VARIABLES ALEATORIAS, FUNCIรN DE PROBABILIDAD Y VALOR ESPERADO
1. Determine el valor de a de manera que cada una de las siguientes funciones pueda servir
como distribuciรณn de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
a. f (x) = a(x2 + 4) x = 0, 1, 2, 3
Para encontrar el valor de a, primero reemplazamos los valores en la expresiรณn y
hallamos la sumatoria:
02 + 4 = 4
12 + 4 = 1 + 4 = 5
22 + 4 = 4 + 4 = 8
32 + 4 = 9 + 4 = 13
La suma de los valores es:
4 + 5 + 8 + 13 = 30
Por lo tanto el valor de a es:
๐ =๐
๐๐
b. f(x) = a( 2C x) (3C3 - x) para x = 0,1,2
De igual manera, reemplazamos por los valores numรฉricos en la expresiรณn inicial:
โ ๐20 ( 2C x) (3C3-x) = ๐ โ (20 2C x) (3C3-x) = ๐((2C 0) (3C3-0))+(( 2C 1) (3C3-1))+(( 2C 2) (3C3-2))
= ๐((2C 0) (3C3))+(( 2C 1) (3C2))+(( 2C 2) (3C1))
= ๐[1 โ 1 + 2 โ 3 + 1 โ 3]
= ๐[1 + 6 + 3]
= 10๐
Por lo tanto, como 10๐ = 1
๐ =๐
๐๐
2. Encuentre la distribuciรณn de probabilidad para el nรบmero de discos de salsa cuando se
eligen al azar cuatro discos de una colecciรณn que consta de cuatro discos de salsa y cuatro
discos de mรบsica clรกsica. Exprese los resultados a travรฉs de una formula.
๐(๐ = ๐ฅ) =(4๐ฅ)( 44โ๐ฅ
)
(84)
, ๐๐๐๐ ๐ฅ = 1, 2, 3, 4
๐(๐ = 1) =(41)( 44โ1)
(84)
= 0.23
๐(๐ = 2) =(42)( 44โ2)
(84)
= 0.51
๐(๐ = 3) =(43)( 44โ3)
(84)
= 0.23
๐(๐ = 4) =(44)( 44โ4)
(84)
= 0.01
X 1 2 3 4
P(X=x) 0.23 0.51 0.23 0.014
3. Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un cajรณn que
contiene seis calcetines cafรฉs y cuatro verdes, Defina la variable aleatoria X que represente
el nรบmero de calcetines cafรฉs que se selecciona. Encuentre la funciรณn de probabilidad f(X),
F(X), E(X), Varianza y desviaciรณn estรกndar de la variable aleatoria.
Supongamos que el resultado en el cual se saca un calcetรญn cafรฉ es C y si es verde entonces
es V. Los posibles resultados son:
CC, CV, VC, VV.
Las diferentes probabilidades son:
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ๐ถ = 6
10โ5
9=1
3
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ๐ = 6
10โ4
9=4
15
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ถ = 4
10โ6
9=4
15
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ = 4
10โ3
9=2
15
Elemento del
Espacio muestral
Probabilidad W (Nรบmero de
calcetines cafรฉs)
CC 1/3 2
CV 4/15 1
VC 4/15 1
VV 2/15 0
Por lo tanto la funciรณn de probabilidad serรญa:
X 0 1 2
f(x) 2/15 8/15 1/3
๐(๐ = 2) =1
3
La funciรณn de probabilidad para dos calcetines cafรฉs es:
๐(๐ฅ) =
{
2
15, ๐ ๐ ๐ฅ = 0
8
15, ๐ ๐ ๐ฅ = 1
1
3, ๐ ๐ ๐ฅ = 2
La funciรณn de probabilidad acumulada para dos calcetines cafรฉs es:
๐น(๐ฅ) =
{
2
15, ๐ ๐ 0 โค ๐ฅ < 1
2
3, ๐ ๐ 1 โค ๐ฅ < 2
1, ๐ ๐ ๐ฅ = 2
๐ธ(๐ฅ) = โ๐ฅ๐ โ ๐(๐ฅ)
2
0
= 0 โ2
15+ 1 โ
8
15+ 2 โ
1
3
=8
15+2
3=6
5= 1.2
La varianza estรก dada por:
๐๐ฅ2 = [(02 โ
2
15) + (12 โ
8
15) + (22 โ
1
3)] โ 1.22
๐๐ฅ2 = [(โ
2
15) + (
7
15) + (
11
3)] โ 1.22
๐๐ฅ2 = [4] โ 1.22
๐๐ฅ2 = 5.76
La desviaciรณn estรกndar es:
๐๐ฅ = โ5.76 = 2.4
4. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale nรบmero primo, gana tantos cientos de dรณlares
como marca el dado, pero si no sale nรบmero primo, pierde tantos cientos de dรณlares como
marca el dado. Determinar la funciรณn de probabilidad y la esperanza matemรกtica del
juego.
