Date post: | 29-Mar-2016 |
Category: |
Documents |
Upload: | luis-yarleque |
View: | 225 times |
Download: | 2 times |
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Investigación Operativa I
Catedrático:Ing. MBA José Alberto Villanueva Herrera
Trabajo final: Unidad II: Solución modelos de programación lineal de más de dos variables y
sensibilidad de resultados usando software aplicado.
Integrantes del equipo:Delgado Rivera, Jhon Osvaldo
Donayre Sosa, Luis AbelHernández Enríquez, Alma RosaYarleque Herrera, Luis Eduardo
La Molina, Lima Perú, 05/11/2011
Resumen
Objetivo de la programación lineal:
Comprender y construir modelos matemáticos para la optimización de recursos en
las áreas de producción, planeación, control, inversión, transporte y asignación.
Identificar las componentes de un modelo de optimización lineal.
La importancia de la programación lineal:
Ciertos problemas se describen fácilmente a través de la programación lineal.
Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.
La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación
lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones sobre el “qué
pasa si”.
Objetivo del Análisis de Sensibilidad:
Comprender y aplicar técnicas de sensibilidad para mantener la estabilidad del
sistema base óptima e interpretar sus resultados.
Comprender y aplicar técnicas de sensibilidad para conocer el comportamiento de
la base óptima ante cambios en alguna de las componentes del modelo e
interpretar sus resultados.
Comprender y aplicar el algoritmo dual para tratamiento de la infactibilidad e
interpretar sus resultados.
Utilizar paquetes computaciones en la solución de casos.
Descripción del tema:Solución de modelos de programación lineal de más de dos variables y
sensibilidad de resultados usando software aplicados.
Pregunta principal:
1 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
¿Cuál sería la solución que se aplicaría en un proyecto realizado en la ciudad de
Lima, que tiene más de dos variables, para poder obtener un resultado óptimo en
un corto plazo?
Explicación del campo temático al que pertenece y la explicación de por
qué lo elegimos.
Enunciados de las preguntas secundarias que consideran relevantes. Ordenadas
respecto a la pregunta principal: ¿Qué? ¿Cómo? ¿Quién? ¿Cuándo? ¿Por qué?
¿Dónde?
Descripción breve respecto al tema y a las preguntas planteadas.
Modelos Matemáticos y sus Clasificaciones:
Modelos lineales
Modelos no lineales Programación Lineal
Generalidades del modelo de Programación Lineal
2 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Contenido
Resumen............................................................................................................................................1
...........................................................................................................................................................3
Introducción.......................................................................................................................................4
Marco Teórico....................................................................................................................................5
Método............................................................................................................................................21
Resultados........................................................................................................................................25
Conclusiones....................................................................................................................................27
Referencias.......................................................................................................................................27
Apéndices.........................................................................................................................................28
.
3 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
.
.
Introducción
Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los
avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una
herramienta común que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y
negocios, incluyendo industrias medianas en distintos países del mundo. ¿Cuál es la
naturaleza de esta notable herramienta y qué tipo de problemas puede manejar?
Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de
asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es
decir, en forma óptima). Este problema de asignación puede surgir cuando deba elegirse
el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos para realizarlas. La
variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy
grande, y va desde la asignación de instalaciones productivas a los productos, hasta la
asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la planeación
agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación; etc. No obstante, el ingrediente
común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades.
Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo
tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se tiene el criterio de frescura,
tamaño, tipo (blanco, integral u otro), costo y rebanado o sin rebanar. Se puede ir un paso
más adelante y dividir estos criterios en dos categorías: restricciones y el objetivo. Las
restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo
consideración. Si más de una alternativa satisfacen todas las restricciones, el objetivo se
usa para seleccionar entre todas las alternativas factibles. Cuando se elige una pieza de
pan, pueden quererse 100 gr. de pan blanco rebanado y hecho no antes de ayer. Si varias
4 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
marcas satisfacen estas restricciones, puede aplicarse el objetivo de un costo mínimo y
escoger las más barata.
Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar de
minimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. un corredor
de inversiones, por ejemplo, trata de maximizar el rendimiento sobre los fondos invertidos
pero las posibles inversiones están restringidas por las leyes y las políticas bancarias. Un
hospital debe planear que las comidas para los pacientes satisfagan ciertas restricciones
sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de
minimizar el costo. Un fabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo
al mismo tiempo cómo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad
de producción, los inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La PL se ha aplicado
con éxito a estos y otros problemas.
La PL es una técnica determinista, no incluye probabilidades y utiliza un modelo
matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones
matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra
programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo
de planeación. Así, la PL trata la planeación de las actividades para obtener un resultado
óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo)
entre todas las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades
es la aplicación más frecuente, la PL tiene muchas otras posibilidades. De hecho,
cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de
PL es un problema de PL.
Marco Teórico
Programación Lineal (PL)
Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver
la siguiente situación.
El objetivo es Optimizar, una función objetivo, lo cual implica maximizar o minimizar una
función lineal de varias variables sujeta a: una serie de restricciones ó limitaciones,
expresadas por inecuaciones o ecuaciones lineales.
5 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Se aplica a problemas de economía, administración, militares, agrícolas, alimenticios, de
transporte, de salud, etc., que están relacionados con la optimización, maximización ó
minimización de una función objetivo sujeta a un sistema de igualdades o desigualdades.
Las funciones de ganancia y de costo son ejemplos de funciones objetivos.
Como se mencionó anteriormente la Función Objetivo se encuentra sujeta a un conjunto
de restricciones o limitaciones como puede ser limitaciones al uso de un recurso, como
ejemplo podemos citar limitaciones a materia prima o materiales, horas de trabajo, mano
de obra, dinero disponible, etc. Este tipo de problemas se los conoce como problemas de
decisión que a la vez se pueden expresar en forma matemática, aquellos problemas
donde la función objetivo y las restricciones se expresan como ecuaciones o
desigualdades lineales se llaman problemas de programación lineal.
La programación lineal ofrece bases para desarrollar otros métodos de solución o técnicas
de Investigación Operativa como programación entera, estocástica y la no lineal.
Un problema es lineal porque su función objetivo y restricciones que se imponen al
sistema son lineales, quiere decir que cumplen con las propiedades de proporcionalidad y
Aditividad.
