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293
CAPITULO V
HIDRODINAMICA
Un ciclista puede hacer disminuir intencionadamente el rozamiento aerodinámico al adquirir una
postura adecuada de carrera (encogiendo el cuerpo y usando ropa ajustada
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294
5.1. INTRODUCCIÓN
La naturaleza del movimiento de un fluido real es muy compleja y no siempre puede
ser estudiada de forma exacta mediante el análisis matemático. Contrariamente a lo
que sucede con los sólidos, las partículas de un fluido en movimiento pueden tener
deferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Las ecuaciones
básicas que nos permiten predecir el comportamiento de los fluidos son:
El principio de conservación de masa, a partir del cual se obtiene la ecuación
de continuidad.
El principio de conservación de la energía.
El principio de conservación de la cantidad de movimiento que nos permite
determinar las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimiento.
5.2. SISTEMAS Y VOLUMENES DE CONTROL.
5.2.1. Sistema.
Un sistema se define como una cantidad arbitraria de masa de identidad fija
limitada por el entorno a través de una frontera. Los contornos del sistema forman
una superficie cerrada, y ésta superficie puede variar con el tiempo, de manera que
contenga la misma masa durante los cambios en condición. El sistema puede
contener una masa infinitesimal o una masa finita grande de fluidos de fluidos y
sólidos a voluntad del investigador. Un ejemplo lo constituye el sistema
constituido por el vapor dentro del cilindro de una máquina después del cierre de
la admisión como se muestra en la Fig.5.1. A medida que el pistón se mueve, el
volumen del sistema cambia pero no existen cambios en la cantidad de masa.
Fig5.1. Definición de sistema.
5.2.2. Volumen de control.
Es una región fija en el espacio, a través de cuyos límites puede fluir, masa,
momentum, energía, etc. El límite del volumen de control se denomina superficie
de control. El volumen de control puede ser de cualquier tamaño y forma. La
cantidad y la identidad de la materia en el volumen de control permanecen fijas.
Sistema
(Gas en el cilindro)
´pistón
Cilindro
Límite del sistema
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295
En la Fig. 5.2, se muestra un volumen de control escogido para estudiar el flujo a
través de una boquilla.
Fig. 5.2. Volumen de control para un flujo de fluidos.
5.3. FLUJO DE FLUIDOS
Llamase flujo de fluidos al movimiento de un fluido. El flujo de fluidos puede ser:
permanente, no permanente, uniforme, no uniforme, laminar, turbulento,
unidimensional, bidimensional, tridimensional, rotacional e irrotacional.
5.3.1 Flujo permanente.
Se dice que un flujo es permanente cuando las propiedades del fluido y las
condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo. Así por
ejemplo, en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan
ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Por lo tanto, la velocidad es
constante respecto del tiempo, es decir, 0/ tv pero puede variar de un punto a
otro, es decir ser variable respecto de las coordenadas. De la misma manera las otras
magnitudes tales como la densidad, la presión y la temperatura no varían con el
tiempo, esto es, 0/ t , 0/ tp y 0/ tT .
Un ejemplo lo constituye el flujo de un líquido a través de una tubería larga recta de
sección constante y a caudal constante.
5.3.2 Flujo no permanente
Un flujo es no permanente cuando las propiedades del fluido y las
condiciones en cualquier punto cambian con el tiempo, es decir, 0/ tv . Un
ejemplo de éste tipo de flujo lo constituye el movimiento de un fluido a través de
una tubería de sección constante pero a caudal variable.
5.3.3. Flujo uniforme.
Un flujo de fluidos es uniforme cuando el módulo, la dirección y el sentido
de la velocidad varían de un punto a otro del fluido, es decir, 0/ sv
siendo s un
Superficie de control
Volumen de control
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296
desplazamiento en una dirección cualquiera. Esta suposición implica que las
otras magnitudes físicas del fluido no varían, o bien, 0/ s , 0/ sp . Un
ejemplo lo constituye el movimiento de un fluido bajo presión a través de tuberías
de sección constante y gran longitud.
5.3.4 Flujo no uniforme.
Se dice que un flujo es no uniforme, cuando la velocidad, la presión varían
de un punto a otro en la región del flujo, es decir, 0/ sv .
5.3.5 Flujo laminar.
Un flujo es laminar cuando las partículas del fluido se mueven a lo largo de
trayectorias lisas en capas o láminas, deslizándose una capa sobre la otra adyacente.
En el flujo laminar se cumple la ley de Newton de la viscosidad dad por yv / .
5.3.6 Flujo turbulento.
En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven siguiendo
trayectorias aleatorias originándose un intercambio de momentun molecular. Es un
ejemplo la cascada de un río.
5.3.7 Flujo unidimensional.
En un flujo unidimensional se desprecian las variaciones de la velocidad,
presión, densidad, transversales a la dirección principal del movimiento del fluido.
El flujo a través de una tubería se puede considerar unidimensional.
5.3.8 Flujo bidimensional.
En este flujo se supone que todas las partículas siguen trayectorias idénticas
en planos paralelos, por lo tanto, no hay cambios en el flujo en la dirección normal a
dichos planos. Es un ejemplo el movimiento de un líquido a través de un vertedero.
5.3.9 Flujo tridimensional.
Es aquel tipo de flujo general en el que las componentes de la velocidad vx ,
vy y vz en direcciones perpendiculares son funciones del tiempo y de las
coordenadas espaciales.
5.4. FLUJO IDEAL.
En el estudio del movimiento de fluidos en muchos casos se puede considerar como
un flujo de fluidos ideal a aquel que cumple con las siguientes características:
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297
El fluido debe ser absolutamente incompresible.
El fluido debe carecer de viscosidad o rozamiento interno.
5.5. LINEAS DE CORRIENTE.
Las líneas de corriente son líneas imaginarias dibujadas a través de un fluido en
movimiento y que indican la dirección de éste en los diversos puntos del flujo de
fluidos. Debe observarse que la tangente en un punto a la línea de corriente nos da la
dirección instantánea de la velocidad de las partículas del fluido, en dicho punto. La
Fig 5.3, nos muestra tal aseveración.
Fig.5.3. Líneas de corriente en un flujo de fluidos.
Debido a que la velocidad en dirección normal a la línea de corriente no existe,
entonces en la dirección perpendicular a la línea de corriente no existe flujo. En la
Fig. 5.4, se muestra la forma de algunas líneas de corriente al colocarse diversos
sólidos del flujo de fluidos.
Fig5.4. Líneas de corriente para diferentes flujos.
5.6. TUBO DE CORRIENTE.
Es la parte de un fluido limitado por un haz de líneas de corriente. Todas las
partículas que se hallan en una sección de un tubo de corriente, al desplazarse
continúan moviéndose por su sección sin salirse del mismo. De igual forma ninguna
partícula exterior al tubo de corriente puede ingresar al interior del tubo. En la Fig,
5.5, se muestra un tubo de corriente.
v
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298
Fig.5.5. Tubo de corriente formado por líneas de corriente.
5.7. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
La aplicación del principio de conservación de masa a un flujo de fluidos
permanente y unidimensional, en un tubo de corriente, nos da la ecuación de
continuidad, la que expresa la continuidad del flujo de una sección a otra del tubo
de corriente. Para encontrar la expresión matemática considere un sistema físico
conteniendo una determinada cantidad de masa de fluido limitada por un tubo de
corriente, como se muestra en la Fig.5.6, a través del tubo para un flujo permanente,
unidimensional y compresible. Cerca de la sección (1) del tubo, el área de la sección
es A1 y la densidad ρ1, mientras que en la sección (2) el área de la sección es A2 y la
densidad es ρ2. El volumen de control está representado por las letras I y R, en tanto
que la superficie de control coincide con las paredes del tubo de corriente.
Fig. 5.6. Sistema para determinar la ecuación de continuidad.
