Date post: | 16-Oct-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | lisandromengar |
View: | 26 times |
Download: | 0 times |
of 74
Amor se escribe sin hacheEnrique Jardiel Poncela
En esta obra, como en casi todas las de Jardiel Poncela, el humor es el recurso literario predominante y, a travs de un manejo casi surrealista del mismo, logra que los lectores (cuando se trata de novelas) y los espectadores (cuando se trata de piezas teatrales) revisen su percepcin de los problemas humanos ms importantes. En esta novela aborda el tema del amor a travs de la historia disparatada que viven los protagonistas, Sylvia y Zambombo. El texto anterior forma parte de una escena donde los protagonistas han llegado a una isla despus de naufragar el barco donde viajaban. All tienen que enfrentarse a cuatro problemas: localizar geogrficamente el sitio donde se encuentran, hacer fuego, construir una choza y encontrar vveres. Zambombo aborda el problema de la orientacin con tcnicas disparatadas, como la medida de la velocidad del viento mediante una regla de tres:
Para ello, por medio de dos rayas, seal en el suelo su estatura, que era de un metro y setenta y cinco. Coloc en una de las rayas un papelito y midi, reloj en mano, lo que el viento tardaba en llevar el papel a la otra rayita. Tard cuatro segundos. Y Zamb razon por medio de la regla de tres:
1,75 metros los recorre en 4 segundos
1.000 metros (o sea un kilmetro) los recorrer en x
De donde x era igual a 1.000 multiplicado por 4 y partido por 1,75.
Hizo las operaciones, contando por los dedos, y comprob que el viento corra que se las pelaba.
Luego Zambombo, como si fuera un robinsn, se dedica a hacer fuego frotando dos trozos de madera. Cuando consigue una llamita tras seis horas de trabajo, su propio sudor se la apaga. Sylvia le dice: Qu? No puedes hacer fuego?. Y l le contesta: Podr, porque traigo cerillas, pero si no las hubiera trado, no s cmo nos las habramos arreglado.... Una vez encendida una hoguera admirable, Zambombo determin construir una cabaa tal como se describe en el texto elegido.Finalmente, el cuarto problema, el de los vveres, lo resuelven comiendo los productos vegetales anunciados en el cartel que vieron al llegar en la playa. Veinte das despus, Sylvia haba adelgazado dieciocho libras y Zambombo, diecinueve. Pero se recuperaron cuando aprendieron a pescar piscis rodolphus valentinus.La ingenuidad romntica de Zambombo desencadena el desenlace de esta aventura y le sirve a Jardiel para plantear la siguiente y llegar, finalmente, a la conclusin moral de la novela.
L I T E R AT U R A Y M AT E M T I C A S
Amor se escribe sin hache[Esta novela es una historia de amor contada con un humor disparata-do. En la siguiente escena, los protagonistas, Sylvia y Zambombo, lle-gan a una isla despus de naufragar el barco donde viajaban. Una vez encendida una hoguera admirable, Zambombo determin construir una cabaa.]
S, s! palmote Sylvia. Una cabaa... y tu amor... Ah! Qu di-chosa soy!
Zamb se dirigi a la entrada del bosque y transport a la playa unos cuantos rboles que yacan en el suelo derribados, tal vez, por alguna tormenta. Calcul la resistencia de los rboles midiendo su dimetro y su longitud y escribi en su cuadernito:
A + B = (A + B) - (A + B) ? (A + B) + (A + B)Elev al cuadrado el primer trmino, y con gran sorpresa suya, que no crea saber tantas matemticas, obtuvo:
(A + B)2 = (A + B) - (A + B) ? (A + B) + (A + B)Y sustituyendo esto por las cifras averiguadas, logr:
732 = (10 + 10)La resistencia de los troncos del rbol era de 730 kilogramos.
Puso los troncos apoyados entre s, formando dos vertientes, en nme-ro de quince. De manera que cuando Zamb y Sylvia se metieron deba-jo, los kilos de rbol que se les cayeron encima, al desplomarse la ca-baa, fueron:
730 ? 15
o sea: 10.950.
Ambos se desmayaron a consecuencia del traumatismo. Al volver en s, era de noche.*
* Puede calcularse que, por cada 100 kilos que le caen en la cabeza a un ser humano, permanece desmayado un minuto. Como en 10.950 kilos hay, aproximadamente, 109 veces 100 kilos, resulta que Zam-bombo y Sylvia estuvieron desmayados durante 109 minutos, o sea, dos horas menos once minutos. No nos explicamos, por lo tanto, por qu al volver en s era ya de noche.
EnriquE JardiEl PoncEla
Nmeros realesSistemas de ecuaciones lineales3
833276 _ 0128-0201.indd 128 21/7/09 14:48:19
129
Amor se escribe sin hacheEnrique Jardiel Poncela
En esta obra, como en casi todas las de Jardiel Poncela, el humor es el recurso literario predominante y, a travs de un manejo casi surrealista del mismo, logra que los lectores (cuando se trata de novelas) y los espectadores (cuando se trata de piezas teatrales) revisen su percepcin de los problemas humanos ms importantes. En esta novela aborda el tema del amor a travs de la historia disparatada que viven los protagonistas, Sylvia y Zambombo. El texto anterior forma parte de una escena donde los protagonistas han llegado a una isla despus de naufragar el barco donde viajaban. All tienen que enfrentarse a cuatro problemas: localizar geogrficamente el sitio donde se encuentran, hacer fuego, construir una choza y encontrar vveres. Zambombo aborda el problema de la orientacin con tcnicas disparatadas, como la medida de la velocidad del viento mediante una regla de tres:
Para ello, por medio de dos rayas, seal en el suelo su estatura, que era de un metro y setenta y cinco. Coloc en una de las rayas un papelito y midi, reloj en mano, lo que el viento tardaba en llevar el papel a la otra rayita. Tard cuatro segundos. Y Zamb razon por medio de la regla de tres:
1,75 metros los recorre en 4 segundos
1.000 metros (o sea un kilmetro) los recorrer en x
De donde x era igual a 1.000 multiplicado por 4 y partido por 1,75.
Hizo las operaciones, contando por los dedos, y comprob que el viento corra que se las pelaba.
Luego Zambombo, como si fuera un robinsn, se dedica a hacer fuego frotando dos trozos de madera. Cuando consigue una llamita tras seis horas de trabajo, su propio sudor se la apaga. Sylvia le dice: Qu? No puedes hacer fuego?. Y l le contesta: Podr, porque traigo cerillas, pero si no las hubiera trado, no s cmo nos las habramos arreglado.... Una vez encendida una hoguera admirable, Zambombo determin construir una cabaa tal como se describe en el texto elegido.Finalmente, el cuarto problema, el de los vveres, lo resuelven comiendo los productos vegetales anunciados en el cartel que vieron al llegar en la playa. Veinte das despus, Sylvia haba adelgazado dieciocho libras y Zambombo, diecinueve. Pero se recuperaron cuando aprendieron a pescar piscis rodolphus valentinus.La ingenuidad romntica de Zambombo desencadena el desenlace de esta aventura y le sirve a Jardiel para plantear la siguiente y llegar, finalmente, a la conclusin moral de la novela.
3SolucioNario
Jardiel Poncela utiliza aqu el lenguaje algebraico como un recurso humorstico, una aplicacin novedosa, porque en Matemticas y en las otras ciencias se emplea para expresar propiedades o resolver problemas como este: Sylvia tiene 24 aos; tiene el doble de la edad que tena Zambombo cuando ella tena la edad que l tiene ahora. Qu edad tiene Zambombo?.
Sea x la edad que tiene Zambombo.
Entonces: 24 = 2(x - (24 - x)) 24 = 2(2x - 24) 12 = 2x - 24 2x = 36 x = 18 aos
L I T E R AT U R A Y M AT E M T I C A S
Amor se escribe sin hache[Esta novela es una historia de amor contada con un humor disparata-do. En la siguiente escena, los protagonistas, Sylvia y Zambombo, lle-gan a una isla despus de naufragar el barco donde viajaban. Una vez encendida una hoguera admirable, Zambombo determin construir una cabaa.]
S, s! palmote Sylvia. Una cabaa... y tu amor... Ah! Qu di-chosa soy!
Zamb se dirigi a la entrada del bosque y transport a la playa unos cuantos rboles que yacan en el suelo derribados, tal vez, por alguna tormenta. Calcul la resistencia de los rboles midiendo su dimetro y su longitud y escribi en su cuadernito:
A + B = (A + B) - (A + B) ? (A + B) + (A + B)Elev al cuadrado el primer trmino, y con gran sorpresa suya, que no crea saber tantas matemticas, obtuvo:
(A + B)2 = (A + B) - (A + B) ? (A + B) + (A + B)Y sustituyendo esto por las cifras averiguadas, logr:
732 = (10 + 10)La resistencia de los troncos del rbol era de 730 kilogramos.
Puso los troncos apoyados entre s, formando dos vertientes, en nme-ro de quince. De manera que cuando Zamb y Sylvia se metieron deba-jo, los kilos de rbol que se les cayeron encima, al desplomarse la ca-baa, fueron:
730 ? 15
o sea: 10.950.
Ambos se desmayaron a consecuencia del traumatismo. Al volver en s, era de noche.*
* Puede calcularse que, por cada 100 kilos que le caen en la cabeza a un ser humano, permanece desmayado un minuto. Como en 10.950 kilos hay, aproximadamente, 109 veces 100 kilos, resulta que Zam-bombo y Sylvia estuvieron desmayados durante 109 minutos, o sea, dos horas menos once minutos. No nos explicamos, por lo tanto, por qu al volver en s era ya de noche.
EnriquE JardiEl PoncEla
Nmeros realesSistemas de ecuaciones lineales
833276 _ 0128-0201.indd 129 21/7/09 14:48:21
130
Sistemas de ecuaciones lineales
ANTES DE COMENZAR RECUERDA
001 resuelve estos sistemas.
a) x yx y+ =- =
3 02 2 4
b) x yx y- =-- =
2 12 02
a) 4 4 02 2 4
11
x yx y
xy
+ =- =
== -
b) 422 1
2 0
1
32
3
x yx y
x
y
- = -- =
=
=
002 Escribe tres ecuaciones equivalentes a estas.
a) x - 2 = 7 b) 2x = -3 c) x2
4 6- =
a) Respuesta abierta. Por ejemplo: x - 9 = 0 2x - 4 = 14 2 - x = - 7
b) Respuesta abierta. Por ejemplo: 4x + 6 = 0 1 - 6x = 10 10x + 15 = 0
c) Respuesta abierta. Por ejemplo: x - 8 = 12 16 - 2x = - 24 3x = 60
003 Escribe dos sistemas equivalentes a estos.
a) - + =+ =
x yx y
2 02 52
b) x yx y- =- =
02 2 3
a) Respuesta abierta. Por ejemplo:
442 0
2 5x yx y
- =+ =
442 0
3 5x yx y
- =- =
b) Aunque el sistema es incompatible, podemos considerar sistemas equivalentes. Los siguientes sistemas se han obtenido multiplicando las ecuaciones por una constante:
- + =- =
x yx y
4 02 2 3
4 4 04 4 6
x yx y
- =- =
ACTIVIDADES
001 Escribe una ecuacin con tres incgnitas de coeficientes 4, -1 y 1, respectivamente, y con trmino independiente -2.
calcula tres soluciones de esta ecuacin.
