UNA INTRODUCCION A LAS ALGEBRAS NOASOCIATIVASx(yz) 6= (xy)z
Olmer Folleco Solarte
Universidad Nacional de Colombia sede ManizalesManizales - Colombia
21 de abril de 2016
Inicios Cayley-Dickson Alternativas Moufang Jordan Lie Gracias
Inicios
Girolamo Cardano (1501-1576)Introduce los numeros imaginarios usandolos para resolveruna ecuacion de tercer grado. i =
√−1
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)Introduce el termino Numero Complejo, abriendo el caminopara su uso general y sistematico. C = {a+ bi}.
William Rowan Hamilton (1805-1865)Idea los cuaterniones. H = {a+ bi+ cj + dk}.
Arthur Cayley (1821-1895)Da a conocer los Octoniones.O = {x0 + x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4 + x5e5 + x6e6 + x7e7}.
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Inicios Cayley-Dickson Alternativas Moufang Jordan Lie Gracias
Inicios
Girolamo Cardano (1501-1576)Introduce los numeros imaginarios usandolos para resolveruna ecuacion de tercer grado. i =
√−1
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)Introduce el termino Numero Complejo, abriendo el caminopara su uso general y sistematico. C = {a+ bi}.
William Rowan Hamilton (1805-1865)Idea los cuaterniones. H = {a+ bi+ cj + dk}.
Arthur Cayley (1821-1895)Da a conocer los Octoniones.O = {x0 + x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4 + x5e5 + x6e6 + x7e7}.
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Inicios Cayley-Dickson Alternativas Moufang Jordan Lie Gracias
Inicios
Girolamo Cardano (1501-1576)Introduce los numeros imaginarios usandolos para resolveruna ecuacion de tercer grado. i =
√−1
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)Introduce el termino Numero Complejo, abriendo el caminopara su uso general y sistematico. C = {a+ bi}.
William Rowan Hamilton (1805-1865)Idea los cuaterniones. H = {a+ bi+ cj + dk}.
Arthur Cayley (1821-1895)Da a conocer los Octoniones.O = {x0 + x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4 + x5e5 + x6e6 + x7e7}.
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Inicios
Girolamo Cardano (1501-1576)Introduce los numeros imaginarios usandolos para resolveruna ecuacion de tercer grado. i =
√−1
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)Introduce el termino Numero Complejo, abriendo el caminopara su uso general y sistematico. C = {a+ bi}.
William Rowan Hamilton (1805-1865)Idea los cuaterniones. H = {a+ bi+ cj + dk}.
Arthur Cayley (1821-1895)Da a conocer los Octoniones.O = {x0 + x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4 + x5e5 + x6e6 + x7e7}.
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Inicios Cayley-Dickson Alternativas Moufang Jordan Lie Gracias
El paso de R a C
Los complejos se pueden ver como pares ordenados de numeros reales (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
El conjugado de un complejo viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (a2 + b2, 0)
Definimos la norma de un complejo por
|z| = (zz)1/21 .
Ası, si z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21 + b21)(a22 + b22) = (a1b1 − a2b2)2 + (a1b2 + a2b1)2.
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El paso de R a C
Los complejos se pueden ver como pares ordenados de numeros reales (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
El conjugado de un complejo viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (a2 + b2, 0)
Definimos la norma de un complejo por
|z| = (zz)1/21 .
Ası, si z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21 + b21)(a22 + b22) = (a1b1 − a2b2)2 + (a1b2 + a2b1)2.
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El paso de R a C
Los complejos se pueden ver como pares ordenados de numeros reales (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
El conjugado de un complejo viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (a2 + b2, 0)
Definimos la norma de un complejo por
|z| = (zz)1/21 .
Ası, si z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21 + b21)(a22 + b22) = (a1b1 − a2b2)2 + (a1b2 + a2b1)2.