De la figura puede verse que en un tiempo t el sistema está compuesto por el fluido
dentro del volumen de control (I + R), en un tiempo t + dt el sistema se mueve
corriente abajo, de tal forma que según el principio de conservación de masa del
sistema se tiene que
dt t tiempo
un en
ttiempo
un en Ry I zonas
lasfluidoen del Masa
RyzonasO
lasenfluidodelmasa
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299
Es decir:
dttROtRI mmmm (5.1)
Para el caso de un fluido permanente las propiedades del fluido en puntos del
espacio no son unciones del tiempo, de tal forma que
dttRtR mm (5.2)
Es decir, la ecuación (1) se escribe en la forma
dttOtI mm (5.3)
Estos dos términos se expresan fácilmente en función de otras variables como la
densidad, el área de la sección y el desplazamiento de la masa del fluido, es decir
222111 dSAdSA (5.4)
Si se divide la ecuación (5.4) entre el tiempo t, resulta
)/()/( 222111 dtdSAdtdSA (5.5)
Las derivadas de las cantidades S1 y S2 respecto del tiempo nos dan las velocidades
instantáneas en las secciones 1 y 2, por lo tanto, la ec. (5), se escribe
222111 vAvA (5.6)
Es a la cantidad ,Avm que se le conoce como Régimen de flujo de masa y
constituye la llamada ecuación de la continuidad, la misma que expresa: en un flujo
permanente, el régimen de flujo de masa que pasa a través de todas las secciones
de un tubo de corriente, es constante. La ec. (5.6) puede escribirse también en la
forma
0
tan
Avd
o
teconsAvm
(5.7)
Por otro lado si se multiplica a la ec. (5.6) por la aceleración de la gravedad local g
se obtiene el flujo ponderal (G)
AvgmG (5.8)
Para el caso en el cual el fluido es incompresible la densidad así como el peso
específico se mantiene constante. Entonces la ecuación de la continuidad se expresa
en la forma
teConsAvQ tan (5.9)
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300
A la cantidad Q se le llama Caudal o gasto o régimen de flujo volumétrico o
volumen por unidad de tiempo que pasa a través de un área del tubo de flujo, cuyas
unidades son m3/s.
Para flujos bidimensionales el régimen de flujo se expresa por unidad de distancia
perpendicular normal al plano del flujo. Si b es la distancia entre dos planos de flujo
paralelos y h es la distancia entre líneas de corriente, la ec. (5.8), se escribe
hvb
G (5.10)
A la cantidad G/b, se le denomina régimen de flujo bidimensional ponderal.
Para el caso en el cual el flujo es permanente e incompresible, flujo en el cual la
velocidad no es uniforme, el caudal se obtiene mediante la ecuación
vdAQ (5.11)
5.8. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE EULER.
Además de la ecuación de continuidad, otras ecuaciones que describen el
movimiento de fluidos es la ecuación de Euler, la ecuación de Bernoulli, la ecuación
de la energía. La ecuación de Euler no es más sino la aplicación de la segunda ley de
Newton al movimiento de las partículas de un fluido. Para obtener la ecuación de
Euler considérese un pequeño elemento de fluido de forma cilíndrica de masa,
dVdm , tal como se muestra en la Fig.5.7. Considerando despreciable la
viscosidad, las fuerzas que actúan sobre el cilindro y que tienden a acelerarlo son:
Fig.5.7. Tubo de corriente para determinar la ecuación de Euler.
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301
Las fuerzas debido a la presión sobre las bases del cilindro expresadas por
)(F ; 21 dpppdAF (5.12)
La fuerza debido al peso del elemento en la dirección del movimiento
sendSdAgdW .... (5.13)
La aplicación de la segunda ley de Newton en la dirección tangente da θ
1 2
.
. .
. . . . . .
. . . . . . . (5.14)
t t
t
F m a
F F dW Sen dm a
dvp dA p dp dA g dA dS Sen dA dS
dt
dp g dA dS Sen dA v dv
Dividiendo la ec. (5.14) entre dA y teniendo en cuenta que ,. dzSendS resulta
dvvdzgdp .... (5.15)
Para un flujo incompresible esta ecuación se escribe, la ecuación anterior se escribe
en la forma
02
2
dzg
vd
dp (5.16)
O para el caso de flujos cuya densidad es uniforme
02
2
zg
vpd (5.17)
5.9. LA ECUACIÓN DE BERNOULLI.
La ecuación de Euler, se puede integrar fácilmente entre dos puntos ya que γ y g son
constantes para un flujo incompresible de un fluido de densidad uniforme,
obteniéndose
2
2
22
1
2
11
22z
g
vpz
g
vp (5.18)
Debido a que los puntos 1 y 2 son arbitrarios cualquiera de una línea de corriente, se
puede escribir la ec.(5.18) en la forma
teconsHzg
vptan
2
2
(5.19)
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302
La ec (5.19) se aplica a todos los puntos de la línea de corriente y provee una
relación útil entre la presión p, la magnitud de la velocidad v y la altura z sobre el
plano de referencia. A la cantidad H se le denomina carga total. La ec.(5.19) revela
además que las cantidades p/γ, v2/2g y z son distancias verticales. El experimento de
Pitot demuestra que la suma de las cargas de velocidad (v2/2g), la carga de presión
(p/γ) así como la carga de altura z siempre permanece constante.
La línea de carga piezométrica o línea de gradiente hidráulico (L.G.H) trazada a
través de las partes superiores de las columnas piezométricas nos dan la imagen de
la variación de presión ver la Fig.5.8.
Fig.5.8. Trazado de la línea de gradiente hidráulico.
5.10. APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI.
5.10.1. La ecuación de la hidrostática.
Las ecuaciones deducidas en hidrostática son un caso especial del teorema
de Bernoulli, cuando la velocidad en todos los puntos es nula. Para determinar la
ecuación hidrostática se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la
Fig. 5.9. Es decir
2
2
22
1
2
11
22z
g
vpz
g
vp (a)
Como el depósito está abierto sobre la superficie libre del fluido actúa la presión
atmosférica p0. Así mismo, debido a que el fluido está en reposo, v1 y v2 son nulas,
con lo que la ecuación anterior se escribe
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303
011 2
1 0 2 1
1 0
0 0
. (b)
ppz z
p p z z
p p h
Fig.5.9. Determinación de la ecuación de la hidrostática
5.10.2. Teorema de Torricelli.
En la Fig. 5.10, se muestra a un líquido que sale por un orificio practicado en
la pared lateral de un depósito, a una profundidad h por debajo de la superficie libre
del líquido. Para determinar la velocidad con que sale el líquido a través del orificio
se toma un punto 1 en la superficie libre del depósito en donde la altura y la presión
son conocidas y un punto 2 en la salida de la tobera en donde también se conocen la
presión y la altura.
Fig.5.10. Teorema de Torricelli
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304
Aplicando el principio de conservación de masa entre los puntos mencionados, para
un flujo ideal proporciona
2211 vAvA (a)
Si se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene
2
2
22
1
2
11
22z
g
vpz
g
vp (b)
Debido a que las presiones en los puntos 1 y 2 son las mismas esto es la presión
atmosférica p0, la ecuación anterior se escribe.
2 2
0 01 21 2
2 2
2 1 2 1
2 2
2 1
2 2
2
2 (c)
p pv vz z
g g
v v g z z
v v gh
Remplazando la ec. (a) en (c), resulta
(d) /1
2
21
2
21
2
2
1
22
2
AA
ghv
ghA
Av
En general el área de la tobera A2 es mucho menor que el área de la sección
transversal del depósito A1, de tal forma que ,0/ 12 AA y la ec. (d) se escribe
ghv 22 (e)
La ec. (e) indica que la velocidad de descarga es igual a la velocidad que alcanzaría
una partícula cayendo libremente sin fricción desde el punto 1 hasta el punto 2. En
otras palabras la energía potencial de la superficie libre se convierte en energía
cinética del chorro.
5.10.3. Efecto Venturi.
Supongamos que tenemos un flujo en el cual no existen diferencias
significativas de energía potencial del fluido en movimiento. Entonces en la
ecuación de Bernoulli se puede considerar que z1 = z2 = 0, con lo que se tiene
g
vp
g
vp
22
2
22
2
11 (a)
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305
De donde
2 2
1 2 2 1
1
2p p v v (b)
En esta expresión, si v1 es mayor que v2, entonces también lo es. En
consecuencia, es negativo, lo que a su vez, es posible solo si p2 es mayor
que p1. En términos más simples, donde la velocidad sea mayor, la presión es
menor. A este fenómeno se le conoce como efecto Venturi.
Este efecto se aprecia con gran facilidad al soplar entre dos hojas de papel separadas
unos cuantos centímetros. La velocidad del aire entre las hojas será mayor que en
las caras externas y por tanto la presión en las caras externas será mayor,
uniéndolas.
El mismo efecto se observa cuando se sopla por la cara superior de una hoja
dispuesta horizontalmente, levantándola; a su vez, este ejemplo explica el porqué
los techos arrancados de las casas con puertas y ventanas bien cerradas en un día de
viento de gran intensidad.
Otro ejemplo interesante lo constituye una pelota golpeada de manera que se roto
traslade como se observa en la Fig,5.11, que representa una mirada desde arriba.
Fig 5.11. Efecto Venturi en una pelota en movimiento
La pelota se mueve hacia la derecha girando en sentido contrario a las manecillas de
un reloj. El movimiento de rotación arrastra a una porción de aire en las cercanías de
la pelota, el que forma una capa rotatoria que adquiere una velocidad cuyas
direcciones están indicadas con vs y vi. El movimiento de traslación en cambio,
produce una corriente de aire viajando a la izquierda con una velocidad vv.
