Date post: | 02-Jul-2015 |
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VECTORES
Por: Marcos Guerrero.
1 Ing. Marcos Guerrero
CANTIDADES FÍSICAS.
Es aquella que está definida por un número que la mide y una unidad de medición.
¿Qué es una cantidad Física?
Cantidades vectoriales ( o vectores)
Existen dos tipos de cantidades físicas
Cantidad escalares (o escalares)
2 Ing. Marcos Guerrero
¿Cuántos tipos de cantidades Físicas existen?
CANTIDADES ESCALARES.
Es una cantidad física que posee un número que las mide y una unidad de medición.
número + unidad
mide medición Ejemplos:
La masa 20 kg La distancia 45 m El volumen 15 m3
El tiempo 2 s La rapidez 30 m.s-1
¿Qué es una cantidad escalar?:
3 Ing. Marcos Guerrero
CANTIDADES VECTORIALES.
número + unidad + dirección
magnitud o módulo o norma
Es una cantidad física que a más de tener un número que las mide y una unidad de medición, posee dirección.
El desplazamiento 6m, en el eje x (+) La velocidad 25m.s-1, Sur La aceleración 5m.s-2, 180°
Fuerza 6,0N, Noreste Campo eléctrico 200 N.C-1, 45.0° SE
¿Qué es una cantidad vectorial?:
Ejemplos:
4 Ing. Marcos Guerrero
Ing. Marcos Guerrero 5
PREGUNTAS CONCEPTUALES.
¿Cuál es la diferencia entre una cantidad escalar y una cantidad vectorial?:
Ing. Marcos Guerrero 6
Indique, ¿cuál de las siguientes alternativas no es una cantidad vectorial? A. Velocidad B. Desplazamiento C. Posición D. Rapidez E. Pienso que existen más de uno que no son cantidades
vectoriales.
Ing. Marcos Guerrero 7
Indique, ¿cuál de las siguientes alternatrivas es una cantidad vectorial? A. Masa B. Temperatura C. Aceleración D. Tiempo E. Pienso que mas de uno es una cantidad vectorial
Ing. Marcos Guerrero 8
¿Cuáles de los siguientes alternativas tiene solo cantidades vectoriales? A. Fuerza, volumen, altura, velocidad, edad. B. Densidad, aceleración, crecimiento de una persona. C. Temperatura, luz, campo eléctrico, sonido. D. Las manecillas del reloj, área, distancia recorrida. E. Al menos una de las alternativas anteriores contiene por lo
menos una cantidad vectorial.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR
Dirección
• Flecha
• Ángulo
Punto de aplicación
(donde nace el vector)
Magnitud o módulo o norma
(tamaño del vector según la cantidad física)
Línea de referencia( se la utiliza para medir un ángulo)
9 Ing. Marcos Guerrero
Adicionalmente, todo vector posee una línea imaginaria llamada línea de acción.
¿Qué está permitido hacer con el vector con respecto a la línea de acción?
10 Ing. Marcos Guerrero
Todo vector se lo puede mover sobre la línea de acción o paralela a la línea de acción y no se altera su magnitud y dirección
11 Ing. Marcos Guerrero
RESPUESTA:
SIMBOLOGÍA.
Vector.
Magnitud, módulo o norma.
a
A
a A
a
A
Otra nomenclatura de vector
A
B
AB
La magnitud de un vector es SIEMPRE MAYOR O IGUAL A CERO NUNCA NEGATIVA.
12 Ing. Marcos Guerrero
Ing. Marcos Guerrero 13
Existen 3 maneras de representar un vector:
ONF 305
o omb 6020
Representación de un vector en coordenadas rectangulares (también llamado coordenadas cartesianas)
)5,3( mm
Representación de un vector en coordenadas cardinales
NEm o405
Representación de un vector en coordenadas polares
Explique ¿cómo se determina por lo general la dirección de un vector cuando se trabaja en coordenadas polares?
14 Ing. Marcos Guerrero
El eje x(+) es la línea de referencia. El ángulo se lo puede leer a favor del movimiento de las manecillas del reloj (ángulo negativo) y en contra del movimiento de las manecillas del reloj (ángulo positivo).
Ing. Marcos Guerrero 15
PREGUNTAS CONCEPTUALES.
ORIENTACIÓN VECTORIAL EN 2 DIMENSIONES.
16 Ing. Marcos Guerrero
Plano de orientación vectorial.
N
S
E O
NE=E del N
SE=E del S
NO=O del N
SO=O del S
N del E
S del E
N del O
S del O
17 Ing. Marcos Guerrero
Ing. Marcos Guerrero 18
Explique ¿cómo se determina la dirección de un vector cuando se trabaja con coordenadas cardinales?