La ecuacin es 4x - y + z = -2, y tres soluciones son: x = 1, y = 6 y z = 0x = -1, y = 0 y z = 2x = 0, y = 2 y z = 0
002 Determina una solucin de este sistema:
Respuesta abierta. Por ejemplo: x = 0, y = 2, z = 2
003 clasifica estos sistemas segn su nmero de soluciones.a)
b)
c)
a) Tiene infinitas soluciones. El sistema es compatible indeterminado.
b) No tiene solucin. El sistema es incompatible.
c)
Tiene solucin nica. El sistema es compatible determinado.
004 convierte este sistema en un sistema escalonado y resulvelo.
005 resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales utilizando el mtodo de Gauss.
833276 _ 0128-0201.indd 130 21/7/09 14:48:24
Sistemas de ecuaciones lineales
131
3SolucioNario
ANTES DE COMENZAR RECUERDA
resuelve estos sistemas.
a) b)
a) b)
Escribe tres ecuaciones equivalentes a estas.
a) x - 2 = 7 b) 2x = -3 c)
a) Respuesta abierta. Por ejemplo: x - 9 = 0 2x - 4 = 14 2 - x = - 7
b) Respuesta abierta. Por ejemplo: 4x + 6 = 0 1 - 6x = 10 10x + 15 = 0
c) Respuesta abierta. Por ejemplo: x - 8 = 12 16 - 2x = - 24 3x = 60
Escribe dos sistemas equivalentes a estos.
a) b)
a) Respuesta abierta. Por ejemplo:
b) Aunque el sistema es incompatible, podemos considerar sistemas equivalentes.
Los siguientes sistemas se han obtenido multiplicando las ecuaciones por una constante:
ACTIVIDADES
Escribe una ecuacin con tres incgnitas de coeficientes 4, -1 y 1, respectivamente, y con trmino independiente -2.
calcula tres soluciones de esta ecuacin.
La ecuacin es 4x - y + z = -2, y tres soluciones son: x = 1, y = 6 y z = 0x = -1, y = 0 y z = 2x = 0, y = 2 y z = 0
002 Determina una solucin de este sistema:
- - + =- =- =
x y zx
y z
02 0
0
Respuesta abierta. Por ejemplo: x = 0, y = 2, z = 2
003 clasifica estos sistemas segn su nmero de soluciones.a)
- + =- =-
2 22 2
x yx y
b)
- + =- =
x yx y
2 42 4 1
c)
3 2 12 3
x yx y+ =- =
a) Tiene infinitas soluciones. El sistema es compatible indeterminado.
b) No tiene solucin. El sistema es incompatible.
c) 3 2 12 3
114
x yx y
xy
+ =- =
== -
Tiene solucin nica. El sistema es compatible determinado.
004 convierte este sistema en un sistema escalonado y resulvelo.
x y zy z
x
+ - =- + =
- =
12 1
5
x
x
yy
zz
x yyy
zzz-
+-
-+
===
+--
-+-
=2
115
2 ===
+-
-+
===
116
2117
x y
yzzz
xxyz
= -==
5137
005 resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales utilizando el mtodo de Gauss.
a) b)x y zx y z
y z
y zx
+ - =- - + =
- =
- =-
2 2 101
12 22 33 2 7
y zx z
+ =- =
a)- -
-- -
-- -
-
1 2 21 1 10 1 1
101
11 2 20 1 10 1 1
111
1 2 20 1
---
-- 11
0 0 0
110
2 2 11
-
+ - =- =
x y zy z
= -= +=
xyz
11
R
b)0 1 12 2 13 0 2
137
2 2--
-
--
-
-
----
---
-
-10 1 13 0 2
317
2 2 10 11 10 6 7
315
2 2 10 1-
- -
-
-
--
-- --
- + =-
- -1
0 0 1
311
2 2 3
x y zy z ==
=
===
11
321z
xyz
833276 _ 0128-0201.indd 131 21/7/09 14:48:28
132
Sistemas de ecuaciones lineales
008 Discute utilizando el mtodo de Gauss.
Sistema incompatible
009 Discute y resuelve este sistema:
006 resuelve aplicando el mtodo de Gauss.
a) y zx yx z
+ =-- =+ =-
52 0
4
b) - - + + =- - =-
+ - - =+ - =-
x y z tx y t
x y z ty z t
43 2 22 2 0
4 4
a)0 1 12 1 01 0 1
504
1 0-
--
--
-
-
110 1 12 1 0
450
1 0 10-
-
- --
-
--
11 1
0 1 2
458
1 0 10 1 1-
-
--
- -
--
00 0 1
453-
--
++-
===
-
-
x
y
z
z
z
44
5
3
123
-
= -= -= -
xyz
b)
- -- -
- --
-
-
- -- -- -- - -
-
-
1 1 1 13 2 0 11 2 2 10 1 1 4
4204
- --
- -- - --
1 2 2 10 1 1 433 2 0 11 1 1 1
0424
- -- -
--
-- -
-
-
- --
--
--
-- -
- -- -
-
-
1 2 2 10 1 1 40 8 6 20 1 1 0
04244
1 2 2 10 1 1 40 0 14
- -- ---
---
-
300 0 2 4
04
348
1 2 2 10 1 1 40 0 14 300 0 0 2
04
3422
- ----
--
--
-
+ -+
----
x y
yzzz
ttt
2 2
144
3022
0434
22
19222
t
xyz
====
--
= -= -= - 66
11t = -
007 Discute estos sistemas de ecuaciones lineales utilizando el mtodo de Gauss.
a) xx
yyy
zzz
-+-
-+-
===
2 2 101
b)
- + - =- - =- - =
2 12 2 3
2 7
x y zx y z
y z
a) - -
-- -
-- -
-
1 2 21 1 10 1 1
101
1 2
----
--
20 1 10 1 1
111
1 2 20 1 10
00 0
110-
Sistema compatible indeterminado
b) - -
- -- -
----
2 1 12 2 10 1 2
137
2
----
--- -- -
-1 10 1 20 1 2
147
2
11 10 1 20 0 0
143
-- -
-- - -
Sistema incompatible
833276 _ 0128-0201.indd 132 21/7/09 14:48:31
Sistemas de ecuaciones lineales
133
3SolucioNario
008 Discute utilizando el mtodo de Gauss.
- + + - =-- - =+ - =-
- + - + =
x y z tx y t
x z tx y z t
2 52 0
3 22 0
- -- -
-- -
-
-
- -- -- - -
- -
-
-
1 1 1 22 1 0 11 0 1 31 1 2 1
5020
-- -
-
- - -- -
-1 0 1 31 1 1 22 11 0 11 1 2 1
2500
-- -
--
-- -
--
--
- -- -
--
-
- -- -
--
-1 0 1 30 1 2 50 1 2 50 1 1 2
2742
---
1 0 1 30 1 2 50 0 0 00 0 33 3
2735-
----
Sistema incompatible
009 Discute y resuelve este sistema:
2 12 0
2
x y zx y zx y z
+ - =- - + =
- + =
- --
-
--- -
-
-2 1 11 2 11 1
102
1
111 2 12 1 1
201
1 10
- -
-
--
- - -- +
- - -
-
-
--3 1
0 3 1 2
223
1 1
0 3 10 0
221
- +- -
-
--
Si =--
-
-
--0
1 1 00 3 10 0 0
221
Sistema incompatible
Si
-- +
- -
-
--0
1 10 3 10 0
221
Sistema compatible determinado
x yy
zzz
x
--
++ +
-
=== -
= +
3 1221
1 2
3
( )
y
z
= -
=
-
1
3
1
0con R { }}
resuelve aplicando el mtodo de Gauss.
a) b)
a)0 1 12 1 01 0 1
504
1 0-
--
--
-
-
110 1 12 1 0
450
1 0 10-
-
- --
-
--
11 1
0 1 2
458
1 0 10 1 1-
-
--
- -
--
00 0 1
453-
--
++-
===
-
-
x
y
z
z
z
44
5
3
123
-
= -= -= -
xyz
b)
- -- -
- --
-
-
- -- -- -- - -
-
-
1 1 1 13 2 0 11 2 2 10 1 1 4
4204
- --
- -- - --
1 2 2 10 1 1 433 2 0 11 1 1 1
0424
- -- -
--
-- -
-
-
- --
--
--
-- -
- -- -
-
-
1 2 2 10 1 1 40 8 6 20 1 1 0
04244
1 2 2 10 1 1 40 0 14
- -- ---
---
-
300 0 2 4
04
348
1 2 2 10 1 1 40 0 14 300 0 0 2
04
3422
- ----
--
--
-
+ -+
----
x y
yzzz
ttt
2 2
144
3022
0434
22
19222
t
xyz
====
--
= -= -= - 66
11t = -
Discute estos sistemas de ecuaciones lineales utilizando el mtodo de Gauss.
b)
a)
Sistema compatible indeterminado
b)
Sistema incompatible
833276 _ 0128-0201.indd 133 21/7/09 14:48:33
134
Sistemas de ecuaciones lineales
013 utiliza el teorema de rouch-Frbenius para determinar si estos sistemas son compatibles, y resulvelos aplicando el mtodo de Gauss.
