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Tópicos de Matemáticas Función Seno Ecuaciones trigonométricas
Tópicos de Matemáticas
Función SenoEcuaciones
trigonométricas
IntroducciónPuente de Tacoma en el estado de Washington.
El puente fue terminado y abierto al público en el año de 1940, rápidamente se observó que se inducían grandes oscilaciones en la calzada cuando el viento soplaba a través del puente. Se le llamó puente galopante. El 07 de noviembre del mismo año el puente se derrumbó completamente debido a las grandes oscilaciones.
Conceptos previos
Determina la altura de la torre Eiffel, si los elementos que se
conocen son el ángulo de elevación
y la longitud de la sombra proyectada
sobre el piso.
60°187 m
Conceptos previos
Razones trigonométricas
sen =
cos =
tan =
HipotenusaCateto opuesto
Cateto adyacente
hipCop
hipCad
CadCop
Conceptos previos
Triángulos rectángulos notables
45°
L2L
L
45°
45°
30°
60°
2L3L
L
30° - 60°
Conceptos previos
Ejercicio1Si es un ángulo agudo y cos =3/4 , calcular los valores de las seis funciones trigonométricas de .
Ejercicio 2Calcular los valores de las funciones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.
ConceptosCircunferencia trigonométrica
La circunferencia trigonométrica es la circunferencia radio 1 centrado en el origen del
plano XY.
Su ecuación es: x2+y2=1
1),( yx
),( yx
Observar que se tiene:
xysen
)cos()(
De manera general se tiene las funciones trigonométricas para cualquier segmento OP donde P(x,y)
),( yx
0)tan(
)cos(
)(
xxyrxrysen
r
22 yxr
x
y
Conceptos
Definición de función Periódica. Una función f es periódica si existe un número T real positivo, tal que f(x+T)=f(x), para todo x del dominio de f. El mínimo número real positivo T, si existe se llama periodo de f. 2π es el periodo de las funciones seno y coseno
3.14 1.75 0.35 1.05 2.44 3.84 5.24 6.63 8.03 9.42
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
sin x( )
sin t( )
x t
La gráfica de la función y = sen(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2πSu periodo es 2 πAdemás sen(-x)=-sen(x)
La gráfica de la función y = cos(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2πSu periodo es 2 πAdemás cos(-x)=cos(x)
3.14 1.75 0.35 1.05 2.44 3.84 5.24 6.63 8.03 9.42
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
cos x( )
cos t( )
x t
1.57 6.370614359 10 4 1.57 3.14 4.71 6.28
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
sin x( )
cos t( )
x t
La función coseno puede interpretarse como un desplazamiento de la función seno:
sen(x)=cos(x-π/2)
¿Cómo varía la gráfica de la función sen x, al cambiar los valores de los parámetros A , ω>0 , φ?
)xω(senAy φ
Donde:
T1Frecuenciaf
ntodesfasamie
2PeriodoT
Amplitud||
A
0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.42
4
3
2
1
1
2
3
4
sin x( )
3 sin x( )
3 sin x( )
x
Gráfica de las funciones Sen(x) 3sen(x) -3sen(x)
0 1.05 2.09 3.14 4.19 5.24 6.28
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
sin x( )
sin 3x( )
x
Gráfica de las funciones sen(x) sen(3x)
1.05 0 1.05 2.09 3.14 4.19 5.24 6.28 7.33
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
sin x( )
sin s
3
sin v
3
x s v
Gráfica de las funciones sen(x) sen(x-π/3) sen(x+ π/3)
Gráfica de las funciones sen(x) 3sen(2x-2π/3)
0 1.05 2.09 3.14 4.19 5.24 6.28 7.33
4
3
2
1
1
2
3
4
sin x( )
3 sin 2s2
3
x s
1.A partir de la grafica de la función trigonométrica, trace la grafica de la función, sin localizar puntos.
a) y=2sen(t+π/6) b) y=cos(t+ π/3)2. Determine la amplitud y el período de la
función f(x) = 2sen (x/2).3. Determine la amplitud, el período y trazar la
gráfica de f(x) = 2sen (-3x+π).
Ecuaciones trigonométricas:Son aquella que contiene expresiones de
trigonometría.Solución:Son los valores que puede tomar x para la cual
la ecuación se convierte en una identidad.
Nota: tener en cuenta el signo de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.
Determine las soluciones de la ecuación en el intervalo [0, 2 π].
a)Sen(x)=1/2b)cos(2x+π/3)=-1c)Sen(t) tan(t)=sen(t)
Combinación de lineal de las funciones sen(x) y cos(x)
Para a y b números reales, a>o la función
f(x) = a.sen (Bx)+b.cos(Bx)
Puede escribir en términos en la forma: f(x) = A.cos(Bx-C)
Donde 22 baA
2π
2πparab
atan C ,C
)3(4)3cos(3)())2()2cos(3)()
)cos()()()
xsenxxfcxsenxxfb
xxsenxfa
Empleando la fórmula desarrollada anteriormente graficar las funciones:
