Date post: | 06-Aug-2015 |
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Introducción Métodos directos de solución
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMÉTODOS DE SOLUCIÓN
Mg. Ana Laksmy Gamarra Carrasco
Universidad Privada Antenor Orrego
Mayo del 2012
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Forma generalUn sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas tiene laforma general siguiente:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Forma matriciala11 a12 a13 ... a1na21 a22 a23 ... a2n... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
Ax = b
Donde:A: Matriz coeficiente del sistemax: Vector incógnitab: Vector de términos independientes
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Existencia y unicidad de la soluciónSea:
Ax = b
Si b = 0, el sistema es homogéneo.Si b 6= 0, el sistema es no homogéneo.
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Existencia y unicidad de la soluciónDefinimos la matriz aumentada B, de la sigiente manera:
B =
a11 a12 a13 ... a1n b1a21 a22 a23 ... a2n b2... ... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn bm
La matriz aumentada podemos escribirla en la forma:
B = [aij : bj ]
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Existencia y unicidad de la soluciónSea Ax = b,
INCONSISTENTEr(A) 6= r(B)
El sistema no tiene solución.CONSISTENTE
r(A) = r(B)
1 Solución única.r(A) = n
2 Número infinito de soluciones.
r(A) < n
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Rango de una matrizEs el número de filas o columnas linealmente independientes,utilizando esta definición se puede calcular usando el métodode Gauss.
Ejemplo
Calcular el rango de la siguiente matriz: A =
1 2 22 1 22 2 1
Ejemplo
Calcular el rango de la siguiente matriz: B =
5 −1 −11 2 34 3 2
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemplosVerificar si los siguientes sistemas de ecuaciones tienensolución:
2x + 4y = 0
3x + 6y = 0
5x − y − z = 0
x + 2y + 3z = 14
4x + 3y + 2z = 16
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Eliminación de GaussConsidermos el siguiente sistema (1):
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 ...f2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 ...f3
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Eliminación de GaussPrimer paso:
(−a21/a11)f1 + f2
(−a31/a11)f1 + f3
Esto dá lugar al nuevo sistema (2):
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1
a′22x2 + a′23x3 = b′2 ...f ′2
a′32x2 + a′33x3 = b′3 ...f ′3
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Eliminación de GaussPrimer paso:
(−a21/a11)f1 + f2
(−a31/a11)f1 + f3
Esto dá lugar al nuevo sistema (2):
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1
a′22x2 + a′23x3 = b′2 ...f ′2
a′32x2 + a′33x3 = b′3 ...f ′3
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Eliminación de GaussSegundo paso:
(−a′32/a′22)f′2 + f ′3
Luego obtenemos el sistema (3):
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1
a′22x2 + a′23x3 = b′2 ...f ′2
a′′33x3 = b′′3 ...f ′′3
El proceso de llevar el sistema de ecuaciones (1) a la forma dela ecuación (3) se conoce como triangularización.
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Eliminación de GaussSegundo paso:
(−a′32/a′22)f′2 + f ′3
Luego obtenemos el sistema (3):
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1
a′22x2 + a′23x3 = b′2 ...f ′2
a′′33x3 = b′′3 ...f ′′3
El proceso de llevar el sistema de ecuaciones (1) a la forma dela ecuación (3) se conoce como triangularización.
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Eliminación de GaussEl sistema en la forma (3) se resuelve despejando de su últimaecuación x3, sustituyendo x3 en la segunda ecuación ydespejando x2 de ella. Por último, con x3 y x2 sustituidos en laprimera ecuación de (3) se obtiene x1. Esta parte del procesose llama sustitución regresiva.En la ilustración de los ejemplos se empleará la matrizaumentada B.
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploResuelva por eliminación de gauss el sistema:
4x1 − 9x2 + 2x3 = 5
2x1 − 4x2 + 6x3 = 3
x1 − x2 + 3x3 = 4
Solución:La matriz aumentada del sistema es:
B =
4 −9 2 52 −4 6 31 −1 3 4
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploPor triangularización:
−24 f1 + f2, −1
4 f1 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75
−1.250.5 f2 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5
En términos de sistemas de ecuaciones quedaría:
4x1 − 9x2 + 2x3 = 5
0.5x2 + 5x3 = 0.5
−10x3 = 1.5
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploPor triangularización:
−24 f1 + f2, −1
4 f1 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75
−1.25
0.5 f2 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5
En términos de sistemas de ecuaciones quedaría:
4x1 − 9x2 + 2x3 = 5
0.5x2 + 5x3 = 0.5
−10x3 = 1.5
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploPor triangularización:
−24 f1 + f2, −1
4 f1 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75
−1.25
0.5 f2 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5
En términos de sistemas de ecuaciones quedaría:
4x1 − 9x2 + 2x3 = 5
0.5x2 + 5x3 = 0.5
−10x3 = 1.5
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploPor sustitución regresiva:
x1 = 6.95
x2 = 2.5
x3 = −0.15
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Método de Factorización LUConsideremos el sistema de ecuaciones lineales:
Ax = b
LUx = b
U una matriz triangular superior.L una matriz triangular inferior.
Hacemos Ux = c, c es el vector desconocido.Resolvemos Lc = b, una vez calculado c, se resuelve:
Ux = c
donde: x es el vector solución.