a)
b)
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
010 Discute y resuelve el siguiente sistema:
x y zx yx z
- + =-- =- =
2 22 2 1
3
1 2 12 2 01 0
213
1 2--
-
-
-
---
-
110 2 20 2 1
255
1 2--
--
-- -
-
-
----
--
--
-
10 2 20 0 1
250
Si
-
--
-
--
--
11 2 10 2 20 0 1
250
=
=
=
Sistema compatible
x
y
z
35
20
Si =-
--
-
-- -
--
11 2 10 2 20 0 0
250
Sistema compatible indeterminado
x yy
zz
x a
ya
z
- +-
===
-
= +
= +
=
22 2
0
250
35 2
2
aa
a
con R
011 Escribe mediante ecuaciones este sistema, y resulvelo aplicando el mtodo de Gauss.
1 2 22 1 10 2 1
-- -
-
xyz
= -
-
121
xx
yyy
zzz
-++-
--+
===
--
22
2
2 121
- -
-- -
--- -
---
1 2 22 1 10 2 1
121
--
- -
--
-
--
1 2 20 5 50 2 1
101
1 2 20 5 50 0 5
105
--- -
--
x y zy z
z
xyz
+ - =- =- = -
===
-- -
2 2 15 5 0
5 5
1111
012 Determina la expresin matricial de este sistema, y resulvelo como si fuera una ecuacin matricial.
--
+--
+++
===-
32
2 021
xxx
yyy
zzz
A Xxyz
=-- -
-
=
-
-
3 1 21 2 11 1 1
= -
-
- B
021
833276 _ 0128-0201.indd 134 21/7/09 14:48:37
Sistemas de ecuaciones lineales
135
3SolucioNario
AX B X A B= = - 1
A A= =- -
--
--
-11 01
11
1 3 52 5 13 2 7
1
X =- -
--
--
-
-1
11
1 3 52 5 13 2 7
0 22
1
111-
=
===
xyz
111
013 utiliza el teorema de rouch-Frbenius para determinar si estos sistemas son compatibles, y resulvelos aplicando el mtodo de Gauss.
a)
2 3 22 0
4 3 2
x y zx y zx y z
- + =-- - + =
- + =-
b)
xxx
yy
zzz
--
+-
-+-
===
233
207
1
a) A A=-
- --
=
-
-
-2 3 11 1 21 4 3
2*
-- -- -
- -
-
-
3 1 21 1 2 01 4 3 2
A
A
=-
- - = - =
- -- -
-
--
-
0
2 31 1
5 0
2 3 21 1 01
Rango ( ) 2
-- -= =
4 20 Rango ( *) 2A
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
-
--
--- -
-
-
-
2 3 11 1 21 4 3
202
1
--- -
-
-
-
-
--
4 31 1 22 3 1
202
1 4
---
- --
-
--
-30 5 50 5 5
222
1 4 3 00 5 5
0 0 0
220
---
- -
x y zy z
x
y- + = -- + = -
= - +
= +4 3 25 5 2
2 5
52 5
5
zz =
con R
b) A A=-
- -- -
- --
-
1 3 22 3 11 0 1
* ==-
- -- -
- --
-
1 3 2 12 3 1 01 0 1 7
A
A
=
- - = =- -
0
1 32 3
3 0 Rango ( ) 2
Discute y resuelve el siguiente sistema:
Escribe mediante ecuaciones este sistema, y resulvelo aplicando el mtodo de Gauss.
Determina la expresin matricial de este sistema, y resulvelo como si fuera una ecuacin matricial.
833276 _ 0128-0201.indd 135 21/7/09 14:48:41
136
Sistemas de ecuaciones lineales
Rango (A) = Rango (A*) = 3 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
016 aade una ecuacin al sistema de ecuaciones para que se convierta en:
a) un sistema compatible determinado.
b) un sistema compatible indeterminado.
c) un sistema incompatible.
a) Respuesta abierta. Por ejemplo:
b) Respuesta abierta. Por ejemplo:
c) Respuesta abierta. Por ejemplo:
017 Evala si se puede aplicar la regla de cramer a estos sistemas de ecuaciones.
a)
b)
a) El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas.
b) El nmero de ecuaciones no es el mismo que el nmero de incgnitas, por tanto, no se puede aplicar la regla de Cramer.
- -- --
= =1 3 12 3 01 0 7
18 0 Rango ( *) 3A
Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible
014 Mediante el teorema de rouch-Frbenius, determina si el sistema es compatible.
2 13 0
3 2 12 4
x y z tx y z t
x yy z
+ - + =- + - =
- =- =
A =
-- --
-
- --- -
- -
2 1 1 11 3 1 13 2 0 00 1 2 0
=
-- --
-
- --- -
-
A*
2 1 1 1 11 3 1 1 03 2 0 0 10 1 22 0 4-
A =
-- --
-
=
--
- --- -
- -
--
2 1 1 11 3 1 13 2 0 00 1 2 0
2 1 1 13 2 00 03 2 0 00 1 2 0
0--
=--
2 1 11 3 13 2 0
11 0-
--
---
= - = Rango ( ) 3A
2 1 1 11 3 1 03 2 0 10 1 2 4
2 1 1 11 3 1 01 3
---
-
- -- --
---
-
=
--- --
-- -
= =1 0
8 3 2 0
0 Rango ( *) 3A
Rango (A) = Rango (A*) = 3 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
015 Discute este sistema aplicando el teorema de rouch-Frbenius.
x y z tx y z t
y ty z
+ - + =- - + - =
- - =- =-
13 2 0
2 12 3
A =
-- - -
- --
- - --
- -- - -
1 1 1 11 3 1 20 2 0 10 1 2 0
=
-- - -
-
- - - -- -
-A*
1 1 1 1 11 3 1 2 00 2 -- -
- - --
- -
0 1 1
0 1 2 0 3
A =
-- - -
- --
=
-- - --
- -- - -
- -1 1 1 11 3 1 20 2 0 10 1 2 0
1 1 1 110 2 0 10 2 0 10 1 2 0
0- -- --
=--- -
833276 _ 0128-0201.indd 136 21/7/09 14:48:44
Sistemas de ecuaciones lineales
137
3SolucioNario
- --
-= - =
-- -- -
1 3 10 2 00 1 2
4 0 Rango ( ) 3A
- - -- -
- - -- -
- --- -
-- -
=
--
1 1 1 11 3 1 00 2 0 10 1 2 3
1 1 1 10 2 -- -
- ---
- -
= =0 10 2 0 10 1 2 3
0 Rango ( *) 3A
Rango (A) = Rango (A*) = 3 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
016 aade una ecuacin al sistema de ecuaciones 2 2 13
x y zx y z+ - =
- - + =
para que se convierta en:
a) un sistema compatible determinado.
b) un sistema compatible indeterminado.
c) un sistema incompatible.
a) Respuesta abierta. Por ejemplo:
2
2
2 131
xxx
yyy
zzz
-+-+
-++
===
b) Respuesta abierta. Por ejemplo:
2 2 134
xxx
yyy
zz-
+-+
-+
===
c) Respuesta abierta. Por ejemplo:
2 2 131
xxx
yyy
zzz
-+-+
-++
===
017 Evala si se puede aplicar la regla de cramer a estos sistemas de ecuaciones.
a)
x y zx y z
y z
+ + =-- + =- + =-
24
2 3
b)
x y z tx y z t
y t
+ + + =- + - =-
- + =
2 03 2 2
2 3 3
a) El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas.
1 1 11 1 10 2 1
2 0---
= - Se puede aplicar la regla de Cramer.
b) El nmero de ecuaciones no es el mismo que el nmero de incgnitas, por tanto, no se puede aplicar la regla de Cramer.
Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible
Mediante el teorema de rouch-Frbenius, determina si el sistema es compatible.
Rango (A) = Rango (A*) = 3 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Discute este sistema aplicando el teorema de rouch-Frbenius.
833276 _ 0128-0201.indd 137 29/7/09 12:00:11
138
Sistemas de ecuaciones lineales
020 resuelve este sistema de ecuaciones utilizando la regla de cramer, si es posible.
El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas.
021 resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante la regla de cramer.
a)
b)
018 Escribe dos sistemas de ecuaciones lineales a los que se pueda aplicar la regla de cramer y que cumplan cada una de estas condiciones.
a) Tenga 3 ecuaciones. b) Tenga 4 incgnitas.
a) Respuesta abierta. Por ejemplo:
xx
yyy
z
z
++
+
+
===
100
xx
yyy
zzz
+-
+++
===
200
b) Respuesta abierta. Por ejemplo:
xxx
yyyy
zzzz
tt
t2
4023
+++
+--+
+-
+
====
xxx
yyyy
zzzz
tt
t
-++
+--+
--
+
====
---
2
4211
019 Evala si se puede aplicar la regla de cramer a este sistema, y si se puede, calcula |Ax|, |Ay| y |Az| y resuelve el sistema.
- + - =- + =- + =-
x y zx y z
x z
2 22 1
2 1
El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas.
- --
-= -
-- -
- -
1 2 11 1 22 0 1
7 0 Se puede aplicar la regla de Cramer.
A xA
A
A
xx
y
=-
--
= - = =
=- -
- -- -
- --
-
2 2 11 1 21 0 1
7 1
1 2 11
-- --
- -- -
-
- -= - = =
=-
-- -
1 22 1 1
14 2
1 2 21 1 12 0
y AA
A
y
z
117 1= - = = z A
Az
833276 _ 0128-0201.indd 138 21/7/09 14:48:49
Sistemas de ecuaciones lineales
139
3SolucioNario
020 resuelve este sistema de ecuaciones utilizando la regla de cramer, si es posible.
- + - + =- - + - =-
- - =-- =-
2 43 2 8
2 42 1
x y z tx y z t
y ty z
El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas.
- -- - -
- --
=
-- - -
- -
2 1 1 11 3 1 20 2 0 10 1 2 0
0 7 3 51 3 1 20 2 0 100 1 2 0
7 3 52 0 11 2 0
9 0
-
=-
- --
=
Se puede aplicar laa regla de Cramer.