Como el jugador puede ganar o perder de acuerdo al marcador del dado, escribimos como
NEGATIVAS aquellas expresiones DESFAVORABLES y POSITIVAS las que son FAVORABLES,
ademรกs de la probabilidad de obtener cada resultado (1/6).
La funciรณn de probabilidad es:
x -1 2 3 -4 5 -6
f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
La esperanza E(x) para el juego es:
๐ธ(๐) = 1
6(โ1 + 2 + 3 โ 4 + 5 โ 6)
๐ธ(๐) = 1
6โ (โ1) = โ
1
6= โ0.167
Como el resultado es negativo, se concluye que el juego no es favorable.
5. El experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda 3 veces, Defina X la variable
aleatoria que representa el nรบmero de caras observadas. Encuentre f(X), E(X), V(X) y
desviaciรณn estรกndar.
Para el lanzamiento de las monedas tenemos:
Primer
Lanzamiento
Segundo
Lanzamiento
Tercer
Lanzamiento
Nรบmero de Caras
Observadas
Probabilidad de
los resultados
Cara Cara Cara 3 0.125
Cara Cara Sello 2 0.125
Cara Sello Cara 2 0.125
Cara Sello Sello 1 0.125
Sello Cara Cara 2 0.125
Sello Cara Sello 1 0.125
Sello Sello Cara 1 0.125
Sello Sello Sello 0 0.125
La funciรณn de probabilidad estรก dada por:
x 0 1 2 3
f(x) 0.125 0.375 0.375 0.125
Por lo tanto,
๐น(๐ฅ) = {
0.125, ๐ ๐ 0 โค ๐ฅ < 10.5 , ๐ ๐ 1 โค ๐ฅ < 20.875, ๐ ๐ 2 โค ๐ฅ < 31 ๐ ๐ ๐ฅ โฅ 3
๐ธ(๐) = (0 โ 0.125) + (1 โ 0.375) + (2 โ 0.375) + (3 โ 0.125) = 1.5
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ2 = [(02 โ 0.125) + (12 โ 0.375) + (22 โ 0.375) + (32 โ 0.125)] โ 1.52
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ2 = 29.25
๐๐ฅ = โ29.25 = 5.4
6. Una urna contiene 4 bolas con los nรบmeros 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si se toman dos
bolas de la urna sin sustituciรณn y X representa la suma de los nรบmeros de las dos bolas
extraรญdas. Determine la funciรณn de probabilidad f(X), el valor esperado E(X) y la varianza de
la variable aleatoria.
El total de posibles resultados es:
๐ = 4 ร 3 = 12 ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ข๐๐ก๐๐๐๐
A continuaciรณn presentamos los posibles resultados despuรฉs de la primera extracciรณn:
Primera
extracciรณn
Segunda
Extracciรณn
Valor de
la suma
Probabilidad
1 2 3 1/12
1 3 4 1/12
1 4 5 1/12
2 1 3 1/12
2 3 5 1/12
2 4 6 1/12
3 1 4 1/12
3 2 5 1/12
3 4 7 1/12
4 1 5 1/12
4 2 6 1/12
4 3 7 1/12
La funciรณn de probabilidad de la suma de los dos valores es:
Para ๐ฅ = 3, ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ 1
12+
1
12=
1
6
Para ๐ฅ = 4, ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ 1
12+
1
12=
1
6
Para ๐ฅ = 5, ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ 1
12+
1
12+
1
12+
1
12=
1
3
Para ๐ฅ = 6, ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ 1
12+
1
12=
1
6
Para ๐ฅ = 7, ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ 1
12+
1
12=
1
6
x 3 4 5 6 7
f(x) 1/6 1/6 1/3 1/6 1/6
La esperanza matemรกtica es:
๐ธ(๐) = (3 โ1
6) + (4 โ
1
6) + (5 โ
1
3) + (6 โ
1
6) + (7 โ
1
6)
๐ธ(๐) = (1
2) + (
2
3) + (
5
3) + (1) + (
7
6)
๐ธ(๐) = 5
La varianza de la variable aleatoria es:
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ2 = [(32 โ 1/6) + (42 โ 1/6) + (52 โ 1/3) + (62 โ 1/6) + (72 โ 1/6)] โ 52
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ2 = 3350
7. A un dependiente de un auto lavado se le paga de acuerdo con el nรบmero de automรณviles
que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12, 1/4, 1/4, 1/6 y 1/6
respectivamente de que el dependiente reciba $5, $7, $9, $ 11, $ 13 o $ 17 entre las 4 y 5
de la tarde en un dรญa soleado. Encuentre las ganancias que espera el dependiente para
este periodo especรญfico.
Lo que se puede esperar de ganancia se representa por medio de la esperanza:
๐ธ(๐) = (5 โ 1/12) + (7 โ 1/12) + (9 โ 1/4) + (11 โ 1/4) + (13 โ 1/6) + (17 โ 1/6)
๐ธ(๐) = (5
12) + (
7
12) + (
9
4) + (
11
4) + (
13
6) + (
17
6)
๐ธ(๐) = 11
Se espera una ganancia de $11.
8. Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuรกl es la que abre un
candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable
aleatoria X que representa el nรบmero de intentos necesarios para abrir el candado.
a. Determine la funciรณn de probabilidad de X.
b. Cuรกl es el valor de P (X โค 1)
Como cada intento tiene la misma probabilidad, la funciรณn de probabilidad es:
๐(๐ฅ) =1
5, ๐๐๐๐ ๐ฅ = 1, 2, 3, 4, 5.
El valor de P (X โค 1) es:
๐(๐ฅ โค 1) =1
5
9. Se sacan 3 balotas sucesivamente de una caja que contiene 4 balotas negras y 2 balotas
verdes; cada balota se regresa a la caja antes de sacar la siguiente, Encuentre la
distribuciรณn de probabilidad para la variable X que representa el nรบmero de balotas
verdes.
La probabilidad de รฉxito que consiste en sacar una balota verde es:
๐(๐) =2
6=1
3= 0.33
La distribuciรณn de probabilidad es:
๐(๐ = ๐ฅ) = (3
๐ฅ) (1
3)๐ฅ
(2
3)3โ๐ฅ
Al desarrollarla para cada nรบmero de balotas se obtiene:
๐(๐ = 0) = (3
0) (1
3)0
(2
3)3
=8
27
๐(๐ = 1) = (3
1) (1
3)1
(2
3)2
=4
9
๐(๐ = 2) = (3
2) (1
3)2
(2
3)1
=2
9
๐(๐ = 3) = (3
3) (1
3)3
(2
3)0
=1
27
Podemos observar que:
โ๐(๐ = ๐ฅ) = 1
3
๐ฅ=0
10. Al invertir en acciones financieras, una persona puede lograr una ganancia de 4000 dรณlares
en un ano con probabilidad de 0.3 o bien tener una pรฉrdida de 1.000 dรณlares con
probabilidad de 0.7. Cuรกl serรญa la ganancia esperada de esa persona.
La ganancia esperada teniendo en cuenta el valor positivo (ganancia) y el negativo
(pรฉrdida) es:
๐ธ(๐) = (4000 โ 0.3) + (โ1000 โ 0.7)
๐ธ(๐) = (1200) โ (700)
๐ธ(๐) = 500
Se espera una ganancia de 500 dรณlares.
11. Suponga que un comerciante de joyerรญa antigua estรก interesado en comprar una
gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $
250, $ 100, al costo, o bien con una pรฉrdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36,
0.28, 0.14. ยฟcuรกl es la ganancia esperada del comerciante?
La ganancia esperada por el comerciante debe ser:
๐ธ(๐) = (250 โ 0.22) + (100 โ 0.36) + (0 โ 0.28) โ (150 โ 0.14)
๐ธ(๐) = (55) + (36) + (0) โ (21)
๐ธ(๐) = 70
El comerciante espera una ganancia de $70.
12. Un piloto privado desea asegurar su aviรณn por 50.000 dรณlares. La compaรฑรญa de seguros
estima que puede ocurrir una pรฉrdida total con probabilidad de 0.002, una pรฉrdida de 50%
con una probabilidad de 0.01 y una de 25% con una probabilidad de 0.1. Si se ignoran
todas las otras pรฉrdidas parciales, ยฟque prima debe cargar cada aรฑo la compaรฑรญa de
seguros para obtener una utilidad media de US $500?
La probabilidad de que no exista pรฉrdida es:
1 โ (0.002 + 0.01 + 0.1) = 0.888
Ahora, la utilidad media es:
๐๐ฅ = ๐ธ(๐) = (๐ โ 0.888) โ (50000 โ 0.002) โ (25000 โ 0.01) โ (12500 โ 0.1) = 500
๐ โ 0.238 โ 100 โ 250 โ 1250 = 500
๐ โ 0.888 โ 1600 = 500
๐ =500 + 1600
0.888
๐ = 2364.86
La compaรฑรญa debe cargar una prima de 2364.86 dรณlares.
13. Sea X una variable aleatoria con funciรณn de densidad:
๐(๐ฅ) = {๐(3๐ฅ โ ๐ฅ2) 0 โค ๐ฅ โค 3
0 ๐๐ ๐๐ก๐๐ ๐๐๐ ๐
a. Determine el valor de a para que la funciรณn sea efectivamente una funciรณn de densidad de
probabilidad
Para que sea una funciรณn de densidad debe cumplirse que:
โซ๐(3๐ฅ โ ๐ฅ2)๐๐ฅ
3
0
= 1
๐โซ(3๐ฅ โ ๐ฅ2)๐๐ฅ
3
0
= ๐ [3๐ฅ2
2โ๐ฅ3
3]3
0= 1
๐ [(3(3)2
2โ33
3) โ (
3(0)2
2โ03
3)] = 1
9
2๐ = 1
๐ =2
9
b. Calcule P ( 1 < X < 2)
Conociendo el valor de a, tenemos:
โซ2
9(3๐ฅ โ ๐ฅ2)๐๐ฅ
2
1
=2
9โซ(3๐ฅ โ ๐ฅ2)๐๐ฅ
2
1
=2
9[3๐ฅ2
2โ๐ฅ3
3]2
1
=2
9[(3(2)2
2โ(2)3
3) โ (
3(1)2
2โ(1)3
3)]
=2
9[(6 โ
8
3) โ (
3
2โ1
3)]
=2
9[10
3โ7
6]
=2
9[13
6]
=13
27โ 0.481
14. Sea X una variable aleatoria con funciรณn de densidad:
๐(๐ฅ) = {
๐ฅ
2 0 โค ๐ฅ โค 2
0 ๐๐ ๐๐ก๐๐ ๐๐๐ ๐
Obtenga el valor esperado de la variable, la varianza y la desviaciรณn estรกndar.