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El paso de R a C
Los complejos se pueden ver como pares ordenados de numeros reales (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
El conjugado de un complejo viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (a2 + b2, 0)
Definimos la norma de un complejo por
|z| = (zz)1/21 .
Ası, si z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21 + b21)(a22 + b22) = (a1b1 − a2b2)2 + (a1b2 + a2b1)2.
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El paso de R a C
Los complejos se pueden ver como pares ordenados de numeros reales (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
El conjugado de un complejo viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (a2 + b2, 0)
Definimos la norma de un complejo por
|z| = (zz)1/21 .
Ası, si z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21 + b21)(a22 + b22) = (a1b1 − a2b2)2 + (a1b2 + a2b1)2.
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El paso de C a H
Los cuaterniones se pueden ver como pares ordenados de numeroscomplejos (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− db, da+ bc)
El conjugado de un cuaternio viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)
Definimos la norma de un cuaternio por
|z| = (zz)1/21 .
Ası, si z1 = ((a1, a2), (b1, b2)) y z2 = ((a′1, a′2), (b′1, b
′2)), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21 + a22 + b21 + b22)(a′12 + a′2
2 + b′12 + b′2
2) = c21 + c22 + c23 + c24.
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El paso de C a H
Los cuaterniones se pueden ver como pares ordenados de numeroscomplejos (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− db, da+ bc)
El conjugado de un cuaternio viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)
Definimos la norma de un cuaternio por
|z| = (zz)1/21 .
Ası, si z1 = ((a1, a2), (b1, b2)) y z2 = ((a′1, a′2), (b′1, b
′2)), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21 + a22 + b21 + b22)(a′12 + a′2
2 + b′12 + b′2
2) = c21 + c22 + c23 + c24.
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El paso de C a H
Los cuaterniones se pueden ver como pares ordenados de numeroscomplejos (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− db, da+ bc)
El conjugado de un cuaternio viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)
Definimos la norma de un cuaternio por
|z| = (zz)1/21 .
Ası, si z1 = ((a1, a2), (b1, b2)) y z2 = ((a′1, a′2), (b′1, b
′2)), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21 + a22 + b21 + b22)(a′12 + a′2
2 + b′12 + b′2
2) = c21 + c22 + c23 + c24.
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El paso de C a H
Los cuaterniones se pueden ver como pares ordenados de numeroscomplejos (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− db, da+ bc)
El conjugado de un cuaternio viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)
Definimos la norma de un cuaternio por
|z| = (zz)1/21 .
Ası, si z1 = ((a1, a2), (b1, b2)) y z2 = ((a′1, a′2), (b′1, b
′2)), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21 + a22 + b21 + b22)(a′12 + a′2
2 + b′12 + b′2
2) = c21 + c22 + c23 + c24.
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El paso de C a H
Los cuaterniones se pueden ver como pares ordenados de numeroscomplejos (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− db, da+ bc)
El conjugado de un cuaternio viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)
Definimos la norma de un cuaternio por
|z| = (zz)1/21 .
Ası, si z1 = ((a1, a2), (b1, b2)) y z2 = ((a′1, a′2), (b′1, b
′2)), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21 + a22 + b21 + b22)(a′12 + a′2
2 + b′12 + b′2
2) = c21 + c22 + c23 + c24.
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El paso de H a OLos octoniones se pueden ver como pares ordenados de cuaternios (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− db, da+ bc)
El conjugado de un octonio viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)
Definimos la norma de un octonio por
|z| = (zz)1/21 .
Nuevamente, si z1 = (((a1, a2), (a3, a4)), ((b1, b2), (b3, b4))) yz2 = (((a′1, a
′2), (a′3, a
′4)), ((b′1, b
′2), (b′3, b
′4))), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21+a22+a23+a24+b21+b22+b23+b24)(a′12+a′2
2+a′32+a′4
2+b′12+b′2
2+b′32+b′4
2) =c21 + c22 + c23 + c24 + c25 + c26 + c27 + c28.
