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VARIABLES ALEATORIAS, FUNCIΓN DE PROBABILIDAD Y VALOR ESPERADO
1. Determine el valor de a de manera que cada una de las siguientes funciones pueda servir
como distribuciΓ³n de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
a. f (x) = a(x2 + 4) x = 0, 1, 2, 3
Para encontrar el valor de a, primero reemplazamos los valores en la expresiΓ³n y
hallamos la sumatoria:
02 + 4 = 4
12 + 4 = 1 + 4 = 5
22 + 4 = 4 + 4 = 8
32 + 4 = 9 + 4 = 13
La suma de los valores es:
4 + 5 + 8 + 13 = 30
Por lo tanto el valor de a es:
π =π
ππ
b. f(x) = a( 2C x) (3C3 - x) para x = 0,1,2
De igual manera, reemplazamos por los valores numΓ©ricos en la expresiΓ³n inicial:
β π20 ( 2C x) (3C3-x) = π β (20 2C x) (3C3-x) = π((2C 0) (3C3-0))+(( 2C 1) (3C3-1))+(( 2C 2) (3C3-2))
= π((2C 0) (3C3))+(( 2C 1) (3C2))+(( 2C 2) (3C1))
= π[1 β 1 + 2 β 3 + 1 β 3]
= π[1 + 6 + 3]
= 10π
Por lo tanto, como 10π = 1
π =π
ππ
2. Encuentre la distribuciΓ³n de probabilidad para el nΓΊmero de discos de salsa cuando se
eligen al azar cuatro discos de una colecciΓ³n que consta de cuatro discos de salsa y cuatro
discos de mΓΊsica clΓ‘sica. Exprese los resultados a travΓ©s de una formula.
π(π = π₯) =(4π₯)( 44βπ₯
)
(84)
, ππππ π₯ = 1, 2, 3, 4
π(π = 1) =(41)( 44β1)
(84)
= 0.23
π(π = 2) =(42)( 44β2)
(84)
= 0.51
π(π = 3) =(43)( 44β3)
(84)
= 0.23
π(π = 4) =(44)( 44β4)
(84)
= 0.01
X 1 2 3 4
P(X=x) 0.23 0.51 0.23 0.014
3. Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un cajΓ³n que
contiene seis calcetines cafΓ©s y cuatro verdes, Defina la variable aleatoria X que represente
el nΓΊmero de calcetines cafΓ©s que se selecciona. Encuentre la funciΓ³n de probabilidad f(X),
F(X), E(X), Varianza y desviaciΓ³n estΓ‘ndar de la variable aleatoria.
Supongamos que el resultado en el cual se saca un calcetΓn cafΓ© es C y si es verde entonces
es V. Los posibles resultados son:
CC, CV, VC, VV.
Las diferentes probabilidades son:
ππππππππππππ ππ πΆπΆ = 6
10β5
9=1
3
ππππππππππππ ππ πΆπ = 6
10β4
9=4
15
ππππππππππππ ππ ππΆ = 4
10β6
9=4
15
ππππππππππππ ππ ππ = 4
10β3
9=2
15
Elemento del
Espacio muestral
Probabilidad W (NΓΊmero de
calcetines cafΓ©s)
CC 1/3 2
CV 4/15 1
VC 4/15 1
VV 2/15 0
Por lo tanto la funciΓ³n de probabilidad serΓa:
X 0 1 2
f(x) 2/15 8/15 1/3
π(π = 2) =1
3
La funciΓ³n de probabilidad para dos calcetines cafΓ©s es:
π(π₯) =
{
2
15, π π π₯ = 0
8
15, π π π₯ = 1
1
3, π π π₯ = 2
La funciΓ³n de probabilidad acumulada para dos calcetines cafΓ©s es:
πΉ(π₯) =
{
2
15, π π 0 β€ π₯ < 1
2
3, π π 1 β€ π₯ < 2
1, π π π₯ = 2
πΈ(π₯) = βπ₯π β π(π₯)
2
0
= 0 β2
15+ 1 β
8
15+ 2 β
1
3
=8
15+2
3=6
5= 1.2
La varianza estΓ‘ dada por:
ππ₯2 = [(02 β
2
15) + (12 β
8
15) + (22 β
1
3)] β 1.22
ππ₯2 = [(β
2
15) + (
7
15) + (
11
3)] β 1.22
ππ₯2 = [4] β 1.22
ππ₯2 = 5.76
La desviaciΓ³n estΓ‘ndar es:
ππ₯ = β5.76 = 2.4
4. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale nΓΊmero primo, gana tantos cientos de dΓ³lares
como marca el dado, pero si no sale nΓΊmero primo, pierde tantos cientos de dΓ³lares como
marca el dado. Determinar la funciΓ³n de probabilidad y la esperanza matemΓ‘tica del
juego.