Se ve con claridad aquí que la velocidad será mayor en el lado 1 ( )v sv v que en el
lado 2 ( )v iv v y por tanto la presión será mayor en el lado 2, produciéndose una
curva en la trayectoria de la pelota, con radio de curvatura hacia el lado 1.
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306
Una aplicación interesante del efector Venturi, lo constituye el denominado Tubo de
Venturi descrito en la siguiente sección
5.10.4. Tubo de Venturi
Este medidor mostrado en la figura 5.12 consiste en un tubo con un
estrechamiento en forma gradual y un aumento también gradual practicado con la
finalidad de evitar la formación de remolinos de tal manera que no se produzca
remolinos quedando de esta forma asegurado un régimen estacionario (permanente).
Fig. 5.12. Esquema de un venturímetro
Para determinar el caudal en primer lugar se determina la velocidad de flujo del
fluido, para ello se aplica la ecuación de continuidad entre los punto 1 y 2
222111 vAvA (a)
Para un fluido incompresible, la ec anterior se escribe
2
1
2
2
2211
vA
Av
vAvA
(b)
Por otro lado aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene
2
2
221
2
11
22z
g
vpz
g
vp (c)
Observando la figura se ve que z1 y z2 se encuentran en un mismo nivel horizontal
por lo que
g
vp
g
vp
22
2
22
2
11
21
1
1
2
2
2pp
gvv (d)
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307
Al remplazar la ec (b) en (d) y simplificar se tiene
2
1
2
21
2
1
2
A
A
ppgv
(e)
La diferencia de presiones se determina a partir de las lecturas de los piezometros,
es decir
101 hpp
202 hpp
2121 hhpp
hpp 21 (f)
Al remplazar la ec (f) en (e) resulta
2
1
2
2
1
2
A
A
ghv (g)
Entonces el caudal Q o régimen de flujo volumétrico se expresa en la forma
2
2
2
1
212211
2
AA
ghAAvAvAQ *
5.10.5 Tubo de Prandtl (Pitot).
Este dispositivo se utiliza para medir la velocidad del flujo de un gas,
consiste en un tubo manométrico abierto e que va conectado a una tubería que lleva
un fluido como se muestra en la Fig. 5.13. La presión en la parte izquierda del
manómetro cuya abertura es paralela a la dirección del movimiento del gas es igual
a la presión de la corriente gaseosa por otro lado la presión en la rama derecha cuya
abertura es perpendicular al flujo del gas puede aplicarse aplicando el teorema de
Bernoulli a los puntos 1 y 2, esto es:
Siendo v, la velocidad de la corriente, γ el peso específico del fluido móvil y p1 la
presión en el punto 1, la presión en la punto 2 es p2 y a velocidad en dicho punto es
nula debido a que el gas no se mueve en el estancamiento, y los puntos 1 y 2 se
encuentran en el mismo nivel horizontal, entonces la ecuación anterior se escribe
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308
2 12 ( )g p pv
La diferencia de presiones se determina a partir de la lectura del manómetro en el
tubo de Pitot, es decir
M 1p Hgp h
2N
M N
p p
p p
1 2Hgp h p
2 1 Hgp p h
Al remplazar esta +ultima ecuación en la velocidad resulta
2 Hgg hv
Fig. 5.13. Tubo de Pitot para medir la velocidad de un gas.
5.10.6 Sustentación del ala de un avión.
Con la finalidad de simplificar los cálculos consideremos en nuestra mente
que el ala del avión esta en reposo y que el aire es el que se mueve respecto al avión
hacia la derecha. El la figura 5.14, se muestra algunas líneas de corriente alrededor
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
309
del ala, estas líneas en la parte superior se encuentran más apretadas mientras que en
la parte inferior no es muy importante la perturbación.
Fig. 5.14. Sustentación del ala de un avión.
Esta distribución de las líneas de flujo nos induce a pensar que es semejante a un
venturímetro en donde la parte inferior (punto 1) es la garganta del venturímetro y el
punto 2 la parte ancha de dicho tubo, Es decir
1 2 1 2 v v p p (a)
Bajo estas circunstancias, la fuerza de sustentación es
2 1 2 1( )F F F p p A (b)
Donde A es el área del ala del avión que la consideramos iguales el parte superior e
inferior, respectivamente.
Si p y v son la presión y la velocidad del flujo de aire a una gran distanca del ala
(puntos 3 y 4); y p1 y v1 los correspondientes al punto 1(debajo del ala); p2 y v2 los
valores de la presión y la velocidad en en el punto 2 (sobre el ala), la aplicación de
la ecuación de Bernoulli nos da
22
1 11 entre 3 y 1
2 2
p vp vz z
g g (c)
22
2 22 entre 4 y 1
2 2
p vp vz z
g g (d)
De las ecuaciones (c) y (d) se tiene 2 2
1 1 2 21 2
2 2
2 1 1 2 1 2
2 2
2
p v p vz z
g g
p p v v z zg
(e)
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310
Despreciando la diferencia de alturas entre la parte superior e inferior del ala se
tiene
2 2
2 1 1 22
p p v vg
(f
Finalmente, la sustitución de la ecuación (f) en (b) nos permite determinar la fuerza
de sustentación del ala
2 2
1 22
AF v v
g Rta
5.11. LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA.
La aplicación de los principios de trabajo-energía al flujo de fluidos produce una
valiosa relación entre las propiedades del fluido, el trabajo realizado y la energía
transmitida. Se ve entonces que la ecuación de Bernaulli es equivalente a la
ecuación trabajo–energía de la mecánica para el flujo de un fluido ideal.
Consideremos la sección de un tubo de corriente diferencial como se ve en la
fig.4.15, y el sistema fluido que ocupa las zonas I y R del volumen de control en el
tiempo t, y las zonas R y O en el tiempo t + dt. Para un fluido permanente la
ecuación de la continuidad establece (ρ = cte).
La relación trabajo-energía establece que el trabajo dW (expresado como una fuerza
actuando a distancia) realizado sobre un sistema, produce un cambio equivalente en
la suma de las energías cinéticas, Ek y potencial, Ep del sistema, esto es en un
tiempo dt.
Fig. 5.15. Sección diferencial de un tubo de corriente.
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311
Remplazando (1) en (3) resulta
De igual forma se obtiene
Remplazando el segundo término de la ec. (1) en (5) resulta
El trabajo externo realizado sobre el sistema se lleva todo a cabo en las secciones
transversales 1-1 y 2-2 porque no hay movimiento perpendicular al tubo, de manera
que las fuerzas internas laterales no puedan realizar trabajo. Además, como todas las
fuerzas internas aparecen en pares iguales y opuestos, no se realiza trabajo neto
internamente. El trabajo realizado por el fluido que entra en I sobre el sistema en el
trabajo dt, es el trabajo de flujo.
Como el sistema realiza trabajo sobre el fluido en O en el tiempo dt, el trabajo
realizado sobre el sistema es
Reemplazando las ecuaciones (4), (6), (7), y (8) en (2), resulta:
Teniendo en cuenta la ec. (1) resulta:
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312
Reacomodando términos en la ecuación anterior se tiene
Una vez más se ha obtenido la ecuación de Bernoulli, pero esta vez utilizando las
ideas energéticas por lo que ésta se constituye en a Ecuación de la energía mecánica.
Los términos v2/2g, p/γ y z quienes además tienen las unidades de metros o
m-N/N = Joule/New que representan energía por unidad de peso de fluido.
La adición a un flujo de fluido de energía mecánica por una bomba (EB), o una
extracción por una turbina (ET), altera la ecuación de Bernoulli la que debe
escribirse:
En la que las cantidades EB y ET están expresadas en términos de energía añadida o
sustraída por unidad de peso fluido en circulación y aparecen como elevaciones o
descensos abruptos de la línea de energía, a través de las respectivas máquinas.
En general el ingeniero requiere conocer la potencia total de dichas máquinas, la
cual se puede calcular a partir del régimen de flujo ponderal (G) o de la energía EB o
ET obteniéndose una potencia total dada por
5.12. FLUIDOS REALES.
Como señalamos al principio de esta unidad, muchas de las restricciones que hemos
considerado, son necesarias para encontrar los principales modelos rigen el
comportamiento de los fluidos en movimiento. Sin embargo, en muchos casos es
necesario abandonar estas restricciones, porque proporcionan aproximaciones
suaves al comportamiento de los fluidos reales
Por cierto, sin querer entrar en terrenos de la ingeniería, podemos aproximarnos a
aproximaciones un poco mejores considerando dos situaciones: primero, el hecho
de que el elemento de fluido encuentra resistencia a desplazarse en el interior del
tubo de flujo, fenómeno que describiremos con el nombre de viscosidad; y segundo,
el hecho de que se puede determinar hasta qué punto un fluido hasta que punto un
fluido se comporta de manera laminar, a través de un coeficiente sencillo
denominada numero de Reynolds.