La línea de referencia se la puede tomar ya sea con respecto al eje vertical o con respecto al eje horizontal
USANDO ESCALAS PARA DIBUJAR UN VECTOR.
Para dibujar un vector necesita una regla y un graduador.
19 Ing. Marcos Guerrero
MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
Vector = escalar x vector
akb
Primero suponemos que k es un número sin unidades para poder comparar los vectores y . a
b
Con respecto a k puede haber 7 casos:
0 -1 1 k
1k
1k
01 k
0k 1k
10 k 1k
a
20 Ing. Marcos Guerrero
CASO 1: 1k
Si tomamos k=-2, entonces . ab
2
Conclusión:
ab
Los vectores y tienen direcciones opuestas (contrarias). a
b
21 Ing. Marcos Guerrero
a
b
CASO 2: 1k
Si tomamos k=-1, entonces . ab
Conclusión:
ab
Los vectores y tienen direcciones opuestas. a
b
Vector negativo.
Un vector es negativo si tiene la misma magnitud y dirección a opuesta a otro vector.
22 Ing. Marcos Guerrero
a
b
CASO 3: 01 k
Conclusión:
ab
Los vectores y tienen direcciones opuestas. a
b
Si tomamos ; entonces . ab
2
1
2
1k
23 Ing. Marcos Guerrero
a
b
CASO 4: 0k
Si tomamos k=0, entonces . 0
b
Conclusión:
ab
Vector cero o vector nulo.
Un vector que tiene una magnitud de cero e infinita direcciones.
Se lo representa con un punto, en donde se encuentra su punto de aplicación y la flecha.
24 Ing. Marcos Guerrero
a
b
CASO 5: 10 k
Conclusión:
ab
Los vectores y tienen la misma dirección. a
b
Si tomamos ; entonces . ab
2
1
2
1k
25 Ing. Marcos Guerrero
a
b
CASO 6: 1k
Conclusión:
ab
Los vectores y tienen la misma dirección. a
b
Si tomamos ; entonces . ab
1k
Vectores iguales.
Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección.
26 Ing. Marcos Guerrero
a
b
CASO 7: 1k
Conclusión:
ab
Los vectores y tienen la misma dirección. a
b
Si tomamos ; entonces . ab
22k
27 Ing. Marcos Guerrero
a
b
Animación
CONCLUSIÓN.
¿Qué ocurre si el escalar k tiene unidades, se podrá comparar las magnitudes de los vectores y ? a
b
Cuando el escalar es negativo los vectores y tienen direcciones opuestas. En cambio, cuando el escalar es positivo los vectores y tienen la misma dirección
a
b
a
b
No se pueden comparar porque ambos vectores son diferentes cantidades físicas.
Ejemplo: gmW
Peso (N) Masa (kg) Aceleración de la gravedad (m/s2)
Ambos vectores tienen la misma dirección pero representan cantidades físicas diferentes.
28 Ing. Marcos Guerrero
OPERACIONES ENTRE VECTORES.
Suma y resta entre vectores: los vectores deben ser de la misma cantidad física.
Multiplicación: los vectores pueden ser de igual o de diferentes cantidades físicas.
vectorvectorvector Producto cruz o producto vectorial:
Producto punto o producto escalar:
vectorvectorescalar
29 Ing. Marcos Guerrero
SUMA Y RESTA ENTRE VECTORES
30 Ing. Marcos Guerrero
MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LOS QUE SE INVOLUCRA LA SUMA Y RESTA ENTRE VECTORES.
31 Ing. Marcos Guerrero
Métodos gráficos
Método del paralelogramo.
Método del triángulo.
Método del polígono cerrado.
Métodos analíticos
Método del paralelogramo.
Pitágoras y funciones trigonométricas básicas.
Ley seno y ley del coseno.
Método de las componentes. 32 Ing. Marcos Guerrero
MÉTODOS GRÁFICOS.
33 Ing. Marcos Guerrero
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.
Se lo utiliza cuando se tiene suma o resta entre 2 vectores.
El método para suma de 2 vectores consiste en:
•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.
•Trazar paralelas a los 2 vectores formando un paralelogramo.
•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en la unión de los 2 vectores y termina en la intersección de las 2 paralelas .
34 Ing. Marcos Guerrero
Ejercicio 1:
Solución:
Cuando se pide la resultante de 2 o más vectores, se asume que es la suma de todos los vectores que están en el gráfico.