Como el jugador puede ganar o perder de acuerdo al marcador del dado, escribimos como
NEGATIVAS aquellas expresiones DESFAVORABLES y POSITIVAS las que son FAVORABLES,
ademΓ‘s de la probabilidad de obtener cada resultado (1/6).
La funciΓ³n de probabilidad es:
x -1 2 3 -4 5 -6
f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
La esperanza E(x) para el juego es:
πΈ(π) = 1
6(β1 + 2 + 3 β 4 + 5 β 6)
πΈ(π) = 1
6β (β1) = β
1
6= β0.167
Como el resultado es negativo, se concluye que el juego no es favorable.
5. El experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda 3 veces, Defina X la variable
aleatoria que representa el nΓΊmero de caras observadas. Encuentre f(X), E(X), V(X) y
desviaciΓ³n estΓ‘ndar.
Para el lanzamiento de las monedas tenemos:
Primer
Lanzamiento
Segundo
Lanzamiento
Tercer
Lanzamiento
NΓΊmero de Caras
Observadas
Probabilidad de
los resultados
Cara Cara Cara 3 0.125
Cara Cara Sello 2 0.125
Cara Sello Cara 2 0.125
Cara Sello Sello 1 0.125
Sello Cara Cara 2 0.125
Sello Cara Sello 1 0.125
Sello Sello Cara 1 0.125
Sello Sello Sello 0 0.125
La funciΓ³n de probabilidad estΓ‘ dada por:
x 0 1 2 3
f(x) 0.125 0.375 0.375 0.125
Por lo tanto,
πΉ(π₯) = {
0.125, π π 0 β€ π₯ < 10.5 , π π 1 β€ π₯ < 20.875, π π 2 β€ π₯ < 31 π π π₯ β₯ 3
πΈ(π) = (0 β 0.125) + (1 β 0.375) + (2 β 0.375) + (3 β 0.125) = 1.5
π(π₯) = ππ₯2 = [(02 β 0.125) + (12 β 0.375) + (22 β 0.375) + (32 β 0.125)] β 1.52
π(π₯) = ππ₯2 = 29.25
ππ₯ = β29.25 = 5.4
6. Una urna contiene 4 bolas con los nΓΊmeros 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si se toman dos
bolas de la urna sin sustituciΓ³n y X representa la suma de los nΓΊmeros de las dos bolas
extraΓdas. Determine la funciΓ³n de probabilidad f(X), el valor esperado E(X) y la varianza de
la variable aleatoria.
El total de posibles resultados es:
π = 4 Γ 3 = 12 πππ πππππ πππ π’ππ‘ππππ
A continuaciΓ³n presentamos los posibles resultados despuΓ©s de la primera extracciΓ³n:
Primera
extracciΓ³n
Segunda
ExtracciΓ³n
Valor de
la suma
Probabilidad
1 2 3 1/12
1 3 4 1/12
1 4 5 1/12
2 1 3 1/12
2 3 5 1/12
2 4 6 1/12
3 1 4 1/12
3 2 5 1/12
3 4 7 1/12
4 1 5 1/12
4 2 6 1/12
4 3 7 1/12
La funciΓ³n de probabilidad de la suma de los dos valores es:
Para π₯ = 3, ππ ππππππππππππ ππ 1
12+
1
12=
1
6
Para π₯ = 4, ππ ππππππππππππ ππ 1
12+
1
12=
1
6
Para π₯ = 5, ππ ππππππππππππ ππ 1
12+
1
12+
1
12+
1
12=
1
3
Para π₯ = 6, ππ ππππππππππππ ππ 1
12+
1
12=
1
6
Para π₯ = 7, ππ ππππππππππππ ππ 1
12+
1
12=
1
6
x 3 4 5 6 7
f(x) 1/6 1/6 1/3 1/6 1/6
La esperanza matemΓ‘tica es:
πΈ(π) = (3 β1
6) + (4 β
1
6) + (5 β
1
3) + (6 β
1
6) + (7 β
1
6)
πΈ(π) = (1
2) + (
2
3) + (
5
3) + (1) + (
7
6)
πΈ(π) = 5
La varianza de la variable aleatoria es:
π(π₯) = ππ₯2 = [(32 β 1/6) + (42 β 1/6) + (52 β 1/3) + (62 β 1/6) + (72 β 1/6)] β 52
π(π₯) = ππ₯2 = 3350
7. A un dependiente de un auto lavado se le paga de acuerdo con el nΓΊmero de automΓ³viles
que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12, 1/4, 1/4, 1/6 y 1/6
respectivamente de que el dependiente reciba $5, $7, $9, $ 11, $ 13 o $ 17 entre las 4 y 5
de la tarde en un dΓa soleado. Encuentre las ganancias que espera el dependiente para
este periodo especΓfico.
Lo que se puede esperar de ganancia se representa por medio de la esperanza:
πΈ(π) = (5 β 1/12) + (7 β 1/12) + (9 β 1/4) + (11 β 1/4) + (13 β 1/6) + (17 β 1/6)
πΈ(π) = (5
12) + (
7
12) + (
9
4) + (
11
4) + (
13
6) + (
17
6)
πΈ(π) = 11
Se espera una ganancia de $11.
8. Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuΓ‘l es la que abre un
candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable
aleatoria X que representa el nΓΊmero de intentos necesarios para abrir el candado.
a. Determine la funciΓ³n de probabilidad de X.
b. CuΓ‘l es el valor de P (X β€ 1)
Como cada intento tiene la misma probabilidad, la funciΓ³n de probabilidad es:
π(π₯) =1
5, ππππ π₯ = 1, 2, 3, 4, 5.
El valor de P (X β€ 1) es:
π(π₯ β€ 1) =1
5
9. Se sacan 3 balotas sucesivamente de una caja que contiene 4 balotas negras y 2 balotas
verdes; cada balota se regresa a la caja antes de sacar la siguiente, Encuentre la
distribuciΓ³n de probabilidad para la variable X que representa el nΓΊmero de balotas
verdes.
La probabilidad de Γ©xito que consiste en sacar una balota verde es:
π(π) =2
6=1
3= 0.33
La distribuciΓ³n de probabilidad es:
π(π = π₯) = (3
π₯) (1
3)π₯
(2
3)3βπ₯
Al desarrollarla para cada nΓΊmero de balotas se obtiene:
π(π = 0) = (3
0) (1
3)0
(2
3)3
=8
27
π(π = 1) = (3
1) (1
3)1
(2
3)2
=4
9
π(π = 2) = (3
2) (1
3)2
(2
3)1
=2
9
π(π = 3) = (3
3) (1
3)3
(2
3)0
=1
27
Podemos observar que:
βπ(π = π₯) = 1
3
π₯=0
10. Al invertir en acciones financieras, una persona puede lograr una ganancia de 4000 dΓ³lares
en un ano con probabilidad de 0.3 o bien tener una pΓ©rdida de 1.000 dΓ³lares con
probabilidad de 0.7. CuΓ‘l serΓa la ganancia esperada de esa persona.
La ganancia esperada teniendo en cuenta el valor positivo (ganancia) y el negativo
(pΓ©rdida) es:
πΈ(π) = (4000 β 0.3) + (β1000 β 0.7)
πΈ(π) = (1200) β (700)
πΈ(π) = 500
Se espera una ganancia de 500 dΓ³lares.
11. Suponga que un comerciante de joyerΓa antigua estΓ‘ interesado en comprar una
gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $
250, $ 100, al costo, o bien con una pΓ©rdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36,
0.28, 0.14. ΒΏcuΓ‘l es la ganancia esperada del comerciante?
La ganancia esperada por el comerciante debe ser:
πΈ(π) = (250 β 0.22) + (100 β 0.36) + (0 β 0.28) β (150 β 0.14)
πΈ(π) = (55) + (36) + (0) β (21)
πΈ(π) = 70
El comerciante espera una ganancia de $70.
12. Un piloto privado desea asegurar su aviΓ³n por 50.000 dΓ³lares. La compaΓ±Γa de seguros
estima que puede ocurrir una pΓ©rdida total con probabilidad de 0.002, una pΓ©rdida de 50%
con una probabilidad de 0.01 y una de 25% con una probabilidad de 0.1. Si se ignoran
todas las otras pΓ©rdidas parciales, ΒΏque prima debe cargar cada aΓ±o la compaΓ±Γa de
seguros para obtener una utilidad media de US $500?
La probabilidad de que no exista pΓ©rdida es:
1 β (0.002 + 0.01 + 0.1) = 0.888
Ahora, la utilidad media es:
ππ₯ = πΈ(π) = (π β 0.888) β (50000 β 0.002) β (25000 β 0.01) β (12500 β 0.1) = 500
π β 0.238 β 100 β 250 β 1250 = 500
π β 0.888 β 1600 = 500
π =500 + 1600
0.888
π = 2364.86
La compaΓ±Γa debe cargar una prima de 2364.86 dΓ³lares.