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El paso de H a OLos octoniones se pueden ver como pares ordenados de cuaternios (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− db, da+ bc)
El conjugado de un octonio viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)
Definimos la norma de un octonio por
|z| = (zz)1/21 .
Nuevamente, si z1 = (((a1, a2), (a3, a4)), ((b1, b2), (b3, b4))) yz2 = (((a′1, a
′2), (a′3, a
′4)), ((b′1, b
′2), (b′3, b
′4))), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21+a22+a23+a24+b21+b22+b23+b24)(a′12+a′2
2+a′32+a′4
2+b′12+b′2
2+b′32+b′4
2) =c21 + c22 + c23 + c24 + c25 + c26 + c27 + c28.
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El paso de H a OLos octoniones se pueden ver como pares ordenados de cuaternios (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− db, da+ bc)
El conjugado de un octonio viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)
Definimos la norma de un octonio por
|z| = (zz)1/21 .
Nuevamente, si z1 = (((a1, a2), (a3, a4)), ((b1, b2), (b3, b4))) yz2 = (((a′1, a
′2), (a′3, a
′4)), ((b′1, b
′2), (b′3, b
′4))), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21+a22+a23+a24+b21+b22+b23+b24)(a′12+a′2
2+a′32+a′4
2+b′12+b′2
2+b′32+b′4
2) =c21 + c22 + c23 + c24 + c25 + c26 + c27 + c28.
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El paso de H a OLos octoniones se pueden ver como pares ordenados de cuaternios (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− db, da+ bc)
El conjugado de un octonio viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)
Definimos la norma de un octonio por
|z| = (zz)1/21 .
Nuevamente, si z1 = (((a1, a2), (a3, a4)), ((b1, b2), (b3, b4))) yz2 = (((a′1, a
′2), (a′3, a
′4)), ((b′1, b
′2), (b′3, b
′4))), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21+a22+a23+a24+b21+b22+b23+b24)(a′12+a′2
2+a′32+a′4
2+b′12+b′2
2+b′32+b′4
2) =c21 + c22 + c23 + c24 + c25 + c26 + c27 + c28.
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El paso de H a OLos octoniones se pueden ver como pares ordenados de cuaternios (a, b).
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− db, da+ bc)
El conjugado de un octonio viene dado por
(a, b) = (a,−b)
Luego
(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)
Definimos la norma de un octonio por
|z| = (zz)1/21 .
Nuevamente, si z1 = (((a1, a2), (a3, a4)), ((b1, b2), (b3, b4))) yz2 = (((a′1, a
′2), (a′3, a
′4)), ((b′1, b
′2), (b′3, b
′4))), entonces
|z1z2| = |z1||z2|,
(a21+a22+a23+a24+b21+b22+b23+b24)(a′12+a′2
2+a′32+a′4
2+b′12+b′2
2+b′32+b′4
2) =c21 + c22 + c23 + c24 + c25 + c26 + c27 + c28.
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Algebras de Composicion
Sea A un espacio vectorial sobre un campo F . Un mapeo f : A×A→ F esuna forma bilineal si
f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y),
f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′),
f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y).
f es simetrica si f(x, y) = f(y, x).
f es no degenerada si f(a, x) = 0 para toda x, se sigue que a = 0.
Un mapeo n : A→ F es una forma cuadratica si
n(λx) = λ2n(x),
f(x, y) = n(x+ y)− n(x)− n(y) es una forma bilineal.
n es estrictamente no degenerada si f es no degenerada.
Un algebra A con 1, sobre un campo F , con forma cuadratica n es unalgebra de composicion si
n(xy) = n(x)n(y),
n es estrictamente no degenerada.
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Algebras de Composicion
Sea A un espacio vectorial sobre un campo F . Un mapeo f : A×A→ F esuna forma bilineal si
f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y),
f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′),
f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y).
f es simetrica si f(x, y) = f(y, x).
f es no degenerada si f(a, x) = 0 para toda x, se sigue que a = 0.
