marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 1
Diseño de Sistemas de ControlIntroducción
Todos los fundamentos que se han revisado para el análisis en los
capítulos anteriores llevan al objetivo último del diseño de sistemas
de control.
Especificaciones de diseño:
Generalmente se emplean para describir qué debe hacer el sistema
y cómo hacerlo. Estas especificaciones suelen incluir parámetros
como: estabilidad relativa, precisión en estado estable, respuesta
transitoria y características de respuesta de frecuencia.
El diseño de sistemas de control lineales se puede realizar ya sea
en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.
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Diseño de Sistemas de ControlConfiguraciones del controlador
El diseñador decide la configuración básica del sistema diseñado
completo y el lugar donde el controlador estará colocado en
relación con el proceso controlado.
Compensación en serie (cascada): es la más comúnmente utilizada
con el controlador colocado en serie con el proceso controlado.
Compensación en realimentación (en paralelo): el controlador está
colocado en la trayectoria menor de realimentación.
CG
PG
H
ae
CASCADAoSERIE
rcontrolado .instrplanta
controldelazo
r
CG
PG
H
ae
controldelazo
G
CIÓNREALIMENTAoPARALELO
ciónrealimentademenorlazo
r y
Diseño de Sistemas de ControlPrincipios fundamentales del diseño
Después que se ha escogido una configuración del controlador, el
diseñador debe seleccionar un tipo de controlador que satisfaga las
especificaciones de diseño.
Uno de los controladores más utilizados en el PID, el cual aplica una señal
al proceso que es una combinación proporcional, integral y derivada de la
señal de actuación. Además de estos se cuentan con controladores o
redes de adelanto, atraso y atraso-adelanto.
Una vez elegido el controlador, la siguiente tarea es determinar sus
parámetros. Estos son coeficientes de una o más funciones de
transferencia que conforman el controlador.
A continuación se debe realizar la verificación del desempeño del sistema
y en caso de ser necesario reajustar los parámetros del compensador. Se
emplea la simulación mediante un paquete computacional para evitar gran
parte de la complicación numérica necesaria en esta verificación
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Diseño de Sistemas de ControlDiseño empleando el Lugar Geométrico de las Raíces
En esencia, en este tipo de diseño el LGR del sistema se reconstruye
mediante el uso de un compensador, a fin de poder colocar un par de
polos dominantes en lazo cerrado en la posición deseada.
Redes de adelanto
•Mejora la respuesta transitoria readaptando el LGR.
•El cero del compensador de adelanto readapta el LGR, mientras que el
polo se ubica lo suficientemente lejos a la izquierda para no influir en la
parte readaptada por el cero.
Gc(s)R(s) +
-G(s)
Y(s)
10,1
1
1
1
Ts
TsK
Ts
Ts
KsG ccc
jw
s
T
1
T
1
10
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 4
Diseño de Sistemas de ControlProcedimiento de diseño de redes de adelanto mediante el LGR
•De las especificaciones de funcionamiento, se determina la ubicación deseada de
los polos dominantes en lazo cerrado.
•Trazar el LGR para el sistema no compensado cuya función de transferencia es
G(s). Determine si con solo ajustar la ganancia se logra obtener o no los polos de
lazo cerrado deseados. De no ser posible, calcule la deficiencia angular Φ, este
ángulo se debe proporcionar por el compensador en adelanto para que el nuevo
LGR pase por las ubicaciones deseadas.
•Se determinan α y T a partir de la deficiencia angular, Kc se determina a partir del
requisito de ganancia de lazo abierto partiendo de la condición de magnitud.