13. Sea X una variable aleatoria con funciΓ³n de densidad:
π(π₯) = {π(3π₯ β π₯2) 0 β€ π₯ β€ 3
0 ππ ππ‘ππ πππ π
a. Determine el valor de a para que la funciΓ³n sea efectivamente una funciΓ³n de densidad de
probabilidad
Para que sea una funciΓ³n de densidad debe cumplirse que:
β«π(3π₯ β π₯2)ππ₯
3
0
= 1
πβ«(3π₯ β π₯2)ππ₯
3
0
= π [3π₯2
2βπ₯3
3]3
0= 1
π [(3(3)2
2β33
3) β (
3(0)2
2β03
3)] = 1
9
2π = 1
π =2
9
b. Calcule P ( 1 < X < 2)
Conociendo el valor de a, tenemos:
β«2
9(3π₯ β π₯2)ππ₯
2
1
=2
9β«(3π₯ β π₯2)ππ₯
2
1
=2
9[3π₯2
2βπ₯3
3]2
1
=2
9[(3(2)2
2β(2)3
3) β (
3(1)2
2β(1)3
3)]
=2
9[(6 β
8
3) β (
3
2β1
3)]
=2
9[10
3β7
6]
=2
9[13
6]
=13
27β 0.481
14. Sea X una variable aleatoria con funciΓ³n de densidad:
π(π₯) = {
π₯
2 0 β€ π₯ β€ 2
0 ππ ππ‘ππ πππ π
Obtenga el valor esperado de la variable, la varianza y la desviaciΓ³n estΓ‘ndar.
El valor esperado es:
πΈ(π₯) = β«π₯ β π(π₯)ππ₯
2
0
= β«π₯ βπ₯
2ππ₯
2
0
= β«π₯2
2ππ₯
2
0
= (π₯3
6)2
0= (
23
6) β (
03
6) =
4
3
ππ₯2 = β«π₯2 β
π₯
2ππ₯
2
0
β (4
3)2
= β«π₯3
2ππ₯
2
0
β16
9= (
π₯4
8)2
0β4
3= 2 β
16
9=2
9
ππ₯ = β0.22 = 0.471
15. Sea X una variable aleatoria con funciΓ³n de densidad
π(π₯) = {π(4π₯ β π₯3) 0 β€ π₯ β€ 2
0 ππ ππ‘ππ πππ π
a. Determine el valor de a para que la funciΓ³n sea efectivamente una funciΓ³n de
densidad de probabilidad
Como π(π₯) representa una funciΓ³n de densidad debe suceder que:
β«π(4π₯ β π₯3)
2
0
ππ₯ = 1
πβ«(4π₯ β π₯3)
2
0
ππ₯ = 1
π (4π₯2
2βπ₯4
4)2
0= 1
π [(4(2)2
2β(2)4
4) β (
4(0)2
2β(0)4
4)] = 1
π[(8 β 4) β (0 β 0)] = 1
π[(4) β (0)] = 1
4π = 1
π =π
π
b. Calcule P ( 1 < X < 1,5)
Esto es:
β«1
4(4π₯ β π₯3)
1,5
0
ππ₯
=1
4β« (4π₯ β π₯3)
1,5
0
ππ₯
=1
4(4π₯2
2βπ₯4
4)1,5
0
=1
4[(4(1,5)2
2β(1,5)4
4) β (
4(0)2
2β(0)4
4)]
=1
4[(9
2β81
64) β (0 β 0)]
=1
4[(207
64)]
=207
256β 0.81
c. Obtenga el valor esperado de la variable
πΈ(π₯) =1
4β«π₯ β (4π₯ β π₯3)ππ₯
2
0
=16
15
=1
4β«(4π₯2 β π₯4)ππ₯
2
0
=1
4β«(
4π₯3
3βπ₯5
5)ππ₯
2
0
=1
4(4π₯3
3βπ₯5
5)2
0
=1
4[(4(2)3
3β(2)5
5) β (
4(0)3
3β(0)5
5)]
=1
4[(32
3β32
5) β (0)]
=1
4[64
15]
=16
15β 1.067
16. Un ama de casa permite a sus hijos pequeΓ±os mirar la televisiΓ³n un mΓ‘ximo de 200 horas
por mes y solo despuΓ©s de terminar sus tareas escolares. Ella lleva un control riguroso del
tiempo que sus hijos mantienen la televisiΓ³n encendida cada mes, de modo que se trata
de una variable continua, que medida en unidades de 100 horas, tiene la siguiente funciΓ³n
de densidad:
π(π₯) = {π₯ 0 β€ π₯ β€ 12 β π₯ 1 β€ π₯ β€ 20 ππ ππ‘ππ πππ π
Determine la probabilidad de que, durante un mes cualquiera, los niΓ±os vean la televisiΓ³n:
a. entre 50 y 100 horas
Como se mide en unidades de 100 horas, la probabilidad es:
π(50 < π₯ < 100) = β«π(π₯)ππ₯
1
0.5
= β«π₯ππ₯
1
0.5
= (π₯2
2)1
0.5
= ((1)2
2β(0.5)2
2)
= (1
2β1
8)
=3
8β 0.375
b. entre 120 y 150 horas
π(120 < π₯ < 150) = β« (π(π₯))ππ₯
1.5
1.2
= β« (2 β π₯)ππ₯
1.5
1.2
= (2π₯ βπ₯2
2)1.5
1.2
= (2(1.5) β(1.5)2
2) β (2(1.2) β
(1.2)2
2)
= (15
8β42
25)
=39
200β 0.195
c. Calcule el promedio de horas de televisiΓ³n que espera la mama vean sus hijos.