El valor esperado es:
๐ธ(๐ฅ) = โซ๐ฅ โ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
2
0
= โซ๐ฅ โ๐ฅ
2๐๐ฅ
2
0
= โซ๐ฅ2
2๐๐ฅ
2
0
= (๐ฅ3
6)2
0= (
23
6) โ (
03
6) =
4
3
๐๐ฅ2 = โซ๐ฅ2 โ
๐ฅ
2๐๐ฅ
2
0
โ (4
3)2
= โซ๐ฅ3
2๐๐ฅ
2
0
โ16
9= (
๐ฅ4
8)2
0โ4
3= 2 โ
16
9=2
9
๐๐ฅ = โ0.22 = 0.471
15. Sea X una variable aleatoria con funciรณn de densidad
๐(๐ฅ) = {๐(4๐ฅ โ ๐ฅ3) 0 โค ๐ฅ โค 2
0 ๐๐ ๐๐ก๐๐ ๐๐๐ ๐
a. Determine el valor de a para que la funciรณn sea efectivamente una funciรณn de
densidad de probabilidad
Como ๐(๐ฅ) representa una funciรณn de densidad debe suceder que:
โซ๐(4๐ฅ โ ๐ฅ3)
2
0
๐๐ฅ = 1
๐โซ(4๐ฅ โ ๐ฅ3)
2
0
๐๐ฅ = 1
๐ (4๐ฅ2
2โ๐ฅ4
4)2
0= 1
๐ [(4(2)2
2โ(2)4
4) โ (
4(0)2
2โ(0)4
4)] = 1
๐[(8 โ 4) โ (0 โ 0)] = 1
๐[(4) โ (0)] = 1
4๐ = 1
๐ =๐
๐
b. Calcule P ( 1 < X < 1,5)
Esto es:
โซ1
4(4๐ฅ โ ๐ฅ3)
1,5
0
๐๐ฅ
=1
4โซ (4๐ฅ โ ๐ฅ3)
1,5
0
๐๐ฅ
=1
4(4๐ฅ2
2โ๐ฅ4
4)1,5
0
=1
4[(4(1,5)2
2โ(1,5)4
4) โ (
4(0)2
2โ(0)4
4)]
=1
4[(9
2โ81
64) โ (0 โ 0)]
=1
4[(207
64)]
=207
256โ 0.81
c. Obtenga el valor esperado de la variable
๐ธ(๐ฅ) =1
4โซ๐ฅ โ (4๐ฅ โ ๐ฅ3)๐๐ฅ
2
0
=16
15
=1
4โซ(4๐ฅ2 โ ๐ฅ4)๐๐ฅ
2
0
=1
4โซ(
4๐ฅ3
3โ๐ฅ5
5)๐๐ฅ
2
0
=1
4(4๐ฅ3
3โ๐ฅ5
5)2
0
=1
4[(4(2)3
3โ(2)5
5) โ (
4(0)3
3โ(0)5
5)]
=1
4[(32
3โ32
5) โ (0)]
=1
4[64
15]
=16
15โ 1.067
16. Un ama de casa permite a sus hijos pequeรฑos mirar la televisiรณn un mรกximo de 200 horas
por mes y solo despuรฉs de terminar sus tareas escolares. Ella lleva un control riguroso del
tiempo que sus hijos mantienen la televisiรณn encendida cada mes, de modo que se trata
de una variable continua, que medida en unidades de 100 horas, tiene la siguiente funciรณn
de densidad:
๐(๐ฅ) = {๐ฅ 0 โค ๐ฅ โค 12 โ ๐ฅ 1 โค ๐ฅ โค 20 ๐๐ ๐๐ก๐๐ ๐๐๐ ๐
Determine la probabilidad de que, durante un mes cualquiera, los niรฑos vean la televisiรณn:
a. entre 50 y 100 horas
Como se mide en unidades de 100 horas, la probabilidad es:
๐(50 < ๐ฅ < 100) = โซ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
1
0.5
= โซ๐ฅ๐๐ฅ
1
0.5
= (๐ฅ2
2)1
0.5
= ((1)2
2โ(0.5)2
2)
= (1
2โ1
8)
=3
8โ 0.375
b. entre 120 y 150 horas
๐(120 < ๐ฅ < 150) = โซ (๐(๐ฅ))๐๐ฅ
1.5
1.2
= โซ (2 โ ๐ฅ)๐๐ฅ
1.5
1.2
= (2๐ฅ โ๐ฅ2
2)1.5
1.2
= (2(1.5) โ(1.5)2
2) โ (2(1.2) โ
(1.2)2
2)
= (15
8โ42
25)
=39
200โ 0.195
c. Calcule el promedio de horas de televisiรณn que espera la mama vean sus hijos.