Un mapeo n : A→ F es una forma cuadratica si
n(λx) = λ2n(x),
f(x, y) = n(x+ y)− n(x)− n(y) es una forma bilineal.
n es estrictamente no degenerada si f es no degenerada.
Un algebra A con 1, sobre un campo F , con forma cuadratica n es unalgebra de composicion si
n(xy) = n(x)n(y),
n es estrictamente no degenerada.
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Algebras de Composicion
Sea A un espacio vectorial sobre un campo F . Un mapeo f : A×A→ F esuna forma bilineal si
f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y),
f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′),
f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y).
f es simetrica si f(x, y) = f(y, x).
f es no degenerada si f(a, x) = 0 para toda x, se sigue que a = 0.
Un mapeo n : A→ F es una forma cuadratica si
n(λx) = λ2n(x),
f(x, y) = n(x+ y)− n(x)− n(y) es una forma bilineal.
n es estrictamente no degenerada si f es no degenerada.
Un algebra A con 1, sobre un campo F , con forma cuadratica n es unalgebra de composicion si
n(xy) = n(x)n(y),
n es estrictamente no degenerada.
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Algebras de Composicion
Sea A un espacio vectorial sobre un campo F . Un mapeo f : A×A→ F esuna forma bilineal si
f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y),
f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′),
f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y).
f es simetrica si f(x, y) = f(y, x).
f es no degenerada si f(a, x) = 0 para toda x, se sigue que a = 0.
Un mapeo n : A→ F es una forma cuadratica si
n(λx) = λ2n(x),
f(x, y) = n(x+ y)− n(x)− n(y) es una forma bilineal.
n es estrictamente no degenerada si f es no degenerada.
Un algebra A con 1, sobre un campo F , con forma cuadratica n es unalgebra de composicion si
n(xy) = n(x)n(y),
n es estrictamente no degenerada.
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Algebras de Composicion
Sea A un espacio vectorial sobre un campo F . Un mapeo f : A×A→ F esuna forma bilineal si
f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y),
f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′),
f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y).
f es simetrica si f(x, y) = f(y, x).
f es no degenerada si f(a, x) = 0 para toda x, se sigue que a = 0.
Un mapeo n : A→ F es una forma cuadratica si
n(λx) = λ2n(x),
f(x, y) = n(x+ y)− n(x)− n(y) es una forma bilineal.
n es estrictamente no degenerada si f es no degenerada.
Un algebra A con 1, sobre un campo F , con forma cuadratica n es unalgebra de composicion si
n(xy) = n(x)n(y),
n es estrictamente no degenerada.
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Algebras de Composicion
Sea A un espacio vectorial sobre un campo F . Un mapeo f : A×A→ F esuna forma bilineal si
f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y),
f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′),
f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y).
f es simetrica si f(x, y) = f(y, x).
f es no degenerada si f(a, x) = 0 para toda x, se sigue que a = 0.
Un mapeo n : A→ F es una forma cuadratica si
n(λx) = λ2n(x),
f(x, y) = n(x+ y)− n(x)− n(y) es una forma bilineal.
n es estrictamente no degenerada si f es no degenerada.
Un algebra A con 1, sobre un campo F , con forma cuadratica n es unalgebra de composicion si
n(xy) = n(x)n(y),
n es estrictamente no degenerada.
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Cayley-Dickson en general
Un endomorfismo a→ a de un algebra A sobre un campo F es unainvolucion si
¯a = a y ab = ba.
Fijemos 0 6= α ∈ F y sea (A,α) = {(a1, a2)/ai ∈ A} una nueva algebra
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− αdb, da+ bc)
Sobre (A,α) definimos la siguiente involucion
(a, b) = (a,−b)
La forma cuadratica n(x) = xx es estrictamente no degenerada sobre (A,α).
Teorema
Si A es un algebra de composicion, entonces (A,α) es un algebra decomposicion si, y solo si A es asociativa.