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
313
5.13. VISCOSIDAD.
Una manera sencilla de entenderla es suponer un tubo de fluido, compuesto de tal
manera que se asemeja una resma de hojas de papel. Hasta ahora hemos supuesto
que se mueven con igual velocidad, como se observa en el dibujo siguiente:
Fig. 5. 16. Modelo de un fluido ideal
Este modelo puede ser mejorado considerado que en un fluido real, las hojas en
contacto con las paredes del tubo tendrán la velocidad de estas, y luego, las restantes
tendrán también distintas velocidades, considerando el roce entre ellas (viscosidad).
El comportamiento de los vectores velocidad en este caso, se representa en el
dibujo siguiente (flujo de Poiseuille).
Fig. 5.17. Modelo de un flujo real viscoso
Otra forma de apreciar este fenómeno es suponer que cada hoja es una columna de
personas caminando. Si cada hoja viaja a velocidad distinta, pero hay personas que
se cambian a otras hojas, se tendrá que aquellas que se cambian a columnas de
velocidad menor, provocaran un aumento de la velocidad promedio de esta ultima; e
contrario, si una persona se cambia a una columna que tiene velocidad mayor, le
provocará una disminución de su velocidad promedio. Este es el mecanismo básico
de la viscosidad.
El ejemplo más sencillo para estudiar el fenómeno de la viscosidad lo constituyen
dos placas paralelas entre las que se dispone un fluido viscoso. La placa superior
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
314
está moviéndose respecto de la inferior, que mantendremos en reposo (ver Fig.
5.18.)
Fig. 5.18. Fluido viscoso
La placa superior está moviéndose con velocidad constante y la inferior esta en
reposo. Se muestra que si el fluido está en contacto con estas paredes, se mueve con
igual velocidad que ellas.
Las rapideces de las capas intermedias aumentan uniformemente de una superficie a
otra como indican las flechas, a partir de la superficie en reposo.
Este es otra forma de ver nuestro flujo laminar. Observamos que esta acción
deformará cada vez más el flujo por cizalladura.
Supondremos que el área de la placa inferior es A y está separada de la otra por una
distancia y , por otro lado, si queremos mantener a la placa superior moviéndose a
una velocidad constante V se le debe aplicar una fuerza para compensar el roce, del
mismo modo que lo hacíamos con los rígidos en la mecánica.
Experimentalmente, se encuentra que esa fuerza es directamente proporcional al
área de la placa que se mueve.
También se encuentra que aumenta proporcionalmente con la velocidad y que es
inversamente proporcional a y. Lo anterior se puede expresar en forma matemática
como:
AvF
y (5.22)
Si la separación entre las placas es grande, la velocidad cambia a través del perfil
del flujo laminar y se tiene
dvF A
dy (5.23)
Donde η es una constante de proporcionalidad denominada coeficiente de
viscosidad, o simplemente viscosidad.
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
315
Las unidades de n en el S.I. son Ns/m2 o lo que es lo mismo, Pa s, que se denomina
Pouseuille (PI) en honor al francés Jean Pouseuille (1799-1869) y a su trabajo con la
dinámica de fluidos, especialmente de la sangre. En el sistema CGS la unidad es
Dina s/cm2 que se denomina poise (P) como es una unidad muy grande, se
acostumbra usar el centipoise (cP), una centésima parte de un Poise.
Respecto a los lubricantes comerciales para motores, existe una indicación de
grados SAE (Society of Automotive Engineers) basados en la viscosidad. En
invierno se usa aceite de viscosidad baja SAE 10W; en cambio en verano es
necesario un aceite más viscoso SAE 30 o superior. También existen aceites
multigrados por ejemplo el SAE10-40, que contienen otras sustancias (polímeros)
permitiéndoles mantener una viscosidad constante.
Algunos valores del coeficiente de viscosidad se observan en a siguiente tabla, en
donde se resalta su variación con la temperatura.
Fluido η (Pa s)x10-3
T(°C)
Agua 1,8 0
Agua 1,0 20
Agua 0,3 100
Glicerina 830 20
Hidrógeno 0,009 0
Aceite de motor 250 30
Aire 0.0018 20
Mercurio 1,55 20
Alcohol etílico 1,2 20
Oxígeno 2,2 20
Plasma sanguíneo 2,5 20
Note que de (5.22.) se obtiene
Por lo que la unidad de viscosidad en el S.I. es:
Aunque a unidad más conocida es:
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
316
De lo anterior:
1 poise = 1[dina s cm2] = 10
-1[Nsm
-2]
La cantidad [F/A] es denominada esfuerzo constante, y la cantidad [v/y] es
denominada variación de la deformación.
En líquidos que fluyen fácilmente, como el agua o el petróleo, el esfuerzo cortante
es relativamente pequeño para una deformación dada, lo mismo que la viscosidad.
Para líquidos como la melaza o glicerina, se necesita un esfuerzo cortante mayor
para la misma variación de la deformación, y por tanto su viscosidad será mayor.
Los fluidos que se comparten según la ecuación (5.22.), se denominan Newtonianos.
5.14. NÚMERO DE REYNOLDS.
Existe una velocidad crítica, después de la cual el fluido deja de comportarse en
forma laminar. Entonces se observa que sólo las líneas de flujo muy cercanas a las
paredes, que forman una capa denominada capa límite, conservan las propiedades
del flujo laminar, conservan las propiedades del flujo laminar. Más allá de l la capa
límite el movimiento es muy irregular, cesa el sentido de líneas separadas
nítidamente. En el interior del fluido se originan corrientes circulares aleatorias
locales, denominadas vórtices, que dan lugar a un gran aumento de la resistencia al
movimiento. Un flujo así se denomina turbulento
Existe un parámetro asociado a la turbulencia, denominado Número de Reynolds,
que matemáticamente está expresado mediante la ecuación
Donde v es la velocidad del fluido, ρ es su densidad, η es su coeficiente de
viscosidad dinámico, L es una longitud asociada al flujo como por ejemplo el
diámetro del tubo, cuando el flujo es en un tubo. El Número de Reynolds es una
cantidad adimensional y tiene el mismo valor numérico para cualquier sistema
coherente de unidades-
En el caso de el número de Reynlds sea inferior a 2000 entonces se dice que el flujo
es laminar si el Número es mayor a 3000 el flujo es turbulento, pero si su valor
oscila entre 2000 y 3000 el flujo es inestable y pasa de un régimen a otro con
facilidad.
Para tener una idea, considérese que, en el caso del agua que pasa por un tubo de 1
cm de diámetro el número de Reynolds es 104v, de modo que el flujo se hace
turbulento cuando sólo es de 0,3 m/s.
Afortunadamente, un poco de turbulencia no cambia los valores predichos por la
ecuación de Bernoulli, de la misma forma que un poco de viscosidad no cambia la
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
317
conservación de la energía para períodos cortos de tiempo, de modo que pueden
seguirse aplicando las ecuaciones aquí vistas, sin grandes errores de aproximación.
5.15. MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS.
Dada la naturaleza de los efectos de la viscosidad, resulta evidente que la velocidad
de un fluido viscoso que pasa a través de un tubo no es la misma en todos los puntos
de una sección transversal, Las paredes del tubo ejercen una fuerza resistente sobre
las capa más externas del fluido, que a su vez actúa sobre la capa más inmediata y
así sucesivamente. Como consecuencia de esto, la velocidad es máxima en el centro
del tubo y disminuye hasta ser nula en las paredes.
Si la sección del tubo es circular, la distribución de velocidades es parabólica como
se muestra en la Fig. 5.19.
Fig. 5.19. Distribución de velocidades de un flujo en un tubo circular
Para calcular la velocidad en un fluido viscoso consideremos una porción de tubo de
radio R y longitud L. Supongamos además que el movimiento del fluido es de
izquierda a derecha debido a la diferencia de presiones (p1 – p2).
Separemos ahora mentalmente una capa cilíndrica de fluido de radio interno r y
espesor dr tal como se muestra en la Fig 5.20.
Fig. 5.20. Diagrama de una capa de fluido
En la parte interior de la capa cilíndrica actúa una fuerza de rozamiento interior
v
r
dr
r
R
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
318
Por la parte exterior de la capa actúa una fuerza de rozamiento dirigida
en sentido contrario a la fuerza f (la fuerza f acelera el movimiento de la capa y la
fuerza f1 lo frena. En la Fig 5.21 se observa esta situación
Fig. 5.21. Diagrama de fuerzas que actúan sobre la capa de fluido
La fuerza resultante debido a la viscosidad será
Como la velocidad es máxima en el centro del tubo, el valor de , será negativo y
la fuerza será positivo. Esta fuerza en estado de régimen estacionario
debe ser igual a la fuerza debido a la diferencia de presiones, esto es
Igualando las ecuaciones (5.27) y (5.28) resulta
r
dr
f1 f
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
319
Integrando en forma indefinida la ecuación anterior, resulta
Debido a que en el centro del tubo r =0; es nulo, entonces, el valor de C es nulo
por lo que la ecuación se escribe
Integrando la esta expresión resulta.