El promedio se calcula por medio de las integrales:
๐ธ(๐ฅ) = โซ๐(๐ฅ)๐๐ฅ =
2
0
โซ๐ฅ โ ๐ฅ๐๐ฅ
1
0
+ โซ๐ฅ โ (2 โ ๐ฅ)๐๐ฅ
2
1
= โซ๐ฅ2๐๐ฅ
1
0
+ โซ(2๐ฅ โ ๐ฅ2)๐๐ฅ
2
1
= (๐ฅ3
3)1
0+ (๐ฅ2 โ
๐ฅ3
3)2
1
= ((1)3
3โ(0)3
3) + ([(2)2 โ
(2)3
3] โ [(1)2 โ
(1)3
3])
=1
3+2
3
= 1
Los niรฑos ven en promedio 100 horas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS
17. En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegirรก un representante de grupo,
para lo cual se usara el nรบmero de lista de cada alumno. Se anotan 12 papeles con
nรบmeros del 1 al 12 respectivamente se doblan y se meten en un frasco. Luego se extrae al
azar un papel para designar al representante. Determine la probabilidad de que el nรบmero
que salga sea menor que 5; determine la probabilidad de que el nรบmero sea mayor que 3
pero menor que 7.
๐(๐ฅ) =1
12= 0.083
๐(๐ฅ) = 0.917
๐(๐ < 5) = ๐(๐ = 0) + ๐(๐ = 1) + ๐(๐ = 2) + ๐(๐ = 3) + ๐(๐ = 4)
๐(๐ = 0) = (12
0) (0.083)0(0.917)12 = 0.3535
๐(๐ = 1) = (12
1) (0.083)1(0.917)11 = 0.3840
๐(๐ = 2) = (12
2) (0.083)2(0.917)10 = 0.1911
๐(๐ = 3) = (12
3) (0.083)3(0.917)9 = 0.0577
๐(๐ = 4) = (12
4) (0.083)4(0.917)8 = 0.0117
๐(๐ < 5) = 0.3535 + 0.3840 + 0.1911 + 0.0577 + 0.0117
๐(๐ < 5) = 0.998
Ahora la probabilidad de que el nรบmero sea mayor que 3 pero menor que 7 es:
๐(3 < ๐ < 7) = ๐(๐ = 4) + ๐(๐ = 5) + ๐(๐ = 6)
๐(๐ = 4) = (12
4) (0.083)4(0.917)8 = 0.0117
๐(๐ = 5) = (12
5) (0.083)5(0.917)7 = 0.0017
๐(๐ = 6) = (12
6) (0.083)6(0.917)6 = 0.000180
๐(3 < ๐ < 7) = 0.0117 + 0.0017 + 0.000180
๐(3 < ๐ < 7) = 0.01358
18. Como participante de una encuesta de contaminaciรณn del aire, un inspector decide
examinar las emisiones de seis de los 24 camiones de una compaรฑรญa. Si cuatro de los
camiones emiten cantidades excesivas de contaminantes cual es la probabilidad de que
ninguno de ellos sea parte de la muestra del inspector.
๐(๐ = 0) =(40)(20
6)
(246)
= 0.2880
19. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra, tomada al azar, de dos
calculadoras manuales, de cada lote que llega de 18, y acepta el lote si ambas estรกn en
buenas condiciones de trabajo; de otra manera, se inspecciona todo el lote y el costo se
carga al vendedor, determine la probabilidad de que un lote se acepta sin inspecciรณn
adicional, si contiene:
a. Cuatro calculadoras que no estรกn en buenas condiciones de trabajo
b. Ocho calculadoras que no estรกn en buenas condiciones de trabajo
20. Una florerรญa tiene 15 vehรญculos de reparto, que se utilizan principalmente para llevar flores
y arreglos florales en una ciudad, suponga que seis de los 15 camiones tienen problemas
con los frenos. Se seleccionaron cinco vehรญculos al azar para probarlos, cual es la
probabilidad de que dos de los camiones probados tengan frenos defectuosos?
๐(๐ฅ) =6
15= 0.4
๐(๐ฅ) = 0.6
๐(๐ = 2) = (5
2) โ (0.4)2 โ (0.6)3 = 0.3456
21. En una fรกbrica de circuitos electrรณnicos, se afirma que la proporciรณn de unidades
defectuosas de cierto componente que esta produce es del 5%. ยฟCuรกl es la probabilidad de
que un comprador al revisar 15 unidades al azar encuentre cuatro defectuosas?