Proporcionalidad: El valor de cada variable, X1, X2……..Xn debe ser directamente
proporcional en la función objetivo y uso de los recursos, o sea que las variaciones de las
variables deben afectar en forma proporcional a la función objetivo y al conjunto de
restricciones.
Aditividad: Requiere que la función objetivo sea la suma directa de las contribuciones
de cada variable y las restricciones deben ser la suma de los usos individuales de cada
variable del recurso correspondiente. Como ejemplo podemos mencionar dos productos
que compiten en el mercado, si el aumento en la venta de uno de ellos hace que la venta
del otro sea menor, entonces ambos productos no satisfacen la condición de Aditividad.
Solución gráfica de problemas de PL
El análisis gráfico es eficiente para enfrentar la resolución de modelos de Programación
Lineal con 2 variables, donde el dominio de puntos factibles (en caso de existir) se
encontrará en el primer cuadrante (restricciones de no negatividad que se imponen al
modelo), como producto de la intersección de las distintas restricciones del problema
6 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
lineal. Para modelos con 3 ó más variables la solución gráfica es imposible de aplicar, por
lo cual resolvemos los mismos mediante cálculos analíticos.
Una de las propiedades básicas de un modelo de Programación Lineal que admite
solución, es que ésta se encontrará en el vértice o frontera (tramo) del dominio de puntos
factibles, a este espacio factible de soluciones se lo llama polígono de soluciones, todos
los puntos dentro de éste espacio gráfico, y sobre las líneas exteriores que lo forman son
puntos factibles de solución, la solución óptima se encontrará en un punto extremo del
polígono. Es decir, luego de graficar el dominio ó polígono, evaluamos los distintos
vértices de modo de elegir "el mejor" candidato según sea nuestro caso (el valor de la
función objetivo será la que nos permitirá discriminar cual es el mejor candidato
dependiendo si estamos maximizando o minimizando).
Ejemplo:
Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de
acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos
invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del
tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la
inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo
interés anual?
Para construir el modelo matemático de este problema debemos:
1) Determinar qué resultado buscamos, ¿Cuáles son las variables del problema?
2) ¿Qué restricciones ó limitaciones se imponen a las variables y a la función
objetivo?
3) ¿Cuál es el objetivo que debe alcanzarse para determinar la Solución óptima, de
entre todos los valores factibles de las variables?
Hacemos un resumen verbal del problema, en este caso debemos determinar cuánto
invertir en acciones de tipo A y en acciones de tipo B para maximizar el interés anual,
satisfaciendo las restricciones que se imponen en cuanto a la disponibilidad de dinero e
inversión máxima y mínima para cada acción.
1) Identificar las variables: Como necesitamos determinar las cantidades a invertir
para cada acción que cotiza en la bolsa. Llamamos x a la cantidad que invertimos
en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo
B.
7 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
2) Determinamos todas las restricciones que se imponen al sistema: Existe una restricción en cuanto al dinero total a invertir en ambas acciones.
Una restricción de inversión máxima en acciones de tipo A.
Una restricción de inversión mínima en acciones de tipo B.
Una restricción que impone que lo invertido en A debe ser menor al doble de lo
invertido en B.
Debemos considerar en todos los casos las restricciones de no negatividad.
Restricciones:
1º x + y <=210000,00
2º x <=130000
3º y >=60000
4º x <=2y
5º x, y >=0
3) Determinación de la Función Objetivo
Como dato contamos con el rendimiento de la inversión para cada acción, por lo
tanto la función objetivo será la maximización total del rendimiento de lo invertido.
Si llamamos Z a la maximización total del rendimiento, F (Z) se define como
Max Z = 0,10 x + 0,08 y los valores de las variable x e y constituyen soluciones
factibles, se respetan todas la restricciones que se imponen al modelo.
Definimos el modelo matemático completo como:
Max Z = 0,10 x + 0,08 y (Sujeto a: un conjunto de restricciones)
1º x + y <=210000,00
2º x <=130000
3º y >=60000
4º x <=2y
5º x e y >=0
8 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Un vez que construimos el modelo debemos solucionarlo, como se trata de un modelo
con 2 variables la solución se puede encontrar en forma gráfica.
Graficamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región
factible o polígono de soluciones (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones).
Para graficar las rectas convertimos las desigualdades en igualdades y damos valor cero
a una de las variables, obteniendo el valor de la otra, tomamos como ejemplo la
Restricción 1º:
1º x + y =210000,00 Si x=0 y=210000,00 Si y=0 x=210000,00
Para determinar el polígono de soluciones debemos identificar el área que abarca cada
desigualdad siguiendo el sentido de la misma, ya que el polígono está formado por el área
común a todas las restricciones, para esto analizamos un punto en el gráfico y
determinamos si cumple con la desigualdad, según se detalla:
1º x + y <=210000,00 podemos analizar el punto x=0, y=0 (origen) entonces si
reemplazamos en la desigualdad 0 + 0 <=210000, cumple con la desigualdad por lo tanto
el área que abarca la misma incorpora al origen (punto analizado). Cuando la recta
asociada a la desigualdad pasa por el origen como se observa en la
Restricción 4º
4º x <=2y analizamos un punto distinto al origen como puede ser x=40 (en miles),
y=0 entonces si reemplazamos en la desigualdad 40 <=0, en este caso no cumple con la
misma y por lo tanto abarca el área contraria al punto analizado.
9 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.Ilustración 1.- Grafica de la Restricciones.
Nota: La representación gráfica se realiza en programa Tora. Considere que los valores
tanto en la ordenada como en la abscisa deben tomarse en miles de unidades
monetarias.
Si dibujamos la curva de la función Z dando un valor arbitrario a la misma (en azul) y la
desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice más alejado es el punto D
(130000, 80000), y por tanto es la solución óptima, porque estamos maximizando la
función Z, en este punto Z = 19400,00; llega a su máximo valor. Este resultado se puede
verificar en forma analítica resolviendo las intersecciones de los puntos A, B, C, D y E que
son los puntos extremos del polígono de soluciones.
Punto A: Definido por la ecuación 3 y la ordenada (y)
3º y =60000 x= 0 Z= 4.800,00
Punto B: Definido por las ecuaciones 3 y 4.