Sean los vectores y que se muestran a continuación en la siguiente gráfica. Dibujar el vector resultante.
A
B
A
B
35 Ing. Marcos Guerrero
Ejercicio 2:
A
B
BAR
Primero disfrazamos la resta de suma, es decir . )( BAR
Segundo graficamos el vector . B
B
Sean los vectores y del ejercicio 1. Dibujar el vector .
A
B
BAR
Solución:
36 Ing. Marcos Guerrero
B
Ejercicio 3:
)( BAR
B
Segundo graficamos el vector . A
A
Sean los vectores y del ejercicio 1. Dibujar el vector .
A
B
ABR
Primero disfrazamos la resta de suma, es decir . )( ABR
A
Solución:
37 Ing. Marcos Guerrero
A
Comparando los gráficos de los ejercicios 2 y 3 podemos decir que la resta de vectores no es conmutativa.
A
B
ABR
A
B
ABR
)( BAR
B
A
Propiedad anticonmutativa de la resta: . ABBA
Conclusión:
ABBA
ABBA
38 Ing. Marcos Guerrero
Ing. Marcos Guerrero 39
PREGUNTAS CONCEPTUALES.
¿Se podría utilizar el método del paralelogramo cuando se tiene 3 o más vectores?
Ing. Marcos Guerrero 40
MÉTODO DEL TRIÁNGULO.
Se lo utiliza cuando se tiene resta entre 2 vectores.
El método consiste en:
•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.
•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en la flecha del segundo vector de la operación y termina en la flecha del primer vector de la operación.
41 Ing. Marcos Guerrero
Ejercicio 1: Sean los vectores y que se muestran a continuación. Dibujar el vector .
A
B
BAR
A
B
Solución:
A
B
BAR
Primer vector de la operación
Segundo vector de la operación
BAR
42 Ing. Marcos Guerrero
Ejercicio 2: Sean los vectores y que se muestran a continuación. Dibujar el vector .
A
B
ABR
A
B
Solución:
A
B
ABR
Primer vector de la operación
Segundo vector de la operación
ABR
43 Ing. Marcos Guerrero
Comparando los gráficos de los ejercicios 1 y 2 podemos decir que la resta de vectores no es conmutativa.
A
B
BAR
A
B
ABR
Comparando con el método del paralelogramo.
A
B
ABR
)( BAR
B
A
44 Ing. Marcos Guerrero
Ing. Marcos Guerrero 45
PREGUNTAS CONCEPTUALES.
Ing. Marcos Guerrero 46
MÉTODO DEL POLÍGONO CERRADO.
Se lo utiliza cuando se tiene 2 o más vectores.
El método consiste en:
•Colocar el primero vector de la operación.
•Colocar el segundo vector de la operación de tal manera que su punto de aplicación coincida con la flecha del primer vector de la operación.
•Colocar el tercer vector de la operación de tal manera que su punto de aplicación coincida con la flecha del segundo vector de la operación y así sucesivamente……….. •El vector resultante se inicia en el punto de aplicación del primer vector y termina en la flecha del último vector de la operación.
Animación.
Se lo utiliza en las operaciones de suma y resta entre vectores.
47 Ing. Marcos Guerrero
Animación.
Conclusión:
ABBA
Propiedad conmutativa de la suma de vectores:
48 Ing. Marcos Guerrero
Animación.
Conclusión:
)()( CBACBA
Propiedad asociativa de la suma de vectores:
BmAmBAm
)(
Propiedad distributiva de la suma y resta de vectores:
49 Ing. Marcos Guerrero
¿Pueden 2 vectores de diferente magnitud sumar cero?
A. Si. B. No.
¿Pueden 3 vectores de igual magnitud sumar cero?
A. Si.
B. No.
PREGUNTAS CONCEPTUALES.
Ing. Marcos Guerrero 51
Ing. Marcos Guerrero 52
A B and C, ,
A C
Pink Blue Green Yellow
Purple: None of these!
B
Tres vectores son mostrados a continuación. S A B C
A) B) C) D)
E) Ninguna es correcta
¿Cuál alternativa representa mejor el vector
Ing. Marcos Guerrero 54
Para cada una de las siguientes afirmaciones indique V si es verdadero o F si es falso y justifique su respuesta en caso de ser falso.
1. La magnitud de un vector puede ser positiva, negativa o cero.
2. El mínimo número de vectores de igual magnitud para que su resultante sea cero es 3.
3. La magnitud de la suma de los 2 vectores es igual a la magnitud de la resta de los 2 vectores siempre que los 2 vectores sean perpendiculares entre sí. .