Determinemos ahora el volumen de fluido líquido que sale a través del tubo en un
tiempo determinado t. De la capa cilíndrica de radio r y espesor dr en el tiempo t
sale un volumen de fluido dado por
Al remplazar (5.30) en (5.31) resulta
Al integrar la ecuación anterior resulta que el volumen de fluido que sale a través
del tubo será
La ecuación (5.32) se conoce como ecuación de POISEUILLE
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
320
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 01
Un tanque cilíndrico contiene aire, aceite y agua.
El aire se mantiene a una presión manométrica p
= 5 lb/pulg2. ¿Cuál es la velocidad del agua que
sale si se ignora la fricción y la energía cinética
del fluido por encima de la elevación A? El
chorro de agua que sale tiene un diámetro d = 1 pie.
Solución
En primer lugar se determina la presión en el punto B.
2 2720 / 62,4 / 3
907,2 /
B A CG
B
p p h
lb pie lb pie pie
p lb pie
La aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos B y C, proporciona.
2 2
2
2
2 2
0 00 10
2 2
907,210
2 62,4
39,75 / Rta
C C B B
C B
C B
C
C
p v p vz z
g g
v ppies
g g
v
g
v pies s
Problema 02
Un tanque grande contiene aire comprimido,
gasolina con una densidad relativa de 0,68, aceite
liviano con una densidad relativa de 0,80 y agua.
La presión manométrica del aire es p = 150 kPa.
Si no se tiene en cuenta la fricción. ¿Cuál es el
régimen de flujo de masa m
de aceite a través de un chorro de 20 mm de
diámetro?.
Solución
De la ley de la hidrostática se observa que los
puntos A y B se encuentran a la misma presión
2 3 2150000 / 680 / 9,8 / 2
A B
gas gas B
B
p p
p gh p
N m kg m m s m p
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre
lospuntos B y C.
2 2
2
2
2 2
0 163328 03 0
2 800 9,8 2
20,83 32
18,695 / Rta
C C B B
C B
C
C
C
p v p vz z
g g
vm
g g
v
g
v m s
El régimen de flujo de masa está dado por
2
acei acei
23 3
m=
800 / 18,695 / 11.10
4,69 / Rta
C C Cv A v r
kg m m s m
m kg s
Problema 03.
A través de la tubería mostrada en la figura fluyen
trescientos litros por segundo de un líquido con
peso específico de 8 kN/m3. Determine la lectura
del manómetro en U si la densidad del mercurio
es 13600 kg/m3.
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
321
Solución
Datos e incógnitas
-3 3 3
3
Q=300.10 / ; =8000 N/m
13600 / ; h = ???Hg
m s
kg m
En primer lugar se determina las velocidades en
los puntos A y B.
A B
23
23
Q=A A
0,3 300.104
4,24 / 1
0,3 150.104
16,98 / 2
A B
A
A
B
B
v v
v
v m s
v
v m s
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los
puntos A y B nos da
2 2
2 2
2 2
32
A A B B
A B
A B A B
p v p vz z
g g
p p v vb h a
g
Del manómetro se tiene que
4
M N
A w B w hg
A B w hg w
p p
p b p a h
p p a h b
Remplazando la ec (4) en (3) nos da
2 2
2 2
2 2
2
(1 )2
13600 4,24 16,98(1 )
8000 19,6
880 Rta
w hg w A B
w
Hg A B
w
a h b v vb h a
g
v vh
g
gh
h mm
Problema 04.
Calcular el caudal ideal a través del sistema de
tuberías mostradas en la figura.
Solución
Datos e incógnitas.
Q = ¿???
Al tratarse de un fluido ideal se aplica la ecuación
de Bernoulli entre los puntos A y B
2 2
2
0
2 2
00,60 30 0
2 2
0,30 12
A A B B
A B
w w
A A B
w w
A B A
w
p v p vz z
g g
p v psen
g g
v p p
g
Enseguida se determina las presiones de los
puntos A y B
0
0 0
0 0
0 0
0
60
60 1,2 60
1,2 60 2
A w
B w w
B A w
p p z sen
p p z sen sen
p p sen
Remplazando la ecuación (2) en (1) resulta
02
A
1,2 600,30
2
v =3,91 m/s 3
wA
w
senv
g
El caudal esta dado por
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
322
2
2
3
4
0,2 3,81 /4
0,12 / Rta.
A A AQ A v d v
m m s
Q m s
Problema 05.
En un torrente de agua se sumerge un tubo
doblado, según se muestra en la figura. La
velocidad de la corriente con respecto al tubo es v
= 2,5 m/s. la parte superior del tubo se encuentra a h0 = 12 cm sobre el nivel del agua del torrente z
tiene un pequeño agujero. Hasta que altura h
subirá el chorro de agua que sale por el agujero.
Solución
Datos e incógnitas
02,5 / ; h 12 ; h = ???v m s cm
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y B se
tiene
2 2
A B
2 2
0A
0
p p
2 2
pp0 1
2 2
A B
A B
w w
B
w w
v vz z
g g
v vh z
g g
Utilizando hidrostática se determina la presión en
el punto A
0 2
A wp p z
Remplazando la ecuación (2) en (1) resulta
2 2
0 0
0
2 2
0 0
0
2 2
2 2
p p
2 2
p p
2 2
(2,5 / )0,12
2 9,8 / 2 9,8 /
1,97 / 3
w B
w w
B
w w
B
B
z v vh z
g g
v vz h z
g g
m s vm
m s m s
v m s
Analizando el movimiento de las partículas de
fluido desde el punto B hasta C se tiene.
2 2
2
2
0 1,97 2 9,8
20 Rta.
C Bv v gh
h
h cm
Problema 06.
Determine la velocidad v1 del agua en el tubo
vertical que se muestra en la figura. Desprecie
todo tipo de perdidas.
Solución
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los
puntos 1 y 2, se tiene
2
1 1 2
1
2
1 2 1
1
p p 00
2 2
p 1
2
w w
w
vz
g g
v pz
g
Se procede a determinar la diferencia de presiones
2 1
2 1
0,4 2 0,4
1,6 0,4 2
M N
w w Hg
w Hg
p p
p m a p m m
p p m a m
Remplazando (2) en (1), resulta
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
323
2
1
2
1
2
1
1
1
1,6 0,42
2
2 1,6 0,42
136000,4 0,4
2 1000
2 9,8 / 5,04
9,94 / Rta.
w Hg
w
Hg
w
m a mva
g
va m a m
g
v gm m
g g
v m s m
v m s
Problema 07.
A través de la tubería mostrada fluye gasolina
cuza densidad relativa es 0,85. Determine: (a) La
lecturas de los medidores de presión; (b) El
régimen de flujo de masa.
Solución
Se determina la presión del punto 1, utilizando el
manómetro en U de la derecha.
1 0
1,
3 2
2
1,
0,6
0,6
= 850 / 9,8 / 0,6
4998 / 1
M N
gas
man gas
man
p p
p m p
p m
kg m m s m
p N m
Se determina ahora la presión del punto 2
utilizando el manómetro en U de la izquierda.
2 3
2 0
2 0
3 2
2,
2
2,
0,9
0,9
850 / 9,8 / 0,9
7497 / 2
gas
gas
man
man
p p
p p m
p p m
p kg m m s m
p N m
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los
puntos 1 y 2 resulta
2 2
1 1 2 2
1 2
2
1 2 2
2
1 2 2
2
1, 2,2
p p
2 2
p p03 0
2 2
p p3
2
3 32
gas gas
gas gas
gas gas
man man
gas
v vz z
g g
vm
g g
vm
g
p pvm
g
Remplazando las ec. (1) y (2) en (3), resulta
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2
4998 / 7497 /3
2 850 / 9,8 /
2 9,8 / 3 1,5
5,42 / 4
v N m N mm
g kg m m s
v m s m m
v m s
El régimen de flujo de masa es
2
gas 2 2 gas 2
23
m=4
850 / 0,15 5,42 /4
61,44 / Rta.
A v d v
kg m m m s
m kg s
Problema 08.
A través del tubo vertical circula agua en
forma permanente z luego entra en la región
anular entre las placas circulares mostradas. Luego se mueve radialmente, saliendo como una
lamina libre. Si no se tiene en cuenta la fricción.
¿Cuál es el caudal de agua a través de la tubería si
la presión manométrica en el punto A es 69 kPa?.