3º y =60000
4º x =2y x=120000 y=60000 Z= 16.800,00
Punto C: Definido por las ecuaciones 2 y 4.
2º x =130000
4º x =2y x=130000 y=65000 Z= 18.200,00
Punto D: Definido por las ecuaciones 1 y 2.
1º x + y =210000,00
2º x =130000 x=130000 y= 80000 Z= 19.400,00 Solución óptima.
Punto E: Definido por la ecuación 1 y la ordenada (y).
1º x + y =210000,00 x=0 y=210000 Z= 16.800,00
Respuesta: El problema pide
¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
La distribución de la inversión debe ser de 130000,00 euros en acciones de tipo A y
80000 en acciones de tipo B, el máximo interés corresponde a Z=16800,00 euros.
10 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Cuando la función objetivo es la Minimización la curva de Z se desplaza en este sentido,
el punto óptimo será el vértice del polígono o espacio no acotado más cercano al origen,
como se observa en el siguiente ejemplo.
Modelo de Programación Matemática lineal
La programación matemática es una potente técnica de modelado usada en el proceso de
toma de decisiones. Cuando se trata de resolver un problema de este tipo, la primera
etapa consiste en identificar las posibles decisiones que pueden tomarse; esto lleva a
identificar las variables del problema concreto. Normalmente, las variables son de carácter
cuantitativo y se buscan los valores que optimizan el objetivo. La segunda etapa supone
determinar qué decisiones resultan admisibles; esto conduce a un conjunto de
restricciones que se determinan teniendo presente la naturaleza del problema en
cuestión. En la tercera etapa, se calcula el coste/beneficio asociado a cada decisión
admisible; esto supone determinar una función objetivo que asigna, a cada conjunto
posible de valores para las variables que determinan una decisión, un valor de
coste/beneficio. El conjunto de todos estos elementos define el problema de optimización.
La programación lineal (PL), que trata exclusivamente con funciones objetivos y
restricciones lineales, es una parte de la programación matemática, y una de las áreas
más importantes de la matemática aplicada.
La programación lineal requiere identificar cuatro componentes básicos:
1. El conjunto de datos.2. El conjunto de variables involucradas en el problema, junto con sus dominios
respectivos de definición.
3. El conjunto de restricciones lineales del problema que definen el conjunto de
soluciones admisibles.
4. La función lineal que debe ser optimizada (minimizada o maximizada).
[1] Enrique Castillo, 20 de febrero de 2002, págs. 3 ,4
El objeto de la programación lineal, es optimizar (minimizar o maximizar) una función
lineal de n variables sujeto a restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Más
formalmente, se dice que un problema de programación lineal consiste en encontrar el
11 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
óptimo (máximo o mínimo) de una función lineal en un conjunto que puede expresarse
como la intersección de un número finito de hiperplanos y semiespacios en Rn.
Partamos de las siguientes definiciones formales que Enrique Castillo nos menciona en su
libro: “Formulación y resolución de modelos de programación matemática en ingeniería y
ciencia” [1].
Definición 1.- (Problema de programación lineal). La forma más general de un problema
de programación lineal (PPL) cosiste en minimizar o maximizar
Z = f(x) = ∑n j=1
cj xj [1.1]
Sujeto a:
∑n j=1
aij xj = bi, i = 1, 2, … p-1
∑n j=1
aij xj >= bi, i = p,…,q-1 [1.2]
∑n j=1
aij xj <= bi, i = q,…,m
Lo que distingue un problema de programación lineal de cualquier otro problema de
optimización es que todas las funciones que en ´el intervienen son lineales. Una única
función no lineal hace que el problema no pueda clasificarse como problema de
programación lineal.
La función (lineal) en (1.1) se denomina función objetivo o función de coste, y es la
función de ha de optimizarse. Obsérvese que en (1.2) se presentan todas las posibles
alternativas en lo que se refiere a los operadores que relacionan los dos términos de las
restricciones (lineales), dependiendo de los valores p y q. Como casos especiales, el
problema puede tener exclusivamente restricciones de igualdad, de desigualdad de un
tipo, de desigualdad del otro tipo, desigualdades de ambos tipos, igualdades y
desigualdades, etc.
Definición 2.- (Solución factible). Un punto x = (x1, x2,..., xn) que satisface todas las
restricciones (1.2) se denomina solución factible. El conjunto de todas esas soluciones es
la región de factibilidad.
12 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Definición 3.- (Solución óptima). Un punto factible ˜x tal que f(x) ≥ f(˜x) para cualquier
otro punto factible x se denomina una solución óptima del problema.
El objetivo de los problemas de optimización es encontrar un óptimo global. Sin embargo,
las condiciones de optimalidad sólo garantizan, en general, óptimos locales, si éstos
existen. Sin embargo, los problemas lineales presentan propiedades que hacen posible
garantizar el óptimo global.
Para la formulación del problema debemos considerar lo siguiente:
Si la región factible está acotada, el problema siempre tiene una solución (ésta es
una condición suficiente pero no necesaria para que exista una solución).
El óptimo de un problema de programación lineal es siempre un óptimo global.
Si x y y son soluciones óptimas de un problema de programación lineal, entonces
cualquier combinación (lineal) convexa de los mismos también es una solución
óptima. Obsérvese que las combinaciones convexas de puntos con el mismo valor
de la función de coste presentan el mismo valor de la función de coste.
La solución óptima se alcanza siempre, al menos, en un punto extremo de la
región factible.
[1] Enrique Castillo, 20 de febrero de 2002, págs. 75,76 y 77.
Análisis de sensibilidadAhora veamos lo que nos dice Jorge Álvarez, en su libro “Investigación de Operaciones”
[3], con respecto al Análisis de Sensibilidad
En aplicaciones prácticas a menudo ocurre que no solamente interesa la solución del
problema propuesto sino también se desea saber cómo cambia esa solución si las
condiciones iniciales del problema se modifican (por ejemplo si cambian los coeficientes
de la función objetivo, los recursos disponibles y la cantidad de recursos utilizada para
producir una unidad de un producto. Las investigaciones que tratan los cambios en la
solución óptima debido a cambios en los datos son llamadas análisis de sensibilidad. En
cierto sentido el análisis de sensibilidad convierte la solución estática de programación
lineal en un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes. Por tanto
adquiere mayor utilidad como instrumento administrativo ya que los negocios y la industria
están sometidos a cambios continuos y a una subsiguiente revaluación.