El promedio se calcula por medio de las integrales:
πΈ(π₯) = β«π(π₯)ππ₯ =
2
0
β«π₯ β π₯ππ₯
1
0
+ β«π₯ β (2 β π₯)ππ₯
2
1
= β«π₯2ππ₯
1
0
+ β«(2π₯ β π₯2)ππ₯
2
1
= (π₯3
3)1
0+ (π₯2 β
π₯3
3)2
1
= ((1)3
3β(0)3
3) + ([(2)2 β
(2)3
3] β [(1)2 β
(1)3
3])
=1
3+2
3
= 1
Los niΓ±os ven en promedio 100 horas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS
17. En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegirΓ‘ un representante de grupo,
para lo cual se usara el nΓΊmero de lista de cada alumno. Se anotan 12 papeles con
nΓΊmeros del 1 al 12 respectivamente se doblan y se meten en un frasco. Luego se extrae al
azar un papel para designar al representante. Determine la probabilidad de que el nΓΊmero
que salga sea menor que 5; determine la probabilidad de que el nΓΊmero sea mayor que 3
pero menor que 7.
π(π₯) =1
12= 0.083
π(π₯) = 0.917
π(π < 5) = π(π = 0) + π(π = 1) + π(π = 2) + π(π = 3) + π(π = 4)
π(π = 0) = (12
0) (0.083)0(0.917)12 = 0.3535
π(π = 1) = (12
1) (0.083)1(0.917)11 = 0.3840
π(π = 2) = (12
2) (0.083)2(0.917)10 = 0.1911
π(π = 3) = (12
3) (0.083)3(0.917)9 = 0.0577
π(π = 4) = (12
4) (0.083)4(0.917)8 = 0.0117
π(π < 5) = 0.3535 + 0.3840 + 0.1911 + 0.0577 + 0.0117
π(π < 5) = 0.998
Ahora la probabilidad de que el nΓΊmero sea mayor que 3 pero menor que 7 es:
π(3 < π < 7) = π(π = 4) + π(π = 5) + π(π = 6)
π(π = 4) = (12
4) (0.083)4(0.917)8 = 0.0117
π(π = 5) = (12
5) (0.083)5(0.917)7 = 0.0017
π(π = 6) = (12
6) (0.083)6(0.917)6 = 0.000180
π(3 < π < 7) = 0.0117 + 0.0017 + 0.000180
π(3 < π < 7) = 0.01358
18. Como participante de una encuesta de contaminaciΓ³n del aire, un inspector decide
examinar las emisiones de seis de los 24 camiones de una compaΓ±Γa. Si cuatro de los
camiones emiten cantidades excesivas de contaminantes cual es la probabilidad de que
ninguno de ellos sea parte de la muestra del inspector.
π(π = 0) =(40)(20
6)
(246)
= 0.2880
19. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra, tomada al azar, de dos
calculadoras manuales, de cada lote que llega de 18, y acepta el lote si ambas estΓ‘n en
buenas condiciones de trabajo; de otra manera, se inspecciona todo el lote y el costo se
carga al vendedor, determine la probabilidad de que un lote se acepta sin inspecciΓ³n
adicional, si contiene:
a. Cuatro calculadoras que no estΓ‘n en buenas condiciones de trabajo
b. Ocho calculadoras que no estΓ‘n en buenas condiciones de trabajo
20. Una florerΓa tiene 15 vehΓculos de reparto, que se utilizan principalmente para llevar flores
y arreglos florales en una ciudad, suponga que seis de los 15 camiones tienen problemas
con los frenos. Se seleccionaron cinco vehΓculos al azar para probarlos, cual es la
probabilidad de que dos de los camiones probados tengan frenos defectuosos?
π(π₯) =6
15= 0.4
π(π₯) = 0.6
π(π = 2) = (5
2) β (0.4)2 β (0.6)3 = 0.3456
21. En una fΓ‘brica de circuitos electrΓ³nicos, se afirma que la proporciΓ³n de unidades
defectuosas de cierto componente que esta produce es del 5%. ΒΏCuΓ‘l es la probabilidad de
que un comprador al revisar 15 unidades al azar encuentre cuatro defectuosas?