๐(๐ = 4) = (15
4) โ (0.05)4 โ (0.95)11 = 0.00485
22. Un investigador inyecta un germen patรณgeno a varios ratones a la vez, hasta que haya 2
que han contraรญdo la enfermedad. Si la probabilidad de contraer el padecimiento es de 1/6
ยฟcuรกl es la probabilidad de que sean necesarios 8 ratones?
๐(๐ = 2) = (8
2) โ (
1
6)2
โ (5
6)
6
= 0.2605
23. Segรบn los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. ยฟcuรกl es la
probabilidad de que de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado?
๐(๐ < 3) = ๐(๐ = 0) + ๐(๐ = 1) + ๐(๐ = 2)
๐(๐ = 0) = (6
0) โ (0.05)0 โ (0.95)6 = 0.7350
๐(๐ = 1) = (6
1) โ (0.05)1 โ (0.95)5 = 0.2321
๐(๐ = 2) = (6
2) โ (0.05)2 โ (0.95)4 = 0.031
๐(๐ < 3) = 0.9981
24. Segรบn un estudio publicado por un grupo de sociรณlogos de la Universidad de
Massachusetts, aproximadamente el 60% de los consumidores del tranquilizante Valium
en dicho estado, tomaron el fรกrmaco por problemas psicolรณgicos, Determine la
probabilidad de que entre los siguientes 8 consumidores entrevistados en este estado, por
lo menos 5 hayan comenzado a tomarlo por problemas psicolรณgicos.
๐(๐ โฅ 5) = ๐(๐ = 5) + ๐(๐ = 6) + ๐(๐ = 7) + ๐(๐ = 8)
๐(๐ = 5) = (8
5) โ (0.6)5 โ (0.4)3 = 0.2787
๐(๐ = 6) = (8
6) โ (0.6)6 โ (0.4)2 = 0.2090
๐(๐ = 7) = (8
7) โ (0.6)7 โ (0.4)1 = 0.0896
๐(๐ = 5) = (8
8) โ (0.6)8 โ (0.4)0 = 0.0168
๐(๐ โฅ 5) = 0.5941
25. La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad tenga un perro se estima en
0.3. Determine la probabilidad de que la dรฉcima persona entrevistada al azar en dicha
ciudad sea la quinta en poseer un perro.
๐(๐ = 5) = (10
5) โ (0.3)5 โ (0.7)5 = 0.1030
26. Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de
inglรฉs en cualquier intento que haga. ยฟCuรกl es la probabilidad de que lo logre aprobar en el
cuarto intento?
Debido al enunciado, podemos deducir que el estudiante tiene la misma probabilidad en
cualquier intento; es decir 75%
27. De acuerdo con un reporte de la secretaria de movilidad, en Bogotรก se registran en
promedio 7,5 peatones atropellados a la semana (7 dรญas). Determine la probabilidad de
que en tres dรญas de una semana cualquiera ocurran entre 6 y 8 casos de personas
atropelladas en la ciudad.
๐ = 7.5 ๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐ 7 ๐รญ๐๐ = 1.07๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐รญ๐
En tres dรญas tenemos:
๐ = 3.21
Ahora,
๐(6 โค ๐ โค 8) = ๐(๐ = 6) + ๐(๐ = 7) + ๐(๐ = 8)
๐(๐ = 6) =๐โ3.21 โ (3.21)6
6!= 0.06132
๐(๐ = 7) =๐โ3.21 โ (3.21)7
7!= 0.02812
๐(๐ = 8) =๐โ3.21 โ (3.21)8
8!= 0.01128
๐(6 โค ๐ โค 8) = 0.10072
28. El nรบmero de camiones en promedio que llegan a una central de abastos en cierta ciudad,
es de 12 por dรญa. ยฟCuรกl es la probabilidad de que en un dรญa cualquiera lleguen menos de
nueve camiones a esa central de abastos?
๐ = 12 ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐รญ๐
๐(๐ < 9) = ๐โ12โ(12)๐ฅ
๐ฅ!
8
๐ฅ=0
๐(๐ < 9) = ๐โ12(25231.51) = 0.1550
29. Si Z es la distribuciรณn normal tipificada, encuentre el รกrea bajo la curva que cae:
a. A la izquierda de z = - 1,13
Observando la Tabla de valores negativos tenemos:
Para ๐ง = โ1,13 el รกrea es 0,12924
b. Entre z = - 2,06 y z = - 0,15
Para ๐ง = โ2,06 el รกrea es 0.01970
Para ๐ง = โ0.15 el รกrea es 0,44038
El รกrea buscada es: 0,44038 โ 0,01970 = 0,42068
c. A la derecha de z = 1,44
Para ๐ง = 1,44 el รกrea es: 0,92507
Por lo tanto a la derecha de รฉste valor su รกrea es: 1 โ 0,92507 = 0.07493
30. Si la variable aleatoria Z tiene una distribuciรณn normal tipificada, encuentre la mejor
aproximaciรณn de las tablas para el valor de k, tal que:
a. P ( Z > K ) = 0,3500
P (Z > K) = 1 โ P(Z<K) = 0.3500
1 โ0.3500 = P (Z<K)
P (Z<K) = 0.65, por lo que se concluye que k es aproximadamente 0.39
b. P ( Z < K ) = 0,5500
Aquรญ, K es aproximadamente 0.13
c. (Ko < Z < k1) = 0,9500
Esto quiere decir que se busca P(X<k1) โ P(X<k0) = 0.9500
Si k0 = -2.8 entonces P (k1) = 0.9500 + 0.00256 = 0.95256
Por lo tanto, podemos tomar k0 = -2.8 y k1 = 1.67
31. Las notas de un examen hecho a una clase de 36 alumnos siguen una distribuciรณn Normal
con media 4.2 y desviaciรณn estรกndar 1.3.