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploResuelva por factorización LU el sistema:
4x1 − 9x2 + 2x3 = 5
2x1 − 4x2 + 6x3 = 3
x1 − x2 + 3x3 = 4
Solución:La matriz aumentada del sistema es:
B =
4 −9 2 52 −4 6 31 −1 3 4
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónPor triangularización:
−24 f1 + f2, −1
4 f1 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75
−1.250.5 f2 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónPor triangularización:
−24 f1 + f2, −1
4 f1 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75
−1.25
0.5 f2 + f3 ∼
4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónU:Matriz triangular superior
B =
4 −9 20 0.5 50 0 −10
L:Matriz triangular inferior
B =
1 0 02/4 1 01/4 1.25/0.5 1
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónResolvemos:
Lc = b 1 0 02/4 1 01/4 1.25/0.5 1
c1c2c3
=
534
donde:
c1 = 5
c2 = 0.5
c3 = 1.5
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónResolvemos:
Lc = b 1 0 02/4 1 01/4 1.25/0.5 1
c1c2c3
=
534
donde:
c1 = 5
c2 = 0.5
c3 = 1.5
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónLuego resolvemos:
Ux = c 4 −9 20 0.5 50 0 −10
x1x2x3
=
50.51.5
donde:
x1 = −0.15
x2 = 2.5
x3 = 6.95
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónLuego resolvemos:
Ux = c 4 −9 20 0.5 50 0 −10
x1x2x3
=
50.51.5
donde:
x1 = −0.15
x2 = 2.5
x3 = 6.95
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploResuelva por factorización LU el sistema:
x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 21
2x1 + 8x2 + 6x3 + 4x4 = 52
3x1 + 10x2 + 8x3 + 8x4 = 79
4x1 + 12x2 + 10x3 + 6x4 = 82
Solución:
x1 = 2 x2 = 2
x3 = 3 x4 = 4
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploResuelva por factorización LU el sistema:
x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 21
2x1 + 8x2 + 6x3 + 4x4 = 52
3x1 + 10x2 + 8x3 + 8x4 = 79
4x1 + 12x2 + 10x3 + 6x4 = 82
Solución:
x1 = 2 x2 = 2
x3 = 3 x4 = 4
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Método de CholeskyConsideremos el sistema de ecuaciones lineales:
Ax = b
LLtx = b
A una matriz simétrica y definida positiva.L una matriz triangular inferior.
Hacemos Ltx = c, c es el vector desconocido.Resolvemos Lc = b, una vez calculado c, se resuelve:
Ltx = c
donde: x es el vector solución.
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Método de CholeskyLa matriz triangular inferior L tiene la forma:
l11 0 0 ... 0l21 l22 0 ... 0... ... ... ... ...ln1 ln2 ln3 ... lnn
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploResuelva usando el método de Cholesky el siguiente sistema:
4x1 + x2 + 2x3 = 1
x1 + 2x2 + 0x3 = 2
2x1 + 0x2 + 5x3 = 4
A es simétrica y definida positiva.
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
EjemploResuelva usando el método de Cholesky el siguiente sistema:
4x1 + x2 + 2x3 = 1
x1 + 2x2 + 0x3 = 2
2x1 + 0x2 + 5x3 = 4
A es simétrica y definida positiva.
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - solución
A = L.Lt
De donde obtenemos:
l211 = a11 ⇒ l11 = 2
l11.l21 = a12 ⇒ l21 = 0.5
l11.l31 = a13 ⇒ l31 = 1
l221 + l222 = a22 ⇒ l22 = 1.32287
l21.l31 + l22.l32 = a23 ⇒ l32 = −0.37796
l231 + l232 + l233 = a33 ⇒ l33 = 1.96396
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - solución
A = L.Lt
De donde obtenemos:
l211 = a11 ⇒ l11 = 2
l11.l21 = a12 ⇒ l21 = 0.5
l11.l31 = a13 ⇒ l31 = 1
l221 + l222 = a22 ⇒ l22 = 1.32287
l21.l31 + l22.l32 = a23 ⇒ l32 = −0.37796
l231 + l232 + l233 = a33 ⇒ l33 = 1.96396
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónResolviendo el sistema:
Lc = b 2 0 00.5 1.32287 01 −0.37796 1.96396
c1c2c3
=
124
obtenemos:
c1 = 0.5
c2 = 1.32287
c3 = 2.0367
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónResolviendo el sistema:
Lc = b 2 0 00.5 1.32287 01 −0.37796 1.96396
c1c2c3
=
124
obtenemos:
c1 = 0.5
c2 = 1.32287
c3 = 2.0367
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónLuego resolviendo el sistema:
Ltx = c 2 0.5 10 1.32287 −0.377960 0 1.96396
x1x2x3
=
0.51.322872.0367
obtenemos:
x1 = −0.59259
x2 = 1.29629
x3 = 1.037
Introducción Métodos directos de solución
Sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo - soluciónLuego resolviendo el sistema:
Ltx = c 2 0.5 10 1.32287 −0.377960 0 1.96396
x1x2x3
=
0.51.322872.0367
obtenemos:
x1 = −0.59259
x2 = 1.29629
x3 = 1.037