13 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Finalmente diremos que en el presente trabajo trataremos del análisis de
sensibilidad que determina los rangos de variación de la función objetivo, los
recursos disponibles y la cantidad de recursos utilizada para el cual la solución tal
como se enunció originalmente, permanece óptima.
Sensibilidad de los coeficientes objetivo
Gráficamente se mostrará en el siguiente ejemplo: los efectos de cambiar los
coeficientes de la función objetivo.
Ejemplo: Una fábrica de artículos para el hogar manufactura dos artefactos A y B.
Ambos sufren 3 procesos en el mismo orden que son:
-Maquinado
-Armado
-Montaje
La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso son 480, 600 y 450
respectivamente.
El artefacto A deja un beneficio de S/.100/unidad en tanto que el B proporciona
S/.120/unidad.
El cuadro de coeficientes de transformación es el que se indica a continuación:
A B DisponibilidadMaquinado 4 8 480Armado 5 6 600Montaje 12 8 540Beneficio 100 120
Tabla 1.- Tabla de datos.
¿Cuántos artefactos de A y B debe producir para obtener el máximo de beneficio?
Solución:
max z= 100 +120
Sujeta a:
4 +8 480 (1)
+6 600 (2)
14 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
12 +8 540 (3)
, 0
Gráficamente se tiene:
.
Ilustración 2.- Grafica de las Restricciones, indicando la Función Objetivo
15 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Ilustración 3.- Grafica correspondiente a la restricciones e indicando la solución Optima.
Ilustración 4.- Posibles soluciones Optimas
16 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Efectos de los Coeficientes de la función objetivo
Interpretados gráficamente estos coeficientes determinan el pendiente de la función
objetivo la cual puede ser una línea (dos variables) un plano (tres variables) o un
hiperplano (cuatro o más variables).
En este ejemplo la función objetivo se representa gráficamente como una línea ya que
solo hay dos variables. La solución óptima da un valor de 7500 produciendo 15/2
unidades de y 225/4 unidades de .
Esta solución se muestra en el punto A de la figura (a). Un cambio del coeficiente de o
de daría una línea con diferente pendiente. La solución óptima puede situarse en un
punto determinado hasta que por alguna razón sea desviada hacia una intersección
diferente. Esta desviación puede ser ocasionada por un cambio de la pendiente de la
función objetivo.
La figura presenta la solución gráfica del ejemplo utilizando varias funciones objetivos
diferentes pero conservando el mismo conjunto de restricciones.
Con relación a la figura (b) se observa que un incremento del coeficiente de la variables
desde 129 hasta 150 no desplaza la solución óptima manteniéndose el punto A es decir
= 15/2, =225/4, aunque el valor de la función objetivo ha aumentado hasta 9187.5.
En forma semejante la figura (c) ilustra el efecto de un pequeño cambio del coeficiente de
la variable .
Cuando tiene lugar un cambio considerable en el coeficiente como para desplazar la
solución óptima hacia un nuevo punto. En la figura (d) cuando el coeficiente de costo de
disminuye hasta 60 la solución óptima se desplaza hasta el punto B donde = 45 y
=0; una combinación completamente diferente de producción y valor de la función
objetivo. Si el coeficiente de aumenta desde 120 hasta 230 figura (e) la solución se
desplaza al punto c donde =0 y =60. El análisis de sensibilidad responde la pregunta
17 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
de que tanto pueden variarse estos coeficientes antes que tenga lugar este
desplazamiento, esto es antes de que pueda obtenerse una nueva solución óptima.
[2] ALVAREZ, BETA ,2005.
Ahora veamos lo que nos dice Ángel Manuel Suarez, en su libro “Investigación Operativa
Operaciones” [6], con respecto al Análisis de Sensibilidad
Dentro del campo de la investigación de operaciones, cuyo desarrollo se ha basado en el
campo de las matemáticas, con infinidad de aplicaciones se encuentra una herramienta
fundamental, que nos permite establecer criterios para ajustar algún futuro de acción a los
resultados obtenidos a un modelo y así afinar los datos, para seleccionar mejores
alternativas, denominado análisis de sensibilidad, Esto significa, analizar en todas sus
dimensiones cada uno de los valores descubiertos en nuestra solución y llegar a inferir
supuestos comportamientos, examinando dichos resultados.
Capacidad que tiene un sistema u organización de reaccionar ante una serie de
estímulos. Es un análisis que se hace después de o a partir de la solución óptima.
Vale la pena recordar que con motivo de la apertura económica y la globalización de la
economía muchas empresas sucumbieron ante la arremetida de nuevos mercados, otras
escasamente sobrevivieron y finalmente otras se consolidaron.
La utilidad del análisis de sensibilidad en la programación lineal, consiste en que permite
una interpretación razonable de resultados obtenidos. En muchos casos la información
obtenida por la aplicación del análisis de sensibilidad, puede ser más importante y mucho
más informativa que el simple resultado obtenido en la solución óptima.
En cierto sentido, el análisis de sensibilidad convierte la solución estática de programación
lineal en un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes. Por tanto,
adquiere mayor utilidad como instrumento administrativo ya que los negocios y la industria
están sometidos a cambios continuos y a una subsiguiente reevaluación.
Para el caso del modelo de programación lineal, analiza el efecto que se pueda generar
en la solución óptima del modelo a partir de cambios sobre sus parámetros (datos
numéricos de un modelo).
Para su estudio examinaremos dos tipos de situaciones:
18 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Cambios en un solo parámetro a la vez. Función objetivo y mano derecha
El análisis de sensibilidad permite conocer los comportamientos del modelo ante cambios
infinitesimales en sus parámetros, sin cambiar la base óptima. Permite aplicar tolerancias
(intervalos) en los parámetros.
Como se lleva a cabo:
Cambiando un solo elemento o parámetro de una componente del modelo y manteniendo
los demás parámetros fijos. Este examen permite establecer intervalos, de tal manera que
las variables que constituyen la base óptima se sigan manteniendo esto es, que el
sistema permanezca estable.
Cambios en los recursos disponibles (bi) se consideran dos casos:
I. Caso Cuando los recursos se agotan.
II. Caso Cuando los recursos no se agotan.
Cambios en los costos (Cj) Se consideran dos casos:
I. Caso cuando los Cj que corresponden a variables no básicas en la tabla
inicial, finalizan básicas en la tabla óptima.