a. Calcular el nรบmero de alumnos con nota entre 5 y 7.
๐5 =5 โ 4.2
1.3= 0.62
๐7 =7 โ 4.2
1.3= 2.15
๐(0.62 < ๐ < 2.15) = ๐(๐ < 2.15) โ ๐(๐ < 0.62)
๐(0.62 < ๐ < 2.15) = 0.98422 โ 0.7324 = 0.251852
Es decir, el 25.19% de los estudiantes (Aprox. 9 estudiantes) tienen notas entre 5 y
7
b. Nรบmero de alumnos con nota entre 4 y 6.
๐4 =4 โ 4.2
1.3= โ0.15
๐6 =6 โ 4.2
1.3= 1.38
๐(โ0.15 < ๐ < 1.38) = ๐(๐ < 0.38) โ ๐(๐ < โ0.15)
๐(โ0.15 < ๐ < 1.38) = ๐(๐ < 0.38) โ (1 โ ๐(๐ > 0.15))
๐(โ0.15 < ๐ < 1.38) = 0.91621 โ 0.44038 = 0.47583
Es decir, el 47.58% de los estudiantes (Aprox. 17 estudiantes) tienen notas entre 4
y 6
32. El peso de las naranjas sigue una distribuciรณn normal de media 180 g y desviaciรณn tรญpica 20
g. Un almacenista ha comprado 10.000 kg. Calcular:
a. Kilos de naranjas que se espera pesen menos de 150 g.
๐150 =150 โ 180
20= โ1.5
๐(๐ < โ1.5) = 1 โ ๐(๐ < 1.5)
๐(๐ < โ1.5) = 1 โ 0.9332 = 0.0668
Es decir, el 6.68% de las naranjas (Aprox. 668 kilos) pesan menos de 150 g.
b. Kilos de naranjas cuyo peso se espera que este entre 160 y 200 g.
๐160 =160 โ 180
20= โ1
๐200 =200 โ 180
20= 1
๐(โ1 < ๐ < 1) = ๐(๐ < 1) โ (1 โ ๐(๐ < 1))
๐(โ1 < ๐ < 1) = 0.8416 โ 0.1584
๐(โ1 < ๐ < 1) = 0.6832
Es decir, el 68.32% de las naranjas (Aprox. 6832 kilos) pesan entre de 160 y 200 g.
33. El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho un estudio sobre la
distribuciรณn de las edades del profesorado y ha observado que se distribuyen
normalmente con una media de 34 aรฑos y una desviaciรณn tรญpica de 6 aรฑos. De un total de
400 profesores hallar:
a. Cuantos profesores hay con edad menor o igual a 35 aรฑos?
๐35 =35 โ 34
6= 0.167
๐(๐ โค 0.167) = 0.5656
Es decir, el 56.56% de los profesores (Aprox. 226 maestros) tienen una edad
menor o igual a 35 aรฑos.
b. Cuantos de 55 aรฑos o mรกs?
๐55 =55 โ 34
6= 3.5
๐(๐ โฅ 3.5) = 1 โ ๐(๐ < 3.5) = 1 โ 0.999767 = 0.000233
Es decir, el 0.0233% de los profesores (Aprox. 1 maestro) tiene una edad mayor o igual a 55
aรฑos.
34. En una panaderรญa se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribuciรณn normal
de media 100 g y desviaciรณn tรญpica 9. ยฟCuรกl es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo
peso oscile entre 80 g y la media?
๐80 =80 โ 100
9= โ2.22
๐100 =100 โ 100
9= 0
๐(โ2.22 < ๐ < 0) = ๐(๐ < 0) โ (1 โ ๐(๐ < 2.22))
๐(โ2.22 < ๐ < 0) = 0.5 โ 0.013209 = 0.486791
Es decir, el 48.68% de los panecillos tiene un peso entre 80 g y la media.
35. La duraciรณn media de un lavavajillas es de 15 aรฑos, con una desviaciรณn tรญpica igual a 0.5
aรฑos. Si la vida รบtil de electrodomรฉsticos se distribuye normalmente, halla la probabilidad
de que al comprar un lavavajillas este dure mรกs de 16 aรฑos.