Solución
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
324
Aplicando la ecuación de la continuidad entre los
puntos A y B se tiene
2
3
2
8
8 0,3 13.10
(0,2 )
0,78 1
A B
A
A B
rhv v
d
m m
m
v v
La aplicación de la ecuación de Bernoulli entre
los puntos 1 y 2 nos da
2 2
A B
2 2
0A
2 2
A 0
2 2
A,man
p p
2 2
pp0
2 2
p
2 2
p 2
2
A B
A B
w w
A B
B
w w
A B
B
w
B A
B
w
v vz z
g g
v vz
g g
p v vz
g g
v vz
g
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
2
22
3 2
0,7869000N/m1,5
9800 / 2 9,8 /
16,65 / 3
B A
B
v vm
N m m s
v m s
El caudal estará dado por
3
3
2
2 0,3 13.10 16,65 /
0,408 / Rta.
B B
B
Q A v
rh v
m m m s
Q m s
Problema 09.
Para un régimen de flujo de aire de 2 m3/s de aire
cuyo peso especifico es 12 N/m3. ¿Cuál es la
mayor área A2 que hará que se aspire agua por la
abertura del piezómetro?. Desprecie los efectos de
compresibilidad.
Solución
Del manómetro en U se tiene
0
3 2
0
2
0
13600 / 98 / 0,025
3332 / 1
A Hg
A
p p gh
p kg m m s m
p p N m
La presión en el punto 1 ser[a igual a la presión
en el punto A por ser un gas el que se encuentra
en la tubería superior izquierda.
2
1 03332 / 2
Ap p p N m
Del piezómetro se tiene
0 2
2 0
3 2
0
2
2 0
1000 / 9,8 / 0,15
1470 / 3
w
w
p p gH
p p gH
p kg m m s m
p p N m
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los
puntos 1 y 2, resulta 2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 2 1
p p
2 2
p p0 0
2 2
p 4
2
aire aire
aire aire
aire
v vz z
g g
v v
g g
p v v
g
Remplazando las ec. (2) y (3) en (4) resulta
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
325
2 2 2 2
0 0 2 1
2 22
2 1
3 2
2 22
2 1
3 2
2 2 2 2
2 1
p 3332 / 1470 /
2
4802 /
12 / 2 9,8 /
4802 /
12 / 2 9,8 /
7843, 27 / 5
aire
N m p N m v v
g
v vN m
N m m s
v vN m
N m m s
v v m s
Aplicando la ecuación de la continuidad entre los puntos 1 y 2 resulta
1 1 2 2
1
2 1
2
2 1
2
A
0,09 6
v A v
Av v
A
v vA
Calculo de la velocidad v1: de la definición de
caudal se tiene
1 1
3 2
1
1
2 / 0,09
22,22 / 7
Q Av
m s m v
v m s
Remplazando la ec. (7) en (6), resulta
2
2
2
2
0,0922,22 /
2 8
v m sA
vA
Sustituyendo la ec. (8) en (5) se tiene 2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
27843,27
222,22 7843,27
28336,99
0,022 Rta.
vA
A
A
A m
Problema 10
A través del túnel de agua pasa un flujo de 1,54
m3/s (peso especifico 9,81N/m
3, presión de vapor
6,9 kPa). La válvula está cerrada. Calcular la
magnitud z la dirección de la lectura del
manómetro después de que se abre la válvula. La presión atmosférica es 100 kPa.
Solución
Datos e incógnitas
3 3
w
2 2
, 0
1,54 / ; 9810 / ;
6900 / ; p 100000 / ; h=????v Hg
Q m s N m
p N m N m
En la figura se muestra la ubicación final de los fluidos en el tuvo en U, después de abrir la
válvula
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los
puntos 1 y 2, se tiene
2 2
1 1 2 2
1 2
2
1 1 2
2
1 1 2
2 2
00 0
2 2
12
w w
w w
w w
p v p vZ Z
g g
p v p
g g
p v p
g
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
326
Calculo de la presión en el punto 1
1 ,
2 3
2
1
0,9
6900 / 9810 / 0,9
15729 / 2
v Hg wp p g m
N m N m m
p N m
Calculo de la presión en el punto 2
2 0
2 0
0
2
2,4 2
2 2,4
13570 9,8 2 9810 2,4
76450 256162 3
M N
w Hg
Hg w
p p
p g h p g h
p p g h g h
p h h
p h
Se procede a determinar la velocidad del fluido en la posición 1
1 1
2
1
1
1,54 0,54
7,84 / 4
Q Av
v
v m s
Remplazando las ec (2), (3) y (4) en (1), resulta
215729 7,84 76456 256162
9810 2 9,8 9810
0,1169 5
h
h m
El signo menos indica que el mercurio en la rama
izquierda asciende una altura H
2 2 0,1169
234 Rta.
H h
H mm
Problema 11.
A través de la tubería mostrada en la figura fluye
agua. Determine el régimen de flujo volumétrico
Solución
Datos e incógnitas
3 3
Hg1000 / ; 13600 / ; Q=????
wkg m kg m
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los
puntos 1(punto de estancamiento del Pitot) y 2
(extremo en la salida de la boquilla) se tiene
2 2
1 1 2 2
1 2
2
01 2
2
1 02
2 2
06 4,5
2 2
+1,5 12
w w
w w
w
p v p vZ Z
g g
pp vm m
g g
p pv
g
Calculo de la presión en el punto 2
0 1
1 0
2 3 3
1 0
2
1 0
0,5 0,5
0,5 0,5
9,8 / 0,5 13600 / 1000 /
=61740N/m 2
M N
Hg w
Hg w
p p
p g m p g m
p p g m g m
p p m s m kg m kg m
p p
Remplazando las ec (2), en (1), resulta
2 2
2
32
2
6170 /+1,5m
9800 /2 9,8 /
v =12,36m/s 3
v N m
N mm s
El régimen de flujo será
2
2 2 2 2
2
3
4
0,05 12,36 /4
0,024 / Rta.
Q A v d v
m m s
Q m s
Problema 12.
Para la instalación del venturimetro y el
manómetro mostrado en la figura, deducir una
expresión que relacione el caudal con la lectura
del manómetro.
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
327
Solución
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
1 2 2 1
1 2
2 2
2 2
12
p v p vZ Z
g g
p v p vz z
g g
p p v vz z
g
La diferencia de presiones
1 2 1 2
1 2 1 2 2
M N
m
m
p p
p g a R p g z z g a g R
p p g z z g R gR
Aplicando la ecuación de la continuidad nos da
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
2
2
1 2
1
4 4
3
Av A v
d v d v
dv v
d
Remplazando las ec (2) y (3) en (1) se tiene
2
2 22
2 2
1 2 1
1 2
42
2 2
1
2
12
m
m
dv v
z z R R dz z
g
R R v d
g d
El caudal será
2
2 4
2
1
2 4
2
1
2
1
2
1
m
m
gRv
d
d
gRv
d
d
2
2 2 4
2
1
2 Rta.
41
mgR
Q Av dd
d
Problema 13.
Dentro de un tanque grande se encuentra agua con
una presión manométrica de 35 kPa en su
superficie libre. El agua se bombea a través de
una tubería como se muestra en la figura, y sale a
través de una boquilla para formar un chorro libre.
¿Cuál es la potencia requerida por la bomba?.
Solución
Aplicando la ecuación de la energía entre los
puntos 1(superficie libre del agua) y 2 (salida de
la boquilla) se tiene
2 2
1, 2,1 2
1 2
22
2
3
2
2
2 2
35000 / 01,5 1,5
9800 / 2 2
3,57 12
man man
B
B
B
p pv vZ E Z
g g
vN m om E m
N m g g
vE m
g
Las partículas que salen de la boquilla describen un movimiento parabólico, por tanto
2 2
3 2
2
2
2 2
2
2
2
0 2
2 2 8,8 / 6
10,84 / 2
y y
y
y
y
v v gh
v gh
v gh m s m
v m s
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
328
La velocidad en la salida de la boquilla será
0
2 2
2
45 10,84 /
15,3 / 3
yv v sen m s
v m s
Remplazando la ec. (3) en (1)
2
2
(15,3 / )3,57
2 /
8,42 / 4
B
B
m sE m
m s
E J N
La potencia de la bomba si es que no haz pérdidas
2
2 2
2
4
9800 0,075 15,3 8,424
5610 Rta.
w B
w B
P QE
d v E
P Watt
Problema 14.
Calcular la potencia de la bomba, si a través de ella existe un flujo de agua
Solución
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los
puntos A (superficie libre del agua) y B (punto en
la tubería a la altura del manómetro en U), resulta
2 2
2
0
2
0
2 2
00 2,4
2 2
2,4 12
A A B B
A B
w w
B B
w w
BB
w
p v p vZ Z
g g
p p vm
g g
p pvm
g
Se procede a determinar la diferencia de
presiones, para ello se analiza el manómetro en U
0
2
0
2
0
0,6 0,175
0,6 9810 0,175 134887,5
29182, /
29182,3 / 2
M N
B w Hg
B
B
B
p p
p p
p
p p N m
p p N m
Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene
2 2
3
2
B
29182,3 /2,4
2 9810 /
v = 0,5756 2 9,81
3,358 / 3
B
B
v N mm
g N m
v m s
Aplicando la ecuación de la energía entre B y el
punto D (punto de salida del agua).