II. Caso cuando los Cj que corresponden a variables no básicas en la tabla
inicial, finalizan no básicas en la tabla óptima.
Un sistema es estable cuando permite variaciones en sus parámetros y la base óptima no
cambia.
Cambios simultáneos en varios parámetros a la vez. Función objetivo, mano derecha y coeficientes tecnológicos
Los modelos de programación lineal son modelos que atienden básicamente situaciones
estáticas. Esto es, que sus condiciones no cambian sustancialmente en periodos cortos y
por lo tanto su solución no cambia radicalmente durante el mismo.
Sin embargo, el análisis de sensibilidad permite conocer mediante la aplicación de reglas
de decisión (derivadas de la descomposición matricial del simplex) el comportamiento
inmediato de la solución ante cambios que puedan presentarse simultáneamente en cada
una de sus componentes:
Vector de disponibilidad de recursos o de requerimientos mínimos bi
Coeficientes de costos o de utilidades Cj
19 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Coeficientes tecnológicos o técnicos aij
Adición de nuevas condiciones gi
Posibilidades de lanzamiento de nuevos productos. Xj
¿Cómo se lleva a cabo? Efectuando modificaciones sobre la totalidad, uno o algunos de
los parámetros de una componente del modelo (ejemplo bi,) y manteniendo constante los
demás parámetros. Este tipo de examen permite conocer los efectos directos sobre la
solución óptima con el riesgo de modificar la base óptima.
Veamos el comportamiento de la información original y su paso a la solución final.
Información original
VARIABLESno básicas
BASE INICIALVariables básicas
(-Z) bi
BASE D B b(-Z) CD CB (-1) -Zo
Información procesada por medio de las iteraciones
VARIABLES INTERVINIENTES (-Z) biBASE *D B-1 *b(-Z) *CD CB-1 (-1) (-Zi)
A partir de estas observaciones se determinaron las siguientes ecuaciones que pueden
emplear en cualquiera de las iteraciones.
Reglas de decisión:
1) *b = B-1.b
2) *D = B-1. D
3) *(-Z) = CB-1.b
4) *CD = CB-1 D + CD
Usos
Verificación que las iteraciones (manuales) del simplex están bien y aplicarlas en los
cambios que se den en varios parámetros de un mismo vector.
Interpretación
20 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
La primera indica que el vector solución *b es igual a la inversa de la base B-1 por el
vector b original.
La segunda indica que cualquier vector *D es igual a la inversa de la base B-1 por el
vector D original.
La tercera indica que la medida de efectividad *(-Z) es igual a los coeficientes de la
inversa de la base CB-1 por el vector b original.
La cuarta indica que un coeficiente en la función económica *CD es igual a los
coeficientes de la inversa de la base (CB-1) por el vector D original mas el coeficiente
original (CD).
Nota: * indica parámetro modificado, los demás son parámetros originales
[6] Suárez, Investigación de Operaciones. Notas y problemas. Escuela Colombiana de Carreras Industriales, 2006, págs. 74,75,76 y 77.
Método
Primera parte: El tema, las preguntas, los conocimientos previos y las dificultades.
1. Enuncien su tema y la pregunta principal (delimitada en espacio y tiempo)
Tema: Solución de modelos de programación lineal de más de dos variables y
sensibilidad de resultados usando software aplicados.
Pregunta principal:
¿Cuál sería la solución que se aplicaría en un proyecto realizado en la ciudad de Lima,
que tiene más de dos variables, para poder obtener un resultado óptimo en un corto
plazo?
2. Expliquen brevemente a que campo temático pertenece y por qué lo eligieron.
21 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
El tema elegido pertenece al campo temático de problemas de programación lineal
resueltos por el método simplex y análisis de sensibilidad.
En la vida diaria, las empresas invierten mucho esfuerzo, para realizar una buena toma de
decisiones, con respecto a la optimización de sus recursos, hablace de materia prima,
mano de obra o finanzas. Una forma de saber como administrar los recursos es
realizando un modelo matemático, por medio del cual se pueda maximizar utilidades y
minimizar costos. Dicho modelo matemático se puede resolver por diferentes métodos,
pero en este trabajo se abordará el Método Simplex y puesto que el modelo matemático
contiene varias variables, se resolverá por medio de un software aplicado.
En particular, usaremos dos software en específico, uno de ellos es WinQSB y el otro es
LINGO.
Dada la importancia que tiene la solución de problemas complejos de programación lineal
con un software aplicado, se eligió realizar este trabajo para mostrar la manera de como
solucionarlos y el material de investigación que existe al respecto.
La Programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias
razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden
plantearse como problemas de programación lineal.
La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual
se resuelve un problema determinado, formulado a través de ecuaciones lineales,
optimizando la función objetivo. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una
función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha
función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema
de inecuaciones lineales.
3. Enuncien las preguntas secundarias que consideren relevantes. Ordénelas respecto a la pregunta principal: ¿Qué? ¿Cómo? ¿Quién? ¿Cuándo? ¿Por qué? ¿Dónde?
¿Cómo Solucionar un problema de programación lineal de más de dos variables?
¿Por qué resolver estos problemas con un software aplicado?
¿Qué es un análisis de sensibilidad?
¿Cómo hacer el análisis de sensibilidad utilizando un software aplicado?
4. Describan brevemente lo que saben respecto al tema y la pregunta planteados.
22 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
La investigación de operaciones tiene su nacimiento en una serie de trabajos tendientes a
optimizar recursos destinados especialmente a acciones militares y es precisamente hacia
la década de los 40 que debido a la complejidad de los nuevos sistemas de defensa y
ataque que trae consigo la segunda guerra mundial, los aliados introducen equipos de
científicos quienes se dedicaron a estudiar la mejor utilización de los recursos bélicos y
quienes hicieron posible el marco conceptual que denominamos investigación de
operaciones.
Esta situación permite el desarrollo y auge de métodos en la solución de problemas que
junto con la aparición y desarrollo del computador soluciona situaciones de gran
envergadura, tal es el caso, del desarrollo del método simplex para el inicio y solución de
problemas de programación lineal.
Modelos Matemáticos y su Clasificación:
Desde el punto de vista de su finalidad.