๐16 =16 โ 15
0.5= 2
๐(๐ > 2) = 1 โ ๐(๐ โค 2)
= 1 โ 0.977250
= 0.02275
36. Se ha determinado que para varones normales en una cierta poblaciรณn normalmente
distribuida, la temperatura media es de 37ยบC y desviaciรณn estรกndar de 0,5ยบC. Si se
consideran 1000 de estas personas ยฟCuantas se puede esperar que tengan una
temperatura comprendida entre 37ยบC y 37,6ยบC?
๐16 =37 โ 37
0.5= 0
๐16 =37.6 โ 37
0.5= 1.2
๐(0 < ๐ < 1.2) = ๐(๐ < 1.2) โ ๐(๐ < 0)
๐(0 < ๐ < 1.2) = 0.884930 โ 0.5 = 0.38493
Es decir, se puede esperar que el 38.49% de las personas (Aprox. 385 personas) tiene una
temperatura entre 37ยบC y 37.6ยบC.
37. Un calentador de agua requiere por tรฉrmino medio 30 minutos para calentar 40 galones
de agua hasta una temperatura determinada. Si los tiempos de calentamiento se
distribuyen normalmente con una desviaciรณn estรกndar de 0,5 minutos ยฟQuรฉ porcentaje de
los tiempos de calentamiento son superiores a 31 minutos?
๐31 =31 โ 30
0.5= 2
๐(๐ > 2) = 1 โ ๐(๐ โค 2)
= 1 โ 0.977250
= 0.02275
= 2.275%
Es decir, 0.91 galones estรกn por encima del calentamiento a 31 minutos, lo que
corresponde al 2.275% de los tiempos de calentamiento son superiores a 31 minutos.
38. Los resultados de una prueba objetiva de selecciรณn hecha a 200 personas indicaron que la
distribuciรณn de puntuaciones era normal, con media 60 puntos y desviaciรณn tรญpica de 6
puntos. Calcular cuรกntos examinados han obtenido una puntuaciรณn entre 30 y 40 puntos, y
ยฟcuรกl es la mรญnima puntuaciรณn por debajo de la cual estรกn el 75 % de los examinados?
๐30 =30 โ 60
6= โ5
๐40 =40 โ 60
6= โ3.33
๐(โ5 < ๐ < โ3.33) = (1 โ ๐(๐ < 3.33)) โ (1 โ ๐(๐ < 5))
๐(โ5 < ๐ < โ3.33) = 0.000434 โ 0
๐(โ5 < ๐ < โ3.33) = 0.000434 โ 0.0434
200 โ 0.000434 = 0.0868 ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
Ha obtenido una puntuaciรณn entre 30 y 40 puntos 1 persona aproximadamente
Ahora, buscamos en la tabla el valor de la variable tipificada de tal manera que sea inferior al
75%, es decir 0.75; รฉste valor es Z = 0.675:
0.675 =๐ โ 60
6
๐ = 0.675 โ 6 + 60 = 64.05
Es decir, la mรญnima puntuaciรณn por debajo de la cual estรกn el 75% de los examinados es 64.05
39. Suponiendo que las tallas de los adultos de un paรญs A siguen una distribuciรณn normal con
media 180 cm. y desviaciรณn tรญpica 5 cm. y que las tallas de los adultos en un paรญs B siguen
una distribuciรณn tambiรฉn normal, pero con media 180 cm. y desviaciรณn tรญpica 15 cm.,
contestar de manera justificada en cuรกl de los dos paรญses es mรกs probable encontrar
adultos con talla superior a 195 cm. y donde es mรกs probable encontrar adultos con talla
comprendida entre 175 y 185 cm.
Paรญs A:
๐195 =195 โ 180
5= 3
๐(๐ > 3) = 1 โ ๐(๐ < 3) = 1 โ 0.998650 = 0.00135
Paรญs B:
๐195 =195 โ 180
15= 1
๐(๐ > 1) = 1 โ ๐(๐ < 1) = 1 โ 0.841345 = 0.158655
Es mรกs probable encontrar adultos con una estatura superior a 195 cm en el paรญs B.
Paรญs A:
๐175 =175 โ 180
5= โ1
๐185 =185 โ 180
5= 1
๐(โ1 < ๐ < 1) = ๐(๐ < 1) โ ๐(๐ < โ1)
๐(โ1 < ๐ < 1) = ๐(๐ < 1) โ (1 โ ๐(๐ < 1)) = 0.841345 โ 0.158655 = 0.68269
Paรญs B:
๐175 =175 โ 180
15= โ0.33
๐185 =185 โ 180
15= 0.33
๐(โ0.33 < ๐ < 0.33) = ๐(๐ < 0.33) โ ๐(๐ < โ0.33)
๐(โ0.33 < ๐ < 0.33) = ๐(๐ < 0.33) โ (1 โ ๐(๐ < 0.33)) = 0.625516 โ 0.374481
= 0.251035
Es mรกs probable encontrar una persona que mida entre 175 y 185cm el paรญs A.