2 2
2 2
0
2 2
0
2 22
3
2 2
2 2
2 2
( )2
29182,3 /0,9
9810 / 2
3,875 42
B B D D
B B D
w w
B B D
B B D
w w
B D B
B D B
w
D B
D B
B
p v p vZ E Z
g g
pp v vz E z
g g
p p v vE z z
g
v vN mm
N m g
v vE m
g
La aplicación de continuidad entre los puntos B z
D, nos proporciona
2 2
2
2
4 4
2003,358 /
75
23,879 / 5
B B D D
B B D D
B
D B
D
D
A v A v
d v d v
dv v
d
mmm s
mm
v m s
Remplazando la ec. (5) en (4) resulta
22
2
(23,879 / ) 3,358 /3,875
2 9,81 /
32,363 / 6
B
B
m s m sE m
m s
E J m
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
329
La potencia de la bomba será:
2
2 2
2
4
9800 0,075 23,879 32,3634
33458 Rta.
w B
w B
P QE
d v E
P Watt
Problema 15.
Determine la potencia producida por la Turbina
mostrada en la figura para una razón de agua
dulce de 0,6 m3/s. La turbina tiene una eficiencia de 90%.
Solución
Se procede a determinar la diferencia de
presiones, para ello se analiza el manómetro en U
1 2
1 2
0,8 0,8
0,8 0,8 1
M N
w w Hg
Hg w
p p
p a b m p b m
p p a
Aplicando la ecuación de la energía entre los
puntos 1 (entrada de agua en la turbina) y el punto
2 (punto inmediatamente en la entrada del Pitot).
2 2
1 1 2 2
1 2
2
1 1 2
1
2
1 2 1
2 2
00
2 2
22
T
w w
T
w w
T
w
p v p vZ E Z
g g
p v pz E
g g
p p vE a
g
Calculo de v1: de la definición de caudal se tiene
2
1 1 1 1
23
1
1
4
0,6 / 0,24
19,098 / 3
Q Av d v
m s m v
v m s
Remplazando la ec. (1) y (3)en (2) resulta
20,8 0,8 19,098
2 9,8
0,8 1 18,61
136000,8 1 18,6
1000
28,69 / 4
Hg w
T
w
Hg
w
T
aE a
E J N
La potencia de la bomba será:
9800 0,6 28,69 0,90
151827 Rta.
w TP QE
P Watt
Problema 16.
¿Cuál es la potencia requerida para que 30 pies3/s
de agua fluyan en la bomba de la figura
mostrada?. Desprecie la fricción en la tubería y
considere que el diámetro de la salida en la
boquilla tiene 10 pulgadas. Considere que el peso
específico del agua es 62,4 lb/pie3.
Solución
Aplicando la ecuación general de la energía entre
los puntos 1 (superficie libre del agua en el tanque
grande) y el punto 2 (extremo de salida de la
boquilla)
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
330
2 2
1 1 2 2
1 2
22 2
2
3 3
22
2
3
2 2
1440 / 0 8940 /20 0
62,4 / 2 62,4 / 2
7200 /20 1
62,4 / 2
B
w w
B
B
p v p vZ E Z
g g
vlb pie lb piepie E
lb pie g lb pie g
vlb pieE pies
lb pie g
Calculo de v2: de la definición de caudal se tiene
2
2 2 2 2
2
3
1
1
4
1030 /
4 12
55 / 2
Q A v d v
pie s v
v pies s
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
2
2
3 2
55 /7200 /20
62,4 / 2 32,2 /
142,36 3
B
B
pies slb pieE pies
lb pie pies s
E pies
La potencia de la bomba será:
3 362,4 / 30 / 142,36
266497,9 . /
484 hP Rta.
w BP QE
lb pie pies s pies
lb pie s
P
Problema 17.
Calcular la altura h que producirá un régimen de
flujo de 85 lt/s y una producción de potencia de 15 kW por la turbina.
Solución
Datos e incógnitas
Q = 85 lt/s; P = 15 kW; w; = 1000kg/m3 ; h = ???
Aplicando la ecuación general de la energía entre
los puntos 1 (superficie libre del agua en el
tanque) y el punto 2 (extremo de la boquilla).
2 2
1 1 2 2
1 2
2
0 0 2
2
2
2 2
00
2 2
12
T
w w
T
w w
T
p v p vZ E Z
g g
p p vh E
g g
vh E
g
Calculo de v2: de la definición de caudal se tiene
2
2 2 2 2
23
2
2
4
0,085 / 0,14
10,82 / 2
Q A v d v
m s m v
v m s
Se determina la energía que extrae la turbina. De
la definición de potencia se tien
2
2
2
23
4
15000 9800 / 0,1 10,82 /4
18 /
w T
w T
T
T
P QE
dP v E
Watts N m m m s E
E J s
Remplazando la ec. (2) y (3) en (1) resulta
10,82 /18 /
2 9,8 /
23,97 Rta.
m sh J s
m s
h m
Problema 18.
Determine la potencia mínima de la bomba que
hará pasar al chorro de agua sobre la pared.
Solución
Aplicando la ecuación de la energía entre los
puntos 1(superficie libre del agua) y 2 (extremo
de la boquilla) se tiene
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
331
2 2
1 1 2 2
1 2
2
0 0 2
2
2
2 2
054 60
2 2
6 12
B
w w
B
w w
B
p v p vZ E Z
g g
p p vm E m
g g
vE m
g
Enseguida se determina la velocidad de salida del
agua por la boquilla utilizando el movimiento
parabólico de las partículas de agua, por tanto
Movimiento en X
0
2
0
2
0
2
cos 45
30 cos 45
30 2
cos 45
x v t
m v t
mt
v
Movimiento en Y
2
2
2
0
2 0 0
2 2
2
2
30 3015 cos 45
cos 45 2 cos 45
24,25 / 3
y
gty v t
m g mm v
v v
v m s
Remplazando la ec. (3) en (1)
2
2
(24,25 / )6
2 9,8 /
36 / 4
B
B
m sE m
m s
E J N
Despreciando las perdidas, la potencia de la
bomba será.
2
2 2
23
4
9800 / 0,075 36 / 36 /4
37,74 Rta.
w B
w B
P QE
d v E
N m m m s J N
P kW
Problema 19.
Un bloque de 1000 N de peso y 200 mm de lado
desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre
una película de aceite con un espesor de 0,005
mm. Si se utiliza un perfil lineal velocidades en
el aceite. Determine la velocidad terminal de
bloque. Considere que la viscosidad del aceite es
0,07 N/m2..
Solución
Datos e incógnitas
L1000 ; L = 0,2m; e = 0,005 mm; v ??
= 0,07 Pa.s
W N
En la figura se muestra el DCL del bloque; las
fuerzas que actúan sobre él son: el peso W, la
fuerza viscosa Fv la que se opone al movimiento
relativo del bloque y la fuerza NC ejercida por el
fluido sobre el bloque.
La aplicación de las ecuaciones de movimiento
según la dirección x nos da
20 1
x x
o
V x
F ma
Wsen F ma
Cuando se alcanza la velocidad límite la aceleración se vuelve nula, por lo tanto.
20 (2)o
VWsen F
Como el perfil de velocidades es lineal, se tiene
. 3
V
V
V
F dv
A dy
F v
A e
AvF
e
De las ecuaciones (2) y (3), se tiene
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
332
0
0
6 0
2
. =Wsen20
. . 20
.
1000 5.10 20
7.10 .
0,6 m/s Rta
Av
e
W e senv
A
N m senv
Pa s
v
Problema 20
Un cilindro de 149,5 mm de diámetro y 150 mm
de longitud cae por su propio peso con una velocidad constante de 46 mm/s, dentro de un
tubo vertical lubricado de 150 mm de diámetro
interno. La holgura que se supone, está llena de
aceite. Suponiendo que la distribución de
velocidades en la película de aceite es lineal.
Determine la viscosidad del aceite.
Solución
Datos e incógnitas.
LD 150 ; d = 149,5 mm; v 46 /
9 ; ???
mm mm s
W N
En la figura se muestra el DCL del cilindro; las fuerza que actúan son el peso W, la fuerza viscosa
FV.
La aplicación de la ecuación de movimiento en la
dirección vertical nos da:
1
y y
V y
F ma
W F ma
Cuando se alcanza la velocidad Terminal la
aceleración del cilindro es nula.
(2)V
W F
Como el perfil de velocidades es lineal, se tiene
De las ecuaciones (2) y (3), se tiene
V
lat
V
lat
V
lat L
L
3
2
F=
A
F
A
e.F e.W e.W= = =
v.A d.v .v 2
2
D - dW
2=
d.v .