π(π = 4) = (15
4) β (0.05)4 β (0.95)11 = 0.00485
22. Un investigador inyecta un germen patΓ³geno a varios ratones a la vez, hasta que haya 2
que han contraΓdo la enfermedad. Si la probabilidad de contraer el padecimiento es de 1/6
ΒΏcuΓ‘l es la probabilidad de que sean necesarios 8 ratones?
π(π = 2) = (8
2) β (
1
6)2
β (5
6)
6
= 0.2605
23. SegΓΊn los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. ΒΏcuΓ‘l es la
probabilidad de que de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado?
π(π < 3) = π(π = 0) + π(π = 1) + π(π = 2)
π(π = 0) = (6
0) β (0.05)0 β (0.95)6 = 0.7350
π(π = 1) = (6
1) β (0.05)1 β (0.95)5 = 0.2321
π(π = 2) = (6
2) β (0.05)2 β (0.95)4 = 0.031
π(π < 3) = 0.9981
24. SegΓΊn un estudio publicado por un grupo de sociΓ³logos de la Universidad de
Massachusetts, aproximadamente el 60% de los consumidores del tranquilizante Valium
en dicho estado, tomaron el fΓ‘rmaco por problemas psicolΓ³gicos, Determine la
probabilidad de que entre los siguientes 8 consumidores entrevistados en este estado, por
lo menos 5 hayan comenzado a tomarlo por problemas psicolΓ³gicos.
π(π β₯ 5) = π(π = 5) + π(π = 6) + π(π = 7) + π(π = 8)
π(π = 5) = (8
5) β (0.6)5 β (0.4)3 = 0.2787
π(π = 6) = (8
6) β (0.6)6 β (0.4)2 = 0.2090
π(π = 7) = (8
7) β (0.6)7 β (0.4)1 = 0.0896
π(π = 5) = (8
8) β (0.6)8 β (0.4)0 = 0.0168
π(π β₯ 5) = 0.5941
25. La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad tenga un perro se estima en
0.3. Determine la probabilidad de que la dΓ©cima persona entrevistada al azar en dicha
ciudad sea la quinta en poseer un perro.
π(π = 5) = (10
5) β (0.3)5 β (0.7)5 = 0.1030
26. Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de
inglΓ©s en cualquier intento que haga. ΒΏCuΓ‘l es la probabilidad de que lo logre aprobar en el
cuarto intento?
Debido al enunciado, podemos deducir que el estudiante tiene la misma probabilidad en
cualquier intento; es decir 75%
27. De acuerdo con un reporte de la secretaria de movilidad, en BogotΓ‘ se registran en
promedio 7,5 peatones atropellados a la semana (7 dΓas). Determine la probabilidad de
que en tres dΓas de una semana cualquiera ocurran entre 6 y 8 casos de personas
atropelladas en la ciudad.
π = 7.5 ππππ‘ππππ ππππ 7 πΓππ = 1.07ππππ‘ππππ πππ πΓπ
En tres dΓas tenemos:
π = 3.21
Ahora,
π(6 β€ π β€ 8) = π(π = 6) + π(π = 7) + π(π = 8)
π(π = 6) =πβ3.21 β (3.21)6
6!= 0.06132
π(π = 7) =πβ3.21 β (3.21)7
7!= 0.02812
π(π = 8) =πβ3.21 β (3.21)8
8!= 0.01128
π(6 β€ π β€ 8) = 0.10072
28. El nΓΊmero de camiones en promedio que llegan a una central de abastos en cierta ciudad,
es de 12 por dΓa. ΒΏCuΓ‘l es la probabilidad de que en un dΓa cualquiera lleguen menos de
nueve camiones a esa central de abastos?
π = 12 ππππππππ πππ πΓπ
π(π < 9) = πβ12β(12)π₯
π₯!
8
π₯=0
π(π < 9) = πβ12(25231.51) = 0.1550
29. Si Z es la distribuciΓ³n normal tipificada, encuentre el Γ‘rea bajo la curva que cae:
a. A la izquierda de z = - 1,13
Observando la Tabla de valores negativos tenemos:
Para π§ = β1,13 el Γ‘rea es 0,12924
b. Entre z = - 2,06 y z = - 0,15
Para π§ = β2,06 el Γ‘rea es 0.01970
Para π§ = β0.15 el Γ‘rea es 0,44038
El Γ‘rea buscada es: 0,44038 β 0,01970 = 0,42068
c. A la derecha de z = 1,44
Para π§ = 1,44 el Γ‘rea es: 0,92507
Por lo tanto a la derecha de Γ©ste valor su Γ‘rea es: 1 β 0,92507 = 0.07493
30. Si la variable aleatoria Z tiene una distribuciΓ³n normal tipificada, encuentre la mejor
aproximaciΓ³n de las tablas para el valor de k, tal que:
a. P ( Z > K ) = 0,3500
P (Z > K) = 1 β P(Z<K) = 0.3500
1 β0.3500 = P (Z<K)
P (Z<K) = 0.65, por lo que se concluye que k es aproximadamente 0.39
b. P ( Z < K ) = 0,5500
AquΓ, K es aproximadamente 0.13
c. (Ko < Z < k1) = 0,9500
Esto quiere decir que se busca P(X<k1) β P(X<k0) = 0.9500
Si k0 = -2.8 entonces P (k1) = 0.9500 + 0.00256 = 0.95256
Por lo tanto, podemos tomar k0 = -2.8 y k1 = 1.67
31. Las notas de un examen hecho a una clase de 36 alumnos siguen una distribuciΓ³n Normal
con media 4.2 y desviaciΓ³n estΓ‘ndar 1.3.