Ax =
-- - -- - -- -
=
-- - ---
- -
- -4 1 1 18 3 1 24 2 0 11 1 2 0
0 5 99 10 11 17 20 6 8 11 1 2 0
5 9 111 17 26 8
-- -
-
- -- -
- -
=-
- -- -11
0=
Ay =
- -- - -
- -- -
=
-- --
- -- -
-2 4 1 11 8 1 20 4 0 10 1 2 0
0 20 33 51 8 1 20 4 0 10 1 2 0
20 3 54 0 11
--
- -- -
--- - -- -
- -
=-
- -- --
= --2 0
3
Az =
-- - - -
- - --
=
-- - -
-- - -
- -2 1 4 11 3 8 20 2 4 10 1 1 0
2 1 55 11 3 11 20 2 6 10 1 0 0
2 5 11 11 2
-
-- - - -
- -- - - -- - - =
-- - --- - -
=0 6 1
3
At =
- -- - -
- -- -
=
-- --
- -- -
- -2 1 1 41 3 1 80 2 0 40 1 2 1
0 7 33 201 3 1 80 2 0 40 1 2 1
7 3 202 0 41
- - -- -
- -
=-
- --- -- -
--
- -- -=
2 142
xA
Ay
A
Az
A
At
Ax y z t= = = = - = = =
01
3
1
3 AA= 14
3
021 resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante la regla de cramer.
a)
3 2 3 04 1
2 3 7 1
x y zx y zx y z
+ - =- + =+ - =-
b)
x y zx y z
x y z
+ - =- + =+ - =-
01
2 4 4 1
a) Rango ( ) 23 2 31 1 42 3 7
0 3 21 1
5 0-
--
= - = - = A
Escribe dos sistemas de ecuaciones lineales a los que se pueda aplicar la regla de cramer y que cumplan cada una de estas condiciones.
a) Tenga 3 ecuaciones. b) Tenga 4 incgnitas.
a) Respuesta abierta. Por ejemplo:
b) Respuesta abierta. Por ejemplo:
Evala si se puede aplicar la regla de cramer a este sistema, y si se puede, calcula |Ax|, |Ay| y |Az| y resuelve el sistema.
El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas.
833276 _ 0128-0201.indd 139 21/7/09 14:48:52
140
Sistemas de ecuaciones lineales
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Consideramos el sistema:
La solucin es:
023 resuelve este sistema:
Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas
Sistema compatible determinado
La solucin es: x = 0, y = 0, z = 0
024 Escribe un sistema de ecuaciones lineales homogneo de cuatro ecuaciones y que tenga:
a) Solucin nica. b) infinitas soluciones.
a) Respuesta abierta. Por ejemplo:
b) Respuesta abierta. Por ejemplo:
3 2 01 1 12 3 1
0--
= = =
Sistemas de ecuaciones lineales
141
3SolucioNario
2113
1324
3124
2204
4044
- --
-
--
-
--
---
--
-
2000
1555
3111
2222
4444
--- -
2000
1500
3100
2200
44000
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Consideramos el sistema: 2 4 3 23 2
x y z tx y z t
+ = + -- - = - +
Az t
z tz t x
A
A
z tx
x= + -- + - = - - + = =+ -4 3 2 1
2 312 8 4
12 8 455
2 4 3 21 2
8 28 2
5A
z tz t
z t yA
A
z ty
y= + -- - + = + - = =- - +
La solucin es:
x y z t= + - = - - + = = 12 8 4
5
8 2
5
, , , con , R
023 resuelve este sistema: 5 2 02 0
0
x y zx y zx y z
- + =- + - =- - - =
5 1 22 1 11 1 1
3 0-
- -- - -
= - Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas
Sistema compatible determinado
La solucin es: x = 0, y = 0, z = 0
024 Escribe un sistema de ecuaciones lineales homogneo de cuatro ecuaciones y que tenga:
a) Solucin nica. b) infinitas soluciones.
a) Respuesta abierta. Por ejemplo:
xxx
yyyy
zzzz
tt
t2
0000
+++
+--+
+-
+
====
b) Respuesta abierta. Por ejemplo:
xxx
yyyy
zz
z
tt
t
+++
+-
+
+-
+
====
0000
Consideramos el sistema:
resuelve el sistema utilizando la regla de cramer.
833276 _ 0128-0201.indd 141 29/7/09 12:00:33
142
Sistemas de ecuaciones lineales
Si Se puede aplicar la regla de Cramer.
028 resuelve el sistema segn los valores de a.
Si Como el sistema es homogneo la solucin es: x = 0, y = 0, y z = 0
La solucin es:
029 resuelve por los mtodos clsicos: reduccin, igualacin o sustitucin, los sistemas de ecuaciones y clasifcalos atendiendo a su nmero de soluciones.
025 Discute este sistema en funcin de los valores de m.
- + - =-- + =
- - + =-
x y zx y z mx y mz
14 2 2 23 2 4
- --
- -= -
1 1 14 2 23 2
4 2m
m
Si m A 2 0 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si m A= =2 0
-- = - =
1 14 2
2 0 Rango ( ) 2A
- --
- - -= =
1 1 14 2 43 2 4
2 0 Rango ( *) 3A
Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible
026 Discute el sistema segn los valores de a.
2 3 03 0
5 3 0
x y zx ay zx y z
- + =- - =+ - =
El sistema es homogneo Rango (A) = Rango (A*) Sistema compatible
2 3 11 35 3 1
7 63-- -
-= +a a
Si a A - 9 0 Rango (A) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a A= - =9 0
2 31 9
21 0- = Rango (A) = 2 < n.o de incgnitas
Sistema compatible indeterminado
027 resuelve este sistema en funcin de los valores de m.
- + - =-- + =
- - + =-
x y zx y z mx y mz
14 2 2 23 2 4
833276 _ 0128-0201.indd 142 21/7/09 14:49:02
Sistemas de ecuaciones lineales
143
3SolucioNario
Si m A m = - 2 4 2 0 Se puede aplicar la regla de Cramer.
A mm
m m m mx =- -
-- -
= - + - = - - -1 1 1
2 2 24 2
2 6 4 2 1 22 ( )( )
A mm
m m Ay z=- - -
- -= - + - =
- --
1 1 14 2 23 4
2 71 1 142( ) 22 23 2 4
22 10m m- - -
= -
xA
A
m m
mmx= = - - -
-= - +
2 1 2
4 21
( )( )
yA
A
m m
m
m m
my= = - + -
-= + -
-
2 7
4 2
7
2
2 2( )
zA
A
m
m
m
mz= = -
-= -
-
22 10
4 2
5 11
2
028 resuelve el sistema segn los valores de a.
2 3 03 0
5 3 0
x y zx ay zx y z
- + =- - =+ - =
Si a A a - = + 9 7 63 0 Como el sistema es homogneo la solucin es: x = 0, y = 0, y z = 0
Si a A= - =9 0 2 31 9
21 02 3- = - = - Consideramos el sistema: x y z
xx y z+ =9 3
Azz
Azz
z
xA
Ay
A
x y
x
= - - = = - =
= = =
33 9
021 3
7
0 yyA
z z
= =721 3
La solucin es: x y z= = = 03
, , con R
029 resuelve por los mtodos clsicos: reduccin, igualacin o sustitucin, los sistemas de ecuaciones y clasifcalos atendiendo a su nmero de soluciones.
a) 2 5 13 2 11
x yx y+ =
- + =-
c) 2 6 53 9 1
x yx y+ =
- - =
e) 3 33 4 112 2 8
y zx yx z
+ =+ =
- + =-
b) 4 6 106 9 15
x yx y- =
- + =-
d) 2 5 41
3 2 5
x yx yx y
+ =- - =
+ =-
f ) 3 2 12 4
4 3
a ba b
a b
- =-- - =-
+ =
Discute este sistema en funcin de los valores de m.
Si Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si
Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible
Discute el sistema segn los valores de a.
El sistema es homogneo Rango (A) = Rango (A*) Sistema compatible
Si Rango (A) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si
Rango (A) = 2 < n.o de incgnitas
Sistema compatible indeterminado
resuelve este sistema en funcin de los valores de m.
833276 _ 0128-0201.indd 143 21/7/09 14:49:08
144
Sistemas de ecuaciones lineales
031 resuelve aplicando el mtodo de Gauss.
a)
2 5 13 2 11
31
x yx y
xy
+ =- + = -
== -
Sistema compatible determinado
b)
46
69
1015
2 3 55 3
2xx
yy
x y x y-
-+
== -
- = = + , == con R
Sistema compatible indeterminado
c)
23
69
51
66
1818
152
xx
yy
xx
yy-
+-
==
-
+-
==
Sistema incompatible
d)
2
3
5
2
41
5
32
xx
x
yyy
xy
-+-+
=== -
= -=
Sistema compatible determinado
e)
32
34
2
311
83
343
xx
yy
z
zxx
yy
-+
+
+
===-
++
yy
zx
yyy
z+ ===
+-
+ ===-
3117
3345
311
10
=== -
xyz
12
3
Sistema compatible determinado
f )
32
2
4
14
3
66
4aaa
bbb
aaa
b-
--+
===
--
---+
334
212
3
12
1 8 3bb
ab
===
--
==
+
Sistema incompatible
030 Dado el sistema x yx y+ =- =
2 13 2
, escribir una tercera ecuacin de la forma ax + by = c
(distinta que las anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y dos incgnitas resultante siga siendo compatible.
(Madrid. Junio 2004. Opcin B. Ejercicio 2)
x
x
y
y
x
x
y
y3
2 1
2
3
3
6 3
2
+-
==
-
++
== -
xx
y
=
=
5
71
7
Respuesta abierta. Por ejemplo:
xxx
yyy
37
2
7
126
+-+
===
833276 _ 0128-0201.indd 144 29/7/09 12:00:56
Sistemas de ecuaciones lineales
145
3SOLUCIONARIO
031 Resuelve aplicando el mtodo de Gauss.
a) 2 3 5 14 7 13 1
2 3 7 3
x y zx y z
x y z
+ + =+ + =+ + =
d) 3 33 4 112 2 8
y zx yx z
+ =+ =
+ =
g) 3 2 72 5 2
3 4 19 8
x y zx y z
x y z
+ = + + =+ + =
b) x y zx y z
x y z
+ + =+ =
+ + =
2 11
2 3 1
e) x y zx y zx y z
= + =+ + =
2 12 2
2 3
h) 2 4 73 2 3 4
3 8 12
a b ca b ca b c
= + = =
c) 5 2 3 53 2 12
2
x y zx y z
x y z
+ + = + =
+ + =
f ) + =+ =
+ =
p q rp r
p q r
3 123 2 7
5 6 4 5
a)2 3 54 7 132 3 7
113
2 3 50 1 3
00 0 2
134
2 3 532
+ ++
x yy
zzz
====
===
134
13
2
xyz
b)1 2 11 1 12 3 1
111
1 2 10 1 20
11 1
101
1 2 10 1 20 0 1
101
+
+
===
x yy
zzz
22
10
1
= ==
xyz
22
1
c)5 2 31 3 21 1 1
5122
1 1 11 3 2
55 2 3
2125
1 1 10 4 10 3 2
214
5
1 1 10 4 10 0 11
21422
+ +
===
x y
yzzz
411
21422
xxyz
===
13
2
d)0 3 13 4 02 0 2
3118
3 4 00 3 1
2 0 2
1138
3 4 00 3 10 8 6
11322
3 4 00 3 10 0 10
113
30
++
===
3 43
10
113
30
x yy z
z
===
xyz
12
3
e)1 2 11 1 21 2 1
123
1 2 10 1
33
0 4 2
134
1 2 10 1 30 0 10
13
+
===
8
23
10
13
8
x yy
zzz
=
=
=
x
y
z
13
54
5
a)
Sistema compatible determinado
b)
Sistema compatible indeterminado
c)
Sistema incompatible
d)
Sistema compatible determinado
e)
32
34
2
311
83
343
xx
yy
z
zxx
yy
+
+
+
===
++
yy
zx
yyy
z+ ===
+
+ ===
3117
3345
311
10
===
xyz
12
3
Sistema compatible determinado
f )
Sistema incompatible
Dado el sistema , escribir una tercera ecuacin de la forma ax + by = c
(distinta que las anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y dos incgnitas resultante siga siendo compatible.