De acuerdo a la estructura matemática.
Desde el punto de vista de su concepción.
De acuerdo a la naturaleza de la decisión y/o comportamiento.
Nosotros nos enfocaremos en los modelos de acuerdo a su estructura matemática.
Modelos lineales Todas las relaciones funcionales implican que la variable
dependiente es proporcional a las variables independientes.
7X1 + 3X2 + 5X3 + X4 ≤ 105
Modelos no lineales Utilizan ecuaciones curvilíneas o no proporcionales. Al igual
que en el caso de los modelos estocásticos, no es necesario que todas las
relaciones funcionales del modelo sean no lineales para clasificarlo como no lineal.
Si una o más de las relaciones son no lineales, se clasifica al modelo dentro de
esta categoría. Los procesos de solución (algoritmos) que se requieren para
resolver los modelos no lineales son mucho más complejos que los necesarios
para un modelo lineal.
X1 2 + X2 * X3 * X4. ≥ 500
Programación Lineal
23 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Cuando las funciones F(X) y Gi(X) son funciones lineales (en particular ecuaciones
lineales), la programación matemática se denomina programación lineal.
Generalidades del modelo de Programación Lineal
Calcular XJ (1) Variables de decisión.
Opt (Z) = ∑Cj Xj (2) Función objetivo.
∑AXj ∆ bi, (3) Restricciones.
XJ ≥ 0 (4) Condición de no negatividad.
Es un instrumento que se ocupa de los problemas de asignación de recursos limitados a
actividades simultaneas que compiten por ellos entre si. Utiliza un modelo matemático
para describir los diferentes problemas. Lineal significa que se requiere que todas las
funciones matemáticas que intervienen en el modelo sean lineales. La palabra
programación se deriva del hecho de que se establece una serie de pasos lógicos que
permiten procesar diferentes problemas bajo un mismo principio o programa, para obtener
un óptimo. Esto es, un algoritmo o programa de proceso que determina los pasos para
llegar a un resultado que, en el caso de la programación lineal intenta ser un óptimo.
También se puede definir como un procedimiento de resolución de problemas
desarrollado para ayudar a los administradores a tomar decisiones.
Objetivo de la programación lineal:
Comprender y construir modelos matemáticos para la optimización de recursos en
las áreas de producción, planeación, control, inversión, transporte y asignación.
Identificar las componentes de un modelo de optimización lineal.
La importancia de la programación lineal:
Ciertos problemas se describen fácilmente a través de la programación lineal.
Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.
La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación
lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones sobre el “qué
pasa si”.
(Suárez, Investigación de Operaciones. Notas y problemas., 2006, págs. 19-21 )
24 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Objetivo del Análisis de Sensibilidad:
Comprender y aplicar técnicas de sensibilidad para mantener la estabilidad del
sistema base óptima e interpretar sus resultados.
Comprender y aplicar técnicas de sensibilidad para conocer el comportamiento de
la base óptima ante cambios en alguna de las componentes del modelo e
interpretar sus resultados.
Comprender y aplicar el algoritmo dual para tratamiento de la infactibilidad e
interpretar sus resultados.
Utilizar paquetes computaciones en la solución de casos.
[6] Suárez, Investigación de Operaciones, Notas y problemas., 2006, pág. 9.
ResultadosRespuestas a las preguntas plateadas
¿Cómo Solucionar un problema de programación lineal de más de dos variables?
Un problema de programación lineal de más de dos variables se debe resolver utilizando
software aplicados.
¿Por qué resolver estos problemas con un software aplicado?
Un problema de más de dos variables sería difícil resolver por el método gráfico dado que
no se podría visualizar de manera adecuada la solución del problema. Para lo cual existen
25 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
software de aplicación el cual nos ayuda a resolver dichos problemas entre estos
software tenemos al WINQSB, Y LINDO.
¿Qué es un análisis de sensibilidad?
El análisis de sensibilidad es el estudio de la forma en la que se afecta la solución óptima
al presentarse cambios en los coeficientes de un programa lineal.
En el momento de tomar decisiones sobre la herramienta financiera en la que debemos
invertir nuestros ahorros, es necesario conocer algunos métodos para obtener el grado de
riesgo que representa esa inversión.
Este análisis consiste en determinar qué tan sensible es la respuesta óptima del Método
Simplex, al cambio de algunos datos como las ganancias o costos unitarios (coeficientes
de la función objetivo) o la disponibilidad de los recursos (términos independientes de las
restricciones).
La variación en estos datos del problema se analizará individualmente, es decir, se
analiza la sensibilidad de la solución debido a la modificación de un dato a la vez,
asumiendo que todos los demás permanecen sin alteración alguna. Esto es importante
porque estamos hablando de que la sensibilidad es estática y no dinámica, pues solo
contempla el cambio de un dato a la vez y no el de varios.
¿Cómo hacer el análisis de sensibilidad utilizando un software aplicado?
Básicamente teniendo la solución dado por los software aplicados ya sea WINQSB o
LINDO, podemos analizar la variación que tiene cada variable o restricción del problema
y analizamos como este afecta a la solución óptima del problema.
Utilizando este análisis podemos responder a preguntas como las siguientes:
¿Cómo afectara en la solución óptima un cambio en uno de los coeficientes de la
función objetivo?
¿Cómo afectara en la solución óptima un cambio en el valor del segundo
elemento de una restricción?
26 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
5. Describan las principales dificultades que el tema y/o la pregunta les estén planteando. Ordénenlas según su importancia.
No existe una metodología muy concreta acerca de cómo se debe modelar matemática
mente un problema y el planteamiento de un determinado problema se puede tornar
oscuro si no se cuenta con un cierto grado de intuición y habilidad matemática.
Para realizar un análisis de sensibilidad adecuado, es necesario conocer a fondo las
características de las variables de decisión, las restricciones y el origen de la función
objetivo. Este preludio, nos da a conocer que el estudio de modelos de programación
lineal y los métodos de solución pertinentes, tanto desde el punto de vista conceptual
como desde el de las aplicaciones requieren de un nivel alto de habilidades matemáticas.
Por ende, en el presente trabajo pondremos mucho énfasis en cada detalle durante la
presentación de los problemas y así de forma pragmática concurrir en la enseñanza de
esta parte de la programación lineal.