a. Calcular el nΓΊmero de alumnos con nota entre 5 y 7.
π5 =5 β 4.2
1.3= 0.62
π7 =7 β 4.2
1.3= 2.15
π(0.62 < π < 2.15) = π(π < 2.15) β π(π < 0.62)
π(0.62 < π < 2.15) = 0.98422 β 0.7324 = 0.251852
Es decir, el 25.19% de los estudiantes (Aprox. 9 estudiantes) tienen notas entre 5 y
7
b. NΓΊmero de alumnos con nota entre 4 y 6.
π4 =4 β 4.2
1.3= β0.15
π6 =6 β 4.2
1.3= 1.38
π(β0.15 < π < 1.38) = π(π < 0.38) β π(π < β0.15)
π(β0.15 < π < 1.38) = π(π < 0.38) β (1 β π(π > 0.15))
π(β0.15 < π < 1.38) = 0.91621 β 0.44038 = 0.47583
Es decir, el 47.58% de los estudiantes (Aprox. 17 estudiantes) tienen notas entre 4
y 6
32. El peso de las naranjas sigue una distribuciΓ³n normal de media 180 g y desviaciΓ³n tΓpica 20
g. Un almacenista ha comprado 10.000 kg. Calcular:
a. Kilos de naranjas que se espera pesen menos de 150 g.
π150 =150 β 180
20= β1.5
π(π < β1.5) = 1 β π(π < 1.5)
π(π < β1.5) = 1 β 0.9332 = 0.0668
Es decir, el 6.68% de las naranjas (Aprox. 668 kilos) pesan menos de 150 g.
b. Kilos de naranjas cuyo peso se espera que este entre 160 y 200 g.
π160 =160 β 180
20= β1
π200 =200 β 180
20= 1
π(β1 < π < 1) = π(π < 1) β (1 β π(π < 1))
π(β1 < π < 1) = 0.8416 β 0.1584
π(β1 < π < 1) = 0.6832
Es decir, el 68.32% de las naranjas (Aprox. 6832 kilos) pesan entre de 160 y 200 g.
33. El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho un estudio sobre la
distribuciΓ³n de las edades del profesorado y ha observado que se distribuyen
normalmente con una media de 34 aΓ±os y una desviaciΓ³n tΓpica de 6 aΓ±os. De un total de
400 profesores hallar:
a. Cuantos profesores hay con edad menor o igual a 35 aΓ±os?
π35 =35 β 34
6= 0.167
π(π β€ 0.167) = 0.5656
Es decir, el 56.56% de los profesores (Aprox. 226 maestros) tienen una edad
menor o igual a 35 aΓ±os.
b. Cuantos de 55 aΓ±os o mΓ‘s?
π55 =55 β 34
6= 3.5
π(π β₯ 3.5) = 1 β π(π < 3.5) = 1 β 0.999767 = 0.000233
Es decir, el 0.0233% de los profesores (Aprox. 1 maestro) tiene una edad mayor o igual a 55
aΓ±os.
34. En una panaderΓa se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribuciΓ³n normal
de media 100 g y desviaciΓ³n tΓpica 9. ΒΏCuΓ‘l es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo
peso oscile entre 80 g y la media?
π80 =80 β 100
9= β2.22
π100 =100 β 100
9= 0
π(β2.22 < π < 0) = π(π < 0) β (1 β π(π < 2.22))
π(β2.22 < π < 0) = 0.5 β 0.013209 = 0.486791
Es decir, el 48.68% de los panecillos tiene un peso entre 80 g y la media.
35. La duraciΓ³n media de un lavavajillas es de 15 aΓ±os, con una desviaciΓ³n tΓpica igual a 0.5
aΓ±os. Si la vida ΓΊtil de electrodomΓ©sticos se distribuye normalmente, halla la probabilidad
de que al comprar un lavavajillas este dure mΓ‘s de 16 aΓ±os.