(Madrid. Junio 2004. Opcin B. Ejercicio 2)
Respuesta abierta. Por ejemplo:
833276 _ 0128-0201.indd 145 3/8/09 14:00:48
146
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistema compatible indeterminado
Sistema compatible determinado
Sistema incompatible
Sistema compatible indeterminado
033 resolver el sistema de ecuaciones lineales:
(Extremadura. Septiembre 2005. Repertorio A. Ejercicio 2)
034 En un sistema hay, entre otras, estas dos ecuaciones: x + 2y - 3z = 5 y 2 x + 4y - 6z = -2.
Qu puede decirse de las soluciones del sistema?
(Catalua. Septiembre 2005. Cuestin 1)
Como los coeficientes de las incgnitas son proporcionales y los trminos independientes no lo son, el sistema es incompatible.
f )- -
-
- -1 3 13 0 25 6 4
1275
1 3 1 00 9 1
0 9 1
124365
1 3 10 9-
-
- -- 11
0 0 0
124322
Sistema incompatible
g)3 1 21 2 53 4 19
72
8
1 2 53
-- -
- --
-
-1 2
3 4 19
278
1 2 50 5 170 10
334
212
-
- -
+ +1 2 50 5 170 0 0
210
25
x yy ++
==
-
= -
= -
=
517
21
12 9
51 17
5
zz
x
y
z
con
R
h)2 4 13 2 31 3 8
74
12
- -- -- - -
---
- -
- ---
1 3 83 2 32 4 1
1247
1 33 80 11 210 10 17
123231- - -
1 3 80 11 210 0 23
123221
3
-
+x y111
82123
1232
21
123
23
yzzz
x
y++
=== -
=
= 110723
21
23z = -
032 utiliza el mtodo de Gauss para discutir los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
a) 64
32
96
xx
yy-
-+
==-
e) - +-
==-
46
23
85
pp
b) - -+
==-
xx
yy2
3 21
f ) 32
3 30
xx
y- ==
c) xxx
yyy
zzz
25
25
2
4
4616
---
+++
===
g) 235
347
2351
xxx
yyy
zzz
+++
-++
===
d) 32
2
3
2
2
10
1
aa
bbb
ccc
++
+++
===-
h) 32 3
1124
2519
aa
bbb
ccc
-++
-++
===
a) S6 34 2
96
6 30 0
90
-- -
-
iistema compatible indeterminado
b) - - -
- --
1 32 1
21
1 30 5
23
Sistema compatible determinado
833276 _ 0128-0201.indd 146 21/7/09 14:49:21
Sistemas de ecuaciones lineales
147
3SolucioNario
c)1 1 22 2 15 5 4
46
16
1 1 20
---
- 00 3
0 0 6
424
1 1 20 0 30 0
--
--
--
00
420
-
Sistema compatible indeterminado
d)3 2 22 1 10 3 2
101
3 2 20 1 10 3-
22
121
3 2 20 1 10 0 1
127-
- -
Sistema compatible determinado
e) - --
- --
4 26 3
85
4 20 0
87
Sistema incompatible
f ) 3 32 0
30
23
03
03
20
0-
-
--
3
03
Sistema compatible determinnado
g)2 3 13 4 25 7 1
351
2 3 10 1 7
-
--
00 1 7
31
13
2 3 10 1 70 0 0
31
- -
--
--
14Sistema incompatible
h)3 1 12 3 20 11 4
25
19
3 1 10
--
- 111 4
0 11 4
21919
3 1 10 11 40 0
-
00
2190
Sistema compatible indeterminado
033 resolver el sistema de ecuaciones lineales:
y x zx z yy z x
- =- =+ =
(Extremadura. Septiembre 2005. Repertorio A. Ejercicio 2)
-
-
+-+
--+
===
- -- -
xxx
yyy
zzz
000
1 1 11 1 1
--
- --
1 1 1
000
1 1 10 0 20 0 2
000
- --
1 1 10 0 20 0 0
000
- + - =- =
===
x y zz
xyz
02 0
00
con
R
034 En un sistema hay, entre otras, estas dos ecuaciones: x + 2y - 3z = 5 y 2 x + 4y - 6z = -2.
Qu puede decirse de las soluciones del sistema?
(Catalua. Septiembre 2005. Cuestin 1)
Como los coeficientes de las incgnitas son proporcionales y los trminos independientes no lo son, el sistema es incompatible.
Sistema incompatible
- -
+ +1 2 50 5 170 0 0
210
25
x yy ++
==
-
= -
= -
=
517
21
12 9
51 17
5
zz
x
y
z
con
R
1 3 80 11 210 0 23
123221
3
-
+x y111
82123
1232
21
123
23
yzzz
x
y++
=== -
=
= 110723
21
23z = -
utiliza el mtodo de Gauss para discutir los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
833276 _ 0128-0201.indd 147 21/7/09 14:49:23
148
Sistemas de ecuaciones lineales
039 resolver el sistema de ecuaciones: . Hallar dos constantes y
de manera que al aadir al sistema anterior una tercera ecuacin: 5x + y + z = , el sistema resultante sea compatible indeterminado. (Madrid. Junio 2005. Opcin B. Ejercicio 1)
Para que el sistema sea compatible indeterminado debe ocurrir que:
+ 6 = 0 = -6b - 5 = 0 b = 5
040 Dadas las matrices y , donde a y b son nmeros reales,
halle los valores de a y b que hacen que las dos matrices conmuten, es decir, que hacen que se cumpla AB = BA.(Catalua. Ao 2005. Serie 4. Cuestin 1)
Los productos son iguales para cualquier valor de a y de b.
041 considera las matrices y .
Qu condiciones han de cumplir x, y y z para que las matrices A y B conmuten, es decir, para que AB = BA?(Cantabria. Septiembre 2005. Bloque 2. Opcin B)
035 Dar un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incgnitas que sea incompatible. (Extremadura. Junio 2005. Repertorio B. Ejercicio 1)
Respuesta abierta. Por ejemplo:
xxx
yyy
zzz2
31
0
+-+
+-+
===
-
036 Dado el sistema 2 22
11
xx
yy
zz
++
-+
==
, escribir una tercera ecuacin de la forma
x + y + z = 1 (distinta que las anteriores) de manera que el sistema de 3 ecuaciones y 3 incgnitas resultante sea compatible indeterminado.(Madrid. Junio 2004. Opcin B. Ejercicio 2)
Respuesta abierta. Por ejemplo:
2 225
111
xx
yy
zzz
++
-+
===
037 Dado el sistema de ecuaciones 3 2 52 3 4
x y zx y z- + =- + =
:
a) aade una ecuacin lineal de manera que el sistema resultante sea incompatible.
b) aade una ecuacin lineal de manera que el sistema resultante sea compatible indeterminado. resuelve el sistema.
(Catalua. Junio 2000. Cuestin 3)
a) Respuesta abierta. Por ejemplo:
3 2 52 3 43 2 1
x y zx y zx y z
- + =- + =- + =
b) Respuesta abierta. Por ejemplo:
32
23
541
3 2xxx
yyy
zz
xxx
yy
--+
++
===
-++
yy
z xx
yy
z+ ===
-+
+ ===
511
3 2
0
510
= -== +
xyz
1
2 5
con R
038 Discute por el mtodo de Gauss el sistema:
x y zx y zx y az
+ + =- + + =- + + =
2 23 0
1
833276 _ 0128-0201.indd 148 29/7/09 12:01:19
Sistemas de ecuaciones lineales
149
3SolucioNario
1 2 11 3 11 1
201
1 2 10 5 20 3 1
--
a
++
- -
a a
223
1 2 10 5 20 0 1 5
229
Si Siaa
- -
1
5
1 2 10 5 20 0 1 5
229
sstema compatible determinado
Si Sistea =-
1
5
1 2 10 5 20 0 0
229
mma incompatible
039 resolver el sistema de ecuaciones: x y zx y z+ + =
+ - =
2 3 12 2
. Hallar dos constantes y
de manera que al aadir al sistema anterior una tercera ecuacin: 5x + y + z = , el sistema resultante sea compatible indeterminado. (Madrid. Junio 2005. Opcin B. Ejercicio 1)
1 2 32 1 15 1
12
1 2 30 3 70
-
- -- b
99 15
10
5
1 2 30 3 70 0 b - -
- -
+
66
10
5b -
Para que el sistema sea compatible indeterminado debe ocurrir que:
+ 6 = 0 = -6b - 5 = 0 b = 5
040 Dadas las matrices A a=
10 1
y B b=
10 1
, donde a y b son nmeros reales,
halle los valores de a y b que hacen que las dos matrices conmuten, es decir, que hacen que se cumpla AB = BA.(Catalua. Ao 2005. Serie 4. Cuestin 1)
AB a b a b=
=
+
10 1
10 1
10 1
BA b a a b=
=
+
10 1
10 1
10 1
AB BA a b a b=
=+ = +
==
1 1
0 01 1
Los productos son iguales para cualquier valor de a y de b.
041 considera las matrices A =
1 23 4
y B x yz
=
0
.
Qu condiciones han de cumplir x, y y z para que las matrices A y B conmuten, es decir, para que AB = BA?(Cantabria. Septiembre 2005. Bloque 2. Opcin B)
Dar un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incgnitas que sea incompatible. (Extremadura. Junio 2005. Repertorio B. Ejercicio 1)
Respuesta abierta. Por ejemplo:
Dado el sistema , escribir una tercera ecuacin de la forma
x + y + z = 1 (distinta que las anteriores) de manera que el sistema de 3 ecuaciones y 3 incgnitas resultante sea compatible indeterminado.(Madrid. Junio 2004. Opcin B. Ejercicio 2)
Respuesta abierta. Por ejemplo:
Dado el sistema de ecuaciones :
a) aade una ecuacin lineal de manera que el sistema resultante sea incompatible.
b) aade una ecuacin lineal de manera que el sistema resultante sea compatible indeterminado. resuelve el sistema.