Para realizar un análisis de sensibilidad adecuado también se debe realizar una correcta
captura de los requerimientos y/o información para realizar una optimo solución al
problema.
Conclusiones
La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias
razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden
plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de
programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de
mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente
importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos
27 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros
tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia
técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han
inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la
dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del
mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la
administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al
mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de
alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación
de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de
publicidad, etc.
Otros son:
Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de
distribución de agua.
Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año
con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.
Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de
obras hidráulicas;
Solución de problemas de transporte.
Referencias
[1] CASTILLO, Enrique. “Formulación y resolución de modelos de programación
matemática en ingeniería y ciencia”, disponible en: http://www.investigacion-
operaciones.com/ARCHIVOS_LIBRO/LibroCompleto.pdf
[2] Un artículo de la base Informe Académico
http://admoperaciones.pe.tripod.com/flashadmope.htm
28 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
http://www.alumnos.inf.utfsm.cl/~vpena/ramos/ili292/InformeT4.pdf
[3] ALVAREZ, Jorge, “Investigación de Operaciones”, 2da edición. Perú, Librería BETA,
2005.
[4] ALONSO, Gomollon, “Ejercicios de Investigación de” Operaciones: Madrid ESIC
Editorial, 1995.
[5] TORMOS, Pilar, ”Investigación Operativa para ingenieros”, Valencia, UPV, 2005.
[6] SUAREZ, Ángel Manuel, “Investigación Operaciones I, Notas y Problemas”, Bogotá
D.C., 2006” .
[7] ALONSO, Gomollon, “Ejercicios de Investigación de” Operaciones: Madrid ESIC
Editorial 1995.
[8] TORMOS, Pilar, ”Investigación Operativa para ingenieros”, Valencia, UPV, 2005.
[9] http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=81690206
[10] COSIO JARA, Fernando. (1997). Comentarios a la Ley General de ADUANAS.
Librerías y Ediciones Jurídicas, Lima Perú. Primera edición.
[11] DOMÍNGUEZ MACHUCA, José; García, Santiago; Domínguez Machuca, Miguel;
Ruiz, Antonio; Álvarez, María. (1995). Dirección de Operaciones. Aspectos Tácticos y
Operativos en la Producción y los Servicios. McGraw-Hill, España. Primera.
[12] HILLIER, Frederick S., Lieberman, Gerald J. (1994). Introducción a la Investigación de
Operaciones. McGraw-Hill. México. Cuarta edición.
[13] WINSTON, Wayne L. (1994). Investigación de Operaciones. Aplicaciones y
Algoritmos. Grupo Editorial Iberoamérica. México. Primera edición.
Apéndices
Articulo realizado por:
29 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
El artículo trata sobre la aplicación de la programación lineal entera mixta (PLEM) como
herramienta para la planificación de la importaciones en el contexto de una empresa
dedicada a la manufactura y venta de componentes de acero. Se construye un modelo
matemático que se adapte a las características de los procesos de importación de la
empresa, y cuyo objetivo será decidir cuál es el plan de importaciones con régimen
aduanero definitivo que tiene costos totales mínimos. En esta segunda parte, se
presentan los resultados del modelo matemático.
Resultados del modelo matemático
Continuando con el “Modelo de programación lineal entera mixta para el planeamiento de
las importaciones con régimen aduanero definitivo”, en esta ocasión se presentan los
resultados de las corridas del modelo, comparándolos con la metodología de importación
que actualmente aplica la empresa ABC S.A.
En adelante cada tabla muestra el rubro AHORRO TOTAL como la diferencia del importe
de los costos totales sin seguro y sin costo de adquisición de los escenarios
“RESULTADOS DEL MODELO” y “SITUACIÓN ACTUAL”. No se considera el costo de
adquisición porque los costos relevantes que generan diferencias significativas son flete,
ad/valór em y demás vinculados al desaduanaje.
Resultado 1: el proveedor 1 suministra las piezas de los productos 1 y 2
Los resultados del modelo indican que el 100% de las piezas del producto terminado 1, se
deben importar por vía marítima en contraste con la forma actual, donde el 40% de las
veces se efectúan por vía aérea y 60% por vía marítima. La empresa justifica las
importaciones por vía aérea cuando los lotes son pequeños, sin embargo, se puede lograr
un ahorro total de US$ 21,491 (ver Ilustración 5) debido a la elección del medio marítimo
como forma exclusiva de transporte, lo cual también genera un 21% de ahorro en
derechos arancelarios e impuestos. El modelo sugiere reemplazar la frecuencia trimestral
de importaciones, por una cuatrimestral.
30 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Ilustración 5.- Costos anuales US$ asociados a las piezas abastecidas por el proveedor 1
Resultado 2: el proveedor 2 suministra las piezas de los productos 1 y 2
Los resultados del modelo indican que el 100% de las piezas del producto terminado 2, se
deben importar por vía marítima en contraste con la forma actual, el 80% de las veces por
vía aérea y 20% por vía marítima, con preferencia por la importación por vía aérea cuando
se tienen volúmenes de compra reducidos; empero, se puede lograr un ahorro total de
US$ 18,705 (ver Ilustración 6) debido a la elección del medio aéreo como forma exclusiva
de transporte, lo cual también genera un 55% de ahorro en derechos arancelarios e
impuestos.
Ilustración 6.-Costos anuales US$ asociados a las piezas abastecidas por el proveedor 2
31 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Resultado 3: el proveedor 3 suministra las piezas de los productos 1 y 2 En este caso, hay un incremento de los costos de US$ 6,924 (ver Ilustración 7) con
respecto a la política de importación actual para el proveedor 3. La razón es la
reasignación de las piezas que antes se compraban al proveedor 2 y que ahora el modelo
sugiere adquirirlas al proveedor 3. La compra a este proveedor se incrementa en 34%,
pero a pesar del mayor volumen de adquisición, el flete es menor en 52% porque se
utiliza intensivamente la modalidad de transporte marítimo.
Ilustración 7.- Costos anuales US$ asociados a las piezas abastecidas por el proveedor 3
Según los resultados del modelo, el efecto total de las importaciones de las piezas
importadas de los productos terminados 1 y 2, desde los tres proveedores es favorable a
la empresa en US$ 32,272 (Ver Ilustración 8).