0,15 0,14959
2
0,1495 46.10 / 0,15
0,6945 N.s/m Rta.
dv
dy
v
e
LdL
L
m mN
m m s m
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
333
PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. En una tubería fluye agua. En un punto en la
línea en el que el diámetro es de 175 mm, la
velocidad es de 3,6 m/s y la presión es de 345
kPa. En un punto alejado 12 m del anterior el
diámetro se reduce a 75 mm. Calcular la
presión aquí cuando: (a) el tubo está
horizontal; (b) el tubo está vertical y el flujo
es ascendente.
2. Si a través de esta tubería circula petróleo
crudo, y la velocidad de éste en A es de 2,4
m/s, ¿en dónde estará en nivel del petróleo en
el tubo abierto C
3. A través del sistema de tuberías fluye agua.
Determine: (a) la altura H(m) y (b) la lectura
del medidor de presión p(kPa).
4. El flujo es de agua. Calcular el diámetro
requerido de tubo d, para que los dos
medidores indiquen la misma lectura.
5. Un tanque cerrado contiene agua y aire arriba
de esta. El aire se mantiene a una presión de
103 kPa, y a 3 m debajo de la superficie del
agua, esta se descarga hacia la atmósfera por
una boquilla. ¿A qué velocidad saldrá el agua
desde la boquilla?.
6. A través de las tuberías fluye agua. Calcular
el régimen de flujo a través de esta tubería, así como las presiones en A, B, C y D.
7. Si a través de la tubería fluye agua. Calcular
la presión en el flujo en A; (a) Para el sistema
mostrado y (b) Para el tubo sin la boquilla.
8. Se usa un sifón consistente de una manguera
de 25 mm para extraer agua desde un tanque.
El extremo de salida de la manguera se
encuentra a 2,4 m debajo de la superficie del
agua y el doblez de la misma está a 0,9 m
sobre esa superficie del agua. Calcular la
presión en el doblez y el régimen de flujo.
9. Calcular el régimen de flujo mínimo que
pasará sobre la pared.
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
334
10. Un tubo horizontal de 75 mm está conectado
a una tanque con agua a 1,5 m debajo de la
superficie de la misma. El tubo se agranda de
un modo gradual hasta un diámetro de 88 mm
y se descarga libremente hacia la atmósfera.
Calcular el régimen de flujo y la presión en el
tubo de 75 mm.
11. Demostrar que para los dos orificios que
descargan como se muestra, h1y1 = h2y2 .
12. En esta tubería fluye agua a razón de tres
décimos de metro cúbico por segundo.
Calcular la lectura del manómetro, (a) usando el diagrama como se muestra, (b) cuando el
tubo del pitot está en la sec. 2 y la conexión
de presión estática está en la sección 1.
13. Calcule el régimen de flujo a través de esta
tubería.
14. A través de la tubería fluye gasolina. Calcular
el régimen de flujo.
15. A través del sistema fluye agua. Suponer que
el flujo entre los dos discos es radial y
calcular las presiones en A, B, C y D. El flujo
descarga hacia la atmósfera.
16. Si se ignora la fricción. ¿Cuál es la velocidad
del agua que sale del tanque como un chorro
libre?. ¿Cuál es el caudal de descarga.
17. A través de la tubería esta fluyendo 28 l/s de
agua. Calcular la potencia de la bomba.
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
335
18. A través de la tubería esta fluyendo 120 l/s de
combustible jet (JP-4). Calcular la potencia
de la bomba.
19. Calcular la producción de potencia de esta
turbina.
20. Una bomba de bomberos saca agua de mar
(DR = 1,025) mediante un tubo sumergido y
la descarga a través de una tobera, según se
representa en la figura. La pérdida total de carga es de 6,5 pies. Si el rendimiento de la
bomba es 75%. ¿a qué potencia se requiere
que funcione la bomba?.
21. Dos tanques abiertos A y F contienen el
mismo líquido. Un tubo horizontal BCD,
con una contracción en C y abierto al aire en
D, sale del fondo del tanque A. Un tubo
vertical E sale de la contracción en C y baja
al líquido del tanque F. Si el área transversal
en C es la mitad del área en D y si D está a
una altura h1 por debajo del líquido en A. ¿A
qué altura subirá el líquido en el tubo E?.
Exprese su respuesta en función de h1
22. Cuando la bomba mostrada en la figura
proporciona 220 m3/h de agua a 200C desde
el depósito, la pérdida total de carga por
fricción es 5 m. El flujo se descarga a la
atmósfera a través de una tobera de 5 cm de
diámetro. Estime la potencia en kilowatios
que la bomba proporciona al agua.
23. La bomba mostrada en la figura mueve querosene a 20ºC a 2,3 m/s. La pérdida de
carga entre los puntos 1 y 2 es de 8 pies y la
bomba proporciona al flujo 8 hp de potencia.
¿Cuál será la lectura h del manómetro en
pies?. Considere que la densidad relativa del
kerosene es 0,804; la densidad del agua 62,4
lb/pie3 y 1 hp = 550 lb.pie/s
24. Si a través de la bomba que se muestra en la
figura debe circular 10 pie3/s. ¿Cuál debe ser
la potencia en la bomba?. Desprecie la
fricción y considere que el peso específico
del agua es 62,4 lb/pie3.
Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García
336
25. Un eje de acero (7850 kg/m3) de 3 cm de
diámetro y 40 cm de longitud cae por su propio peso dentro de un tubo vertical de
3,02 cm de diámetro interior. La holgura, que
se supone uniforme, está llena de glicerina a
200C con un coeficiente de viscosidad de 1,5
N.s/m2. ¿Cuál será la velocidad terminal del
eje de acero?.
26. Sean dos cilindros coaxiales, uno fijo de
radio interno R2 y otro móvil de radio
exterior R1 y longitud L el cual se desplaza
longitudinalmente a una velocidad v0 por el interior del primero. El espacio comprendido
entre los cilindros que se supone uniforme se
llena con un liquido viscoso cuya densidad
es ρ y viscosidad η. Halle la fuerza de de
rozamiento producida por el aceite
27. Calcular la viscosidad aproximada del aceite.
28. El espacio entre dos cilindros concéntricos de
250 mm de altura y de diámetro de 150 mm y
de 156 mm, está lleno con petróleo crudo a
20 grados centígrados. ¿Qué par de torsión se
requiere para hacer girar al cilindro interior a
12 RPM, si el cilindro exterior permanece
estacionario?.
29. Una bola emerge con velocidad constante de
un líquido cuya densidad es 4 veces mayor que la del material de que está hecha la bola.
¿Cuántas veces es mayor la fuerza de
rozamiento que actúa sobre la bola que
emerge que el propio peso de éste?.
30. ¿Cuál será la velocidad máxima que puede
alcanzar una gota de lluvia de diámetro d =
0,3 mm si la viscosidad dinámica del aire es
igual a 1,2.10-4 g/cm.s?.
31. Una bolita de acero de 1 mm de diámetro cae
con la velocidad constante de 0,185 cm/s en
un gran recipiente lleno de aceite de Ricino.
Hallar la viscosidad dinámica del aceite de
Ricino.
32. En un depósito de 1 m de profundidad lleno
de glicerina se echa una mezcla de
perdigones de plomo entre los cuales unos
tienen 3 mm de diámetro y otros 1 mm. ¿Cuánto tiempo más tarde llegarán al fondo
los perdigones más pequeños que los de
diámetro mayor?. La viscosidad dinámica de
la glicerina a la temperatura que se hace el
experimento es igual a 14,7 g/cm.s.
33. Una bola de corcho de 5 mm de diámetro
emerge en un recipiente lleno de aceite re
ricino. ¿A qué serán iguales las viscosidades
dinámica y cinemática del aceite de ricino en
las condiciones del experimento si la bola emerge con una velocidad constante de 3,5
cm/s?.
34. Un recipiente cilíndrico de radio R = 2 cm
tiene en su pared lateral un orificio en la cual
va montado horizontalmente un tubo capilar
de radio interior r = 1 mm y longitud l = 2
cm. Este recipiente contiene aceite de ricino
cuya viscosidad dinámica es 12 g/cm.s.
Hallar la variación de la velocidad V, con
que desciende el nivel del aceite en el
recipiente, en función de la altura h de este nivel sobre el tubo capilar. Calcular el valor
numérico de esta velocidad cuando h = 26
cm.
35. En la pared lateral de un recipiente va
montado horizontalmente u tubo capilar de
radio interior r = 1 mm y l = 1,5 cm. El
recipiente contiene glicerina, cuya viscosidad
dinámica en las condiciones del experimento
es 1,0 N.s/m2. El nivel de la glicerina se mantiene constante a una altura h = 0,18 m
sobre el tubo capilar. ¿cuánto tiempo será
necesario para que por el tubo capilar salgan
5 cm3 de glicerina?.