(Catalua. Junio 2000. Cuestin 3)
a) Respuesta abierta. Por ejemplo:
b) Respuesta abierta. Por ejemplo:
32
23
541
3 2xxx
yyy
zz
xxx
yy
--+
++
===
-++
yy
z xx
yy
z+ ===
-+
+ ===
511
3 2
0
510
= -== +
xyz
1
2 5
con R
Discute por el mtodo de Gauss el sistema:
833276 _ 0128-0201.indd 149 29/7/09 12:01:26
150
Sistemas de ecuaciones lineales
044 Escribe en forma matricial, y luego resuelve empleando la matriz inversa.
AB x yz
x z yx
=
=
++
1 23 4 0
23
44 3z y
BA x yz
x y x=
=
+ +0
1 23 4
3 2 4 yyz z2
AB BA
x z x yy x y
x z zy z
=
+ = += +
+ ==
2 32 4
3 43 2
+
+
====
23
33
3
2
32
0000
xx
yy
y
z
zz
2 3 03 0 30 3 2
000
2 3 00 9 60 3 2
000
2 3 00 9 60
00 0
000
2 39 6
00
+ +
==
x yy z
===
xyz
323
con R
042 Escribe mediante ecuaciones estos sistemas.
a) 2 3 51 2 1
31
=
xyz
b)
1 42 31 56 7
ab =
1425
a) 2 32
5 31
xx
yy
zz
++
+
==
b) a ba ba ba b
+ =+ =+ =
+ =
4 12 3 4
5 26 7 5
043 Escribe en forma matricial estos sistemas de ecuaciones.
a) xx
yyy
zzz
+
+
===
2
3
325
230
c) xx
y zz
t vv2 3 6
18
+
++
==
b) p q r sp q sq r s
+ + = + =+ =
32 2 5
3 5 1
d) x y zx z
x y zy z
+ = + =
+ + = =
37
2 4 53 9 1
a)1 2 31 1 20 3 5
xyz
=
230
b)1 1 1 12 1 0 20 1 3 5
pqrs
=
351
833276 _ 0128-0201.indd 150 3/8/09 13:57:08
Sistemas de ecuaciones lineales
151
3SolucioNario
c) 1 1 1 1 12 0 3 0 6
- --
xyztv
= -
18
d)
1 1 11 0 12 1 40 3 9
--
-
xyyz
= -
-
3751
044 Escribe en forma matricial, y luego resuelve empleando la matriz inversa.
a) 4 183 2 8
x yx y
- =+ =
b) x zx y z
y z
- =-+ - =-
+ =
72 3 26
4 2 0
a) 4 13 2
188
-
=
xy
AX B X A B= = - 1
A A= =-
-11 0
2
11
1
113
11
4
11
1
X =-
2
11
1
113
11
4
11
188
= -
== -
42
42
xy
b)1 0 12 1 30 4 2
--
xyz
=
--
7260
A X B X A B= = - 1
A A= =
-
-
-
-6 0
7
3
2
3
1
62
3
1
3
1
64
3
2
3
1
6
1
X =
-
-
-
7
3
2
3
1
62
3
1
3
1
64
3
2
3
1
6
--
7
260
= -
== -=
1
48
14
8
xyz
2 3 00 9 60 3 2
000
2 3 00 9 60
--
-
00 0
000
2 39 6
00
+- +
==
x yy z
= -==
--
xyz
323
con R
Escribe mediante ecuaciones estos sistemas.
a) b)
Escribe en forma matricial estos sistemas de ecuaciones.
833276 _ 0128-0201.indd 151 21/7/09 14:49:38
152
Sistemas de ecuaciones lineales
Rango (A*) = 2Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
046 resuelve, aplicando la regla de cramer, estos sistemas compatibles determinados.
045 Discute los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el teorema de rouch-Frbenius.
a) x y zx y z
x y z
+ - =-+ - =+ - =-
3 5 83 6 5 0
4 9 10 8
c) 3 2 6 3 72 66 3
a b c da b c d
a b
+ - + =- + - =
- =
b) 8 6 2 13 10
3 2 5
x y zx y z
x y z
- + =-+ - =
- + - =
d) a ba b ca b c
b c
+ =- + + =-- + + =
+ =
5 7
2 2 3 23 2 1
4 4
a) A A=--
-
=
-1 3 53 6 54 9 10
1 3 5*
---
- -
83 6 5 04 9 10 8
A = 0
1 34 9
3 0= - = Rango ( ) 2A
1 3 83 6 04 9 8
0-
-= = Rango ( *) 2A
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
b) A A=-
-- -
=
-8 6 23 1 11 3 2
8 6 2*
---
- -
13 1 1 101 3 2 5
A = - 14 0 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
c) A A=-
- --
=
3 2 6 31 1 2 16 1 0 0
3*
22 6 3 71 1 2 1 66 1 0 0 3
3 2 61
-- --
-
---
= - --
=1 26 1 0
03 2 31 1 16 1 0
0
3 21 1
5 0- = - = Rango ( ) 2A
3 2 71 1 66 1 3
110 0--
= = Rango ( *) 3A
Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible
833276 _ 0128-0201.indd 152 21/7/09 14:49:43
Sistemas de ecuaciones lineales
153
3SolucioNario
d) A A= --
1 5 02 2 31 3 20 4 1
** = - --
1 5 0 72 2 3 21 3 2 10 4 1 4
--
= - =1 5 02 2 31 3 2
01 5 02 2 30 4 1
0
1 52 2
12 0- = = Rango ( ) 2A
1 5 0 72 2 3 21 3 2 10 4 1 4
1 5 0 70 12 3 120 8 2 80 4 1 4
0- -- = =
1 5 72 2 21 3 1
01 5 72 2 20 4 4
0- --
= - - =
Rango (A*) = 2Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
046 resuelve, aplicando la regla de cramer, estos sistemas compatibles determinados.
a) 2 23 2 1
x yx y
+ =- - =-
c) 2 3 65 3
a ba b- =
- + =-
b) 3 2 2 12 0
3 2 1
a b ca b c
b c
+ + =+ + =
+ =-
d) 3 5 33 23 1910 3 2
x y zx y
z x y
+ = += -+ = +
a) Se puede aplicar la regla A = - - = - 2 13 2
1 0 de Cramer.
A A
xA
Ay
A
x y
x y
= - - = - = - - =
= = =
2 11 2
32 23 1
4
3
A= -4
b) Se puede aplicar la reg A = = 3 2 22 1 10 3 2
1 0 lla de Cramer.
A A Aa b c=-
= - =-
= - =1 2 20 1 11 3 2
13 1 22 0 10 1 2
53 2 112 1 00 3 1
7
1 5
-=
= = - = = - =a AA
bA
Ac
A
Aa b c
= 7
Discute los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el teorema de rouch-Frbenius.
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible
833276 _ 0128-0201.indd 153 21/7/09 14:49:46
154
Sistemas de ecuaciones lineales
La solucin es:
La solucin es:
c) Se puede aplicar la regla A = -- = 2 31 5
7 0 dde Cramer.
A A
aA
Ab
A
a b
a b
= -- = = - - =
= = =
6 33 5
212 61 3
0
3
A= 0
d) Se puede aplicar la A =-
-=
3 5 23 1 01 2 3
26 0 rregla de Cramer.
A Ax y=-
-= =
-
-=
33 5 219 1 010 2 3
1303 33 23 19 01 10 3
11043 5 333 1 191 2 10
26
5
A
xA
Ay
A
A
z
x y
= =
= = =
= = =4 1z AA
z
047 resuelve, aplicando la regla de cramer, estos sistemas compatibles indeterminados.
a) x y zx y zx y z
+ + =- + - =-
- + =-
2 63 2 32 3 3
c) 2 011 3 0
2 0
a ba b ca b c
- =- - =- + =
b) x y z tx y zy z t
+ + + =- + =- + =
411
d) 3 3 11 04 7 0
5 3 3 06 6 0
p q rp r
p q rp q r
- + =+ =
+ + =- - + =
a)1 2 13 1 22 3 1
0- --
=
1 23 1
7 0 2 63 3 2- =
+ = -- + = - +
x y zx y z
A zz
z Az
zz
x
x y=-
- + = - =-
- - + = -6 23 2 1
12 51 63 3 2
15
== = - = = -
A
A
zy
A
A
zx y12 5
7
15
7
La solucin es: conx y z= - = - = 12 57
15
7
, , R
833276 _ 0128-0201.indd 154 21/7/09 14:49:50
Sistemas de ecuaciones lineales
155
3SolucioNario
b)1 1 11 1 10 1 1
2 0411
--
= + + = -- + =
- = -
x y z tx y z
y z t
At
tt x
A
At
A
xx
y
=-
-- -
= - = = -4 1 1
1 1 11 1 1
4 2 2
==-
- -= - = = -
=
1 4 11 1 10 1 1
33
2
1 1 4
t
tt y
A
A
t
A
y
z
--
--
= + = = +t
tt z
A
A
tz1 1 10 1 1
11
2
La solucin es: x y z t= - = - = + = =2 32
1
2 , , , con R
c)2 1 0
11 1 31 2 1
0-- --
=
2 111 1
9 0 2 011 3
-- =
- =- =
a ba b c
Ac
c Ac
c
aA
A
cb
a b
a
= -- = = =
= = =
0 13 1
32 011 3
6
3
A
A
cb = 23
La solucin es: a b c= = = 3
2
3, , con R
d)3 3 114 0 75 3 3
0
3 3 114 0 76 6 1
0
-=
-
- -=
3 34 0
12 03 3 11
4 7
7
4- = - = -= -
= -
= p q r
p r
p
q
223
12
r =
con R
A Ax y=-
-= =
-
-=
33 5 219 1 010 2 3
1303 33 23 19 01 10 3
11043 5 333 1 191 2 10
26
5
A
xA
Ay
A
A
z
x y
= =
= = =
= = =4 1z AA
z
resuelve, aplicando la regla de cramer, estos sistemas compatibles indeterminados.