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UNA INTRODUCCION A LAS ALGEBRAS NO ASOCIATIVAS, x(yz) 6= (xy)z
Inicios Cayley-Dickson Alternativas Moufang Jordan Lie Gracias
Cayley-Dickson en general
Un endomorfismo a→ a de un algebra A sobre un campo F es unainvolucion si
¯a = a y ab = ba.
Fijemos 0 6= α ∈ F y sea (A,α) = {(a1, a2)/ai ∈ A} una nueva algebra
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− αdb, da+ bc)
Sobre (A,α) definimos la siguiente involucion
(a, b) = (a,−b)
La forma cuadratica n(x) = xx es estrictamente no degenerada sobre (A,α).
Teorema
Si A es un algebra de composicion, entonces (A,α) es un algebra decomposicion si, y solo si A es asociativa.
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Cayley-Dickson en general
Un endomorfismo a→ a de un algebra A sobre un campo F es unainvolucion si
¯a = a y ab = ba.
Fijemos 0 6= α ∈ F y sea (A,α) = {(a1, a2)/ai ∈ A} una nueva algebra
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− αdb, da+ bc)
Sobre (A,α) definimos la siguiente involucion
(a, b) = (a,−b)
La forma cuadratica n(x) = xx es estrictamente no degenerada sobre (A,α).
Teorema
Si A es un algebra de composicion, entonces (A,α) es un algebra decomposicion si, y solo si A es asociativa.
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Cayley-Dickson en general
Un endomorfismo a→ a de un algebra A sobre un campo F es unainvolucion si
¯a = a y ab = ba.
Fijemos 0 6= α ∈ F y sea (A,α) = {(a1, a2)/ai ∈ A} una nueva algebra
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− αdb, da+ bc)
Sobre (A,α) definimos la siguiente involucion
(a, b) = (a,−b)
La forma cuadratica n(x) = xx es estrictamente no degenerada sobre (A,α).
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Si A es un algebra de composicion, entonces (A,α) es un algebra decomposicion si, y solo si A es asociativa.
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Cayley-Dickson en general
Un endomorfismo a→ a de un algebra A sobre un campo F es unainvolucion si
¯a = a y ab = ba.
Fijemos 0 6= α ∈ F y sea (A,α) = {(a1, a2)/ai ∈ A} una nueva algebra
Suma: componente a componente.
Producto: (a, b)(c, d) = (ac− αdb, da+ bc)
Sobre (A,α) definimos la siguiente involucion
(a, b) = (a,−b)
La forma cuadratica n(x) = xx es estrictamente no degenerada sobre (A,α).
Teorema
Si A es un algebra de composicion, entonces (A,α) es un algebra decomposicion si, y solo si A es asociativa.
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Algebras alternativas
Un algebra A sobre un campo F es llamada alternativa si
x2y = x(xy),yx2 = (yx)x.
Si A es un algebra de composicion, entonces A es alternativa.
(A,α) es alternativa si, y solo si A es asociativa.
(A,α) es asociativa si, y solo si A es asociativa y conmutativa.
En un algebra alternativa, cualquier par de elementos generan un algebraasociativa.
Toda algebra alternativa A es de potencias asociativas. Esto es, cadaelemento en A genera un algebra asociativa.
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Algebras alternativas
Un algebra A sobre un campo F es llamada alternativa si
x2y = x(xy),yx2 = (yx)x.
Si A es un algebra de composicion, entonces A es alternativa.
(A,α) es alternativa si, y solo si A es asociativa.
(A,α) es asociativa si, y solo si A es asociativa y conmutativa.
En un algebra alternativa, cualquier par de elementos generan un algebraasociativa.
Toda algebra alternativa A es de potencias asociativas. Esto es, cadaelemento en A genera un algebra asociativa.
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Algebras alternativas
Un algebra A sobre un campo F es llamada alternativa si
x2y = x(xy),yx2 = (yx)x.