55 Ing. Marcos Guerrero
4. Las cantidades escalares pueden ser positivas, negativas o cero.
5. Son ejemplos de cantidades vectoriales el desplazamiento y la velocidad.
6. Son ejemplos de cantidades escalares la temperatura y la presión.
7. Si la ecuación escalar de 2 vectores es C=A+B y su ecuación vectorial es ,entonces el ángulo entre los vectores y es 00.
CBA
A
B
56 Ing. Marcos Guerrero
MÉTODOS ANALÍTICOS.
57 Ing. Marcos Guerrero
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.
B
A
Sean los vectores y que se muestran a continuación, y θ el ángulo que forma el vector con una línea de referencia.
A
B
A
Se lo puede utilizar entre 2 vectores.
Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.
58 Ing. Marcos Guerrero
Primero grafiquemos el vector resultante.
B
A
BAR
Observemos que θ es el ángulo entre los vectores y , además Φ es el ángulo entre los vectores y .
A
B
B
R
Ing. Marcos Guerrero 59
Si suponemos que conocemos la magnitud de los vectores y , como también el ángulo entre ellos, entonces podemos determinar la magnitud del vector resultante y el ángulo entre los vectores y mediante las ecuaciones:
A
B
B R
R
ABCosBAR 2222
ACosB
ASenTan
60 Ing. Marcos Guerrero
Ing. Marcos Guerrero 61
EJERCICIO.
Ing. Marcos Guerrero 62
Ing. Marcos Guerrero 63
Las funciones trigonométricas básicas se las aplica en ángulos agudos que se encuentran en el interior de un triángulo rectángulo.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Y PITÁGORAS.
Las 3 más importantes son:
hipotenusa
opuestoSen
hipotenusa
adyacenteCos
adyacente
opuestoTan
64 Ing. Marcos Guerrero
Senac
Cos bc
Tana
b
Senbc
Cos ac
Tan ba
a
b
c
y son ángulos agudos
TEOREMA DE PITÁGORAS.
“La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de
los catetos”.
222 bac 65 Ing. Marcos Guerrero
Ing. Marcos Guerrero 66
¿Cómo utilizar las funciones trigonométricas básicas y el teorema de Pitágoras en vectores?
Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.
A
B
BAR
A
B
C B
A BAR
0
C B A R 67 Ing. Marcos Guerrero
Ing. Marcos Guerrero 68
EJERCICIO.
Ing. Marcos Guerrero 69
LEY DEL COSENO.
La ley deL Coseno permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para resolverlo pide que conozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas de triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de 90°.
70 Ing. Marcos Guerrero
AB
CSuponiendo que se conoce los lados A y B, así como también el ángulo , entonces para determinar el lado C con la ecuación:
ABCosBAC 2222
71 Ing. Marcos Guerrero
La ley del Coseno dice así:
“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo
que forman”
AB
C
Suponiendo que se conoce los lados B y C, así como también el ángulo , entonces para determinar el lado A con la ecuación:
BCCosCBA 2222
72 Ing. Marcos Guerrero
AB
C
Suponiendo que se conoce los lados A y C, así como también el ángulo , entonces para determinar el lado B con la ecuación:
ACCosCAB 2222
73 Ing. Marcos Guerrero
¿Cómo utilizar la ley del coseno en vectores?
Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.
A
B
BAR
A
B
C
0
CBAR
B
A BAR
74 Ing. Marcos Guerrero
Ing. Marcos Guerrero 75
EJERCICIO.
La ley del Seno es una relación de 3 igualdades que siempre se cumplen entre los lados y sus ángulos opuestos en un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. Especialmente los triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de un ángulo recto o de 90°.
LEY DEL SENO.
76 Ing. Marcos Guerrero
AB
C
Sen
C
Sen
B
Sen
A
77 Ing. Marcos Guerrero
La ley de los Senos dice así:
“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.
AB
C
Suponiendo que se conoce los lados A y B, así como también el ángulo , entonces para determinar el ángulo con la ecuación:
Sen
B
Sen
A
78 Ing. Marcos Guerrero
¿Cómo utilizar la ley del seno en vectores?
Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.
A
B
BAR
A
B
C
0
CBAR
B
A BAR
79 Ing. Marcos Guerrero
Ing. Marcos Guerrero 80
EJERCICIO.
MÉTODO DE LAS COMPONENTES.
