
medido.
Adicionalmente se presenta el histograma de la varianza de Kriging:
Ilustración 73: Histograma de la varianza de kriging
El promedio de la varianza de estimación por el método de kriging es 0.33, con una
desviación típica de 0.124. Hay poca variabilidad en la estimación realizada.
Varianza de Kriging
Fre
cuen
cia
𝜎𝐾2
161
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Conclusiones y Recomendaciones
Conclusiones
El Variograma resulta ser una herramienta consistente muy útil para el geólogo y
el Ingeniero de Minas, u otra disciplina, dado que da cuenta de la estructura del
fenómeno en estudio.
El kriging propuesto por la Geoestadística resulta bastante eficaz no solamente
minimizando el error de estimación cometido, sino que además es insesgado, es
decir cumple con los estándares del control de calidad aplicado a los estimadores.
El variograma y la técnica del kriging de Matheron están sustentados por la teoría
de la Funciones Aleatorias, dentro del espacio 2( , , )L A P .
La geoestadística se fundamenta en conceptos importantes de la matemática pura,
principalmente en la teoría de la medida y el análisis funcional, que constituyen
la base matemática para sus múltiples aplicaciones en diversos campos de la
ingeniería.
Se introduce el estudio desde un punto de vista matemático de la Teoría de
Variables Regionalizadas o Geoestadística, que tiene muchas aplicaciones en
diversas áreas de estudio en la ingeniería, particularmente en el estudio de
recursos mineros.
Recomendaciones
Iniciar estudios de simulación de yacimientos basándose en el teorema central del
límite.
162
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Anexos
A.1 Teorema Central del Límite
(Larson, 1992) Usaremos el teorema del límite central para simular realizaciones de una
variable aleatoria de la realidad, con media y y desviación estándar y dadas y
siguiendo una distribución normal.
Considerando:
21
1 21
lim2
n
biz
i
na
r n
P a b e dzn
Se tiene:
1 1
n n
i iy i i
y y
y
r n r ny
Z yn n
Con lo que podemos simular valores de distribución normal.
ir son valores aleatorios
es la media aritmética de los valores aleatorios
es la desviación estándar de los valores aleatorios
Ejemplo:
Se desean simular valores que sigan distribución normal y tengan una media igual a 3 y
una desviación estándar igual a 0.7.
163
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Haremos uso de los siguientes números aleatorios:
0.8, 0.3, 0.6, 0.1, 0.5, 0.2, 0.9, 0.3, 0.7, 0.2, 0.8, 0.5
Se tiene: 3y y 0.7y . Operando:
13
0.7
n
i
i
r ny
Zn
Luego
15.9 12
20.7 3 2.931
1212
y
Así, se obtiene un primer valor simulado.
Se puede también simular valores con distribución lognormal, basta con aplicar la función
exponencial a los valores simulados.
164
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A.2 Método de Multiplicadores de Lagrange
(Swokowski, 1988) Este método fue descubierto por el matemático francés Joseph-Louis
Lagrange. Consiste en calcular los máximos y mínimos de una función f sujeto a
restricciones dadas. Se fundamenta en el siguiente teorema:
Teorema de Lagrange:
Sean ( , )f x y y ( , )g x y dos funciones con primeras derivadas parciales continuas tales
que f tiene un máximo o mínimo 0 0( , )f x y cuando ( , )x y está sujeto a la restricción
( , ) 0g x y . Si 0 0( , ) 0g x y , entonces existe un número real tal que:
0 0 0 0( , ) ( , )f x y g x y
Demostración:
La gráfica de ( , ) 0g x y es una curva C en el plano xy . C tiene una parametrización
regular
( )x h t , ( )y k t
Para t en algún intervalo I . Sea
( ) ( ) ( )t x y h t k t i j i jr
el vector de posición del punto en y sea el punto en el que
alcanza el valor máximo o mínimo y que corresponde a , es decir,
Si se define una función de una variable mediante
( , )P x y C 0 0 0( , )P x y f
0t t
0 0 0 0 0( ) ( ) ( )t x y h t k t i j i jr
F t
( ) ( ), ( )F t f h t k t
165
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Entonces cuando varía, se obtienen valores de la función que corresponden a
en , es decir, está sujeta a la restricción . Como
es un máximo o mínimo de bajo esta restricción, resulta que
es un máximo o mínimo de . Entonces . Considerando a como una
función compuesta y usando la Regla de la Cadena,
Tomando ,
Esto demuestra que el vector es ortogonal al vector tangente a . Pero
también es ortogonal a porque es una curva de nivel de . Como
y son ortogonales al mismo vector, son paralelos, es decir,
para algún .