Ilustración 8.- Ahorro Total
32 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Resultado 4: el proveedor 5 suministra las piezas de los productos 5 y 6 Actualmente, del proveedor 5, la empresa importa el 30% de las veces por vía aérea y
70% por vía marítima, cada dos meses. Con el modelo matemático se puede lograr un
ahorro total de US$ 9,445, (ver Ilustración 9) debido al uso intensivo de la modalidad de
transporte marítimo, decisión que reduce en 51% los costos por flete, y en 6% los costos
del ad/valórem.
Ilustración 9.-Costos anuales US$ asociados a las piezas abastecidas por el proveedor 5
Resultado 5: los proveedores 6 y 7 suministran las piezas del producto 6 Actualmente la importación se realiza de ambos proveedores 6 y 7 por vía aérea
exclusivamente y cada dos meses. Con el modelo matemático se obtiene un ahorro total
de US$ 498, (ver Ilustración 10) el costo del flete se reduce en 52% y los gastos de
desaduanaje y comisión de agencia en 50%, cada uno.
33 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Ilustración 10.- Costos anuales US$ asociados a las piezas abastecidas por el proveedor 6,7
Resultado 6: el proveedor 9 suministra todas las piezas del producto 7 Actualmente la importación desde el proveedor 9, se efectúa el 50% de las veces vía
aérea y 50% vía marítima, cada trimestre. El costo del flete se reduce en un 82% por uso
del transporte marítimo. El ad/valórem se reduce en 32%, los gastos de desaduanaje en
40% y la comisión de agencia en 51%. Sin embargo, el costo de oportunidad se
incrementa fuertemente en 32% porque el período semestral prolongado eleva su importe,
a pesar que la modalidad de pago es con carta de crédito y pago diferido, lo cual no
genera costo de oportunidad de producción. Este incremento se compensa con la
reducción del costo del flete, con un saldo a favor de la empresa por US$ 69,473
(ver Ilustración 11).
Ilustración 11.- Costos anuales US$ asociados a las piezas abastecidas por el proveedor 9
34 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Resultado 7: el proveedor 10 suministra todas las piezas del producto 4 Actualmente la importación desde el proveedor 10, se efectúa el 80% de las veces por vía
aérea y 20% vía marítima, cada trimestre. Con el modelo matemático se obtiene un
ahorro total de US$ 7,656 (ver Ilustración 12); el costo del flete se reduce en 18%, los
derechos arancelarios e impuestos en 25%, las gastos de desaduanaje en 50% y la
comisión de agencia en 44%.
Ilustración 12.- Costos anuales US$ asociados a las piezas abastecidas por el proveedor 10
Resultado 8: el proveedor 11 suministra todas las piezas del producto 3 Actualmente la importación desde el proveedor 11, se efectúa el 20% de las veces por vía
aérea y 80% vía marítima, cada trimestre. En este caso, el modelo rechaza al proveedor
11 para suministrar las piezas del producto terminado 3, y elige sólo al proveedor 1; de
esta forma se incluyen en los lotes de compra de las piezas del producto 1 y 2 que se
importan desde este proveedor 11 y se ahorra los gastos de desaduanaje y comisión de
agencia que son costos que se incurren cada vez que se efectúa una importación desde
otro proveedor. El ahorro total obtenido es US$ 15,148 (ver Ilustración13 ).
35 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Ilustración 13.- Costos anuales US$ asociados a las piezas abastecidas por el proveedor 11
Conclusiones
La comparación de los resultados del modelo matemático y la forma que actualmente
trabaja ABC S.A. conduce a las siguientes conclusiones:
Con excepción de la mercadería del proveedor 10, para el resto de proveedores la
modalidad de transporte elegida es la marítima debido a que el valor de su flete es menor
al flete aéreo, y a pesar de que genera un mayor costo de oportunidad por los días que
permanece en travesía y por la duración del proceso de desaduanaje.
La modalidad de transporte aérea elegida para el proveedor 10, se justifica porque al ser
su modalidad de pago por adelantado, genera un alto costo de oportunidad de
producción. Si la modalidad de transporte hubiese sido marítima se hubiera incrementado
aún más el costo de oportunidad porque mayor sería la travesía, por tanto, la modalidad
de pago fue decisiva en la elección de la modalidad de transporte.
En la mayoría de los casos el período de importaciones que sugiere el modelo es
cuatrimestral, excepto para el caso de la mercadería importada desde el proveedor 9 que
es semestral. A pesar que el monto de adquisición aumenta, y también la comisión de
agencia porque en la mayoría de casos el valor de aduanas supera los US$ 10,000.00,
debido al mayor lote de compra, este incremento se compensa con la reducción de los
gastos de desaduanaje incurridos porque son menos las veces que se importa por año.
36 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.
Para las piezas importadas que necesitan los productos terminados 1 y 2, el modelo
redefine totalmente la forma de importación. Actualmente, ABC S.A. reparte la compra
principalmente entre los tres proveedores 1 y 3 al 50%, y las piezas 1, 2, 8, 14 y 16 las
adquiere al proveedor 2.
El modelo redefine este proceso de compra de la forma siguiente:
• Al proveedor 1 le asigna el 31% de la compra
• Al proveedor 3 le asigna el 64% de la compra.
• Al proveedor 2 le asigna únicamente la pieza 13, que representa el 5% debido a que su
diseño especial, ocupa menos espacio, y genera un menor flete, incluso a pesar que sólo
es una pieza, el modelo elige la modalidad marítima. En este caso el flete y no el costo de
oportunidad fue la variable decisiva para la selección del proveedor y la modalidad de
transporte.
El ahorro total según el modelo asciende a US$ 135,490; equivalentes a un promedio de
US$ 11,290 mensuales. El modelo planteado finalmente aporta una metodología de
trabajo eficiente para las importaciones con el objetivo de obtener una reducción de
costos importante para ABC S.A.
Por cuanto el escenario de las ventas en esta empresa está definidas por licitaciones, las
ventas mensuales son prácticamente fijas. Esta situación de la empresa permite superar
la crítica frecuente a los modelos de programación lineal de adolecer de falta de dinámica
o aleatoriedad. En este caso, el tratamiento determinístico de la demanda está
plenamente justificado, porque la licitación define montos de ventas constantes mes a
mes.
37 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.