81 Ing. Marcos Guerrero
DIBUJANDO LAS COMPONENTES DE UN VECTOR. Imaginemos que tenemos un vector en el primer cuadrante. a
X
Y
0
a
xa
ya
Del gráfico podemos observar que:
yx aaa
y son llamados componentes ortogonales del vector o proyecciones del vector a lo largo de los ejes x e y respectivamente.
xa
ya
a a
82 Ing. Marcos Guerrero
Animación
Imaginemos que tenemos un vector en el segundo cuadrante.
a
X
Y
0
a
xa
ya
83 Ing. Marcos Guerrero
Imaginemos que tenemos un vector en el tercer cuadrante. a
X
Y
0
a
xa
ya
84 Ing. Marcos Guerrero
Imaginemos que tenemos un vector en el cuarto cuadrante. a
X
Y
0
a
xa
ya
85 Ing. Marcos Guerrero
Imaginemos que tenemos un vector en el eje x(+). a
X
Y
0 xaa
Como el vector se encuentra en el eje x la componente del vector en el eje y es .
a
a
0
ya
86 Ing. Marcos Guerrero
Imaginemos que tenemos un vector en el eje y(-). a
X
Y
0
yaa
Como el vector se encuentra en el eje y la componente del vector en el eje x es .
a
a
0
xa
87 Ing. Marcos Guerrero
MAGNITUDES DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR.
Para determinar las magnitudes de las componentes de un vector a lo largo de los ejes x e y respectivamente, se necesita la magnitud del vector y el ángulo que forma el vector con el eje horizontal o vertical.
X
Y
0
a
xa
ya
Utilizando las funciones trigonométricas Coseno y Seno para el ángulo θ tenemos:
aSenaa
aSen y
y
aCosaa
aCos x
x
Imaginemos que tenemos el ángulo θ y la magnitud del vector a
88 Ing. Marcos Guerrero
X
Y
0
a
xa
ya
Ahora imaginemos que tenemos el ángulo y la magnitud del vector a
Utilizando las funciones trigonométricas Coseno y Seno para el ángulo tenemos:
aSenaa
aSen x
x
aCosaa
aCos y
y
89 Ing. Marcos Guerrero
SIGNO DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR.
X
Y
0
)(xa
)(ya
Cuadrante I
)(xa
)(ya
Cuadrante II
)(xa
)(ya
Cuadrante III
)(xa
)(ya
Cuadrante IV
90 Ing. Marcos Guerrero
MAGNITUD DE UN VECTOR.
Y
X 0
a
xa
ya
Imaginemos que conocemos las componentes y del vector . a
ya
xa
Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para determinar la magnitud del vector , entonces tenemos:
a
22
yx aaa
91 Ing. Marcos Guerrero
DIRECCIÓN DE UN VECTOR. Recordemos que la dirección de un vector se lo mide con respecto al eje x(+). Si la dirección se la mide a favor del movimiento de las manecillas del reloj el ángulo es negativo, pero si la dirección se la mide en contra del movimiento de las manecillas del reloj el ángulo es positivo.
92 Ing. Marcos Guerrero
Para determinar la dirección de un vector, imaginemos que conocemos las componentes y del vector . a
ya
xa
Utilizando la siguiente función trigonométrica tenemos:
x
y
a
aTan
Cada vez que se utilice esta ecuación debemos tener presente que el ángulo θ es el que forma el vector con el eje horizontal.
93 Ing. Marcos Guerrero
X 0
a
xa
ya
θ
Y
Ing. Marcos Guerrero 94
Imaginemos que tenemos un vector en el primer cuadrante. a
X
Y
0
a
(+) (-)
95 Ing. Marcos Guerrero
Imaginemos que tenemos un vector en el segundo cuadrante.
a
X
Y
0
a
(+)
(-)
96 Ing. Marcos Guerrero
Imaginemos que tenemos un vector en el tercer cuadrante. a
X
Y
0
a
(+)
(-)
97 Ing. Marcos Guerrero
Imaginemos que tenemos un vector en el cuarto cuadrante. a
X
Y
0
a
(+)
(-)
98 Ing. Marcos Guerrero
Se lo puede utilizar cuando se tiene 2 o más vectores.
Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.
El método consiste en:
•Colocar los vectores de tal manera que sus puntos de aplicación coincidan con el origen de coordenadas.
•Dibujar las componentes de cada vector, trazando paralelas a los ejes X y Y respectivamente
•Determinar las magnitudes de las componentes de cada vector utilizando las funciones trigonométricas básicas seno y coseno.
•Colocar el signo de las componentes de cada vector según el cuadrante respectivo en el que se encuentre el mismo.
MÉTODO DE LAS COMPONENTES.
99 Ing. Marcos Guerrero
•Determinar las componentes del vector resultante.
•Dibujar el vector resultante en el cuadrante respectivo.