El número es llamado multiplicador de Lagrange.
Para aplicar este método se consideran las ecuaciones:
y
Ejemplo:
Sea . Encontrar el punto del plano en el que
alcanza su valor mínimo.
Solución: Se desea encontrar el mínimo de sujeta a la
restricción . Tomamos
t ( , )f x y
( , )x y C ( , )f x y ( , ) 0g x y 0 0( , )f x y
f 0 0 0( ) ( ), ( )F t f h t k t
( )F t 0( ) 0F t F
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )x y x y
dx dyF t f x y f x y f x y h t f x y k t
dt dt
0t t
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )x yF t f x y h t f x y k t f x y t r
0 0( , )f x y 0( )tr C
0 0( , )g x y 0( )tr C g
0 0( , )f x y 0 0( , )g x y
0 0 0 0( , ) ( , )f x y g x y
( , ) ( , )f x y g x y ( , ) 0g x y
2 2 2( , , ) 4 5f x y z x y z 2 3 4 12x y z
( , , )f x y z
2 2 2( , , ) 4 5f x y z x y z
( , , ) 2 3 4 12 0g x y z x y z
2 2 2(4 5 ) (2 3 4 12)x y z x y z
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O equivalentemente,
Igualando componentes:
Despejando de las tres ecuaciones:
Estas condiciones implican que
y
Sustituyendo en , tenemos:
, , 8
11z
Se concluye que el valor mínimo se alcanza en 5 30 8
, ,11 11 11
, y 5 30 8 1320
, ,11 11 11 121
f
.
8 2 10 (2 3 4 )x y z i j k = i j k
8 2 , 2 3 , 10 4x y z
2 54
3 2x y z
6y x8
5z x
2 3 4 12 0x y z
5
11x
30
11y
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A.3 Glosario de términos
- Banco: Recorte horizontal del piso a lo largo del cual se realiza el minado en una
mina a tajo abierto.
- Compósito: Longitud que uniformiza el soporte geométrico de todas las muestras.
- Cut-off: Valor de corte de las leyes que determina la cantidad de toneladas,
cantidad de mineral y ley mineral promedio correspondientes a leyes minerales
mayores que ese valor.
- Error Fundamental: Expresión usada en QA-QC para cuantificar el error de
muestreo y el error de laboratorio químico. -
- Ley mineral: tenor metálico que constituye el valor de la variable regionalizada -
- Malla de Muestreo: Disposición geométrica de las muestras para representar y
estudiar la variable en estudio en una zona geográfica. -
- Mena: Mineral con valor económico. -
- Modelo de Bloques: Archivo conteniendo los resultados de la estimación
constituida por las coordenadas del centro del bloque y los valores estimados de
las variables en estudio con su varianza de kriging. -
- Modelo Geológico: Representación de la zona mineralizada de una variable. -
- PPM: Partes por millón. Unidad de la ley mineral. -
- Prospección Geológica: Consiste en las actividades del geólogo para estudiar un
yacimiento minero. -
- QA-QC: Técnicas estadísticas que permiten tener una data representativa y
confiable. -
- Recurso: Tonelaje y ley de mineral in situ.
- Reserva: Mineral que técnicamente se puede extraer y cuyo valor paga sus costos
de extracción y venta. -
- UTM: Sistema de coordenadas geográficas de Mercator.
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-
- Valor Capping: Valor que separa a los valores erráticos comúnmente altos de la
variable en estudio, es decir que están fuera de la ley de distribución de la variable
en estudio. -
- Valor Errático: Ley mineral anómala. -
- Veta: Fractura de la corteza de la tierra rellenada con soluciones hidrotermales
provenientes de un magma.
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