833276 _ 0128-0201.indd 155 21/7/09 14:49:53
156
Sistemas de ecuaciones lineales
048 Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
a) x y zx y zx y z
+ + =+ - =+ + =
2 33 3
2 3 3
d) 5 4 2 02 3 0
16 17 7 04 4 1
x y zx y z
x y zx y z
+ + =+ + =
+ + =- + =
g) 2 4 73 6 2 4
11 22 6 24
x y zx y z
x y z
- + =- + - =
- + =
b) x y zy z
x y z
+ + =+ =
+ + =
2 32 3 2
3 3 7
e) a cb c
a b c
+ =- =
+ - =
01
3 2 5
h) 2 73 2 2 1
a b ca b c
- + =+ - =
c) a cb c
a b c
+ =- =
+ + =
01
3 5
f ) 2 02 4 1
3 4 2 1
x y tx y z tx y z t
- + =+ - + =-- + - =
a) A A= -
= -
1 2 11 1 32 3 1
1 2 1 31 1* 33 32 3 1 3
A A A= - = - = = =1 2 11 1 32 3 1
3 0 Rango ( ) Rango ( *) 3 nn. de incgnitas
Sistema compatible determiinado
A A Ax y z= - = = - = - =3 2 13 1 33 3 1
121 3 11 3 32 3 1
121 22 31 1 32 3 3
3
4 4
=
= = - = = =x AA
yA
Az
A
Ax y z
== -1
b) A A=
=
1 1 20 2 33 1 3
1 1 2 30 2 3 2*33 1 3 7
A = =1 1 20 2 33 1 3
0
1 10 2
2 0= = Rango ( ) 2A
1 1 30 2 23 1 7
0= = Rango ( *) 2A
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Consideramos el sistema:
x y zy z
+ = -= -
3 22 2 3
833276 _ 0128-0201.indd 156 21/7/09 14:49:58
Sistemas de ecuaciones lineales
157
3SolucioNario
A zz
z A zz
zx y=-- = - =
-- = -
3 2 12 3 2
4 1 3 20 2 3
2 3
xA
A
zy
A
A
zx y= = - = = -
4
2
2 3
2
La solucin es: conx y z= - = - = 42
2 3
2
, , R
c) A A= -
= -
1 0 10 1 11 3 1
1 0 1 00 1* 11 11 3 1 5
A A A= - = = = =1 0 10 1 11 3 1
3 0 Rango ( ) Rango ( *) 3 n.. de incgnitas
Sistema compatible determinado
o
A A Aa b c= - = - = - = =0 0 11 1 15 3 1
21 0 10 1 11 5 1
51 0 000 1 11 3 5
2
2
3
5
3
=
= = - = = =a AA
bA
Ac
A
Aa b c
== 23
d) A =
-
5 4 22 3 1
16 17 74 1 4
AA* =
-
5 4 2 02 3 1 0
16 17 7 04 1 4 1
5 4 22 3 1
16 17 70
5 4 22 3 14 1 4
21=-
= = Rango ( ) 3A
5 4 2 02 3 1 0
16 17 7 04 1 4 1
0
-
= = = Rango ( *) 3 n. de ioA nncgnitas
Sistema compatible determinado
5 4 22 3 14 1 4
001
2 3 15 4 24 1 4-
-
0001
2 3 11 2 04 13 0
001
-
- -
--
2 3 11 2 00 21 0
001
2 3
221
001
2
211
2
xx
yyy
zx
y+--
+ ===
= -
= -11
1
3z =
Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
g) 2 4 73 6 2 4
11 22 6 24
x y zx y z
x y z
- + =- + - =
- + =
A A A= - = - = = =1 2 11 1 32 3 1
3 0 Rango ( ) Rango ( *) 3 nn. de incgnitas
Sistema compatible determiinado
A A Ax y z= - = = - = - =3 2 13 1 33 3 1
121 3 11 3 32 3 1
121 22 31 1 32 3 3
3
4 4
=
= = - = = =x AA
yA
Az
A
Ax y z
== -1
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Consideramos el sistema:
833276 _ 0128-0201.indd 157 29/7/09 12:02:20
158
Sistemas de ecuaciones lineales
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Consideramos el sistema:
e) A
A
= --
= -
1 0 10 1 11 3 2
1 0 1 00 1 1* 111 3 2 5-
A = --
=1 0 10 1 11 3 2
0
1 00 1
1 0= = Rango ( ) 2A
1 0 00 1 11 3 5
2 0= = Rango ( *) 3 Rango ( ) SistemA A aa incompatible
f ) A A=-
-- -
=
-2 1 0 11 2 1 43 4 1 2
2 1*
00 1 01 2 1 4 13 4 1 2 1
2 1 01 2 1
- -- -
--
33 4 10
2 1 11 2 43 4 2
0-
=-
- -=
2 11 2
5 0- = = =
Sistemas de ecuaciones lineales
159
3SolucioNario
g) A
A
=-
- --
=-
2 4 13 6 2
11 22 6
2 4 1*
773 6 2 4
11 22 6 24- -
-
A =-
- --
=2 4 13 6 2
11 22 60
2 13 2
1 0- - = - = Rango ) 2( A
2 1 73 2 4
11 6 240- - = = Rango ( *) 2A
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Consideramos el sistema: 2 7 43 2 4 6
x z yx z y
+ = +- - = -
A yy
y Ayy
x
x z=+- - = - - =
+- - =
7 4 14 6 2
18 22 7 43 4 6
29
== = + = = -
A
Az
A
Ax z18 2 29
La solucin es: conx y z= + = = - 18 2 29 , , R
h) A
A
= - -
= - -
2 1 13 2 2
2 1 1 73 2 2 1
*
2 13 2
7 0- = = Rango ( ) Rango ( *) 2 n. de incgoA A= < nnitasSistema compatible indeterminado
Consideramos el sistema: 2 73 2 1 2
a b ca b c
- = -+ = +
A cc
A cc
c
aA
a b
a
= - -+ = =-
+ = -
=
7 11 2 2
15 2 73 1 2
7 19
A
bA
A
cb= = = -157
7 19
7
La solucin es: cona b c= = - = 157
7 19
7, ,
R
833276 _ 0128-0201.indd 159 29/7/09 12:02:34
160
Sistemas de ecuaciones lineales
Si p 0 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si p = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
052 Discute el sistema segn los valores de a.
Si a R - {-1, 1} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a = 1 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible Si a = -1 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas
Sistema compatible indeterminado
053 Discute este sistema para los distintos valores de k.
049 Discute el sistema de ecuaciones lineales segn los distintos valores del parmetro m.
( )( )
m x yx m y
- + =+ - =
2 02 0
Al ser un sistema homogneo sabemos que es compatible para cualquier valor de m.
A mm
= - -
2 11 2
A mm
m m= - - = - +2 1
1 24 32
m m mm
2 4 3 0 13
- + = ==
Si m R - {1, 3} Rango (A) = Rango (A*) = 2 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si m = 1 o m = 3 Rango (A) = Rango (A*) = 1 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
050 Discute, en funcin de a, el sistema.
ax ay ax ay+ =- =
1
(Castilla y Len. Junio 2007. Prueba B. Cuestin 3)
Aa a
aA
a a aa
= -
= -
1 1 1*
A a aa
a a= - = - -12
- - = == -
a a aa
2 0 01
Al ser la ltima columna de la matriz A* igual que la primera:
Si a R - {-1, 0} Rango (A) = Rango (A*) = 2 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a = -1 o a = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 1 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
051 El siguiente sistema de ecuaciones depende de un parmetro p. Disctelo segn los valores de p.
x y z px y z px y pz p
+ + =+ + =+ - =
22 3
833276 _ 0128-0201.indd 160 21/7/09 14:50:12
Sistemas de ecuaciones lineales
161
3SolucioNario
Ap
App=
-
=
1 2 12 3 11 1
1 2 12 3 11
*11
1 2 12 3 11 1
1 2
-
=-
=
p p
Ap
pp
22 31 1
pp
p= -
1 22 3
1 0= -
Si p 0 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si p = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
052 Discute el sistema segn los valores de a.
2 3 25 2 4 13 32
x y zx y zx y a z a
+ + =+ + =-+ + =
Aa
A=
= -
2 1 35 2 43 1
2 1 3 25 2 4 132
*11 3
2 1 35 2 43 1
12 1
2
2
2
a a
Aa
a
= = -22
5 2 13 1 3
3 3- = - -a
a
2 15 2
1 0= -
Si a R - {-1, 1} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a = 1 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible Si a = -1 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas
Sistema compatible indeterminado
053 Discute este sistema para los distintos valores de k.
x yx y
x y k
- =+ =- =
2 42 5
4 3
A Ak
=-
-
=
-
-
1 22 14 3
1 2 42 1 54 3
*
1 22 1
5 0- = = Rango ( ) 2A
Discute el sistema de ecuaciones lineales segn los distintos valores del parmetro m.
Al ser un sistema homogneo sabemos que es compatible para cualquier valor de m.
Si m R - {1, 3} Rango (A) = Rango (A*) = 2 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si m = 1 o m = 3 Rango (A) = Rango (A*) = 1 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Discute, en funcin de a, el sistema.
(Castilla y Len. Junio 2007. Prueba B. Cuestin 3)
Al ser la ltima columna de la matriz A* igual que la primera:
Si a R - {-1, 0} Rango (A) = Rango (A*) = 2 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a = -1 o a = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 1 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
El siguiente sistema de ecuaciones depende de un parmetro p. Disctelo segn los valores de p.
833276 _ 0128-0201.indd 161 21/7/09 14:50:15
162
Sistemas de ecuaciones lineales
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas para cualquier valor de a Sistema compatible indeterminado para cualquier valor de a
056 clasifica el siguiente sistema para los distintos valores del parmetro p.
Al ser un sistema homogneo sabemos que es compatible para cualquier valor de p.
Si Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
057 Halla para qu valores del parmetro a este sistema es incompatible.
Qu valor debe tomar a para que sea compatible indeterminado?
1 2 42 1 54 3
5 65-
-= -
kk
Si k 13 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible Si k = 13 Rango (A) = Rango (A*) = 2 = n.o de incgnitas
Sistema compatible determinado
054 Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales segn los distintos valores del parmetro p.
px p z ppy z py pz p
+ + =+ =+ =
( )1
Ap p
pp
Ap p p
p=+
=
+0 10 10 1
0 10* 110 1
0 10 10 1
pp p
Ap p
pp
p
=+
= (( ) ( ) ( )pp p
p pp
p p p p p2 2 210
00 1
1- = - = -
Si p R - {-1, 0, 1} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si p = -1, como - - = 1 00 1
1 0 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible
Si 0 yp A A= =
=
0 0 10 0 10 1 0
0*
00 1 00 0 1 00 1 0 0
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Si 1 yp A A= =
=
1 0 20 1 10 1 1
1 0*
22 10 1 1 10 1 1 1
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
055 Qu valores debe tomar a en el siguiente sistema de ecuaciones lineales para que sea incompatible?
x a y zx ay az
+ - + =+ + =
( )1 13 3
Y para que sea compatible?