•Determinar la magnitud del vector resultante con ayuda del teorema de Pitágoras.
•Determinar la dirección del vector resultante, para esto se puede utilizar la función trigonométrica como herramienta adicional.
100 Ing. Marcos Guerrero
Ing. Marcos Guerrero 101
Dos vectores A y B se muestran a continuación. Considere el
vector C = A+B. ¿Cuál es la componente del vector C en y?
(cada lado del cuadrado vale 1 u)
B
A
x
y A) 3
B) 2
C) -2
D) -4
E) Ninguno de ellos es la respuesta.
103 Marcos Guerrero
REPASO DE VECTORES
104 Marcos Guerrero
105 Marcos Guerrero
106 Marcos Guerrero
Marcos Guerrero 107
SISTEMAS DE COORDENADAS ESPACIALES.
x
y
z
z
x
y
y
z
x
Sistema de coordenadas espaciales que contiene:
•3 ejes que son perpendiculares entre sí x, y, z.
•3 planos x-y, x-z, y-z.
•8 octantes :
X(+), y(+),z(+). X(+), y(+),z(-). X(+), y(-),z(+). X(-), y(+),z(+).
X(-), y(-),z(+). X(-), y(+),z(-). X(+), y(-),z(-). X(-), y(-),z(-).
UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL SISTEMA DE COORDENADAS ESPACIALES.
Marcos Guerrero 108
• En el origen, las 3 coordenadas valen cero.
(0,0,0)
z
x
y
a
b
c
(a,0,0)
(0,b,0)
(0,0,c)
(a,b,0)
(a,0,c)
(0,b,c)
(a,b,c)
(x,y,z) Triada ordenada
Cuando el punto de coordenadas está:
• En el eje, 2 coordenadas valen cero.
• En el plano, una coordenada vale cero.
• En el espacio, las 3 coordenadas son diferente de cero.
VECTORES EN EL ESPACIO.
Marcos Guerrero 109
z
x
y
a
xa ya
za
z
x
y xa
ya
za
a
zyx aaaa
kajaiaa zyxˆˆˆ
son llamados componentes ortogonales del vector o proyecciones del vector a lo largo de los ejes x,y,z respectivamente.
zyx aaa
,,a
a Representación de un vector utilizando
vectores unitarios
Observar que la proyección del vector en el plano XZ son las componentes del vector en los ejes x y z respectivamente
Marcos Guerrero 110
REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR
UTILIZANDO VECTORES UNITARIOS
(VECTORES BASES). ¿Qué es un vector base?
Es un vector unitario que posee dirección y cuya magnitud es igual a la
unidad. Se localizan en los ejes x, y e z tal como se muestra en la figura
111 Marcos Guerrero
¿Para qué se utiliza los vectores base?
Se lo utiliza para darle dirección a las componentes de un vector
Marc
os
Guerr
ero
112
¿Qué ocurre si el vector se encuentra en un plano o en un eje?
Si el vector se encuentra en un plano sólo tiene dos componentes y si se encuentra en un eje sólo tiene una componente.
z
x
y
a
xaa
za
z
x
y
zx aaa
xa
MAGNITUD DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.
Marcos Guerrero 113
a
Conociendo las 3 componentes ortogonales del vector , demostrar que su magnitud viene dada por la expresión:
222
zyx aaaa
DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.
Marcos Guerrero 114
z
x
y
a
xa
ya
za
α
β
γ
α,β,γ se llaman ángulos directores y son los
ángulos que determinan la dirección de un
vector en el espacio.
α es el ángulo que forma el vector con el eje x(+) a
β es el ángulo que forma el vector con el eje y(+) a
γ es el ángulo que forma el vector con el eje z(+) a
Marcos Guerrero 115
¿Cómo se determinan los ángulos que forma el vector con los ejes negativos? a
x(+) x(-)
a
α 1800 -α
1800-α es el ángulo que forma el vector con el eje x(-) a
1800 -βes el ángulo que forma el vector con el eje y(-) a
1800 -γes el ángulo que forma el vector con el eje z(-) a
Marcos Guerrero 116
ax
a
α
ay
a
β
az
a
γ
Con ayuda de los cosenos directores.
¿Cómo se determinan los ángulos directores?
Conociendo las ángulos directores del vector , demostrar que los 3 ángulos directores están relacionados por la expresión:
a
a
aCos x
z
x
y
a
xa ya
za
a
aCos
y
1222 CosCosCos
a
aCos z
GRAFICANDO UN VECTOR EN EL ESPACIO.