Si A es un algebra de composicion, entonces A es alternativa.
(A,α) es alternativa si, y solo si A es asociativa.
(A,α) es asociativa si, y solo si A es asociativa y conmutativa.
En un algebra alternativa, cualquier par de elementos generan un algebraasociativa.
Toda algebra alternativa A es de potencias asociativas. Esto es, cadaelemento en A genera un algebra asociativa.
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Algebras alternativas
Un algebra A sobre un campo F es llamada alternativa si
x2y = x(xy),yx2 = (yx)x.
Si A es un algebra de composicion, entonces A es alternativa.
(A,α) es alternativa si, y solo si A es asociativa.
(A,α) es asociativa si, y solo si A es asociativa y conmutativa.
En un algebra alternativa, cualquier par de elementos generan un algebraasociativa.
Toda algebra alternativa A es de potencias asociativas. Esto es, cadaelemento en A genera un algebra asociativa.
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Algebras alternativas
Un algebra A sobre un campo F es llamada alternativa si
x2y = x(xy),yx2 = (yx)x.
Si A es un algebra de composicion, entonces A es alternativa.
(A,α) es alternativa si, y solo si A es asociativa.
(A,α) es asociativa si, y solo si A es asociativa y conmutativa.
En un algebra alternativa, cualquier par de elementos generan un algebraasociativa.
Toda algebra alternativa A es de potencias asociativas. Esto es, cadaelemento en A genera un algebra asociativa.
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Algebras alternativas
Un algebra A sobre un campo F es llamada alternativa si
x2y = x(xy),yx2 = (yx)x.
Si A es un algebra de composicion, entonces A es alternativa.
(A,α) es alternativa si, y solo si A es asociativa.
(A,α) es asociativa si, y solo si A es asociativa y conmutativa.
En un algebra alternativa, cualquier par de elementos generan un algebraasociativa.
Toda algebra alternativa A es de potencias asociativas. Esto es, cadaelemento en A genera un algebra asociativa.
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Flexibles y Moufang
Un algebra A sobre un campo F es flexible si
x(yx) = (xy)x.
Un algebra M sobre un campo F se llama de Moufang si es flexible y
x(yzy) = ((xy)z)y,
(yzy)x = y(z(yx)),
(xy)(zx) = x(yz)x.
Teorema
Toda algebra alternativa es de Moufang.
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Flexibles y Moufang
Un algebra A sobre un campo F es flexible si
x(yx) = (xy)x.
Un algebra M sobre un campo F se llama de Moufang si es flexible y
x(yzy) = ((xy)z)y,
(yzy)x = y(z(yx)),
(xy)(zx) = x(yz)x.
Teorema
Toda algebra alternativa es de Moufang.
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Flexibles y Moufang
Un algebra A sobre un campo F es flexible si
x(yx) = (xy)x.
Un algebra M sobre un campo F se llama de Moufang si es flexible y
x(yzy) = ((xy)z)y,
(yzy)x = y(z(yx)),
(xy)(zx) = x(yz)x.
Teorema
Toda algebra alternativa es de Moufang.
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Algebras de Jordan
Las algebras de Jordan aparecen en 1933, en un trabajo delfısico aleman Pascual Jordan sobre fundamentacionaxiomatica de la mecanica cuantica, para formalizar lanocion de un algebra de observables.
Un algebra de Jordan sobre un cuerpo F de caraterıstica 6= 2 es unespacio vectorial J con una operacion binaria bilineal (x, y)→ xy quesatisface
xy = yx,(x2y)x = x2(yx).
Teorema
Toda algebra de Moufang es de Jordan.
Si A es un algebra asociativa sobre un campo F , charF 6= 2, entonces elalgebra A+ = (A+,+, ◦), donde a ◦ b = 1
2(ab+ ba), es un algebra de Jordan.