833276 _ 0128-0201.indd 162 21/7/09 14:50:17
Sistemas de ecuaciones lineales
163
3SolucioNario
Aa
a a
Aa
a a
= -
= -
1 1 13
1 1 1 13 3
*
1 13
3 2 1 13
3aa
aa
a- = - = -
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas para cualquier valor de a Sistema compatible indeterminado para cualquier valor de a
056 clasifica el siguiente sistema para los distintos valores del parmetro p.
a pb cpb c
a b c
+ - =+ =
+ - =
2 00
3 2 0
Al ser un sistema homogneo sabemos que es compatible para cualquier valor de p.
App=
-
-
1 20 13 2 1
App p=
-
-= -
1 20 13 2 1
8 2
1 23 1
5 0-- =
Si p 14
Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si p = 14
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
057 Halla para qu valores del parmetro a este sistema es incompatible.
( ) ( )( ) ( )
(
a x y z a ax a y z a ax y a
+ + + = ++ + + = ++ + +
1 31 3
1
2
)) ( )z a a= +
3 3
Qu valor debe tomar a para que sea compatible indeterminado?
Aa
aa
Aa a
=+
++
=+
1 1 11 1 11 1 1
1 1 1*
(( )( )( )
aa a a
a a a
++ +
+ +
3
1 1 1 31 1 1 3
2
3
Si k 13 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible Si k = 13 Rango (A) = Rango (A*) = 2 = n.o de incgnitas
Sistema compatible determinado
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales segn los distintos valores del parmetro p.
Si p R - {-1, 0, 1} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si p = -1, como Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Qu valores debe tomar a en el siguiente sistema de ecuaciones lineales para que sea incompatible?
Y para que sea compatible?
833276 _ 0128-0201.indd 163 21/7/09 14:50:20
164
Sistemas de ecuaciones lineales
059 Discute el sistema de ecuaciones lineales segn los valores de b.
(Extremadura. Junio 2006. Repertorio B. Ejercicio 4)
Si b R - {0, 1} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si b = 0 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible
Si b = 1 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
060 Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones en funcin del parmetro a.
(Pas Vasco. Julio 2006. Bloque A. Problema A)
Si a -3 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a = -3 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3
Sistema incompatible
Aa
aa
a a a a=+
++
= + + - + = + =1 1 1
1 1 11 1 1
1 2 3 1 33 3 2( ) ( ) aa a2 3( )+
a a aa a a
a aa a
a+ ++ +
+= +
+1 1 31 1 31 1 3
31 1 1
123
( )( )( )
( ) aa aa
a a a a a a a
a a
+ =
= + + - - + ==
11 1
3 1 1
2
2 2 2
2
( )( ( ) ( ))
( ++ + - -3 2 13 2)( )a a a
Si a R - {-3, 0} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 1 Sistema compatible indeterminado
Si a = -3 A A=-
--
=
-2 1 11 2 11 1 2
2 1 1 01y * --
-
2 1 0
1 1 2 0
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Luego no hay ningn valor de a para el que el sistema sea incompatible. Los valores para los que es compatible indeterminado son 0 y -3.
058 averige si el siguiente sistema puede ser compatible indeterminado para algn valor de m.
x y zx y zx y mz
+ + =+ + =+ + =
3 2 02 4 3 0
0
Es incompatible para algn valor de m?(Catalua. Junio 2006. Cuestin 2)
Al ser un sistema homogneo sabemos que es compatible para cualquier valor de m.
Am
Am
=
= =
1 3 22 4 31 1
1 3 22 4 31 1
2 -- 2m
1 32 4
2 0= -
Si m 1 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si m = 1 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
El sistema no es incompatible para ningn valor de m.
833276 _ 0128-0201.indd 164 21/7/09 14:50:23
Sistemas de ecuaciones lineales
165
3SolucioNario
059 Discute el sistema de ecuaciones lineales segn los valores de b.
x y zx b y bz bx by b z
+ - =+ + - =+ + + =
2 21 2
1 1( )
( )
(Extremadura. Junio 2006. Repertorio B. Ejercicio 4)
A b bb b
A=-
+ -+
=
-1 2 11 11 1
1 2 1 21* 11 21 1 1
+ -+
b b b
b b
A b bb b
b b b b=-
+ -+
= - = -1 2 11 11 1
2 2 2 12 ( )
1 2 21 1 21
3 2 1 22+ = - + - = - - -b bb b
b b b b( )( )
Si b R - {0, 1} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si b = 0 1 21 1
1 0= - Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible
Si b = 1 1 21 1 1 0= - Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
060 Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones en funcin del parmetro a.
x y z ax y z
x y az a
- + =+ - =
+ + =
13 3
(Pas Vasco. Julio 2006. Bloque A. Problema A)
Aa
Aa
=-
-
=
--
1 1 11 1 13 3
1 1 11 1* 11 13 3
1 1 11 1 13 3
2
a a
Aa
a
=-
- = + 661 11 1 13 3
2 6-
= -a
aa
Si a -3 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a = -3 1 11 1 2 0- =
Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3
Sistema incompatible
Si a R - {-3, 0} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 1 Sistema compatible indeterminado
Si a = -3
Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
Luego no hay ningn valor de a para el que el sistema sea incompatible. Los valores para los que es compatible indeterminado son 0 y -3.
averige si el siguiente sistema puede ser compatible indeterminado para algn valor de m.
Es incompatible para algn valor de m?
(Catalua. Junio 2006. Cuestin 2)
Al ser un sistema homogneo sabemos que es compatible para cualquier valor de m.
Si m 1 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si m = 1 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado
El sistema no es incompatible para ningn valor de m.
833276 _ 0128-0201.indd 165 21/7/09 14:50:26
166
Sistemas de ecuaciones lineales
Comprobamos con la ltima ecuacin:
Por tanto, la solucin es:
Si a R - {0, 3} Rango (A*) = 4 Rango (A) = 3 Sistema incompatible
Si a = 0 o a = 3 Rango (A*) = Rango (A) = 3 Sistema compatible determinado
Por tanto no hay valores para los que el sistema sea compatible indeterminado.
063 clasificar el siguiente sistema segn los distintos valores de los parmetros a y b.
(Murcia. Junio 2008. Bloque 1. Cuestin B)
Si a -1 y para cualquier valor de b: Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a = -1 y b -2 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible
Si a = -1 y b = -2 Rango (A) = Rango (A*) = 2
Sistema compatible indeterminado
061 Estudie, segn los valores del parmetro a, el sistema de ecuaciones lineales siguiente:
ax ay ax y az a
x y z a
+ =- + =
+ + =
2 3
(Murcia. Junio 2006. Bloque 1. Cuestin A)
Aa a
a Aa a a
a a= -
= -
01 11 2 3
01 11 2
*33
01 11 2 3
6
a
Aa a
a a aa
= - = - + ( )aa a
aa
a a1 11 2
3 1- = - -( )
Si a R - {-6, 0} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a = -6 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible Si a = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas
Sistema compatible indeterminado
062 a) El siguiente sistema es compatible y determinado.
- + + =+ =+ =
+ + =
x y zy zx y
x y z
14 3 2
2 13 2 1
calcula su solucin.
b) considera ahora el sistema:
- + + =+ =+ =
+ + =
x y zy azx y
x ay z
14 2
2 12 1
Es posible encontrar valores para a tales que el sistema sea incompatible? En caso afirmativo, indica cules. Justifica tu respuesta.
Es posible encontrar valores para a tales que el sistema sea compatible indeterminado? En caso afirmativo, indica cules. Justifica tu respuesta.
(Cantabria. Junio 2004. Bloque 1. Opcin B)
a)-
=1 1 10 4 31 2 0
5
A A Ax y z= = - =-
= =-1 1 1
2 4 31 2 0
31 1 10 2 31 1 0
41 1 100 4 21 2 1
2
3
5
4
5
= -
= = - = = =x AA
yA
Az
A
Ax y z
= - 25
833276 _ 0128-0201.indd 166 21/7/09 14:50:28
Sistemas de ecuaciones lineales
167
3SolucioNario
Comprobamos con la ltima ecuacin: - + + -
=
3
53
4
52
2
51
Por tanto, la solucin es: x y z= - = = -35
4
5
2
5, ,
b) A a
a
A=
-
1 1 10 41 2 01 2
* ==
-
1 1 1 10 4 21 2 0 11 2 1
a
a
--= -
-= -
=
1 1 10 41 2 0
3 41 1 11 2 01 2
8a aa
a
ARango ( ) 3 parra cualquier valor de a
-
=
-
+
= -
1 1 1 10 4 21 2 0 11 2 1
1 1 1 10 4 20 3 1 20 1 3 2
4 23
a
a
a
a
a11 2
1 3 26 2 2
+= -
aa a
Si a R - {0, 3} Rango (A*) = 4 Rango (A) = 3 Sistema incompatible
Si a = 0 o a = 3 Rango (A*) = Rango (A) = 3 Sistema compatible determinado
Por tanto no hay valores para los que el sistema sea compatible indeterminado.
063 clasificar el siguiente sistema segn los distintos valores de los parmetros a y b.
x y z bx y
x ay z
- - =- + =
+ + =-
22 2
(Murcia. Junio 2008. Bloque 1. Cuestin B)
Aa
Ab
=- -
-
=
- --
1 1 11 1 01 2
1 1 1* 11 1 0 2
1 2 2
1 1 11 1 01
a
A
-
=- -
- aa
ab
b2
11 11 0 21 2 2
2 4= +-
--
= - -
Si a -1 y para cualquier valor de b: Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a = -1 y b -2 1 11 0
1 0-
- = - Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible
Si a = -1 y b = -2 1 11 0
1 0-
- = - Rango (A) = Rango (A*) = 2
Sistema compatible indeterminado
Estudie, segn los valores del parmetro a, el sistema de ecuaciones lineales siguiente:
(Murcia. Junio 2006. Bloque 1. Cuestin A)
Si a R - {-6, 0} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado
Si a = -6 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible Si a = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas
Sistema compatible indeterminado
a) El siguiente sistema es compatible y determinado.
calcula su solucin.
b) considera ahora el sistema:
Es posible encontrar valores para a tales que el sistema sea incompatible?
En caso afirmativo, indica cules. Justifica tu respuesta. Es posible encontrar valores para a tales que el sistema s