•Verificar que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeño, de no
ser el caso repetir el procedimiento ajustando el polo y el cero del compensador
hasta cumplir con todas las especificaciones
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Diseño de Sistemas de ControlEjemplo de diseño
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 6
styMpy
jclenpolos
sn 8%2%50.3022
12
2
75.0..
w
Gc(s)+
-
Y(s)
1
2
ss
R(s)
Análisis del sistema
-1.5 -1 -0.5 0-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis polos en lazo cerrado
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: untitled1
Settling Time (sec): 7.74
System: untitled1
Peak amplitude: 1.3
Overshoot (%): 30.4
At time (sec): 2.43
Para este sistema se desea tener un par de polos dominantes con Mp ≤ 20% y ts ≤ 2s
(criterio del 2%). Por lo que el punto de diseño será:
Diseño de Sistemas de Control
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-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
322 jPD
322 jPD
120º106,1º98
,21º
52,11º
zc= -1.5pc= -4.69
322
23
43%2
5,0207,0%20
jPD
escojorealpartest
escojoMp
s
ss
Diseño de Sistemas de ControlComo se observa el LGR de la planta no pasa por el punto de diseño (PD).
Entonces calculando el ángulo de adelanto A que debe entregar el compensador se
tiene:
69,4
5,104,9 :esdiseñadorcompensadoelentonces
04,95,12
69,41
magnituddecondiciónladepartiracalculase
69,4
5,1:quelopor
69,42º11,52tan
32
52,11ºº1,46º21,982
32arctan
º1,465,1º1,46G
tienese -1,5zen rcompensadodelceroelfijandoquelopor
46,1º226,1ºº180 180º-deserdeberíaesteángulodecondiciónladepero
-226,1ºº-106,1º1201
2
C
C
C
A
s
ssG
s
sssK
K
s
sKsG
pp
p
psss
ss
C
PDs
C
C
CC
C
c
PDsCPDsPDsA
PDs
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Diseño de Sistemas de Control
Comprobando el compensador diseñado se utiliza el rltool de MatLab y se presenta
a continuación el LGR y la respuesta temporal del sistema compensado:
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Diseño de Sistemas de ControlComo se observa en la simulación anterior, de las especificaciones de diseño no se
cumple con la del Mp (debe ser ≤ 20%) por lo que es necesario reajustar los
parámetros del compensador. Por esto se varia la ganancia a un valor de 7,3
logrando cumplir con las especificaciones solicitadas.
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Diseño de Sistemas de ControlRedes de atraso
•Se emplea para mejorar la respuesta en estado estable sin modificar la
respuesta transitoria.
•Se pretende no cambiar el LGR en la vecindad de los polos dominantes
en lazo cerrado.
•Generalmente se ubican el polo y el cero próximos entre sí y cerca del
origen
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jw
s
T
1
T
1
1
Gc(s)R(s) +
-G(s)
Y(s)
1,1
1ˆ1
1
ˆ
Ts
TsK
Ts
Ts
KsG ccc
Diseño de Sistemas de Control
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Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante el LGR
•Trace el LGR para el sistema no compensado y con base a las especificaciones de
la respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el LGR.
•Calcule la constante de error estático especificada en el problema.
•Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer
las especificaciones.
•Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el
incremento necesario en la constante de error estático determinado sin alterar
apreciablemente el LGR original.
•Trace el nuevo LGR del sistema compensado y ubique sobre este los polos en
lazo cerrado en base a las especificaciones de la respuesta transitoria.
•Ajuste la ganancia del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin de
que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.
Diseño de Sistemas de ControlEjemplo de diseño
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Gc(s)R(s) +
-
Y(s)
4
16
ss styMpy
jclenpolos
sn 2%2%30.162
14
322..
w
Análisis del sistema
Como se observa este sistema no presenta problemas con su respuesta transitoria
pero al analizar su constante de velocidad se obtiene KV = 4, por lo que el error de
velocidad es de eV = 25%
Diseño de Sistemas de Control
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Linear Simulation Results
Time (sec)
Am
plit
ude
Por lo que se desea compensar su error de velocidad sin desmejorar su respuesta
transitoria. Se pretende obtener un eV≤ 5%, es decir se requiere un KV≥ 20.