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Algebras de Jordan
Las algebras de Jordan aparecen en 1933, en un trabajo delfısico aleman Pascual Jordan sobre fundamentacionaxiomatica de la mecanica cuantica, para formalizar lanocion de un algebra de observables.
Un algebra de Jordan sobre un cuerpo F de caraterıstica 6= 2 es unespacio vectorial J con una operacion binaria bilineal (x, y)→ xy quesatisface
xy = yx,(x2y)x = x2(yx).
Teorema
Toda algebra de Moufang es de Jordan.
Si A es un algebra asociativa sobre un campo F , charF 6= 2, entonces elalgebra A+ = (A+,+, ◦), donde a ◦ b = 1
2(ab+ ba), es un algebra de Jordan.
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Algebras de Jordan
Las algebras de Jordan aparecen en 1933, en un trabajo delfısico aleman Pascual Jordan sobre fundamentacionaxiomatica de la mecanica cuantica, para formalizar lanocion de un algebra de observables.
Un algebra de Jordan sobre un cuerpo F de caraterıstica 6= 2 es unespacio vectorial J con una operacion binaria bilineal (x, y)→ xy quesatisface
xy = yx,(x2y)x = x2(yx).
Teorema
Toda algebra de Moufang es de Jordan.
Si A es un algebra asociativa sobre un campo F , charF 6= 2, entonces elalgebra A+ = (A+,+, ◦), donde a ◦ b = 1
2(ab+ ba), es un algebra de Jordan.
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Algebras de Jordan
Las algebras de Jordan aparecen en 1933, en un trabajo delfısico aleman Pascual Jordan sobre fundamentacionaxiomatica de la mecanica cuantica, para formalizar lanocion de un algebra de observables.
Un algebra de Jordan sobre un cuerpo F de caraterıstica 6= 2 es unespacio vectorial J con una operacion binaria bilineal (x, y)→ xy quesatisface
xy = yx,(x2y)x = x2(yx).
Teorema
Toda algebra de Moufang es de Jordan.
Si A es un algebra asociativa sobre un campo F , charF 6= 2, entonces elalgebra A+ = (A+,+, ◦), donde a ◦ b = 1
2(ab+ ba), es un algebra de Jordan.
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Algebras de Jordan
Si un algebra de Jordan es isomorfa con una subalgebra del algebra A+,para algun algebra asociativa A, entonces se llama especial, caso contrariose llama excepcional.
Los principales ejemplos de algebras de Jordan son:
Algebras de tipo Hermitiano H(A, ∗): Subespacios de elementos simetricos enalgebras asociativas con involucion, con respecto al producto simetrico a ◦ b.Algebras de tipo Clifford J(V, f): J(V, f) = F · 1 + V , donde V es un espaciovectorial, f una forma bilineal simetrica, 1 es un elemento identidad de J yu · v = f(u, v) · 1 para u, v ∈ V .
Algebras de tipo Albert H(O): Espacios de matrices Hermitianas 3× 3 sobrelos Octoniones, con respecto al producto simetrico a ◦ b.
Las algebras de tipo Hermitiano y Clifford son especiales y las de tipoAlbert son excepcionales.
Teorema
(E. Zelmanov, 1983) Toda algebra de Jordan simple es de alguno de lostipos Hermitiano, Clifford o Albert.
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Algebras de Jordan
Si un algebra de Jordan es isomorfa con una subalgebra del algebra A+,para algun algebra asociativa A, entonces se llama especial, caso contrariose llama excepcional.
Los principales ejemplos de algebras de Jordan son:
Algebras de tipo Hermitiano H(A, ∗): Subespacios de elementos simetricos enalgebras asociativas con involucion, con respecto al producto simetrico a ◦ b.Algebras de tipo Clifford J(V, f): J(V, f) = F · 1 + V , donde V es un espaciovectorial, f una forma bilineal simetrica, 1 es un elemento identidad de J yu · v = f(u, v) · 1 para u, v ∈ V .