π16 =16 β 15
0.5= 2
π(π > 2) = 1 β π(π β€ 2)
= 1 β 0.977250
= 0.02275
36. Se ha determinado que para varones normales en una cierta poblaciΓ³n normalmente
distribuida, la temperatura media es de 37ΒΊC y desviaciΓ³n estΓ‘ndar de 0,5ΒΊC. Si se
consideran 1000 de estas personas ΒΏCuantas se puede esperar que tengan una
temperatura comprendida entre 37ΒΊC y 37,6ΒΊC?
π16 =37 β 37
0.5= 0
π16 =37.6 β 37
0.5= 1.2
π(0 < π < 1.2) = π(π < 1.2) β π(π < 0)
π(0 < π < 1.2) = 0.884930 β 0.5 = 0.38493
Es decir, se puede esperar que el 38.49% de las personas (Aprox. 385 personas) tiene una
temperatura entre 37ΒΊC y 37.6ΒΊC.
37. Un calentador de agua requiere por tΓ©rmino medio 30 minutos para calentar 40 galones
de agua hasta una temperatura determinada. Si los tiempos de calentamiento se
distribuyen normalmente con una desviaciΓ³n estΓ‘ndar de 0,5 minutos ΒΏQuΓ© porcentaje de
los tiempos de calentamiento son superiores a 31 minutos?
π31 =31 β 30
0.5= 2
π(π > 2) = 1 β π(π β€ 2)
= 1 β 0.977250
= 0.02275
= 2.275%
Es decir, 0.91 galones estΓ‘n por encima del calentamiento a 31 minutos, lo que
corresponde al 2.275% de los tiempos de calentamiento son superiores a 31 minutos.
38. Los resultados de una prueba objetiva de selecciΓ³n hecha a 200 personas indicaron que la
distribuciΓ³n de puntuaciones era normal, con media 60 puntos y desviaciΓ³n tΓpica de 6
puntos. Calcular cuΓ‘ntos examinados han obtenido una puntuaciΓ³n entre 30 y 40 puntos, y
ΒΏcuΓ‘l es la mΓnima puntuaciΓ³n por debajo de la cual estΓ‘n el 75 % de los examinados?
π30 =30 β 60
6= β5
π40 =40 β 60
6= β3.33
π(β5 < π < β3.33) = (1 β π(π < 3.33)) β (1 β π(π < 5))
π(β5 < π < β3.33) = 0.000434 β 0
π(β5 < π < β3.33) = 0.000434 β 0.0434
200 β 0.000434 = 0.0868 ππππ ππππ
Ha obtenido una puntuaciΓ³n entre 30 y 40 puntos 1 persona aproximadamente
Ahora, buscamos en la tabla el valor de la variable tipificada de tal manera que sea inferior al
75%, es decir 0.75; Γ©ste valor es Z = 0.675:
0.675 =π β 60
6
π = 0.675 β 6 + 60 = 64.05
Es decir, la mΓnima puntuaciΓ³n por debajo de la cual estΓ‘n el 75% de los examinados es 64.05
39. Suponiendo que las tallas de los adultos de un paΓs A siguen una distribuciΓ³n normal con
media 180 cm. y desviaciΓ³n tΓpica 5 cm. y que las tallas de los adultos en un paΓs B siguen
una distribuciΓ³n tambiΓ©n normal, pero con media 180 cm. y desviaciΓ³n tΓpica 15 cm.,
contestar de manera justificada en cuΓ‘l de los dos paΓses es mΓ‘s probable encontrar
adultos con talla superior a 195 cm. y donde es mΓ‘s probable encontrar adultos con talla
comprendida entre 175 y 185 cm.
PaΓs A:
π195 =195 β 180
5= 3
π(π > 3) = 1 β π(π < 3) = 1 β 0.998650 = 0.00135
PaΓs B:
π195 =195 β 180
15= 1
π(π > 1) = 1 β π(π < 1) = 1 β 0.841345 = 0.158655
Es mΓ‘s probable encontrar adultos con una estatura superior a 195 cm en el paΓs B.
PaΓs A:
π175 =175 β 180
5= β1
π185 =185 β 180
5= 1
π(β1 < π < 1) = π(π < 1) β π(π < β1)
π(β1 < π < 1) = π(π < 1) β (1 β π(π < 1)) = 0.841345 β 0.158655 = 0.68269
PaΓs B:
π175 =175 β 180
15= β0.33
π185 =185 β 180
15= 0.33
π(β0.33 < π < 0.33) = π(π < 0.33) β π(π < β0.33)
π(β0.33 < π < 0.33) = π(π < 0.33) β (1 β π(π < 0.33)) = 0.625516 β 0.374481
= 0.251035
Es mΓ‘s probable encontrar una persona que mida entre 175 y 185cm el paΓs A.