Diseño de Sistemas de Control
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)5º a ser (debeº49,001,0
05,0004,1 esr compensado del fase de aporte ely
004,105,016
01,04 de valor el oReajustand
01,0
05,0 es diseñado atraso der compensado el ,Finalmente
01,05
05,01serár compensado del polo el que ahí de
05,0T
1 0,05-en ejemplopor origen al cercano más lor compensado del cero el Escogiendo
5 que lopor ,1 LGR el modifique se no que para
54
20
4
16
1
1lim20
:entonces compensado sistema el para 20 el que requiere se como
4
16
1
1lim : tieneser compensado el serieen poner Al
44
16lim:originalsistemaelPara
l.c.en polos
l.c.en polos
0
0
0
s
s
CC
CC
C
C
C
CCs
V
Cs
V
sV
s
s
s
sssKK
s
sKsG
Tp
z
K
KssTs
TsKs
K
ssTs
TsKsK
sssK
comp
comp
Diseño de Sistemas de Control
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 16
Para comprobar el compensador diseñado se utiliza el rltool de MatLab, por lo que
a continuación se presentan el LGR, la respuesta paso unitaria y la respuesta rampa
unitaria del sistema compensado
zoom
Diseño de Sistemas de Control
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 17
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Linear Simulation Results
Time (sec)A
mplit
ude
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4System: untitled1
Peak amplitude: 1.18
Overshoot (%): 17.7
At time (sec): 0.928
System: untitled1
Settling Time (sec): 1.47
Diseño de Sistemas de ControlDiseño empleando la respuesta de frecuencia
•Se especifica el desempeño de la respuesta transitoria en forma indirecta,
a través del MF, MG y Mr.
•El diseño es sencillo y directo.
•Para propósitos de diseño es mejor trabajar con el Diagrama de Bode.
Redes de adelanto
•Su función principal es volver a dar forma a la curva de respuesta de
frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto de fase suficiente para
compensan atrasos de fase del sistema.
•Es básicamente un filtro pasa-altos.
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10,1
1
1
1
Ts
TsK
Ts
Ts
KsG ccc
Diseño de Sistemas de Control
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Redes de adelanto
•Diagrama de Nyquist (haciendo KC=1)
•Diagrama de Bode (haciendo KC=1 y =0.1)
1
1
12
1
12
1
sin m
10,1
1
w
w
Tj
TjKsG cc
TTTmm
w
w
11log
1log
2
1log
Diseño de Sistemas de Control
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 20
Procedimiento de diseño de redes de adelanto mediante la respuesta de
frecuencia
•Suponga el siguiente compensador de adelanto:
•Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de
error estático solicitado.
•Con esta ganancia K , trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF.
•Determine el ángulo de fase necesario a agregar al sistema y calcule a partir
de la ecuación de m.
•Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual
a . Esta será la nueva frec. de cruce de ganancia y corresponde a
•Determine las frecuencias de esquina del compensador (1/T y 1/(T)) y calcule el
valor de KC.
•Verifique el MG para asegurar que sea satisfactorio.
Cc KKTs
TsKsG
donde,
1
1
1log20
Tm
w
1
Diseño de Sistemas de ControlEjemplo de diseño
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 21
Gc(s)+
-
Y(s)
1
2
ss
R(s)
Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥
50º y MG ≥ 10dB.
Escogiendo una red de adelanto se tiene:
Y haciendo que , se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación
del valor de KV, obteniendo:
A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de:
A partir de este diagrama se determina que el MF = 12,8º y el MG = . Como se
requiere de un MF de al menos 50º sin alterar el valor de K, la red de adelanto debe
contribuir con el ángulo de fase adicional de 42,2º (se han agregado 5º para
compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia).
10,1
1
Ts
TsKsG cc
cKK
102021
2
1
1lim
1
2lim
00
KK
ssTs
TssK
ssssGK
sC
sV
120
1
2
ssss
K
Diseño de Sistemas de Control
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 22
Entonces de la fórmula de m se tiene:
Por lo que: y como se observa en el diagrama de
magnitud esta ganancia ocurre aproximadamente a la frecuencia de 6,68 rad/s
196,0º2,42sin1
º2,42sin1
1
1º2,42sin
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
System: sys
Phase Margin (deg): 12.8
Delay Margin (sec): 0.0504
At frequency (rad/sec): 4.42
Closed Loop Stable? Yes
Phase (
deg)
-50
0
50
100
Magnitu
de (
dB
)
System: sys
Frequency (rad/sec): 6.69
Magnitude (dB): -7.09
dB069,7196,0
1log201log20
Diseño de Sistemas de Control
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 23
Esta es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Entonces de la fórmula de wm se
obtiene:
Y calculando el valor de KC
Finalmente el compensador diseñado es
07,151
96.2196,068,61
68,61
T
yTs
radT
m
w
92,50196,0
1010 CC KKK
07,15
96,292,50
s
ssGc
-150
-100
-50
0
50
100
Magnitu
de (
dB
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-2
10-1
100
101
102
103
-180
-135
-90
-45
0
45
System: tot
Phase Margin (deg): 50.7
Delay Margin (sec): 0.132
At frequency (rad/sec): 6.68
Closed Loop Stable? YesPhase (
deg)
Sist. sin compensar
Compensador
Sist. compensado
Diseño de Sistemas de ControlRedes de atraso
•Su función principal es proporcionar una atenuación en el rango de las
frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema.