Marcos Guerrero 117
)(4ˆ2ˆ3 mkjia
Graficar el vector
x
y
z
a
118 Marcos Guerrero
119 Marcos Guerrero
120 Marcos Guerrero
Marcos Guerrero 121
VECTOR UNITARIO ( )
Es un vector que posee una dirección y cuya magnitud es igual a la unidad.
Todo vector posee su vector unitario.
z
x
y
a
a
Definición:
Los vectores y tienen la misma dirección.
a
a
a
El vector es adimensional.
a
aa
a : vector unitario del vector a
Marcos Guerrero 122
kajaiaa zyxˆˆˆ
a
kajaia zyx
a
ˆˆˆ
ka
aj
a
ai
a
a zyxa
ˆˆˆ
kCosjCosiCosaˆˆˆ
222
zyx aaaa
En función de las componentes y
la magnitud
En función de los cosenos
directores
Marcos Guerrero 123
Dos vectores, uno de velocidad y otro de fuerza, tienen magnitudes diferentes e iguales
direcciones. ¿Tienen el mismo vector unitario? Explique su respuesta.
V F
Ambos tienen el mismo vector unitario.
V
F
Ambos vectores unitarios tienen la misma magnitud y la misma dirección.
1 FV
MULTIPLICACIÓN ENTRE
VECTORES.
Marcos Guerrero 124
oPueden ser de igual o de diferentes unidades.
oExisten dos tipos:
•Producto punto o producto escalar.
vectorvectorescalar
•Producto cruz o producto vectorial.
vectorvectorvector
sFW
Fr
Marcos Guerrero 125
PRODUCTO PUNTO.
También llamado producto escalar.
Definición:
A
B es el ángulo entre los vectores
y .
CosBABA
Animación.
Viene dado en unidades cuadradas sólo
si los vectores que se multiplican
tienen unidades u.
Marcos Guerrero 126
PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO.
Propiedad Conmutativa: ABBA
Propiedad Distributiva: CABACBA
)(
Propiedad de
Homogenidad:
)()()( BmABAmBAm
donde m es un escalar
Propiedad de Positividad: 2
AAA
0
Asi
Marcos Guerrero 127
PRODUCTO PUNTO ENTRE
VECTORES UNITARIOS . kji ˆ,ˆ,ˆ
Producto punto entre vectores unitarios iguales .
1ˆˆ
0ˆˆˆˆ 0
ii
Cosiiii
Utilizando la definición de producto punto tenemos:
1ˆˆ jj 1ˆˆ kk
El producto punto entre dos vectores unitarios iguales siempre es
igual a 1.
En general, el producto punto entre dos vectores unitarios paralelos
y de la misma dirección siempre es igual a 1.
Marcos Guerrero 128
Producto punto entre vectores unitarios perpendiculares.
0ˆˆ
90ˆˆˆˆ 0
ji
Cosjiji
Utilizando la definición de producto punto tenemos:
0ˆˆ kj 0ˆˆ ik
El producto punto entre dos vectores unitarios perpendiculares
siempre es igual a 0.
Marcos Guerrero 129
PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS
VECTORES.
Sean los vectores y : A
B
kBjBiBB
kAjAiAA
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
ˆˆˆ
demostrar que: ZZYYXX BABABABA
Marcos Guerrero 130
ZZYYXX BABABABA
Para utilizar esta ecuación se considera el signo de las componentes.
Marcos Guerrero 131
APLICACIONES DEL PRODUCTO
PUNTO.
Se lo puede utilizar para:
•Determinar el ángulo entre dos vectores.
•Determinar proyecciones escalares y vectoriales de un vector
sobre otro vector.
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES UTILIZANDO EL
PRODUCTO PUNTO.
Recordemos que para determinar el ángulo entre dos vectores deben
estar unidos por un mismo punto de aplicación.
Marcos Guerrero 132
Para determinar el ángulo entre dos vectores podemos utilizar la
ecuación:
BA
BACos
1
Marcos Guerrero 133
PROYECCIÓN ESCALAR Y VECTORIAL DE UN
VECTOR SOBRE OTRO VECTOR.
Proyección escalar de un vector sobre otro vector.
A
B
Imaginemos que tenemos dos vectores y unidos por un mismo
punto de aplicación. A
B
Vamos a determinar la
proyección escalar del
vector sobre el vector
que se lo denota como .