Algebras de tipo Albert H(O): Espacios de matrices Hermitianas 3× 3 sobrelos Octoniones, con respecto al producto simetrico a ◦ b.
Las algebras de tipo Hermitiano y Clifford son especiales y las de tipoAlbert son excepcionales.
Teorema
(E. Zelmanov, 1983) Toda algebra de Jordan simple es de alguno de lostipos Hermitiano, Clifford o Albert.
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Si un algebra de Jordan es isomorfa con una subalgebra del algebra A+,para algun algebra asociativa A, entonces se llama especial, caso contrariose llama excepcional.
Los principales ejemplos de algebras de Jordan son:
Algebras de tipo Hermitiano H(A, ∗): Subespacios de elementos simetricos enalgebras asociativas con involucion, con respecto al producto simetrico a ◦ b.Algebras de tipo Clifford J(V, f): J(V, f) = F · 1 + V , donde V es un espaciovectorial, f una forma bilineal simetrica, 1 es un elemento identidad de J yu · v = f(u, v) · 1 para u, v ∈ V .
Algebras de tipo Albert H(O): Espacios de matrices Hermitianas 3× 3 sobrelos Octoniones, con respecto al producto simetrico a ◦ b.
Las algebras de tipo Hermitiano y Clifford son especiales y las de tipoAlbert son excepcionales.
Teorema
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Algebras de Jordan
Si un algebra de Jordan es isomorfa con una subalgebra del algebra A+,para algun algebra asociativa A, entonces se llama especial, caso contrariose llama excepcional.
Los principales ejemplos de algebras de Jordan son:
Algebras de tipo Hermitiano H(A, ∗): Subespacios de elementos simetricos enalgebras asociativas con involucion, con respecto al producto simetrico a ◦ b.Algebras de tipo Clifford J(V, f): J(V, f) = F · 1 + V , donde V es un espaciovectorial, f una forma bilineal simetrica, 1 es un elemento identidad de J yu · v = f(u, v) · 1 para u, v ∈ V .
Algebras de tipo Albert H(O): Espacios de matrices Hermitianas 3× 3 sobrelos Octoniones, con respecto al producto simetrico a ◦ b.
Las algebras de tipo Hermitiano y Clifford son especiales y las de tipoAlbert son excepcionales.
Teorema
(E. Zelmanov, 1983) Toda algebra de Jordan simple es de alguno de lostipos Hermitiano, Clifford o Albert.
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Algebras de Lie
Un algebra L sobre un campo F se llama de Lie si
xy = −xy,
(xy)z + (yz)x+ (zx)y = 0.
Dada un algebra asociativa A sobre un campo F , podemos definir un nuevoproducto en A
a • b = ab− ba.
La nueva algebra A− = (A, •) es un algebra de Lie.
Teorema
Toda algebra de Lie L se puede obtener de la forma A−.
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Algebras de Lie
Un algebra L sobre un campo F se llama de Lie si
xy = −xy,
(xy)z + (yz)x+ (zx)y = 0.
Dada un algebra asociativa A sobre un campo F , podemos definir un nuevoproducto en A
a • b = ab− ba.
La nueva algebra A− = (A, •) es un algebra de Lie.
Teorema
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Algebras de Lie
Un algebra L sobre un campo F se llama de Lie si
xy = −xy,
(xy)z + (yz)x+ (zx)y = 0.
Dada un algebra asociativa A sobre un campo F , podemos definir un nuevoproducto en A
a • b = ab− ba.
La nueva algebra A− = (A, •) es un algebra de Lie.
Teorema
Toda algebra de Lie L se puede obtener de la forma A−.
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Algebras de Lie
Un algebra L sobre un campo F se llama de Lie si
xy = −xy,
(xy)z + (yz)x+ (zx)y = 0.
Dada un algebra asociativa A sobre un campo F , podemos definir un nuevoproducto en A
a • b = ab− ba.
La nueva algebra A− = (A, •) es un algebra de Lie.
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Gracias Susa
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