•Es esencialmente un filtro pasa-bajos.
•Diagrama de Nyquist
•Diagrama de Bode (para =10 y KC=1)
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1,1
1ˆ1
1
ˆ
Ts
TsK
Ts
Ts
KsG ccc
Diseño de Sistemas de Control
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 25
Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante la respuesta de frecuencia
•Suponga el siguiente compensador de atraso:
•Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático
solicitado.
•Con esta ganancia K , trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF.
•Si el sistema no compensado no satisface la especificación de MF, encuentre el punto de
frecuencia en el cual el ángulo de fase del sistema en lazo abierto sea igual a -180º más el
MF requerido (generalmente se aumentan de 5º a 12º). Esta es la nueva frecuencia de cruce
de ganancia.
•Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase, el polo y el cero del compensador deben
ubicarse mucho más abajo que la nueva frec. de cruce de ganancia (hasta una década por
debajo).
•Determine la atenuación necesaria para bajar la curva de magnitud a 0dB en la nueva frec.
de cruce de ganancia. Esta atenuación es de
•Usando el valor de K y de se determina el valor de KC.
Cc KKTs
TsKsG
donde,
1
1
log20
Diseño de Sistemas de ControlEjemplo de diseño
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 26
Gc(s)+
-
Y(s)
1
2
ss
R(s)
Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥
50º y MG ≥ 10dB.
Escogiendo una red de atraso se tiene:
Y haciendo que , se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación
del valor de KV, obteniendo:
A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de:
A partir de este diagrama se determina que el MF = 12,8º y el MG = . Como se
requiere de un MF de al menos 50º sin alterar el valor de K. Por esto se determina
la frecuencia en la cual el ángulo de fase sea de -120º para obtener un MF de 60º.
Del gráfico de fase se observa que esta frecuencia es de 0,571 rad/s.
1,1
1
Ts
TsKsG cc
cKK
102021
2
1
1lim
1
2lim
00
KK
ssTs
TssK
ssssGK
sC
sV
120
1
2
ssss
K
Diseño de Sistemas de Control
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 27
Por lo que 0,571 rad/s será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. A esta
frecuencia se tiene una magnitud de 29,6dB, entonces el compensador de atraso
deberá cumplir que:
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
System: sys1
Phase Margin (deg): 12.8
Delay Margin (sec): 0.0504
At frequency (rad/sec): 4.42
Closed Loop Stable? Yes
System: sys1
Frequency (rad/sec): 0.571
Phase (deg): -120
Phase (
deg)
-50
0
50
100
Magnitu
de (
dB
)System: sys1
Frequency (rad/sec): 0.572
Magnitude (dB): 29.6
2,30106.29log20 20
6.29
dB
Diseño de Sistemas de Control
marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 28
Como la frecuencia de esquina 1/T debe estar entre una década y una octava por
debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia se tiene que:
Y calculando el valor de KC
Finalmente el compensador diseñado es
0033,01
1,01
T
yT
33,02,30
1010 CC KKK
0033,0
1,033,0
s
ssGc
-100
-50
0
50
100
150
Magnitu
de (
dB
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
System: tot
Phase Margin (deg): 50.4
Delay Margin (sec): 1.52
At frequency (rad/sec): 0.579
Closed Loop Stable? Yes
Phase (
deg)
Sist. no compensado
Compensador
Sist. compensado