A
B
BA
BA
Marcos Guerrero 134
Del gráfico anterior tenemos:
CosAAB
Si comparamos con la definición de producto punto:
CosBABA
La ecuación anterior la podemos expresar como:
BABBA
Despejando : BAB
BAAB
Marcos Guerrero 135
Proyección vectorial de un vector sobre otro vector. Del gráfico anterior tenemos:
A
B
BA
Dibujemos el vector unitario
del vector ( ). B
B
Donde:
B
BB
B
BA Ahora dibujemos la
proyección vectorial del vector
sobre el vector y lo
denotamos .
A
B
BA
Marcos Guerrero 136
Del gráfico, podemos observar que:
BBB AA
Marcos Guerrero 137
PRODUCTO CRUZ.
También llamado producto vectorial.
Definición:
A
B
es el ángulo entre los vectores
y .
Viene dado en unidades cuadradas sólo
si los vectores que se multiplican
tienen unidades u.
SenBABA
Magnitud
Marcos Guerrero 138
Animación.
Con la regla de la mano derecha:
“Consiste en colocar la mano derecha en el primer vector de la operación,
luego rotar y cerrar los dedos hacia el segundo vector de la operación(la menor
rotación), al levantar el pulgar este dará la dirección del vector resultante”
¿Cómo se determina la dirección del vector ? BA
Animación.
El producto vectorial sólo
existe en el espacio
tridimensional. CB
CA
Marcos Guerrero 139
¿Cómo se determina la dirección del vector ? AB
Animación.
CB
CA
PROPIEDADES DEL
PRODUCTO CRUZ.
Marcos Guerrero 140
Propiedad homogenidad
escalar
BABABA
:
)()()(
ABBA
Propiedad anti-conmutativa
CABACBA
)(Propiedad distributiva
0
BA si BA
//
Marcos Guerrero 141
PRODUCTO CRUZ ENTRE
VECTORES UNITARIOS . kji ˆ,ˆ,ˆ
Producto cruz entre vectores unitarios perpendiculares.
kji ˆˆˆ
i
j
k
jik ˆˆˆ
ikj ˆˆˆ i
j
k
kij ˆˆˆ
jki ˆˆˆ
ijk ˆˆˆ
Marcos Guerrero 142
Producto cruz entre vectores unitarios iguales.
0ˆˆ
ii
0ˆˆ
jj
0ˆˆ
kk
El producto vectorial de dos
vectores unitarios iguales es el
vector nulo.
Marcos Guerrero 143
PRODUCTO CRUZ ENTRE DOS
VECTORES.
Sean los vectores y : A
B
kBjBiBB
kAjAiAA
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ZYX
ZYX
BBB
AAA
kji
BAC
ˆˆˆ
fila
columna
Marcos Guerrero 144
kBB
AAj
BB
AAi
BB
AA
BBB
AAA
kji
BACYX
YX
ZX
ZX
ZY
ZY
ZYX
ZYXˆˆˆ
ˆˆˆ
kCjCiCC ˆˆˆ131211
donde:
YZZY BABAC 11
XZZX BABAC 12
XYYX BABAC 13
Marcos Guerrero 145
A
B
¿Cómo se determina el área del paralelogramo formado por los
vectores y ?
A
B
Altura
Base
ABase
SenBAltura
B
AlturaSen
SenBAArea
AlturaBaseArea
Marcos Guerrero 146
Si la comparamos con la ecuación:
SenBABAC
Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores y
viene dada por la magnitud del vector .
A
B
C
BACArea
Marcos Guerrero 147
A
B
A
B¿Cómo se determina el área del triángulo formado por los
vectores , y ? BA
BA
Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores , y
viene dada por la mitad de la magnitud del vector .
A
B
C BA
22
BACArea
Marcos Guerrero 148
APLICACIONES DEL PRODUCTO
CRUZ.
Se lo puede utilizar para:
•Determinar un vector perpendicular al plano formado por dos
vectores.
•Determinar el área del paralelogramo formado por dos
vectores.
•Determinar el área del triángulo formado por tres vectores.
Marcos Guerrero 149
TRIPLE PRODUCTO ENTRE
VECTORES .
A
B
D
BAC
Vamos a determinar el producto
cruz entre los vectores y
( ). B
BAC
A
CDVamos a determinar la
proyección escalar del vector
sobre el vector ( ). D
C
CD
Marcos Guerrero 150
Podemos observar del gráfico anterior que la proyección escalar del vector
sobre el vector es la altura del paralelepípedo. D
C
C
CDDh C
BA
BADh
Donde es el área de la base del paralelepípedo. BA
Marcos Guerrero 151
Ahora si multiplicamos la altura del paralelepípedo por el área de la
base del paralelepípedo obtenemos el volumen del paralelepípedo,
entonces tenemos que:
BADBAhVolumen
BADVolumen