Transformaciones Trigonométricas. Ecuaciones Trigonométricas y Aplicaciones
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TRANSFORMACIÓN A PRODUCTO
Son expresiones que permiten transformar a producto
las sumas y diferencias de funciones.
Si : x > y se cumple :
a) Sen x + Sen y = 2 Sen
b) Sen x - Sen y = 2 Cos
c) Cos x + Cos y = 2 Cos
d) Cos y - Cos x = 2 Sen
PROPIEDADES:
1. Si : A + B + C = 180°, se cumple
SenA + SenB+SenC = 4Cos Cos Cos
CosA+CosB+CosC-1 = 4 Sen Sen Sen
Si A + B + C = 360° se cumple :
2.SenA + SenB + SenC =4Sen Sen Sen
CosA + CosB + CosC + 1= - 4 Cos Cos Cos
TRANSFORMACIÓN A SUMA O DIFERENCIA
Son expresiones que permiten transformar a sumas o
diferencias los productos de funciones.
Si : x > y se cumple :
a) 2Sen x . Cos y = Sen (x + y)+Sen(x–y)
b) 2Cos x . Sen y = Sen (x+y) – Sen(x–y)
c) 2Cos x . Cos y = Cos (x+y) + Cos(x–y)
d) 2Sen x . Sen y = Cos (x-y) - Cos(x+y)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Son los arcos correspondientes a una función
trigonométrica dada.
Así: sen = N entonces:
= arco cuyo seno es N = arc sen N
I. I. FUNCIÓN SENO INVERSO
F(x) = Arc Sen x
F(x) = Sen -1 x
II. FUNCIÓN COSENO INVERSO
F(x) = Arc Cos x ó
F(x) = Cos -1x
279
Dominio Rango[ -1 ; 1 ]
Dominio Rango[ -1 ; 1 ] [ 0 , ]
TRANSFORMACIONES TRIGONOMTRICAS - ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Y APLICACIONES CAPÍTULO XI
OBJETIVOS:Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de :
Enunciar y aplicar las transformaciones trigonométricas.
Resolver las ecuaciones trigonométricas.
Resolver problemas con triangulo oblicuángulos.
III.- FUNCIÓN TANGENTE INVERSO
F(x) = Arc Tan x
F(x) = Tan-1x
IV. FUNCIÓN COTAGENTE INVERSO
F(x) = Arc Cot x
F(x) = Cot-1x
V. FUNCIÓN SECANTE INVERSO
F(x) = Arc Sec x
F(x) = Sec-1 x
VI. FUNCIÓN COSECANTE INVERSO
F(x) = Arc Csc x
F(x) = Csc-1 x
PROPIEDADES
1. F [F-1(x)] = x x DOM (F-1)
a) Sen (Arc Sen x) = x
b) Cos (Arc Cos x) = x
c) Tan (Arc Tan x) = x
d) Cot (Arc Cot x) = x
e) Sec (Arc Sec x) = x
f) Csc (Arc Csc x) = x
2. F-1[F(x)] = x x RAN (F-1)
a) Arc Sen (Sen x) = x
b) Arc Cos (Cos x) = x
c) Arc Tan (Tan x) = x
d) Arc Cot (Cot x) = x
e) Arc SEC (SEC x) = x
f) Arc CSC(CSC x) = x
3. x DOM (F-1)
a) Arc Sen (-x) = -Arc Sen x
b) Arc Cos (-x) = - Arc Cos x
c) Arc Tan (-x) = -Arc Tan x
d) Arc Cot (-x) = -Arc Cot x
e) Arc Sec (-x) = -Arc Sec x
f) Arc Csc (-x) = -Arc Csc x
280
Dominio Rango
R
Dominio RangoR < 0 ; >
Dominio RangoR - < -1 ; 1 >
[ 0 ; ] -
Dominio RangoR -< -1 ; 1 >
-
{0}
4. x Dom(F )
a) Arc Sen x = Arc Csc
b) Arc Cos x = Arc Sec
c) Arc Tan x = Arc Cot
d) Arc Cot x = Arc Tan
e) Arc Sec x = Arc Cos
f) Arc Csc x = Arc Sen
5. x Dom(F )
a) Arc Sen x + Arc Cos x =
b) Arc Tan x + Arc Cot x =
Arc Sec x + Arc Csc x =
5. x Dom(F )
a) Sen (Arc Cos x) =
b) Cos (Arc Sen x) =
c) Tan (Arc Sec x) =
d) Sec (Arc Tan x) =
e) Cot (Arc Csc x) =
f) Csc (Arc Cot x) =
7. Sea
Arc Tan a + Arc Tan b = ArcTan + K
a) Si a.b < 1 entonces K = 0
b) Si a.b > 1 entonces:
1) a > 0 entonces K = 1
2) a < 0 entonces K = -1
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICA
Ecuación trigonométrica, es una igualdad que se cumple
para determinados valores de la variable angular.
Sen x = A x = K + (- 1 ) K arcSen A
Cos x = B x = 2K arc Cos B
Tan x = C x = K + arc Tan C
Cotg x = D x = K + arc Cotg D
Sec x = E x = 2K arc Sec E
Csc x = F x = K + (- 1 ) K arc Csc F
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
I. LEY DE SENOS :
En todo triángulo los lados son directamente
proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos.
* Con el Circunradio
281
II. LEY DE COSENOS
A
a2 = b2 + c2 – 2bc Cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac Cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab Cos C
III. LEY DE TANGENTES
IV. LEY DE PROYECCIONES
a = b Cos C + c Cos B
b = a Cos C + c Cos A
c = a Cos B + b Cos A
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LOS
SEMIÁNGULOS INTERNOS
1) SENO :
P : semiperímetro P =
Sen
2) COSENO
P : Semiperímetro P =
Análogamente :
CUADRILÁTEROS
LEY DE COSENOS PARA UN CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE
282
Cos A =
Como : A + C = 180° Cos C = Cos A :
Cos C =
Análogamente
Cos B =
Como : B + D = 180° Cos D = -Cos B :
Cos D =
EJERCICOS DE RESUELTOS
PROBLEMA Nº 01
Reducir:
M = Cos4 Cos2 - Cos7 Cos
Sen9 Cos - Sen6 Cos4
SOLUCION
Transformando a sumatoria y diferencia:
M = 2Cos4 Cos2 - 2Cos7 Cos
2Sen9 Cos - 2Sen6 Cos4
M = Cos6 + Cos2 - Cos8 - Cos6
Sen10 + Sen8 - Sen10 - Sen2
M = Cos2 - Cos8
Sen8 - Sen2
M = 2Sen5 Sen3
Sen3 Cos5
M = Tg 5
PROBLEMA Nº 02
Calcular “ ” si:
Tg arc Cos Sen ( + 30) = 1
SOLUCION
Arc Cos Sen ( + 30) = 45
Sen ( + 30) = /2
Arc Sen Sen ( + 30) = arc Sen /2
( + 30) = 45
= 15
EJERCICOS
PROBLEMA Nº 01
Calcular:
E = arc Tg1/3 + arc Tg3/2 + arc Ctg8
a) 30 b) 45 c) 60 d) 75 e) 90
PROBLEMA Nº 02
Resolver:
4Sen2 3x = Tg 3x
a) 5º b) 10º c) 11º d) 20º e) 25º
PROBLEMA Nº 03
Calcular el perímetro de un triángulo si un lado mide
10m y los ángulos adyacentes son 37º y 16º .
a) 15m b) 17m c) 21m d) 23m e) 25m
283
¡APRENDIENDO A RESOLVER ………………………………………… RESOLVIENDO!